§3.4.1-2定积分的应用(面积,体积)

定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念，用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。

其中，定积分的应用体积主要有以下几种情况：
1. 计算曲线围成的体积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线围成的体积，可以使用定积分来计算。

具体来说，曲线围成的体积可以表示为：
V =∫[a,b] f(x)dx
其中，a和b是曲线的两个端点，f(x)是曲线的方程。

通过对曲线围成的体积进行积分，可以得到曲线围成的体积。

2. 计算旋转体的体积：旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。

如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程，可以使用定积分来计算旋转体的体积。

具体来说，旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[a,b] r2 d A
其中，a和b是旋转轴上的两个点，r是曲线在该点处的半径，d A是曲线在该点处的微小面积。

通过对旋转体的体积进行积分，可以得到旋转体的体积。

3. 计算曲线下的面积：假设有一个曲线，其方程为y=f(x)，要求曲线下的面积，可以使用定积分来计算。

具体来说，曲线下的面积可以表示为：
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分，可以得到曲线下的面积。

定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。

它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。

定积分的计算与应用于面积与体积的计算定积分是微积分中的重要概念之一，它不仅可以用于计算函数的面积，还可以应用于计算物体的体积。

在本文中，我们将介绍定积分的计算方法，并探讨其在面积与体积计算中的应用。

一、定积分的计算方法定积分的计算方法可以通过数学积分公式进行求解。

它是对函数曲线下方某一区间的面积进行求和的过程。

计算定积分需要确定被积函数的上下限范围，并通过适当的数值方法进行近似求解。

以计算函数y=f(x)在区间[a, b]上的定积分为例，可以使用不同方法进行计算。

其中，常用的方法包括积分定义法、几何法和数字积分法。

积分定义法是定积分计算的基本方法，它通过将函数曲线下方的面积拆分为无穷多个小矩形的面积之和来进行求解。

具体求解过程可以通过Riemann和黎曼和来进行，这里不再赘述。

几何法是一种直观的计算方法，它通过将函数曲线下方的面积分割为几个几何形状（如矩形、三角形等）的面积之和来进行计算。

对于简单的几何形状，可以使用基本几何公式进行计算，对于复杂的几何形状，则需要进行适当的近似。

数字积分法是一种数值计算方法，它通过将区间[a, b]分成若干小区间，并在每个小区间内取函数值的平均来进行计算。

其中，较为常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等。

二、定积分在面积计算中的应用定积分在计算函数曲线下方的面积时发挥着重要作用。

它可以用于求解曲线与坐标轴所围成的面积，并可以通过变量变换等方法应用于不同形状的曲线。

例如，我们可以通过定积分计算圆的面积。

设函数y=f(x)为圆的上半部分，区间[a, b]为圆弧的长度，根据定积分的定义，圆的面积可表示为：S = ∫[a, b]f(x)dx其中，函数f(x)可以表示为圆的方程。

通过适当的变量变换和曲线的参数化，我们可以求解出圆的面积。

同样地，定积分可以用于计算其他几何形状的面积，如正方形、三角形、椭圆等。

只要能够将几何形状表示为函数曲线的形式，就可以利用定积分进行计算。

定积分的应用计算面积和体积定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

其中，一项常见的应用就是用定积分来计算图形的面积和物体的体积。

本文将从定积分的基本概念入手，介绍如何利用定积分来计算面积和体积。

一、定积分的基本概念定积分是积分学中的一种，它可以将函数与坐标轴之间的面积联系起来。

对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算其在某个区间[a, b]上的面积。

定积分的公式如下：∫[a,b]f(x)dx其中，∫表示积分符号，a和b是积分的下界和上界，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。

二、使用定积分计算面积使用定积分计算面积时，我们需要确定被积函数和积分区间。

一般来说，面积可以通过将函数所在的曲线图形与坐标轴所夹的区域进行分割，将其近似看作多个矩形或梯形，再对这些矩形或梯形的面积进行求和来逼近真实的面积。

例如，我们要计算函数y = f(x)在区间[a, b]上的面积，可以先将该区间分割成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

