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定积分在几何上的应用(面积)

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定积分在几何学上的应用研究报告

定积分在几何学上的应用研究报告

8 2a 3
2 sin2 udu
0
0
4 3a 3
8 2a 3
1 2
2
6 3a 3
第六章 定积分的应用
16
说明：Vy 也可按柱壳法求出
Vy
2a 2 xydx 2 2 a t sin t
0
0
a2 1 cost 2 dt
8 a3
2 0
t
sint
sin4 t dt 2
16 a3 2u 0
23
例 13 求阿基米德螺线 a a 0相应于0 2 一段的弧长。
解：
弧长元素为
从而，所求弧长
ds 2 2 d
a 2 2 a 2d a 1 2d
s 2 a 1 2d 0
a
2
1 2
1 2
ln
1
2
2 0
a
2
2
1 4 2
ln
2
1
4 2
第六章 定积分的应用
x t y t
给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值t1 和t2 。
Y
t 1
对应
x
a
Y a
O
bX
O
a
bX
则曲边梯形面积 A
t2
t1
t t dt
t1 对应x b
第六章 定积分的应用
5
例 求由摆线x a t sint ，y a 1 cost a 0 的一拱与x 轴所围
s b 1 y 2dx b 1 f 2 x dx
a
a
第六章 定积分的应用
20
2.曲线弧由参数方程
x y
t t
t
给出
弧长元素（即弧微分）为ds 2 t 2 t dt ，因此

定积分在几何中的应用

定积分在几何中的应用
10 40 60
变式 1：变速直线运动的物体速度为 v(t ) 1 t 2 ,ห้องสมุดไป่ตู้初 始位置为 x0 1, 求它在前 2 s 内所走的位移及 2 s 末 所在的位置.
知识要点2
如果物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动，并且物 体沿着与 F ( x) 相同方向从 x a 移动到 x b(a b), 则变力 F ( x) 所作的功 b W= F ( x )dx .

a
例 2 在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置 lm 处，求克服弹力所作的功.
o
x x
定积分在几何中的应用
例 3：直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x 与 x 轴 所围成图形为面积相等的两部分， 求 k 的值．
y
2
x
O
定积分在物理中的应用 如图：以 x 为积分变量，积分区间为 [a , b].
知识要点1
作变速直线运动的物体在时间区间 a , b 上所经过的 路程 S ，等于其速度函数 v v(t )(v(t ) 0) 在时间区 b 间 a , b 上的 定积分 ，即 S v ( t )dt

a
例 1 已知一辆汽车的速度——时间的曲线如图所示 30
求（1）汽车 10 s 行驶的路程； （2）汽车 50 s 行驶的路程； （3）汽车 1 min 行驶的路程.
A B
P
本节 知识 引入 本节 目的 与要 求
在区间 [a , b] 内任取一小区间[ x , x dx ], 功的微元数 dW F ( x )dx 所以
o a
x
x dx
F ( x)
b
x
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导

定积分几何意义求圆面积

定积分几何意义求圆面积

定积分几何意义求圆面积
圆面积的积分几何意义：
一、定义：
1. 圆面积是指圆的表面积的大小。

2. 它是指圆的周长除以2π的值。

二、概念：
1. 圆面积是指圆的表面积的大小，它可以理解为圆形表面上组成这个圆形表面的基本细胞（即每个细胞的单位长度乘以其宽度）的总和。

2. 积分几何意义：圆面积等于圆的周长除以2π的值，即A=2πR / 2π，其中A表示圆面积，R表示圆的半径。

三、计算圆面积的方法：
1. 直接计算法：直接计算圆面积的方法是一种最简单、普遍适用的方法，即A=πr²，其中r表示圆的半径。

2. 差商计算法：差商计算法是指把圆分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积，然后把所有矩形的面积总合就得到圆的面积。

3. 积分计算法：积分计算法是根据“积分几何意义”圆面积等于圆的周长除以2π的值来计算的，即A=2πR / 2π=R，其中R表示圆的半径。

四、圆面积积分几何意义的应用：
1. 圆面积积分几何意义可以用来计算圆形物体的面积，比如圆形池塘、圆形地面等。

2. 圆面积积分几何意义可以用来估计椭圆、圆弧等物体的面积。

3. 圆面积积分几何意义可以用来计算不规则多边形物体的周长和面积，比如计算一个多边形的周长除以2π的值即可得到面积。

4. 圆面积积分几何意义可以用来分析空间物体的几何关系，比如分析
边角关系等。

高中数学-定积分在几何中的应用-课件

高中数学-定积分在几何中的应用-课件

求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.

