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图论及其应用 杨春 课件 全 电子科技大学

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第六章 平面图1 图论及其应用课件

第六章 平面图1 图论及其应用课件

外可平面图
外平面图1
外平面图2
10
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
注：对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入， 使得G的顶点均在外部面的边界上。这由球极投影法可 以说明。
下面研究极大外平面图的性质。
定义3 设G是一个简单外可平面图，若在G中任意不邻 接顶点间添上一条边后，G成为非外可平面图，则称G是 极大外可平面图。极大外可平面图的外平面嵌入，称为极 大外平面图。
1
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图论及其应用
任课教师：杨春 Email: yc517922@
应用数学学院
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定义1 设G是简单可平面图，如果G是Ki (1≦i≦4),或 者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是
非可平面图，则称G是极大可平面图。
极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。
3
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1
注：该定理可以简单记为是“极大平面图的三角形特 征”，即每个面的边界是三角形。
证明：“必要性”
由引理知，G是单图、G无割边且G的每个面的次数 至少是3。
假设G中某个面f的次数大于等于4。记f的边界是 v1v2v3v4…vk。如下图所示。

图论及其应用 杨春 课件 全 电子科技大学

图论及其应用 杨春 课件 全 电子科技大学

图可以用图形表示：V中的元素用平面上一个黑点表示，E 中的元素用一条连接V中相应点对的任意形状的线表示。
例1、设图G＝<V,E>。这里V＝{v1,v2,v3,v4} E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6}，
e1＝(v1,v2)，e2＝(v1,v3)，e3＝(v1,v4)， e4＝(v2,v3)，e5＝(v3,v2)，e6＝(v3,v3)。
定理：若n阶图G是自补图( G G ),则有：
n0,1(mod4)
证明：n阶图G是自补图，则有：
H G
m (G ) m (G )m (K n)1 2n (n 1 ) 所以： m(G) 1 n(n1)
4
由于n是正整数，所以：n0,1(mod4)
自补图是很有意义的图类。它在对角型拉姆齐数 方面的研究、关于图的香农容量的研究、强完美图 方面的研究等都有重要作用。
H G
图G 的“拓扑不变量”是指与图G有关的一个 数
或数组(向量)。它对于与图G同构的所有图来说， 不会发生改变。
一个图G可以对应很多拓扑不变量。如果某组不 变量可完全决定一个图，称它为不变量的完全集。
定理：非负整数组(d1,d2,…., d n)是图的度序列的 充分必要条件是：n d i 为偶数。
H G
推论1 在任何图中，奇点个数为偶数。
证明：设V1,V2分别是G中奇点集和偶点集.则由 握手定理有：
dv dv dv
v V 1
v V 2
v V
是偶数，由于
vV 2
d
v
是偶数， 所以 d v vV1
是
偶数，于是 V 1 是偶数。
推论2 正则图的阶数和度数不同时为奇数 。
证明 ： 设G是k-正则图，若k为奇数，则由推论1知 正则图G的点数必为偶数 例4 Δ与δ是简单图G的最大度与最小度，求证：

电子行业图论25电子科大杨春

电子行业图论25电子科大杨春

电子行业图论25电子科大杨春引言电子行业是指以电子技术为核心的一类产业，包括电子元器件制造、电子设备制造、电子信息服务等。

其中，电子科大（University of Electronic Science and Technology of China，简称电子科大）是中国著名的电子工科高校之一。

