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图和子图 图和简单图图 G = (V, E)V ---顶点集，ν---顶点数12ε E ---边集， ε---边数例。
左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。
真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。
不过今后对两者将经常不加以区别。
称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。
也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。
称顶点a 与e 相邻。
称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。
环（loop ，selfloop ）：如边 l 。
棱（link ）：如边ae 。
重边：如边p 及边q 。
简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。
一条边的端点：它的两个顶点。
记号：νε()(),()().G V G G E G ==。
习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。
1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。
同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ VG)=V(H), E(G)=E(H)。
图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间 各 存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。
记为 G ≅F。
注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。
de f G = (V , E )yz w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。
完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。
V’ ( ⊆ V) 为独立集 ⇔ V’中任二顶点都互不相邻。
电子行业图论25电子科大杨春引言电子行业是指以电子技术为核心的一类产业，包括电子元器件制造、电子设备制造、电子信息服务等。
其中，电子科大（University of Electronic Science and Technology of China，简称电子科大）是中国著名的电子工科高校之一。
本文将介绍电子行业图论，并聚焦于电子科大杨春教授的研究成果。
电子行业图论简介图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图的应用。
在电子行业中，图论被广泛应用在网络通信、电路设计等方面。
图是由顶点（节点）和边（连接线）构成的数据结构。
顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
在电子行业中，顶点可以表示电子元器件、电子设备、节点等，边可以表示电子元器件之间的连接关系、电子设备之间的通信路径，以及节点之间的数据传输等。
图论通过研究图的性质和算法，为电子行业提供了很多解决方案。
例如，在网络通信中，图论可以用于路由算法的设计，以在复杂网络中寻找最短路径或者负载均衡；在电路设计中，图论可以用于布线算法的优化，以提高电子装置的性能和可靠性。
电子科大杨春教授的研究成果杨春教授是电子科大的杰出学者，他在电子行业图论方面的研究取得了很多重要成果。
以下将介绍杨春教授的两个主要研究成果。
成果一：基于图论的网络通信优化算法杨春教授在网络通信方面的研究中，提出了一种基于图论的优化算法，用于解决复杂网络中的路由问题。
该算法通过构建网络拓扑图，并基于图的特性，设计出高效的路由方案，可以同时考虑网络的负载均衡和数据传输的可靠性。
杨教授的算法在实际网络中进行了验证，取得了较好的效果，优化了网络通信的性能。
成果二：图论在电路设计中的应用杨春教授的另一个研究方向是图论在电路设计中的应用。
他提出了一种基于图论的布线算法，用于解决大规模电路的布线问题。
该算法通过将电路抽象为图，利用图的性质和算法进行布线优化，可以降低电路的时延、功耗等指标。
杨教授的算法在实际电路中得到了验证，对提高电子设备的工作效率和可靠性有重要意义。
第四章3.7.证明：因为G 中无奇点，去除度为零的点，则G ’中必可以找到一条Eular 闭迹，也就是初始圈C1，之后去掉C1所包含的边，去点度为零的点，则在新图G ’’ 中每个点的度数仍为偶数，在G ’中可以找到一条Eular 闭迹，也就是圈C2，以此类推，可以寻到C3、.....、Cm ，最后可以得到()()()()C E C E C E G E m ⋃⋯⋯⋃⋃=21。
10.证明：(1)如果G 不是二连通的，则G 存在割点或者不是连通的。
若G 不是连通的，则G 不是Hamilton 图；若G 中存在割点v ，则G-v 的连通分支数大于等于2，由定理：若G 是H 图，则对于V 的每个非空子集S ，均有()S S G ≤-ω可知，G 为非H 图。
(2)不妨设|X|<|Y|,则G-X 的连通分支数|Y|>|X|，由（1）中的定理可知，G 为非H 图。
12.证明：假设G 中新加入的一点，为V ，它和G 中的每一个顶点均相连，这样得到新的图∧G ,这样∧G 的度序列为()n d d d n ,,......,,11121+++。
