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则
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) 2 (d y ) 2
2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [ x( )]2 [ y ( )]2 d
r 2 ( ) r 2 ( ) d
因此所求弧长
s
r 2 ( ) r 2 ( ) d
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域
区间域
取极限 W lim [ P ( i , i ) xi Q( i , i ) yi ]. 0
i 1
n
精确值
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
0
极限
L L
( 3) f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L L1 L2
( L L1 L2 ).
( s 为曲线弧 L 的长度)
（5） 若 且在 L 上 则
L
L
f ( x, y) d s
与
L
g( x , y ) d s
曲线积分
平面域
空间域
曲线域
曲面域
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
曲面积分 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
第二类曲面 积分（对坐标的曲面积分）
第十章
10.1 第一类曲线积分
一、第一类曲线积分的定义与性质
1.引例: 曲线形构件的质量 线密度为常数时，质量 M s . 假设曲线形细长构件在xoy平面内所占
定理 设 f ( x, y )在曲线弧 L上有定义且连续,
x (t ), L的参数方程为 ( t )其中 y (t ), (t ), (t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x, y )ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) dt
lim
P(i , i ) xi Q(i , i ) yi
n i 1
记作
L P( x, y)d x Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分,
或第二类曲线积分.
其中,
称为被积函数 ,
L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
L
L
L f ( x , y )ds lim f ( i , i ) si . 0 i 1
积分弧段
n
积分和式
如果 L 是闭曲线 , 则记为
L f ( x, y ) d s .
曲线形构件的质量 推广
平面曲线弧对x轴、轴及原点的转动惯量 y
I x x ( x, y )ds,
L L2
其中L2 是L 的关于x 轴对称的部分弧段
L2 ( x , y ) | ( x , y ) L , y 0
③若 L 关于直线 y = x 对称
L f ( x, y )ds L f ( y, x )ds
与二重积分的对称性十分类似
二、第一类曲线积分的计算
基本思路: 求曲线积分 转化 计算定积分
L1
其中L1 是L 的关于
y
轴对称的部分弧段
L1 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0
②若L关于 x 轴对称
(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y )ds 0
L
( 2) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y )ds 2 f ( x , y )ds
L F d s L P( x, y)dx Q( x, y)d y
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记
d s (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))
当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分 L f ( x , y )ds 存在.
4.性质
(1) [ f ( x , y ) g( x , y )]ds f ( x , y )ds g( x , y )ds.
L L L
( 2) kf ( x , y )ds k f ( x , y )ds ( k为常数).
复习： 平面曲线的弧长
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) (d y )
2
2
y
ds
y f (x)
1 y2 d x
因此所求弧长
s
b
a b
2 d x 1 y
o a
xxdx b x
1 f 2 ( x) d x
a
(2) 曲线弧由参数方程给出:
空间曲线弧的重心坐标
x ( x, y, z )ds , x ( x, y, z )ds z ( x, y, z )ds . z ( x, y, z )ds
y ( x, y, z )ds , y ( x, y, z )ds
3. 存在条件：
对 f ( x , y )ds
L
①若 L 关于 y 轴对称
(1) 当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 0
L
L
( 2)当 f ( x , y ) f ( x , y )时 f ( x , y )ds 2 f ( x , y )ds
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用微元法解决：
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1 A
分割 近似
M1 , M 2 ,, M n1 ,
o
x
取 ( i ,i ) si , M i ( i ,i ) si .
求和 取极限
常力所作的功 W F AB.
o
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
近似
取 F (i ,i ) ( P(i ,i ),Q(i ,i )),
y
F ( i ,i )
B
Wi F (i , i ) M i 1M i
I x ( y 2 z 2 ) ( x, y, z )ds,
I y ( x 2 z 2 ) ( x, y, z )ds,
I z ( x 2 y 2 ) ( x, y, z )ds , I o ( x 2 y 2 z 2 ) ( x, y, z )ds .
证: 根据定义
lim f ( k , k )sk
0 k 1
n
设各分点对应参数为 点
( k ,k )对应参数为
s k
tk t k 1
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) t k ,
(3）
如果曲线 L 的方程为
b
则有
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x a
如果曲线 L 的方程为
x ( y)
c y d.
L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy.
d c
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
M ( i , i ) si .
i 1
n
近似值 精确值
M lim ( i , i ) si .
0
i 1
n
其中 max si
1i n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M1 A
o
x
2.定义
(2) 注意到
ds (d x) (d y )
2
2
2 (t ) 2 (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”.
一代、二换、三定限
代：将积分曲线的参数方程代入被积函数， 换：换弧微元
ds 2 (t ) 2 (t ) d t
定限：定积分限，下限—小参数，上限—大参数
i 1 n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 A M1
o
x
如果当各小弧段的长度的最大值 0时, 这和的极限存在 则称此极限为函数 f ( x , y ) , 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分, 记作 f ( x , y )ds, 即
