42平行线分线段成比例2平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。

推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

定理定义三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

这一定理被称为"平行线分线段成比例定理"。

如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB:BC=DE:EF;AB:AC=DE:DF;BC:AC=EF:DF。

也可以说AB:DE=BC:EF;AB:DE=AC:DF;BC:EF=AC:DF。

上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。

事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

定理证明设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点。

连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得:AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF定理推论过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

•平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。

推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

定理推论:①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

•证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。

八年级下册——第九章《图形的相似》第二节《平行线分线段成比例》教学设计课标要求：掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”．学习目标：1、探索并掌握基本事实“平行线分线段成比例”及其推论．2、经历上述探究过程，体会由特殊到一般的归纳推理的思想与方法．3、通过交流合作，体会到其重要性，感悟几何价值，培养良好的学习习惯．教材分析：本节内容是八年级下册第九章第二节，是2011版新课标新增内容，按照《标准》规定，将“平行线分线段成比例”内容作为基本事实，它是证明相似三角形判定定理的基础．在学习平行线分线段成比例时，教材呈现的顺序是：特殊→一般→特殊．具体来说，教材首先借助方格纸这一工具，引导学生通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实；然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中），得到它的一个推论，从而为后面证明相似三角形判定作准备．由于基本事实不需要推理证明，所以本节内容在学生通过一系列的探索活动，直观归纳出结论即可，所以重点就是能找出对应线段，掌握“平行线分线段成比例”及推论，并能简单应用．学情分析：由于学生通过对相交线、平行线、三角形、四边形（主要是平行四边形）等图形的学习，已经积累了一定的数学活动经验，几何直观与推理能力都得到了一定的培养，而通过对前面两课时的学习，对相似图形有了直观的印象，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系，从而认识了线段的比及成比例线段，通过方格纸的直观性，合作探究，了解了合比性质、等比性质，并通过对其进行证明，发展了学生的逻辑推理的能力，为后面相似的学习奠定了良好的基础，而“平行线分线段成比例”正好是建立在成比例线段基础上来学习的．所以本节课的难点就是如何理解对应线段成比例及其变式应用．评价设计：1．通过学生动手操作，自主思考及课堂展示环节二三，检测目标1的达成。

2．通过环节二、三、四检测目标2的达成。

14.2平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理： 三条_________截两条直线， 所得的________线段的比________。

如下图,如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=。

2. 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）,所得的_______线段的比_________。

如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3。

平行的判定定理: 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例,那么这条直线 于三角形的第三边。

如上图，如果有BC DEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长.【例2】 如图,已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =,求证：111c a b=+。

【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=.【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论。

【例3】 如图,在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，,过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，,求EF 的长。

【巩固】（上海市数学竞赛题）如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥,AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ,CE 交DF 于Q ,求PQ 的长。

l3l 2l 1F E D C B AA B C DE E D C B AEDCBAFEDCBAFEDCBAFE DCBAOFEDCBAQPF E D CBA2专题二、定理及推论与中点有关的问题（1)如图（1)，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点,且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD =_______。