1.定积分的应用(面积)

1.定积分的应用(面积)

y = x2
A = ∫0 ( x − x 2 )dx
2 3 x 1 = x2 − = . 3 0 3 3
3 1
1
x
x+dx
求面积的一般步骤： 求面积的一般步骤： 1.作图（如果需要求出交点）. 作图（如果需要求出交点） 作图 微元法 2.用定积分表示面积 用定积分表示面积. 用定积分表示面积 公式法
2）求出一个元素（如 f ( x )dx 称为量U 的元素 ）求出一个元素（ 且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ）；
3)化 为 定 积 分 U =
∫
b
a
du
定积分在几何 几何上的应用 第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1.直角坐标系情形 直角坐标系情形
y
y = f ( x)
π
π
3
o π
6
x
3 0
6 0
= − ∫ π sin xdx + ∫ 6 sin xdx
− 3 0
π
= cos x − π + ( − cos x ) 06
3
0
π
3− 3 = 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 问题：积分变量只能选 x 吗？
例 3
相当于定积分的换元） 连续. y = ψ (t )连续 （相当于定积分的换元）
x2 y2 的面积. 例 5 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积． 倍第一象限部分面积

高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用

高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用

y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s


2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12

0

3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2

定积分的几何应用

定积分的几何应用

定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。

其中之一就是在几何学中的应用。

本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。

一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。

假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。

我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。

具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。

然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。

根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。

由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。

即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。

通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。

二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。

假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。

我们希望计算出曲线L的弧长。

与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。

具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。

然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。

根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。

同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。

即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。

通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。

三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。

当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。

1.7定积分的几何应用

1.7定积分的几何应用

2
2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组 x 0 x 1 y x 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
y xx
2
B
2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲 边 梯 形 OABC - S曲 边 梯 形 OABD
B(1，－ 1)． ∴围成图形 (阴影部分 )面积为
S＝
-2
1
(－ x2－ x＋ 2)dx 9 ＝ . 2
1 3 1 2 ＝ (－ x － x ＋ 2x) 3 2
9 答案： (1) 2
例 2 计算由曲线 y 围成的图形的面积.
2x
，直线 y
x 4 以及
y 2x
x 轴所
解:
两曲线的交点
2
|0 8
8
X型求解法
40 3
x 1 2 y
2
16 2 8
1 2
3
2

[( 4 y )
y ]d y
4
(4 y
44
1 2 1
2
y
2
2
1 6
x 4 y
y ) |0
1 6
3
4
4
40 3
Y型求解法
练习 1（例 2 变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝ 1－ x2，∴ S＝ 1 3 1 1 4 1 2 ＝ (1－ )－(－ 1＋ )＝ . -1 (1－ x )dx＝ (x－3x ) 3 3 3

定积分在几何计算中的应用

定积分在几何计算中的应用

定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。

在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。

下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。

定积分可以用来计算曲线的长度。

对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。

这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。

这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。

定积分可以用来计算曲面的面积。

对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。

这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。

这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。

定积分可以用来计算体积。

对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。

这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。

这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。

定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。

这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。

定积分在几何,物理学中的简单应用

定积分在几何,物理学中的简单应用

定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。

它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。

首先，定积分在几何学中的简单应用。

比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。

它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。

它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。

其次，定积分也可以用在物理学中。

比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。

它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。

最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。

比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。

还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。

以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。

定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。

只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。

- 1 -。

定积分的应用

定积分的应用
y f (x) g(x) 在区间[a, b]上的定 积分
b
S a [ f (x)-g(x)]dx
y
a
O
y = f (x)
bx y = g(x)
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围成的平面图形
的面积。
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围成的平面图形
的面积。
解：作出所围成的平面图形
解：在弹性限度内，拉伸（或压
缩）弹簧所需的力Ｆ（x）与弹
簧拉伸（或压缩）的长度x成正
比．
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
W
L
F(x)dx
0
L 0
kxdx
1kx2 2
|0L
1 2
kL2
作业：
课本58页练习（1）（2） 课本59页练习1,2
的面积为 （ ）
(A) 2 (C) 2 2
e
(B) 2 e (D) e 1 2
e
二、物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时 间间[a, b]内运动的路程s为
b
s a v(t)dt
例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求
汽车在这 1 min 行驶的路程。
y x
y
x2
解方程组，得交点的横坐标为x=0
和x=1, 即区间为[0，1]。于是，
平面图形的面积
A
1(x x2)dx
0
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1 6
例 2 求 y = sinx， y = cos x， x 0, x
2
所围成的平面图形的面积。