然后，在每个小区间上选择一个点(xi, yi)，用这些点构成的矩形或梯形的面积之和来近似曲线与坐标轴之间的面积。

将小区间个数无限增加，使Δx趋近于0，此时逼近的面积将趋向于真实的面积，即可利用定积分公式求得准确的面积值。

三、使用定积分计算体积定积分在计算物体的体积时同样具有重要的作用。

当一个平面图形绕某条直线旋转一周，形成一个立体图形时，我们可以使用定积分来计算该立体图形的体积。

对于一个平面图形，假设其边界可以由函数y = f(x)和y = g(x)所描述，其中f(x)表示上曲线，g(x)表示下曲线。

图形绕x轴旋转一周后，所形成的立体体积可以通过定积分进行计算。

首先，我们将x轴上的区间[a, b]进行分割，并在每个小区间上选择一个点(xi, yi)。

然后，计算曲线与x轴所形成的圆柱的体积，并对所有小区间的体积求和，即可逼近真实的体积。

当小区间数量趋近于无穷大时，利用定积分公式可以得到准确的体积值。

第十章 定积分的应用1 平面图形的面积一、直角坐标系下平面图形连续曲线()(0)y f x =≥直线,x a x b ==和x 轴所围成的曲边梯形面积为S=()bbaaf x dx ydx =⎰⎰；若()y f x =在[,]a b 上不是非负的, 则上述围成图形的面积为S=|()|||bbaaf x dx y dx =⎰⎰.一般地，1) 由上下两根连续曲线2()y f x =和1()y f x =以及直线,x a x b ==所围成平面图形面积为 21S=()()ba f x f x dx -⎰.2) 由两条曲线1()y f x =，2()y f x =围成的平面图形面积为21S=()()ba f x f x dx -⎰,其中,x a x b ==与曲线1()y f x =与2()y f x =所有交点中横坐标最小值和最大值.例 1 求曲线1, 0, 2xy x y x =-==围成的平面图形面积.例 2 求由抛物线2y x =直线230x y --=所围成的平面图形面积.设[,]a b 上的曲边梯形的曲边由方程()x t χ=，()y y t =，t αβ≤≤，()a χα=，()b χβ=. 又设()0t χ'>(())t χ↑，于是存在反函数1t=()x χ-, 则曲边方程为[]1()(()),,y y t y x x a b χ-==∈.从而,曲边梯形面积为1(())ba S y x dx χ-=⎰()'()y t t dt βαχ=⎰y dx βα=⎰例 3 求由摆线(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t a =-=->的一拱与x 轴所围成的平面图形面积.例 4 求椭圆22221x y a b+=所围成图形面积.二、极坐标下平面图形的面积设曲线C 由极坐标方程() [,]r r θθαβ=∈给出，其中()r θ在[,]αβ上连续，2βαπ-≤下求由曲线C 与两射线,θαθβ==所围成的平面图形（称之为扇形)面积.221121()21()21()2i i i n ni i i i i A r A A r A r d βαξθξθθθ==∆≈∆=∆≈⋅∆⇒=∑∑⎰例 5 求由双纽线22cos 2r a θ=所围成平面图形的面积.(35cos 20,[,][,]4444ππππθθ≥∈-或)[ 简单介绍微元法:x 的范围a≤x≤b微元 dx, ds=f(x)dx (△s ≈f(x)△x )⇒()ba S f x dx =⎰ 微元 d θ 21()2dA r d θθ=21()2A r d βαθθ=⎰ ]“化曲为直”，“以直代曲”.三、微元法若令()()xa x f t dt Φ=⎰，则当f 为连续函数时，()()x f x 'Φ=或()()d x f x dx Φ=，且()0, ()()baa b f x dx Φ=Φ=⎰.（现在把问题倒过来) 如求的量Φ是分布在某区间[,]a x 上的, 或说其是x 的函数()x Φ=Φ,[,]x a b ∈,且当x=b 时，()b Φ就是最终所求值.任取小区间[,][,]x x x a b +∆⊂，若能把Φ的微小增量∆Φ近似表示为x ∆的线性形式 ()f x x ∆Φ≈∆其中f 为某一连续函数，且0x ∆→时，()()f x x o x ∆Φ-∆=∆， 即 ()d f x dx Φ=从而只要把()ba f x dx ⎰积分出来就是所求结果.上述方法称为微元法. 使用微元法时要求：i)所求量Φ关于分布区间是代数可加的 ()f x x ∆Φ≈∆ii)微元法的关键是正确给出∆Φ的近似表达式，在一般情形下，要严格检验()f x x ∆Φ-∆是否为x ∆的高阶无穷小.2211() ()22A y x dA y dxA r dA r d θθθθ∆≈∆=∆≈∆=2. 由平行截面面积求体积一、已知平行截面面积() () ()ba a xb v A x xdv A x dx v A x dx≤≤∆≈∆=⇒=⎰祖暅原理：夫幂势相同，则积不容异.[亦可通过分割，求和取极限方法得到]例 1 由两个圆柱面222x y a +=和222x z a +=所围成立体体积.例 2 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围成立体（椭球)的体积.二、旋转体设f 为[,]a b 上的连续函数(f(x)≥0),则曲线y=f(x)绕x 轴旋转一周得到的旋转体V ，易证V 的体积为2()ba V f x dx π=⎰例 3 求圆锥体的体积公式.