实验杨氏模量的测定(梁弯曲法)

弯曲法测定杨氏模量一、实验目的1.学习用弯曲法测量金属的杨氏模量。

2.学习用读数显微镜法测量微小位移。

3.掌握用最小二乘法及逐差法处理数据。

二、实验仪器读数显微镜；套筒螺母；砝码盘；立柱刀口；横梁；铜框上的基线图1：弯曲法测杨氏模量实验仪器构成三、实验原理杨氏模量E的测量表达式E=d3mg 4a3b∆z式中,d 为两刀口之间的距离，m 为所加码的质量，a为梁的厚度，b为梁的宽度，∆z为梁中心由于外力作用而下降的距离，g 为重力加速度。

四、实验内容和步骤(一)实验仪器预调整1.调节显微镜的高度。

在码盘上加 20g 后使镜简轴线和铜上的基线等高。

2.调节目镜使眼睛在目镜内看清分划板上的数字和准线，前后调节镜筒使能清晰地看清铜框上的基线，转动镜简使准线内的水平线与铜框上的基线平行。

(二)记录弯曲数据1.当砝码盘上为初始负载的情况下，转动读数鼓轮使目镜视场中的水平准线和铜框上的基线重合，记录显微镜上的初始读数。

2.在初始负载20g的基础上向砝码盘上逐次加10g的砝码，记录数据。

(三)测量黄铜的杨氏模量1.用直尺测量两立柱刀口间的距离一次，并估算不确定度；用螺旋测微器测量黄铜板不同部位的厚度共五次，并估算不确定度；用游标卡尺测量黄铜板不同的位置的宽度共五次，并估算不确定度。

2.重复(二)中的步骤，向砝码盘中逐次加10g的砝码，测出相应的8个值，用同样的方法测量并记录黄铜板的弯曲记录。

3.用逐差法处理数据，计算在40g重力下的黄铜板中心下降的距离，并计算黄铜的杨氏模量E及其误差。

五、数据处理d=230mm,a=0.8mm,b=23.34mm=130GPaE=d3mg4a3b∆z六、实验结论和分析可以根据实验结果，分析样品的结构特性。

杨氏模量是描述材料刚度和弹性特性的重要参数，对于材料的设计和性能评估具有重要意义。

需要注意的是，弯曲法测定杨氏模量是一种近似方法，实验结果可能受到多种因素的影响。

因此，在进行实验结论和分析时，应充分考虑实验条件、样品准备和测量误差等因素，以得出准确和可靠的结论。

实验6 霍尔传感器测杨氏模量杨氏模量是描述固体材料抵抗形变能力的重要物理量，在工程上作为选择材料的依据之一，是工程技术中常用的参数。

利用霍尔位置传感器测量微小位移，可以改进传统粱弯曲法实验中的测量方法，使古老的实验又增添新的技术内容。

而霍尔元件及集成霍尔传感器具有尺寸小、外围电路简单、频响宽、使用寿命长，特别是抗干扰能力强等特点，近年来被广泛应用于物理量的测量、自动控制及信息处理等领域。

【实验目的】1．了解霍尔位置传感器的结构原理、特性及使用方法。

2．学习掌握粱弯曲法测量金属板的杨氏弹性模量。

3．学会确定灵敏度的方法，并确定仪器的灵敏度。

4．掌握逐差法处理数据。

【实验仪器】霍尔位置传感器、霍尔位置传感器输出信号测量仪、游标卡尺、螺旋测微器。

【实验原理】霍尔传感器置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场的方向通入电流I ，则会产生霍尔效应，即在与这二者相互垂直的方向上将产生霍尔电势：IB K U H H = (5.2.1)其中H K 为霍尔传感器的灵敏度，单位为T mA mV ⋅。

如果保持通入霍尔元件的电流I 不变，而使其在一均匀梯度的磁场中移动，则输出的霍尔电势的变化量为：z dzdBIK U H H ∆=∆ (5.2.2) 其中：z ∆为位移量；dzdB为磁感应强度B 沿位移方向的梯度，为常数。