本文将介绍电子行业图论，并聚焦于电子科大杨春教授的研究成果。

电子行业图论简介图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图的应用。

在电子行业中，图论被广泛应用在网络通信、电路设计等方面。

图是由顶点（节点）和边（连接线）构成的数据结构。

顶点表示对象，边表示对象之间的关系。

在电子行业中，顶点可以表示电子元器件、电子设备、节点等，边可以表示电子元器件之间的连接关系、电子设备之间的通信路径，以及节点之间的数据传输等。

图论通过研究图的性质和算法，为电子行业提供了很多解决方案。

例如，在网络通信中，图论可以用于路由算法的设计，以在复杂网络中寻找最短路径或者负载均衡；在电路设计中，图论可以用于布线算法的优化，以提高电子装置的性能和可靠性。

电子科大杨春教授的研究成果杨春教授是电子科大的杰出学者，他在电子行业图论方面的研究取得了很多重要成果。

以下将介绍杨春教授的两个主要研究成果。

成果一：基于图论的网络通信优化算法杨春教授在网络通信方面的研究中，提出了一种基于图论的优化算法，用于解决复杂网络中的路由问题。

该算法通过构建网络拓扑图，并基于图的特性，设计出高效的路由方案，可以同时考虑网络的负载均衡和数据传输的可靠性。

杨教授的算法在实际网络中进行了验证，取得了较好的效果，优化了网络通信的性能。

成果二：图论在电路设计中的应用杨春教授的另一个研究方向是图论在电路设计中的应用。

他提出了一种基于图论的布线算法，用于解决大规模电路的布线问题。

该算法通过将电路抽象为图，利用图的性质和算法进行布线优化，可以降低电路的时延、功耗等指标。

杨教授的算法在实际电路中得到了验证，对提高电子设备的工作效率和可靠性有重要意义。

电子科技大学-图论第二次作业-杨春

电子科技大学-图论第二次作业-杨春
习题五：
1. （1）证明：每个 k 方体都有完美匹配(k 大于等于 2) (2) 求 K2n 和 Kn,n 中不同的完美匹配的个数。
证明一：证明每个 k 方体都是 k 正则偶图。 事实上，由 k 方体的构造：k 方体有 2k 个顶点，每个顶点可以用长度为 k 的 二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标 不同。如果我们划分 k 方体的 2k 个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入 X，否则 归入 Y。显然，X 中顶点互不邻接，Y 中顶点也如此。所以 k 方体是偶图。又不 难知道 k 方体的每个顶点度数为 k,所以 k 方体是 k 正则偶图。 由推论：k 方体存在完美匹配。 证明二：直接在 k 方体中找出完美匹配。
中有 H 圈
如下：
Ck1 (u0 , v0 , v1,..., vn2 , u0 )
我们有如下断言： 在Ck1上，vi , vi1, 使得u0vi , v0vi1 E(Gk )
若不然，设
那么在 Gk 中，至少有 r 个顶点与 v0 不邻接，则 ≦(n-1)-r < n-r，
这样与 u0，v0 在 Gk 中度和大于等于 n 矛盾！
所以 可以表示为四个边不重的 2 因子之和，对于每个分解出的因子的路径
为：
,
则 的四条路径为：
,
,
,
,
则生成圈 是 个生成圈之和。
与 的两个端点连线生成的。所以可以将 表示为四
10.证明：若 n 为偶数，且δ(G)≥n/2+1 ,则 n 阶图 G 有 3 因子。 证明：因δ(G)≥n/2+1 ,由狄拉克定理：n 阶图 G 有 H 圈 C .又因 n 为偶数， 所以 C 为偶圈。于是由 C 可得到 G 的两个 1 因子。设其中一个为 F1。

电子科技大学图论及其应用 第1章

电子科技大学图论及其应用 第1章

例 判断下面两图是否同构。
u1
v1
解 两图不同构。 若两图同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1与v1一定 相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同，u1 邻接有4度点，而v1没有。 所以，两图不同构。
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 解 (a) (b) (c)
四、顶点的度、度序列
设v为G 的顶点，G 中以v为端点的边的条数(环计算两次)称 为点v的度数，简称为点v的度，记为dG (v)，简记为d(v)。 相关术语和记号
G ： 图G 的顶点的最小度
G ：图G 的顶点的最大度
奇点：度数为奇数的顶点 偶点：度数为偶数的顶点 k-正则图: 每个点的度均为k 的简单图 例如，完全图和完全偶图Kn, n 均是正则图。
完全偶图是指具有二分类(X, Y )的简单偶图，其中X的 每个顶点与Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这 样的偶图记为Km,n。
例
偶图
不是偶图
例
G1
G2
K1, 3
K3, 3
四个图均为偶图
K1, 3, K3, 3为完全偶图
偶图是一种常见数学模型。
例 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号分别是 xi (i=1,2,3,4,5,6 )，六门课程代号是yi (i=1,2,3,4,5,6 )。已知教 师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5；教师 x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3；教师x5能够 胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。请画出老师和 课程之间的状态图。 解
dG (v) dG (v) n 1 。