因为不存在正整数m<(n+1)/2,使其满足dm<m 和dn-m+1<n-m,即不存在m<n/2,满足dm<=m<m+1和dn-m+1<n-m+1 = (n+1)-m 。
由定理知，∧G 中含有Hamilton 圈C ，这样G^-C 就是G 的H 路，命题得证。
第五章1.（1）证明：假设K方体的顶点坐标为：(x1,x2…,xk)，取(x1,x2,….,xk-1,0)和(x1,x2,…,xk-1,1)两个顶点之间的边的全体集合为M，这样M,中的边均不相邻，所以M是一个匹配，且|M| = 2^(k-1)。
K方体一共有2^k个顶点，所以K方体的每一个顶点均是M饱和的，所以M是K 方体的一个完美匹配。
（2）K2n中的任一个顶点有2n-1中方法被匹配，选择其中的一条边后，则剩下2(n-1)个顶点，其导出子图为K2(n-1。
图论第三次作业第六章习题2.证明：根据欧拉公式的推论，有m ≦l*(n-2)/(l-2),(1)若deg(f)≧4,则m ≦4*(n-2)/2=2n-4;(2)若deg(f)≧5,则m ≦5*(n-2)/3,即：3m ≦5n-10;(3)若deg(f)≧6,则m ≦6*(n-2)/4,即：2m ≦3n-6.3.证明：∵G 是简单连通图，∴根据欧拉公式推论，m ≦3n-6;又，根据欧拉公式：n-m+φ=2,∴φ=2-n+m ≦2-n+3n-6=2n-4.4.证明：(1)∵G 是极大平面图，∴每个面的次数为3，由次数公式：2m==3φ,由欧拉公式：φ=2-n+m, ∴m=2-n+m,即：m=3n-6.(2)又∵m=n+φ-2,∴φ=2n-4.(3)对于3n >的极大可平面图的的每个顶点v ，有()3d v ≥，即对任一一点或者子图，至少有三个邻点与之相连，要使这个点或子图与图G 不连通，必须把与之相连的点去掉，所以至少需要去掉三个点才能使()(H)w G w G <-，由点连通度的定义知()3G κ≥。
5.证明：假设图G 不是极大可平面图，那么G 不然至少还有两点之间可以添加一条边e ，使G+e 仍为可平面图，由于图G 满足36m n =-，那么对图G+e 有36m n '=-，而平面图的必要条件为36m n '≤-，两者矛盾，所以图G 是极大可平面图。
6.证明：(1)由()4G δ=知5n ≥当n=5时，图G 为5K ，而5K 为不可平面图，所以6n ≥，（由()4G δ=和握手定理有24m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得6n ≥）对于可平面图有()5G δ≤，而6n ≥，所以至少有6个点的度数不超过5.(2)由()5G δ=和握手定理有25m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得12n ≥，对于可平面图有()5G δ≤，而12n ≥，所以至少有12个点的度数不超过5.8.证明：(1)由握手定理()2()i d v m n G δ=≥∑和极大可平面图的性质36m n =-，可得[6()]12G n δ-≥对4n ≥恒成立，又，所以6()3G δ-≤，即()3G δ≥。
习题四：3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；（2）画一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；（3）画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图；（4）画一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图；解：找到的图如下：(1)一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；(2)一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；(3) 一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图.)+2,则G是Hamilton图。
4.设n阶无向简单图G有m条边，证明:若m≥(n−12证明: G是H图。
若不然，因为G是无向简单图，则n≥3,由定理1：若G是n≥3的非单图，则G 度弱于某个C m,n.于是有：2,1()()(2)(1)(1)2111(1)(2)(1)(21)221 1.2m n E G E C m n m n m m m n m m m n m n ⎡⎤≤=+---+-⎣⎦-⎛⎫=+------- ⎪⎝⎭-⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭这与条件矛盾！所以G 是H 图。
8.证明：若G 有2k ≥0个奇点，则存在k 条边不重的迹Q 1,Q 2…Q k ,使得E (G )=E (Q 1)∪E (Q 2)∪E (Q 3)∪⋯∪E(Q k ).证明：不失一般性，只就G 是连通图进行证明。
设G=(n, m)是连通图。
令v l ，v 2，…,v k ,v k+1,…,v 2k 是G 的所有奇度点。
在v i 与v i+k 间连新边e i 得图G*（1≦i ≦k).则G*是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C.在C 中删去e i （1≦i ≦k).得k 条边不重的迹Q i （1≦i ≦k):12()()()()k E G E Q E Q E Q =U UL U10.证明：若：（1）G 不是二连通图，或者（2）G 是具有二分类(X,Y )的偶图，这里|X |≠|Y |,则G 是非Hamilton 图。