为了实现上述均匀梯度磁场，选用两块相同的磁铁。

磁铁平行相对而放，即N 极相对放置。

两磁铁之间的空隙内放入霍尔元件，并使此元件平行于磁铁，且与两磁铁的间距相等，即霍尔元件放置两磁铁空隙的中心，如图6.1所示。

若间隙中心截面的中心点A 的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时输出的霍尔电势应为零。

当霍尔元件偏离中心沿Z 轴发生位移，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就有相应电势输出，其大小可由数字电压表读出。

一般地，将霍尔电势为零时元件所处的位置作为位移参考点。

霍尔电势与位移量之间存在一一对应的关系，当位移量较小时（小于2mm ），对应关系具有良好的线性，如图6.2所示。

实验八(b ) 杨氏弹性模量的测量（用弯曲法） 实验目的1．学会使用梁的弯曲法测定杨氏弹性模量。

2．熟悉用读数显微镜测量微小长度变化的方法。

实验仪器梁的弯曲实验仪，螺旋测微器，游标卡尺，米尺，读数显微镜（或测高仪），砝码。

实验原理设有效长度为l 厚度为h 宽为a 的均匀矩形梁，置在一对平行的刀口上，在矩形梁的中点竖直向下作用一个力F 如图2－8b －1所示，在弹性限度内，梁中点下垂量λ（挠度），在λ<<1时，梁的杨氏模量为 334ah Fl E λ= （2－8b －1）本实验通过测F 、l 、a 、h 、λ而测量E ，由于λ很小，用读数显微镜测出不同F 下的λ的变化值来求E 。

实验内容1．使用梁的弯曲法测定金属梁的杨氏模量（1）将待测材料安放在仪器刀口上，套上金属框架并使其刀刃恰好在仪器刀口中间，框架的下面挂上砝码盘；（2）调读数显微镜的上下位置，使望远镜的轴线对正金属框架上的小窗，调节显微镜的目镜看清十字线，前后移动显微镜，直到从望远镜中看到清楚的梁的边缘，再调整显微镜中十字线与梁的某一边重合，并消除视差；（3）从显微镜中读出初始位置r 0 ；（4）在砝码托盘上加一个砝码记下位置。

这样顺次增加200g 砝码，记下相应的位置（注意在改变砝码时，不要让砝码盘歪斜）；（5）顺次将砝码取下，记下相应的位置；（6）用游标卡尺测a ，用千分尺测h ，用米尺测l 。

数据处理1．使用逐差法求挠度λ记录l 、a 、h 的测量数值及误差。

2．计算E 值（1）将l 、a 、h 、λ代入公式（2－8b －1）可以求出E ，并表示成E E E ∆±=的形式。

（2）用作图的方法求出E 的数值。

使用坐标纸，以λ为横坐标，以F 为纵坐标，作F ～λ图，应为一直线，其斜率为334l Eah k = （2－8b －2） 从图上求出k ，则 334aEhkl E = （2－8b －3）思考题1．采用光杠杆和望远镜等组成的测量系统测量λ，应如何安装仪器，简要写出实验步骤。

实验 杨氏模量的测定(梁弯曲法)【实验目的】用梁的弯曲法测定金属的杨氏模量。

【仪器用具】攸英装置，光杠杆，望远镜及直尺，螺旋测微计，游标卡尺，米尺，千分表。

【实验原理】将厚为a 、宽为b 的金属棒放在相距为l 的二刀刃上（图1），在棒上二刀刃的中点处挂上质量为m 的砝码，棒被压弯，设挂砝码处下降λ，称此λ为弛垂度，这时棒材的杨氏模量λb a mgl E 334= . （1） 下面推导上式。

图（2）为沿棒方向的纵断面的一部分。

在相距dx 的21O O 二点上的横断面，在棒弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角度ϕd 。

显然在棒弯曲后，棒的下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而在棒的中间有一薄层虽然弯曲但长度不变，称为中间层。

计算与中间层相距为y 、厚dy 、形变前长为dx 的一段，弯曲后伸长了ϕyd ，它受到的拉力为dF ，根据胡克定律有dxyd E dS dF ϕ=. 式中dS 表示形变层的横截面积，即bdy dS =。

于是y d y dxd EbdF ϕ=. 此力对中间层的转矩为dM ，即 dy y dx d EbdM 2ϕ=. 而整个横断面的转矩M 应是dxd b Ea dy y dx d Eb M a ϕϕ32021212==⎰ . （2） 如果将棒的中点C 固定,在中点两侧各为2l 处分别施以向上的力mg 21(图3)，则棒的弯曲情况当和图1所示的完全相同。