电子科技大学 图论第三次作业 杨春

电子科技大学 图论第三次作业 杨春

图论第三次作业第六章习题2.证明：根据欧拉公式的推论，有m ≦l*(n-2)/(l-2),(1)若deg(f)≧4,则m ≦4*(n-2)/2=2n-4;(2)若deg(f)≧5,则m ≦5*(n-2)/3,即：3m ≦5n-10;(3)若deg(f)≧6,则m ≦6*(n-2)/4,即：2m ≦3n-6.3.证明：∵G 是简单连通图，∴根据欧拉公式推论，m ≦3n-6;又，根据欧拉公式：n-m+φ=2,∴φ=2-n+m ≦2-n+3n-6=2n-4.4.证明：(1)∵G 是极大平面图，∴每个面的次数为3，由次数公式：2m==3φ,由欧拉公式：φ=2-n+m, ∴m=2-n+m,即：m=3n-6.(2)又∵m=n+φ-2,∴φ=2n-4.(3)对于3n >的极大可平面图的的每个顶点v ，有()3d v ≥，即对任一一点或者子图，至少有三个邻点与之相连，要使这个点或子图与图G 不连通，必须把与之相连的点去掉，所以至少需要去掉三个点才能使()(H)w G w G <-，由点连通度的定义知()3G κ≥。

5.证明：假设图G 不是极大可平面图，那么G 不然至少还有两点之间可以添加一条边e ，使G+e 仍为可平面图，由于图G 满足36m n =-，那么对图G+e 有36m n '=-，而平面图的必要条件为36m n '≤-，两者矛盾，所以图G 是极大可平面图。

6.证明：(1)由()4G δ=知5n ≥当n=5时，图G 为5K ，而5K 为不可平面图，所以6n ≥，（由()4G δ=和握手定理有24m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得6n ≥）对于可平面图有()5G δ≤，而6n ≥，所以至少有6个点的度数不超过5.(2)由()5G δ=和握手定理有25m n ≥，再由极大可平面图的性质36m n =-，即可得12n ≥，对于可平面图有()5G δ≤，而12n ≥，所以至少有12个点的度数不超过5.8.证明：(1)由握手定理()2()i d v m n G δ=≥∑和极大可平面图的性质36m n =-，可得[6()]12G n δ-≥对4n ≥恒成立，又，所以6()3G δ-≤，即()3G δ≥。

图论及其应用ppt课件


可编辑课件
28
名人名言
智者，善假于物也 学贵有恒，人贵有志 贵我、通今：横尽虚空，山河大地无一
可恃，可恃惟我；数尽来劫，前后左右 无一可据，可据惟今！ 生当作人杰，死亦为鬼雄！
可编辑课件
29
一副对联、一句勉励
上联： 做人做事做第一 下联： 创新创业创世界 横批： 众志成城 千里之行，始于足下， 兴趣是最好的老
A Friendly Introduction to Graph Theory, Fred Buckley,Marty Lewinter.
可编辑课件
21
学习方法
目的明确 态度端正 理论和实践相结合 充分利用资源 逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
可编辑课件
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课程考核
平时成绩 （10%） 图论应用的小论文 （60%） 开卷考试 （30%）
图论及其应用 Graph Theory and Its Applications
可编辑课件
1
主要内容
图论前言 数学预备知识
可编辑课件
2
前言
课程目标 学时和学分 教学大纲 教材和主要参考资料 课程考核
可编辑课件
3
图论学科简介 （1）
哥尼斯堡七桥问题 欧拉（1707~1782）：根据几何位置的解
满足
x, y,zS
a) 自反性 (x,x)R b) 对称性 c) 传递性 ((x ,y ) R ) ((y ,x ) R )
(x ,y ) R 且 (y ,z ) R (x ,z ) R
可编辑课件
41
等价关系与同余 （2）
xymodn
对于“模n同余”是等价关系，其等 价类成为模n的余数类或者同余类， 所有的同余类构成的集合

图论 (2)