定积分的几何应用(面积和弧长)

定积分的几何应用(面积和弧长)
近似值
精确值
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
右下图所示图形面积为
O
O
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围
图形的面积 .
解: 由
得交点
O
例2. 计算抛物线
与直线
的面积 .
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
O
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
O
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
O
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
提示: 交点为
弧线段部分
直线段部分
以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分,
故以 y 为积分变量.
解：
2. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其他.
又
故在区域
答案:
O
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度之和趋向于一个确定的极限 ,
则称此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:

定积分的简单应用李楠

定积分的简单应用李楠
y y y
0
2
x
0
2
x
0
2
x
抽象概括：
一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成
的平面图形（如图1）的面积S，则
y
s = f ( x)dx - g ( x)dx.
a
y
b
b
a
y
y=f(x) s y=g(x) o a b x o a
y=f(x) s b y=g(x) x o a
x
面图形的面积
（四）总结
（1）利用定积分求所围平面图形的面积， 要利用数形结合的方法确定被积函数和积 分上、下限。 （2）当平面图形是由多条曲线围成时，要 合理分区域积分求面积。
y
y=x
s2
y= x
x
s1
0 1 2
总结：
求平面图形的面积的一般步骤：
（1）根据题意画出图形； （2）求交点的横坐标，确定积分上、下限； （3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式； （5）用微积分基本定理计算定积分，求出 结果。
练习：
1 1、求曲线y = , 直线x = 1, x = 2以及x轴所围成 x 的平面图形的面积。 2、求曲线y = e , 直线x = 1以及坐标轴所围成的平
b
s = 1dx
a
5
h(x)
g(x)
y
f(x)Biblioteka 4y b xf(x)
0 a
0 a
a
b
b
x
g(x)
s = f ( x)dx - h( x)dx
0 0
a
a
s = f ( x)dx g ( x)dx

定积分的应用(弧长和面积)

定积分的应用(弧长和面积)

R
S4
R
dx4Rarcsin x R
0 R2 x2
R0
4R 2R. 2
三、参数方程情形
若曲线是由参数方程

x (t ), y f (t),
(t
)
表示，
则弧长元素为
ds (dx)2 (dy)2 [(t)dt]2 [ f (t)dt]2
即 ds [(t)]2 [ f (t)]2 dt.
为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，即
dA 1[r()]2 d 2
A
1 2

[r()]2

d.
r r()
r()

d
d
o
x
例 8.求心形线 r a(1cos)(a0) 所围成的图形的面积 A 。
解： A2 1[a(1cos]2d 02 a2 (12coscos 2)d 0
0i1
b
f ( x)dx
a
。
上述四步中，第二步是关键。
为简便起见，省略下标 i ，用A 表示任一小区间
[ x, xdx ] 上的小曲边梯形的面积，则 AA ，取
[ x, x dx ] 的左端点 x 为 ，以点 x 处 的函数值f ( x)
为高， dx 为底的矩形面积 f ( x)dx 为A 的近似值，即 A f ( x)dx ， f ( x)dx 称为面积元素， y
S1
o
y x2
S2
x1 t
即 S(t) 4 t 3 t 2 1 , (0 t 1).
3
3
S(t)4t 2 2t2t (2t1)
令 S(t)0 ， 得 t 0 ， t 1 。 2
∵ S(0) 1 ， S(1) 1 ， S(1) 2 ，