棒上距中点C 为x 、长为dx 的一段，由于弯曲产生的下降λd 等于ϕλd x l d )2(-= （3） 当棒平衡时，由外力mg 21对该处产生的力距)2(21x l mg -应当等于由式（2）求出的转距M ，即 dxd b Ea x l mg ϕ3121)2(21=-. 由此式求出ϕd 代入式(3)中并积分,可求出弛垂度bEa mgl dx x l b Ea mg 33210234)2(6=-=⎰λ, (4) 即 λb a m g l E 334=. (1)【仪器介绍】攸英装置如图4所示，在二支架上设置互相平的钢制刀刃，其上放置待测棒和辅助棒。

弯曲法测量杨氏模量实验心得刚开始，老师给我们讲了一个道理：当两根平行的长方体放在一起时，会发生什么？同学们都不知所措。

但我有一点头绪，应该把他们叠加在一起就可以测量出杨氏模量来吧！大家都兴奋地讨论着怎样去做。

我想：其中肯定会存在一些小问题和困难。

只要我努力克服它，相信成功一定属于自己的！老师叫我拿几条木板去弯曲测量它的硬度。

我从小组里借来几块木板，然后带到了操场上，经过一番仔细地打磨之后，变得光滑无比。

我轻而易举地就将它们完美结合在了一起，紧接着我按照老师教的方法进行了第二步、第三步……第七步。

最后，一个重要的一步——画图。

我终于绘制好了整个装置图。

随后，老师给我们演示了一遍，并且亲身试验了一下，果真很灵敏。

虽然现在已经五月份了，太阳高高挂在天空上，但老师还是坚持每日为我们演示，真让人敬佩啊！老师说我们明白了它的原理后就可以用它测量我们需要的物品的硬度了。

于是，我迫不及待地跑回了教室，再一次演练了整个实验过程，又发现了许多新的问题。

例如：有些人的手会不听使唤，或者木棍太粗导致很费劲儿；木棍与手掌摩擦产生的热气影响了我们的精确性等等……但总的来说，没有遇见特别严峻的考验，也没有失败。

时间飞逝，转眼间，两周过去了，两次实验就快圆满结束了。

我既兴奋又担心，因为怕测量出错误。

随着最后一声“叮”的清脆铃声，我感觉像坐过山车似的刺激极了。

不仅没有损坏物品，而且测量准确率达到100%，我和其他小组成员顿时欢呼雀跃，激动万分。

通过这次实验，我们懂得了物理学习任何事情都要脚踏实地，不能浮躁。

这次实验我们是用木棒做的。

木材质软，受压后容易断裂。

因此要采取恰当的方式对它施加外力，才能顺利完成整个实验。

一旦不注意就会引发危险。

因此，实验的时候一定要集中注意力。

实验六 杨氏模量测定1、拉伸法测量金属丝杨氏弹性模量一、实验目的1．掌握用光杠杆测量微小长度的原理和方法，测量金属丝的杨氏模量。

2．训练正确调整测量系统的能力。

3．学习一种处理实验数据的方法——逐差法。

二、实验原理1. 杨氏模量固体在外力作用下都会发生形变，同外力与形变相关的两个物理量应力与应变之间的关系一般较为复杂。

由胡克定律可知，在弹性限度内，钢丝的应力与应变成正比，比例系数 Y 称为杨氏模量；杨氏模量描述材料抵抗弹性形变能力的大小，与材料的结构、化学成分及制造方法有关。

杨氏模量是工程技术中常用的力学参数。

设有一根长为L ，横截面积为S 的钢丝，在轴向力F 的作用下，形变是轴向伸缩，且为△L,在弹性限度内，胁强F S 和胁变L L Δ成正比，既F Y S LL Δ= （1） 式中比例系数Y 称为该固体的杨氏模量。

在国际单位中，它的单位是牛顿/，记为。

是用一般长度量具不易测准的微小量，本实验用光杠杆法对其进行测量。

2米2−Nm L Δ设实验中所用钢丝直径为d ，则241d S π=，将此公式代入上式整理以后得24FLY d Lπ=Δ （2） 上式表明，对于长度L ，直径d 和所加外力F 相同的情况下，杨氏模量Y 大的金属丝的伸长量L Δ小。