例 4 求圆222(),(0)x y R r r R +-≤<<绕x 轴旋转一周所得到的环状立体体积.1) 22[[rrrrV R dx R dx ππ--=--⎰⎰222) ()2rrV A x dx r R π-==⎰例 5 sin ,0y x x π=≤≤，绕x 轴（y 轴)旋转所得立体体积.220sin 2V xdx πππ==⎰1()V A y dy =⎰22()[(arcsin )(arcsin )]A y y y ππ=--3 平面曲线的弧长1、弧长的定义设平面曲线c AB =，在A,B 上取点011,,,n n A P P P P B -==构成AB 的一个分割，记作T ，11i i i i P P P P --≈，11ni i i s PP -=≈∑，11||||max i i i nT P P -≤≤=，11()ni i i s T P P -==∑.定义 1 对于曲线c 上无论怎样的分割T ，如果存在有限数s ，使0lim ()T s T s →=，那么称曲线c 是可求长的，并把极限s 定义为曲线c 的弧长.2、弧长的计算设曲线方程(),y f x a x b =≤≤, 由微元法, ds ==as ⇒=⎰进一步, 若曲线c 的方程为[](),(),,x x t y y t t αβ==∈，则ds ==s βα=⎰（提出光滑曲线概念) ,x y ''连续定义 2 设平面曲线c 由参数方程 [](),(),,x x t y y t t αβ==∈ (*)给出.若()x t ,()y t 在[],αβ上有连续导数,22()()0x t y t ''+≠,则称c 为一条光滑曲线.定理 设曲线c 由参数方程(*)给出，若c 为一条光滑曲线，则c 是可求长的，且 弧长为s βα=⎰.例 1 求摆线一拱(sin ),(1cos ),(0)x a t t y a t a =-=->一拱的弧长.（202sin 2ts a dt π=⎰）例 2 求悬链线2x xe e y -+=，从x a =-到x a =一段的弧长.若曲线c 由极坐标方程[](),,r r θθαβ=∈给出，则[]()cos ,()sin ,,x r y r θθθθθαβ==∈从而 ()()cos ()sin ,x r r θθθθθ''=- ()()sin ()cos y r r θθθθθ''=+. 故 2222()()()()x y r r θθθθ'''+=+则当()r θ'在[],αβ上连续，且()r θ与()r θ'不同时为0时，此极坐标曲线为一光滑曲线. 此时弧长公式为s βαθ=⎰.例 3 求心形线(1cos ),(0)r a a θ=+⋅>的弧长.弧长01lim ni T i s s →==∆∑, ()()()222i i i s x y ∆=∆+∆ ，1i i i x x x -∆=-，1()()()i i i i i y f x f x f x ξ-'∆=-=∆, 11n ni i i i s x ==⇒∆=∑as ⇒=⎰（f '连续)下面反过来求弧长微分dS . 考察从A 到AB 上一点(,)M x y 的弧长()s x ，则()as x =⎰()ds S x dx'⇒==ds ⇒=几何意义 ds 为s ∆的线性主要部分直线段MP 之长就和曲线MM '之长很接近（相差一个高阶无穷小). 若[](),,r r θθαβ=∈, 则s βαθ=⎰.4 旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为()y f x =，[],x a b ∈，(()0)f x ≥此段曲线绕x 轴旋转一周得到一旋转曲面.下面求其面积.[]()()S f x f x x π∆≈++∆[]2()f x y x π=+∆由于0y ∆→→(0)x ∆→(2()2(()f x y x f x x o x ππ⇒+∆-=∆2(dS f x π⇒=2(ba S f x π⇒=⎰若曲线C 由参数方程(),()x x t y y t ==，[],t αβ∈，且()0y t ≥，则曲线C 绕x 轴旋转所得的旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰.例 1 求圆222x y R +=在[][]12,,x x R R ⊂-上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.例2求内摆线33==绕x轴旋转所得旋转曲面的面积.x a t y a tcos,sin5 定积分在物理中的某些应用一、液体静压力例1如图所示为一管道的圆形闸门，半径为3米. 问水面齐及直径时, 闸门所受到的水的静压力有多大？二、引力例2一根长为l的均匀细杆，质量为M, 在其中垂线上相距细杆为a处有一质量为m的质点，试求细杆对质点的万有引力.三、功与平均功率例3一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满水，试求将全部池水抽出池外所作的功.例 4 在地面上将质量为m 的物体沿着轨线((),(),())t x t y t z t →举起，()a t b ≤≤，（t 为时间，,,x y z 为空间笛卡尔坐标) 要求在时间段[],a b 内克服重力做的功.这样所做的功只依赖于(),()r a r b ，即只依赖于物体在初始时刻和结束时刻离地球中心的距离.令()GMU r r =，从而将质量为m 的物体从半径为0r 的球面上任一点移动到半径为1r 的球面上任一点，克服重力所做的功01,01(()())r r W m U r U r =-，称()U r 为牛顿位势. 设R 为地球半径，则2()gR U r r =，2()GMg R=.现将质量为m 的物体从地球表面飞到距地心无限远的地方, 所需的功为,lim R r r W →+∞，即22,lim ()R r gR gR W W m mgR R r∞→+∞==-=. 由能量守恒定律，要求初速度0v 至少为2012mv mgR =.0v =. ——第二宇宙速度264()P。