定积分在几何上的应用

定积分在几何上的应用
0
2
a
y x2 y 2 2 1 2 b a b
4ab sin tdt ab.
2 0
2019/4/7 第六章 定积分的应用
2
o
图6-2-5
a x
8
2.极坐标情形
设由曲线 ( ) 及射线
d
()
d 、 围成一曲边扇 ( ) 形，求其面积．这里， 在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ． 1 o 面积元素 dA [ ( )]2 d x 2 图6-2-6
3
a
o
a x
旋转体的体积
V a x a
2 3
图6-2-12
2019/4/7
第六章 定积分的应用
32 3 dx a . 105
16
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y ) 、直线 y c 、 y d 及y 轴所围 成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
第六章 定积分的应用
1
b
例 1 计算由两条抛物线y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解
两曲线的交点
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1]
面积元素 dA ( x x 2 )dx
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3
R 2 2
1 2 R x dx R h. 2
23
第六章 定积分的应用
三、平面曲线的弧长
设 A、 B 是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点
y
M2
M1
A M0
M n1

6.定积分的几何应用

6.定积分的几何应用

x + dx b
x
小切线段的长 (dx )2 + (dy )2 = 1 + y′ 2 dx
′ 2 dx 弧长 s = 弧长元素 ds = 1 + y 1 + y′ 2 dx . ∫
b a
2 3 例 7 计算曲线 y = x 2 上相应于 x 从 a 到 b 3
的一段弧的长度. 的一段弧的长度
解
∵ y′ = x ,
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 倍第一象限 部分面积
A = 4A1
y= x
ρ 2 = a 2 cos 2θ
1 2 A = 4∫0 a cos2θdθ = a2 . 2
4
π
例 6 求心形线r = a (1 + cos θ )所围平面图形的 面积 (a > 0).
解
dθ
1 2 2 dA= a (1+ cos ) dθ θ 2
2π
的周长. ( 0 ≤ t ≤ 2π) 的周长
s1 = ∫ =∫
0
0
′ 2 dx 1+ y 1 + a 2 cos 2 xdx 1 + a cos xdx ,
2 2
2π
= 2∫
π
0
设椭圆的周长为 s2
s2 =
∫0
π
π
2π
(x ′ )
2
2
+ ( y ′ ) dt ,
2
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
x = r (θ ) cosθ ∵ y = r (θ ) sinθ
2 2
(α ≤ θ ≤ β )
= r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ , ∴ ds = (dx ) + (dy )

微积分 第六章 第四节 定积分的应用

微积分 第六章 第四节 定积分的应用

4ab
1
ab .
0
22
2 0
sinn
xdx
n
n
n
n
1 1
n n n n
3 2 3 2
3 4 4 5
1 2 2 3
, n为正偶数
2
, n为大于1的奇数
19
例4 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4所围成
的图形的面积. 解 两曲线的交点
y
y2 2x
(8, 4)
2
Vy 2
1 x 2x2dx .
0
o 1x
35
例12 求由曲线 y ( x 1)( x 2) 和 x 轴所围平面图
形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积.
解
Vy 2
2
x( x 1)( x 2)dx
.
1
2
y
y
a
b
12
o
xo
x
y f (x)
“套筒法”推广：
由平面图形 0 a x b, f ( x) y 0 绕 y 轴
t (t 2 x2 )dx
1
(
x2
t
2
)
dx
0
t
y
1
y = x2
[t 2 x
x3 3
]
t 0
x3 [
3
t
2
x]
1 t
4t 3 t 2 1 ， 0 t 1
3
3
t2
S2
S1
o
t1 x
S 4t 2 2t
令
2t(2t 1)
0 ，得驻点:
t
0, t
1，
2
经比较，当t 1 时两面积和最小.
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面 积 微 元
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
这种简化以后的定积分方法叫“微元法”
微元法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x
为积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
与 x 轴和曲线 y f ( x) 围成的面积是另一条平 行线与y 轴和曲线 y f (x) 围成的面积的两 倍，请求曲列线出方f(程x)所. 满足的关系式
y O
x
y x4
-2 A
选 x为积分变量 x [0,2 ] [2,8]
2
8
A 0 [ 2x ( 2x )]dx 2 [ 2x ( x 4)]dx 18.
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA
y4
y2 2
dy
y+dy
y x4
第五章 定积分及其应用
§6 定积分在几何上的应用
§5.6 定积分在几何上的应用
若能把某个量表示 成定积分,我们就可以 计算了.
一、定积分应用的微元法
问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0) 、
A
x 轴与两条直线x a 、
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi .
（4） 求极限，得A的精确值 i1
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi

b f ( x)dx
a
对以上过程进行简化:
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx，
a
a
曲边梯形的面积 A t2 (t) (t)dt. t1
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x (t )具有连续导数， y (t)连续. （相当于定积分的换元）
例5
求椭圆 x 2 a2

y2 b2

1的面积.
解
椭圆的参数方程
公式法 3.求出定积分的值.
例2
求由曲线y sin x与直线x , x
36
及x轴围成的平面图形的面积.

