如果您喜欢这份文档,欢迎下载!祝您成绩进步,学习愉快! 北京市海淀区2019届高三数学5月期末练习(二模)试题 理
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知集合{}
15A x x =≤≤,{}
36B x x =≤≤,则A B =
(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6] (2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍,则a 的值为 (A) 12- (B) 1
2 (C) -2 (D)2
(3,若直线l :12x t
y at =+??
=+?
(t 为参数),经过坐标原点,则直线l 的斜率是
(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2 (4)在5
(2)x -的展开式中,2x 的系数是
(A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40
(5)把函数2x
y =的图象向右平移t 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为23
x
y =,则
t 的值为
(A) 12
( B) 2log 3 (C) 3log 2 (D)
(6)学号分别为1,2,3,4的4位同学排成一排,若学号相邻的同学不相邻,则不同的排法种数为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>,则“函数()f x 的图象经过点(4
π
,1)”是“函数()
f x 的图象经过点(
,02
π
)”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8)如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是对角线1AC 上的动点(点P
与1,A C 不重合).则下面结论中错误的是
(A)存在点P ,使得平面1A DP ∥平面11B CD (B)存在点P ,使得1AC ⊥平面1A DP
(C) 12,S S 分别是△1A DP 在平面1111A B C D ,平面11BB C C 上 的正投影图形的面积,对任意点P ,12S S ≠ (D)对任意点P ,△1A DP 的面积都不等于
26
第二部分(非选择题共1 10分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行,则a = ,1l 与2l 之间的距离为 ( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数,则t =
( 11)若数列{}n a 的前n 项和2
8n S n n =-,1,2,3,...,n =则满足0n a >的n 的最小值为
(12)已知圆22
:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点,则线段MN 的长度为 (13)在矩形ABCD 中,2,1AB BC ==,点E 为BC 的中点,点F 在线段DC 上.若
AE AF AP +=,且点P 在直线AC 上,则AE AF =
(14)已知集合{}
001A x x =<<.给定一个函数()y f x =,定义集合
{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n n A A φ-=对任意的*n N ∈成立,则称该函数
()y f x =具有性质“ ”.
(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ; (Ⅱ)给出下列函数:①1y x =
;②2
1y x =+;③cos()22
y x π=+,其中具有性质“9”的函 数的序号是____.(写出所有正确答案的序号)
三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. ( 15)(本小题满分13分) 在ABC ?中,7,8,3
a b A π
===
.
(Ⅰ)求sin B 的值;
(Ⅱ)若ABC ?是钝角三角形,求BC 边上的高. (16)(本小题满分13分)
某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐 连锁店提供了两种日工资方案:方案(1) 规定每日底薪50元,快递业务每完成一单 提成3元;方案(2)规定每日底薪100元, 快递业务的前44单没有提成,从第45单 开始,每完成一单提成5元,该快餐连锁店 记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取 100天的数据,将样本数据分为[ 25,35),
[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组,整理得到如图所示的频率分布直方图。
(Ⅱ)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;
(Ⅱ)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为
1
3,
选择方案(2)的概率 为
2
3
.若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘,三人选择日工资方案相互独 立,求至少有两名骑手选择方案(1)的概率; (Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
( 17)(本小题满分14分)
如图1所示,在等腰梯形ABCD ,BC ∥AD ,CE AD ⊥,垂足 为E ,33AD BC ==,1EC =.将DEC ?沿EC 折起到1D EC ?的位置, 使平面1D EC ?⊥平面ABCE ,如图2所示,点G 为棱1AD 上一个动点。 (Ⅱ)当点G 为棱1AD 中点时,求证:BG ∥平面1D EC t (Ⅱ)求证:AB ⊥平面1D BE ;
(Ⅲ)是否存在点G ,使得二面角1G BE D --的余弦值为63
若存在,求出AG 的长;若不存在,请说明理由.
(18)(本小题满分13分)
已知椭圆22
2:14x y C b
+=的左顶点 A 与上顶点B 的距离为6.
(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标;
(Ⅱ)点P 在椭圆C 上,线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ,若PAQ ?为等边三角形,求点P 的横坐标.
(19)(本小题满分14分) 已知函数22
()(),ax a f x e x a
+=-
,其中0a ≠. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角; (Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0,求实数a 的取值范围.
( 20)(本小题满分13分)
对于给定的奇数,(3)m m ≥ ,设A 是由m m ?个数组成的m 行m 列的数表,数表中第
i 行,第j 列的数{}0,1ij a ∈,记()c i 为A 的第i 行所有数之和,()r j 为A 的第j 列所有数
之和,其中{},1,2,...,i j m ∈.