因而，杨氏模量表达了金属材料抵抗外力产生拉伸(或压缩)形变的能力。

2.光杠杆原理如图1，光杠杆是一个支架，前两脚与镜面平行，后脚会随金属丝的伸长而上升或下降。

由三角函数理论可知，在θ很小时有tg θ≈θ、tg2θ≈2θ，于是根据图示几何关系可得图1将(3)式代入(2)式有： 28FLDY d l xπ=Δ将F ＝mg 代入上式，得出用伸长法测金属的杨氏模量Y 的公式为三、实验仪器杨氏模量仪（带光杠杆、望远镜和标尺），1kg 砝码若干，米尺，游标卡尺，千分尺，试样为1m 左右的钢丝。

图2所示为杨氏模量装置，待测钢丝由上夹具固定在立柱的顶端，下端用圆柱活动夹具头夹紧，圆柱形夹具穿过固定平台的圆孔，能随金属丝的伸缩而上下移动，其下端挂有砝码挂钩。

弯曲法测量横梁的杨氏模量【实验目的】（1）熟悉霍尔位置传感器的特性；（2）弯曲法测量黄铜的杨氏模量；（3）测黄铜杨氏模量的同时，对霍尔位置传感器定标；（4）用霍尔位置传感器测量可锻铸铁的杨氏模量。

【实验原理】（1）霍尔位置传感器霍尔元件置于磁感应强度为的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流，则与这二者相垂直的方向上将产生霍尔电势差：（1）（1）式中为元件的霍尔灵敏度。

如果保持霍尔元件的电流不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为：（2）（2）式中为位移量，此式说明若为常数时，与成正比。

为实现均匀梯度的磁场，可以如图1所示，两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即极与极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。

间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。

磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应影响，提高测量精确度。

若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。

当霍尔元件偏离中心沿轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出，其大小可以用数字电压表测量。

由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（），这一对应关系具有良好的线性。

（2）杨氏模量杨氏模量测定仪主体装置如图2所示,在横梁弯曲的情况下，杨氏模量可以用下式表示：（3）其中：为两刀口之间的距离，为所加砝码的质量，为梁的厚度，为梁的宽度，为梁中心由于外力作用而下降的距离，为重力加速度。

上面公式的具体推导见附录。

【实验仪器】（1）霍尔位置传感器测杨氏模量装置一台（底座固定箱、读数显微镜、95型集成霍尔位置传感器、磁铁两块等）；（2）霍尔位置传感器输出信号测量仪一台（包括直流数字电压表）。

其中：1.铜刀口上的基线 2.读数显微镜 3.刀口 4.横梁 5.铜杠杆（顶端装有型集成霍尔传感器） 6.磁铁盒 7.磁铁（极相对放置） 8.调节架 9砝码【实验过程】1．基本内容：测量黄铜样品的杨氏模量和霍尔位置传感器的定标。

杨氏模量的测量实验目的与要求1. 掌握伸长法和弯曲法测杨氏模量的原理和实验方法；2. 掌握卷尺、千分尺、游标卡尺和读数显微镜等长度测量仪器的使用方法；3. 掌握不确定度的计算。

4. 掌握数据处理方法及实验误差分析。

实验原理根据虎克定律，固体材料的伸缩形变正比于拉压外力的大小，其比例系数即为材料的杨氏模量。

测出材料在不同拉压外力作用下的伸缩形变，即可求出其杨氏模量。

杨氏模量杨氏模量是弹性模量的一种，若长为l ，截面积为S 的均匀金属丝或棒，在其长度方向上受到的作用力F 而伸长l ∆，那么根据虎克定路：在弹性限度内，协强F/S 与协变l l /∆成正比，即：ll E S F ∆⋅= 其中的比例系数E 即为该金属材料的杨氏模量，那么，lS FlE ∆=因为F ，S ，以及l 都是比较容易测量的量。