解
由公式得：A
6
sin x dx
0
3

sin x dx 6 sin x dx

0
3
y y=sinx

3
o x
6
0

可直接从几何
sin xdx 6 sin xdx

0
意义上得到
3

cos
x
0
3

( cos x) 6 0

3 2
3
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 积分变量只能选x 吗？
例 3 计算由曲线y2 2x 和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
y
解 两曲线的交点
y+dy4
B
y2 2x
(2,2), (8,4).
a2

(1 2cos cos2 )d
0

a
2

3 2


2 sin

1 sin 2
4
0

3 2
a2 .
总结
★微元法
★求在直角坐标系下、参数方程形 式下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于 简化积分运算）
y
y
y x
yx 1
A 0 ( x x)dx
2 1
[(1

y2 )
5 y 2 ]dy
2
x 1 y2

2
1
2 [(1
0
y 2 ) 5 y 2 ]dy
[y
4 3
1
y 3 ]02

2 3
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y


(t) (t)
b
b
由 A f ( x) dx y dx 知
一象限部分面积
y x
A 4A1

A 4 4 0
1 a2 cos 2d
2
a2.
A1
2 a2 cos 2
例 7 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20
2）设想把区间[a, b]分成 n个小区间，取其中任一小
区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区间的部分
量 F 的近似值.如果F 能近似地表示为[a, b]上的一
个连续函数在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把
f ( x)dx称为量 F 的微元且记作dF ，即
dF f ( x)dx ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 F
二、用定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x x b x
oa
y f1( x)
x
x b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A

b
a
f
(
x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
上曲线 下曲线
x b所围成。
oa
bx
b
A a f ( x)dx
面积表示为定积分的步骤Байду номын сангаас下
（1）把区间[a, b]分成n 个长度为xi 的小区间，
相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，i第
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值 Ai f (i )xi i xi
4
A dA 2
y
4
y2
y2 2x
( y 4 )dy 18.
2
2
说明:合理选择积分变量会使计算简单.
一般地:
y d y+dy y
c
o
x ( y)
x
y d
y+dy y
c o
x 2( y)
x 1( y)
x
d
A c ( y)dy
d
c xdy
d
A c [1 ( y) 2 ( y)]dy
右曲线 左曲线
例4 求抛物线x 5 y2和x 1 y2所围成的
平面图形的面积.
y
解 如图求得交点为
B1
(
5 4
,
1 2
)和B2
(
5 4
,
1 2
)
取y为积分变量
y
[
1 2
,
1] 2
1
x 5y2
B1
oA
B2
x
s
图形的面积.
解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积微元 dA ( x x2 )dx
A

1
0 (
x

x2 )dx

2 3
3
x2

x3 3
1 0

1. 3
x
可直接由公式得到
x+dx
求面积的一般步骤：
1.作图求交点. 微元法 2.用定积分表示面积.
o
x
ye
e
A ln ydy
y ex
1
o
x
y y 2x 3
y
y1
y x2
o
x
A 3 (2x 3 x2 )dx 1
y 2x2 y x2
o
x1
y
A 0 (
y
)dy 2
思考题
设曲线 y f ( x)过原点及点(2,3) ，且 f ( x)
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线

r ( )
d
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
2
曲边扇形的面积为:
o

x
A 1[ ( )]2d . 2
圆扇形的面积为A 1 r 2
2
例 6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第
f ( x)在[a, b]上有正有负.
1. f ( x)＞0时 dA f ( x)dx 2. f ( x)＜0时
y
y f (x)
x oax
dA f ( x) dx
x+dx
总之 dA f ( x) dx
b
b
A a f ( x) dx a y dx
x+dx bx
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
b
(3)F a f ( x)dx
两边积分
说明：当所求量 F 符合下列条件
（1）F 是与一个变量x 的变化区间a, b 有关