2013-7-10 143-7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例9.2.12
求右图中所有结点的度数、出度 和入度，指出悬挂结点和为悬挂 边。 解 deg(v1) = 1，deg+(v
1)
v1 v4 v2
1)
v5
=
0，deg-(v
= 1
v3
deg(v2) = 4，deg+(v2) = 3，deg-(v2) = 1
2013-7-10
143-22
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例9.3.1
判 断 下 图 G1 中 的 回 路 v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3 、 v3e3v2e2v2e1v1e4v3 、v3e3v2e1v1e4v3 是否是简单回路、 基本回路？图G2 中的通路v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6 v5e8v4 、 v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4 、 v1e1v2e6v5e7v3e3v4 是否是简单通路、基本通路？并求其长度。
对于同构，形象地说，若图的结点可以任意挪 动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断的条件 下，一个图可以变形为另一个图，那么这两个图是 同构的。
2013-7-10 143-15
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
两个图同构的必要条件
（1）结点数目相同；
（2）边数相同；
（3）度数相同的结点数相同。
9.3.1 通路与回路
通路与回路是图论中两个重要的基本概念。本 小节所述定义一般来说既适合有向图，也适合无向 图，否则，将加以说明或分开定义。
2013-7-10
143-20
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程

电子科技大学-图论第二次作业-杨春

习题四：3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；（2）画一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；（3）画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图；（4）画一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图；解：找到的图如下：(1)一个有Euler 闭迹和Hamilton圈的图；(2)一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；(3) 一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton圈也没有Euler闭迹的图.)+2,则G是Hamilton图。

4.设n阶无向简单图G有m条边，证明:若m≥(n−12证明: G是H图。

若不然，因为G是无向简单图，则n≥3,由定理1：若G是n≥3的非单图，则G 度弱于某个C m,n.于是有：2,1()()(2)(1)(1)2111(1)(2)(1)(21)221 1.2m n E G E C m n m n m m m n m m m n m n ⎡⎤≤=+---+-⎣⎦-⎛⎫=+------- ⎪⎝⎭-⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭这与条件矛盾！所以G 是H 图。

8.证明：若G 有2k ≥0个奇点，则存在k 条边不重的迹Q 1,Q 2…Q k ,使得E (G )=E (Q 1)∪E (Q 2)∪E (Q 3)∪⋯∪E(Q k ).证明：不失一般性，只就G 是连通图进行证明。

设G=(n, m)是连通图。

令v l ，v 2，…,v k ,v k+1,…,v 2k 是G 的所有奇度点。

在v i 与v i+k 间连新边e i 得图G*（1≦i ≦k).则G*是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C.在C 中删去e i （1≦i ≦k).得k 条边不重的迹Q i （1≦i ≦k):12()()()()k E G E Q E Q E Q =U UL U10.证明：若：（1）G 不是二连通图，或者（2）G 是具有二分类(X,Y )的偶图，这里|X |≠|Y |,则G 是非Hamilton 图。