由于金属的杨氏模量一般都比较大，所以引起的长度变化比较微小，很难用普通的测量长度的仪器测准。

在验中测量钢丝的杨氏模量，其截面为圆形，其直径为时，相应的截面积2DS π=，作用力F=mg 金属丝的产生的微小伸长量为l ∆，无法用一般的长度测量仪器测量，因此实验中用光杠杆法进行测量，测量公式：h Bbl ∆=∆2 于是可得实验中的杨氏模量测量公式：hb D Blmg E ∆=28πh ∆为望远镜中观察到的刻度的变化。

不确定度公式由计算公式hb D BlmgE ∆=28π，两边取微分，然后将微分换成不确定度，求平方和的平方根，得到杨氏模量的不确定公式d222222)()2()()()()()1121111(h u D ub u B u l u m u E u h d h dD D db b dB B dl l dm m E dE h D b B l m E ∆+++++=⇒∆∆+++++⋅=∆实验装置各测量仪器的不确定度限值： 千分尺 a = 0.004mm 卷尺 a = 1mm读数显微镜 a = 0.02mmFD-HY-MT 型霍尔位置传感器杨氏模量实验仪——复旦天欣仪器厂 千分尺（0–25mm ）——上海量具刀具厂 游标卡尺 （0–150mm ）—上海量具刀具厂 不锈钢直尺 （0–300mm ）—上海量具刀具厂 黄铜片和人造骨（PEEK ）–复旦天欣仪器厂 照明灯实验内容一、伸长法测量杨氏模量1. 仪器的调节。

霍尔位置传感器法杨氏模量的测定通过霍尔位置传感器法对固体材料杨氏模量的测量实验，可以学习和掌握基本长度和微小位移量测量的方法和手段，提高学生的实验技能。

该实验是在弯曲法测量固体材料杨氏模量的基础上，加装霍尔位置传感器而成的。

通过霍尔位置传感器的输出电压与位移量线性关系的定标和微小位移量的测量，有利于联系科研和生产实际，使学生了解和掌握微小位移的非电量电测新方法。

本实验对经典实验装置和方法进行了改进，不仅保留了原有实验的内容，还增加了霍尔位置传感器的结构、原理、特性及使用方法的了解，将先进科技成果应用到教学实验中，扩大了学生的知识面，是经典实验教学现代化的一个范例。

弯曲法测金属杨氏模量实验仪的特点是待测金属薄板只须受较小的力F ，便可产生较大的形变Z ∆，而且本仪器体积小、重量轻、测量结果准确度高，本仪器杨氏模量实际测量误差小于3%。

【实验目的】（1）熟悉霍尔位置传感器的特性；（2）弯曲法测量黄铜的杨氏模量；（3）测黄铜杨氏模量的同时，对霍尔位置传感器定标；（4）用霍尔位置传感器测量可锻铸铁的杨氏模量。

【实验原理】（1）霍尔位置传感器霍尔元件置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I ，则与这二者 相垂直的方向上将产生霍尔电势差H U ：B I K U H ⋅⋅= （1）（1）式中K 为元件的霍尔灵敏度。

如果保持霍尔元件的电流I 不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为：Z dZdB I K U H ∆⋅⋅⋅=∆ （2） （2）式中Z ∆为位移量，此式说明若dZ dB 为常数时，H U ∆与Z ∆成正比。

为实现均匀梯度的磁场，可以如图1所示，两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即N 极与N 极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。

间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。

3.5弯梁法测量杨氏模量实验目的1．学习用弯曲法测量金属的杨氏模量。

2．了解和使用霍尔位置传感器。

3．学习微位移的测量方法。

仪器用具霍尔位置传感器杨氏模量装置（包括读数显微镜、95A 型集成霍尔传感器等），霍尔位置传感器输出信号测量仪（数字电压表）。

实验原理在弹性限度内，物体在长度方向单位横截面积所受的力/F S 称为应力，物体在长度方向产生的相对形变/L L ∆称为应变，由胡克定律可知，这二者是成正比的，即F L E S L∆= （3.5-1） 其比例系数E 称做杨氏弹性模量，即//F S E L L=∆ （3.5-2） 杨氏模量是描述固体材料在线度方向受力后，抵抗形变的能力的重要物理量。