定积分的应用公式总结定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用范围。

在实际问题中，定积分可以用于求解曲线下的面积、求解容积、质量、中心矩等问题。

接下来，我们将总结定积分的应用公式，包括面积、体积、质量、中心矩等几个重要应用。

1. 曲线下的面积定积分最常见的应用是求解曲线下的面积。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上，曲线y=f(x)与x轴所围成的面积可以通过定积分来计算。

公式为：S = ∫(a到b)f(x)dx其中S表示曲线下的面积，∫表示定积分，f(x)是函数曲线在x轴上的对应值。

2. 旋转体的体积定积分还可以用于计算旋转体的体积。

考虑一个曲线y=f(x)，在[a, b]区间上绕x轴旋转一周，所形成的旋转体体积可以通过定积分来计算。

公式为：V = π∫(a到b)f(x)^2dx其中V表示旋转体的体积，π表示圆周率。

3. 弧长定积分可以用于计算曲线的弧长。

设有曲线y=f(x)，在区间[a,b]上的弧长可以通过定积分来计算。

公式为：L = ∫(a到b)√(1+(f'(x))^2)dx其中L表示曲线的弧长，f'(x)表示f(x)的导数。

4. 质量和质心对于一条位于直角坐标系中的线密度分布曲线，其质量可以通过定积分来计算。

设密度函数为ρ(x)，曲线上的质量可以表示为：m = ∫(a到b)ρ(x)dx其中m表示曲线上的质量，ρ(x)表示密度函数。

同时，还可以通过定积分来计算曲线的质心。

曲线的质心可以通过以下公式来计算：x_c = (1/m)∫(a到b)xρ(x)dxy_c = (1/m)∫(a到b)yρ(x)dx其中x_c和y_c表示曲线的质心的坐标。

以上的公式总结了定积分的一些重要应用，包括面积、体积、弧长、质量和质心等。

在实际问题中，我们可以根据具体的问题情况，选择适当的公式来计算所需的结果。

这些公式可以帮助我们更好地理解和应用定积分的概念，解决实际问题。