图论及其应用-杨春-课件-全


3Leabharlann 10.5 n 00.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
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0.6 0.4 x 0.2
[5] 李尉萱，《图论》，湖南科学技术出版社，1979
[6] 美，Douglas B.West《图论导引》，机械工业出 版社，2007 李建中，骆吉洲译
[7] 杨洪，《图论常用算法选编》，中国铁道出版社， 1988
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作业 P29—P30 3, 4, 5, 6
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Thank You !
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第一章 图的基本概念
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参考文献
[1] 美，帮迪《图论及其应用》
[2] 美，Gary Chartrand《图论导引》，人民邮电 出版社，2007
[3] Bela Bollobas，《现代图论》，科学出版社， 2001 中国科学院研究生教学丛书
[4] 美，Fred Buckley《图论简明教程》，清华大学 出版社，2005 李慧霸 王风芹译
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a
b
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e
f
一种可行的安排方案为：第一时间：a, d, e;第二时间：
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0.5
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例3 证明下面两图同构。
v1
v2
v6
v10 v5
v7
v8 v9
v3
v4 (a)
u1
u6 u5
u2
u8
u10
u3
u7
u9
u4
(b)
证明:作映射f : vi ↔ ui (i=1,2….10) 容易证明，对vi v j E ((a)),有f (v i vj,),,ui,uj,,E,((b)) (1 i 10, 1j 10 )
0.5
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判定图的同构是很困难的，属于NP完全问题。对于规模 不大的两个图，判定其是否同构，可以采用观察加推证的 方法。
例2 证明下面两图不同构。
u1
v1
证明:u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同。所以，
两图不同构。
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1
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e1＝(v1,v2)，e2＝(v1,v3)，e3＝(v1,v4)， e4＝(v2,v3)，e5＝(v3,v2)，e6＝(v3,v3)。
v1 e1 e2
e3 v3
v4
v2
e4
e6e510 10.5 n 00.5
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图的相关概念：
有限图：顶点集和边集都有限的图称为有限图； 平凡图：只有一个顶点的图称为平凡图； 空图：边集为空的图称为空图；
1
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图论及其应用
任课教师：杨春 数学科学学院
1
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0.6 0.4 x 0.2
《图论及其应用》
作者: 张先迪、李正良 购买地点：教材科
2
1
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n阶图：顶点数为n的图称为n阶图； (n, m) 图：顶点数为n,边数为m的图称为(n, m) 图； 边的重数：连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数； 重数大于1的边称为重边； 环：端点重合为一点的边称为环；
简单图：无环无重边的图称为简单图；其余的图称为
复合图；
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v1↔v2, u1,v1 V1, u2,v2 V2; u1v1 E1,当且仅当u2v2 E2,
且u1v1与u2v2的重数相同。称G1与G2同构，记为：
G1 G2
由定义可以得到图同构的几个必要条件：
(1) 顶点数相同；(2) 边数相同；(3) 关联边数相同的顶点 个数相同。
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顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接；其中u与v称为 该边的两个端点；
顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点； 边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点；
2、图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关系的 数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图是常用的数学 模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢化合物
w1 w2 w3
r1
r2
r3 r4 r5
(3) 最短航线问题
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用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了
求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。
例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为：
图1
图2
图1与图2均是偶图，图2是K2,3
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偶图是一种常见数学模型。
例1 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号是 xi（i=1,2,3,4,5,6)，六门课程代号是yi （i=1,2,3,4,5,6)。已知， 教师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5； 教师x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3； 教师x5能够胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。 请画出老师和课程之间的状态图。
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作业 P29—P30 3, 4, 5, 6
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Thank You !
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第一章 图的基本概念
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[5] 李尉萱，《图论》，湖南科学技术出版社，1979
[6] 美，Douglas B.West《图论导引》，机械工业出 版社，2007 李建中，骆吉洲译
[7] 杨洪，《图论常用算法选编》，中国铁道出版社， 1988
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参考文献
[1] 美，帮迪《图论及其应用》
[2] 美，Gary Chartrand《图论导引》，人民邮电 出版社，2007
[3] Bela Bollobas，《现代图论》，科学出版社， 2001 中国科学院研究生教学丛书
[4] 美，Fred Buckley《图论简明教程》，清华大学 出版社，2005 李慧霸 王风芹译
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请求出从d到c的最短路
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(4) 任务分配问题
有一个旅行团要组织一批人去旅游，其中一些人是朋友 他们要乘坐公共汽车去，而车上的位子是成对的。因此 为了让大家旅途更愉快，旅行团负责人需要将成对的朋 友安排在一起。给出一种安排方案。
由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
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例4 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
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(一)、图论课程简介
1、研究对象
图论是研究点与线组成的“图形”问题的一门科 学。属于应用数学分支.
2、发展历史 图论起源于18世纪的1736年，标志事件是“哥尼
斯堡七桥问题.
数学家欧拉被称为“图论之父”.
20世纪30年代出版第一本图论著作.
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[8] 陈树柏，《网络图论及其应用》，科学出版社， 1982
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[9] Chris Godsil，Gordon Royle 《Algebraic Graph Theory》，世界图书出版公司北京公司，2004
[10] 王朝瑞，《图论》，高等教育出版社，1983
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第一章 图的基本概念
本次课主要内容
图的概念与图论模型
(一)、图论课程简介 (二)、图的定义与图论模型 (三)、图的同构
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(2) 商业中的图论模型
商业中，经常用图来对仓库和零售店进行建模
例如：令V={w1,w2,w3,r1,r2,r3,r4,r5}代表3个仓库和5个零售点
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为：
该问题可以建立一个图论模型来解决：待考的课程可 抽象为图的顶点，连接两个顶点的边表示至少有一个学生 同时选择了这两门课程。
问题归结于在模型图中求所谓的“顶点着色方案”问题， 该问题将在第七章讨论。