它与材料的物质结构、化学结构及其加工制作方法等自身性质有关，与材料的几何形状和所受外力的大小无关，是工程设计中机械构件选材的重要参数和依据。

测量杨氏模量的常用方法有拉伸法、弯曲法和振动法等。

本实验采用弯曲法测量金属的杨氏模量，运用霍尔位置传感器法测量微位移。

一．用弯曲法测量金属的杨氏模量。

将厚为a 、宽为b 的金属板放在相距为d 的二刀口上（图3.5-1），在金属板上二刀口的中点处挂上质量为m 的砝码，板被压弯，设挂砝码处下降Z ∆，这时板材的杨氏模量334d mg E a b Z=∆ （3.5-3） 下面推导式(3.5-3)。

图3.5-2为沿金属板方向的纵断面的一部分。

在相距dx 的O 1O 2二点上的横断面，在金属板弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角d ϕ。

显然，在金属板弯曲后，其下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而在金属板的中间的一薄层虽弯曲但长度不变，称为中间层。

计算与中间层相距为y 、厚dy 、形变前长为dx 的一段，弯曲后伸长了yd ϕ，它受到的拉力为dF ，根据胡克定律有dF yd E dS dxϕ= 式中，dS 表示形变层的横截面积，即dS bdy =，于是d dF Eb ydy dxϕ= 此力对中间层的转矩为dM ，即2d dM Eby dy dxϕ= 而整个横断面的转矩M 应是 22301212a d d M Eb y dy Ea b dx dxϕϕ==⎰ （3.5-4）层图3.5-1 图3.5-2如果将金属板的中点C 固定，在中点两侧各为2d 处分别施以向上的力12mg （图3.5-3），则金属板的弯曲情况应当和图3.5-1所示的完全相同。

杨氏模量测定（横梁弯曲法）一、实验目的1. 学习用弯曲法测量金属的杨氏模量2. 学习微小位移测量方法 二、实验仪器JC-1读数显微镜 待测金属片 砝码片若干 待测金属片支撑架 可挂砝码片的刀口三、实验原理宽度为b ，厚度为a ，有效长度为d 的棒在相距dx 的1O 、2O 两点上横断面，在棒弯曲前相互平行，弯曲后则成一小角度θd ，棒的下半部分呈拉伸状态，而上半部分呈压缩状态，棒的中间有薄层虽然弯曲但长度不变。

现在来计算一下与中间层相距为y ，厚度为dy ，形变前长为dx 的一段，弯曲后伸长了θyd ，由胡克定律可计算它所到的拉力dF ：ydy dx d Eb dF bdy dS dx yd E dS dF θθ=⇒⎪⎭⎪⎬⎫== 对中心薄层所产生的力矩dy y dxd EbdM 2θ= 整个横断面产生力矩为：dxd b Ea y dx d Eb dy y dxd EbM a a a θθθ32/032/2/212132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰- 如果使得棒弯曲的外力作用在棒有效长度的中点上，那么棒的两端分别施加mg 21，才能使棒平衡。

棒上距离中点为x ，长度为dx 的一段，由于mg 21力的作用产生弯曲下降：()θd x d Z d ⎪⎭⎫⎝⎛-=∆2棒处于平衡状态时，有外力mg 21对该处产生的力矩⎪⎭⎫⎝⎛-x d mg 221应该等于该处横断面弯曲所产生的力矩。

dx x d b Ea mg d dx d b Ea x d mg ⎪⎭⎫⎝⎛-=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2612122133θθ bEa mgd X b Ea mg dX X b Ea mg x d d x d b Ea mg Z d dd 332033202320234366226=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆⎰⎰上式整理可得：Zb a mgd E ∆=334因此只要测定外力mg 使金属片弯曲伸长量Z ∆，金属片的有效长度d ，宽度b ，厚度a 就可以测出金属片的杨氏模量。

杨⽒模量杨⽒模量的测量实验⽬的与要求1. 掌握伸长法和弯曲法测杨⽒模量的原理和实验⽅法；2. 掌握卷尺、千分尺、游标卡尺和读数显微镜等长度测量仪器的使⽤⽅法；3. 掌握不确定度的计算。

4. 掌握数据处理⽅法及实验误差分析。

实验原理根据虎克定律，固体材料的伸缩形变正⽐于拉压外⼒的⼤⼩，其⽐例系数即为材料的杨⽒模量。

测出材料在不同拉压外⼒作⽤下的伸缩形变，即可求出其杨⽒模量。

杨⽒模量杨⽒模量是弹性模量的⼀种，若长为l ，截⾯积为S 的均匀⾦属丝或棒，在其长度⽅向上受到的作⽤⼒F ⽽伸长l ?，那么根据虎克定路：在弹性限度内，协强F/S 与协变l l /?成正⽐，即：ll E S F ??= 其中的⽐例系数E 即为该⾦属材料的杨⽒模量，那么，lS FlE ?=因为F ，S ，以及l 都是⽐较容易测量的量。

由于⾦属的杨⽒模量⼀般都⽐较⼤，所以引起的长度变化⽐较微⼩，很难⽤普通的测量长度的仪器测准。

在验中测量钢丝的杨⽒模量，其截⾯为圆形，其直径为时，相应的截⾯积42D S π=，作⽤⼒F=mg ⾦属丝的产⽣的微⼩伸长量为l ?，⽆法⽤⼀般的长度测量仪器测量，因此实验中⽤光杠杆法进⾏测量，测量公式：h Bbl ?=2 于是可得实验中的杨⽒模量测量公式：hb D BlmgE ?=28πh ?为望远镜中观察到的刻度的变化。

不确定度公式E ?=28π，两边取微分，然后将微分换成不确定度，求平⽅和的平⽅根，得到杨⽒模量的不确定公式d222222)()2()()()()()1121111(h u D ub u B u l u m u E u h d h dD D db b dB B dl l dm m E dE h D b B l m E ?+++++=+++++?=?实验装置各测量仪器的不确定度限值：千分尺 a = 0.004mm 卷尺 a = 1mm读数显微镜 a = 0.02mmFD-HY-MT 型霍尔位置传感器杨⽒模量实验仪——复旦天欣仪器⼚千分尺（0–25mm ）——上海量具⼑具⼚游标卡尺（0–150mm ）—上海量具⼑具⼚不锈钢直尺（0–300mm ）—上海量具⼑具⼚黄铜⽚和⼈造⾻（PEEK ）–复旦天欣仪器⼚照明灯实验内容⼀、伸长法测量杨⽒模量1. 仪器的调节。

霍耳位置传感器法测杨氏模量一、实验内容：1.了解霍耳效应及霍耳位置传感器的原理2.学会使用霍耳位置传感器法测杨氏模量二、实验仪器：杨氏模量测试仪、千分尺、游标卡尺三、实验原理：1．霍耳元件置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I ，则与这二者平面垂直的方向上产生霍耳电势差：B I K U H ⋅⋅= （1）上式中K 为元件的霍耳灵敏度。

如果保持霍耳元件的电流I 不变，而使其在一均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍耳电势差变化量为： Z dZdB I K UH∆⋅⋅⋅=∆ （2）上式中Z ∆为位移量，此式说明若dZdB 为常数时，U ∆与Z ∆成正比。

2．一段固体棒，在其两端沿轴发现施加大小相等、方向相反的外力F ，其长度L 发生改变L ∆，杨氏模量测试仪以S 表示横截面面积，称F/S 为胁强，相对长变L ∆/L 为胁变。

在弹性限度内，由胡克定律有：LL E S F ∆⋅=E 称为杨氏模量，其数值与材料性质有关。

在横梁受力弯曲的情况下，杨氏模量E 得测量表达式为： Zb a MgdE ∆⋅⋅⋅=334 （3）其中：d 为两刀口之间的距离；M 为所加砝码的质量；a 为梁的厚度；b 为梁的宽度；Z ∆为梁中心由于外力作用而下降的距离；g 为重力加速度。

四、实验步骤：1．调节三维调节架的上下前后位置的调节螺丝，使传感器探测元件处于磁铁中间位置。

2．用水准器观察是否在平衡位置，若偏离可用底座螺丝调节到水平位置。

3．调节霍耳位置传感器的毫伏表。

磁铁盒可上下调节调节螺丝使磁铁上下移动，当毫伏表读数值很小时，停止调节并固定螺丝，最后调节零电位器使毫伏表读数为零。

4．调节读数显微镜，使眼睛观察十字线及分划板刻度线和数字清晰。

然后移动读数显微镜前后位置，使能清晰看到铜刀上的基线。

转动读数显微镜的鼓轮使刀口架上的基线与读数显微镜内十字刻度线重合，记下初始读数值。

5．逐次增加砝码，每次增加10.00g ，相应从读数显微镜读出梁中心的位置i Z （mm ）及毫伏表的读数i U （mv ）。

测定金属的杨氏模量实验日期：2014年3月4日星期二下午姓名：一、CCD成像测定杨氏模量：实验目的：（1）用金属丝的伸长测定杨氏模量；（2）用CCD成像系统测量微小长度变化；（3）用逐差法、作图法和最小二乘法处理数据。

实验仪器：测定杨氏模量专用支架，显微镜，CCD CAMERA 型号WAT-308A DC+12V（CCD摄像机，监视器），米尺（带有卡口），螺旋测微器（分度0.01mm，量程0-25mm），电子天平（精度0.01g）实验原理：（1）由胡克定律我们知道在弹性限度内：，其中是应力，E为杨氏模量，为应变。

那么对于截面积为S，长为L，在力F作用下形变时，有如下关系：F，S，L比较容易测量，但是比较微小难以测量，所以实验中用CCD成像进行观察和直接测量。

则由此可以测定杨氏模量E。

（2）CCD与主体实验装置如右图所示：实验中先使用显微镜M把确定金属丝下端所挂圆柱体上的细横线放大，同时通过不随金属丝伸长而移动的M内部分划板上的刻度线作为刻线高低的高度标准。

然后利用CCD成像进行观察。

实验内容与数据处理：1、认识和调节仪器：（1）预热CCD显示屏，调节支架S竖直，调节钳形平台的两边螺丝的松紧，使得钳形平台既可以很好的限制金属丝的转动又不用造成过多的摩擦干扰。

（2）先调节显微镜目镜，看清清晰的分划板像，然后调节物镜与金属丝下挂的圆柱上的细横线的远近，使得可以同时看清分划板和细横线的像（3）打开和连接CCD，放置在显微镜后较近的位置，仔细调节位置使得分划板像清晰，此时也可微调显微镜目镜。

然后调节显微镜的前后位置旋钮，使得细横线也变清晰。

（此时要注意微调显微镜前后的旋钮时要对应移动CCD的前后，保持分划板的清晰）反复调节可以得到分划板和细横线都比较清晰的像。

2、观测金属丝受外力拉伸后的变化：在砝码盘上一次加砝码，质量约为200.0g(需要具体重新测定精确值)。

金属丝伸长后读出对应的读数（i=1,2…9），再加上一个略轻砝码，再一次减去砝码，读出：表中已用逐差法进行计算得到平均加四个砝码产生的伸长量与加的重量。

实验二 霍尔位置传感器及弯曲法杨氏模量的测定实验原理本实验在弯曲法测量固体材料杨氏模量的基础上，加装了霍尔位置传感器。

通过霍尔位置传感器的输出电压与位移量线性关系的定标和微小位移量的测量，使学生了解和掌握微小位移的非电量电测新方法。

实验原理1、 霍尔位置传感器霍尔元件置于磁感应强度为B 的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I ，则与这二者 相垂直的方向上将产生霍尔电势差H U ：B I K U H ⋅⋅= （1）（1）式中K 为元件的霍尔灵敏度。

如果保持霍尔元件的电流I 不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为：Z dZ dBI K U H ∆⋅⋅⋅=∆ （2） （2）式中Z ∆为位移量，此式说明若dZdB为常数时，H U ∆与Z ∆成正比。

图1为实现均匀梯度的磁场，可以如图1所示，两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面磁感应强度相同）相对放置，即N 极与N 极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。

间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。

磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应影响，提高测量精确度。

若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。

当霍尔元件偏离中心沿Z 轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出，其大小可以用数字电压表测量。

由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（mm 2<），这一对应关系具有良好的线性。

2、杨氏模量 固体、液体及气体在受外力作用时，形状与体积会发生或大或小的改变，这统称为形变。

当外力不太大，因而引起的形变也不太大时，撤掉外力，形变就会消失，这种形变称之为弹性形变。

弹性形变分为长变、切变和体变三种。

一段固体棒，在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力F ，其长度l 发生改变l ∆，以S 表示横截面面积，称S F 为应力，相对长变ll ∆为应变。