对于{},1,2,...,i j m ∈,若()2ij m ma c i -<
且2
m
j <同时成立,则称数对(,)i j 为数表A 的一个“好位置”
(Ⅱ)直接写出右面所给的33?数表A 的所有的“好位置”; (Ⅱ)当5m =时,若对任意的15i ≤≤ 都有()3c i ≥成立,求数表 A 中的“好位置”个数的最小值;
(Ⅲ)求证:数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -.
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数 学 (理科) 2019.05
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. B
2. D
3.D
4. A
5. B
6. A
7. A
8. C 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 1,
-0,1 11. 5
12. 5
2
14.1y x =+(答案不唯一),① ②
三、解答题: 本大题共6小题,共80分. (15)(共13分)
解:(Ⅰ)在ABC △中,因为7a =,8b =,3
A π
=
,
所以由正弦定理sin sin B A
b a
=
得sin 8sin 7b A B a =
==
(Ⅱ)方法1:
由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得21
4964282
c c =+-???
即28150c c -+=,解得5c =或3c = 因为,b a b c >>,所以B ∠为ABC △中最大的角,
当5c =时,222
cos 02a c b B ac +-=>,与ABC △为钝角三角形矛盾,舍掉
当3c =时,222
cos 02a c b B ac
+-=<,ABC △为钝角三角形,
所以3c =
设BC 边上的高为h ,所以sin h c B =7
= 方法2:
因为b a >,所以π3B A >=
,所以π3
C <, 所以B ∠为ABC △中最大的角
因为ABC △为钝角三角形,所以B 为钝角
所以sin sin()C A B =+
sin cos cos sin A B A B =+
=
设BC 边上的高为h ,所以sin h b C ==
16.(共13分)
解:(Ⅰ) 设事件A 为“随机选取一天,这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”
依题意,连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为:0.20.150.05,, 因为0.20.150.050.4++=
所以()P A 估计为0.4. (Ⅱ) 设事件B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案(1)” 设事件i C 为“甲乙丙三名骑手中恰有(0,1,2,3)i i =人选择方案(1)”, 则23()()()P B P C P C =+
22133
33121617()()()333272727
C C =+=+=
所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案(1)的概率为
7
27
(Ⅲ)方法1:
设骑手每日完成快递业务量为X 件
方案(1)的日工资*
1503()Y X X =+∈N ,
方案(2)的日工资*
2*
100,44,1005(44),44,X X Y X X X ?≤∈?=?+->∈??N
N
所以随机变量1Y 的分布列为 所以
11400.051700.052000.22300.3
EY =?+?+?+?
2600.22900.153200.05+?+?+?236=
同理随机变量2Y 的分布列为
1Y
140 170 200 230 260 290 320 P
0.05
0.05
0.2
0.3
0.2
0.15
0.05
1Y
100 130 180 230 280 330 P
0.1
0.2
0.3
0.2
0.15
0.05
21000.11300.21800.32300.22800.153300.05EY =?+?+?+?+?+?
194.5=
因为12EY EY >,所以建议骑手应选择方案(1) 方法2:
快餐店人均日快递量的期望是:
300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562?+?+?+?+?+?+?=
因此,方案(1)日工资约为50623236+?= 方案2日工资约为()10062445190 236+-?=< 故骑手应选择方案(1)
17.(共14分) 解: (Ⅰ) 方法1:
在图1的等腰梯形ABCD 内,过B 作AE 的垂线,垂足为F ,
因为CE AD ⊥,所以BF
EC
又因为BC
AD ,1BC CE ==,=3AD
所以四边形BCEF 为正方形,1AF FE ED ===,F 为AE 中点
在图2中,连结GF 因为点G 是1AD 的中点, 所以1GF
D E
又因为BF EC ,GF
BF F =,GF BF ?,平面 BFG ,1,D E EC ?平面
1D EC ,
所以平面BFG
平面1CED
又因为BG GFB ?面 ,所以BG
平面1D EC
方法2:
在图1的等腰梯形ABCD 内,过B 作AE 的垂线,垂足为F
因为CE AD ⊥,所以BF
EC
又因为BC
AD ,1BC CE ==,=3AD
所以四边形BCEF 为正方形 , F 为AE 中点
在图2中,连结GF 因为点G 是1AD 的中点, 所以1GF
D E
又1D E ?平面1D EC ,GF ?平面1D EC
所以GF
平面1D EC
又因为BF EC ,EC ?平面1D EC ,BF ?平面1D EC
所以BF
平面1D EC 又因为GF
BF F =
所以平面BFG
平面1D EC
又因为BG GFB ?面 ,所以BG
平面1D EC
方法3:
在图1的等腰梯形ABCD 内,过B 作AE 的垂线,垂足为F ,
因为CE AD ⊥,所以BF
EC
又因为BC AD ,1BC CE ==,=3AD
所以四边形BCEF 为正方形,1AF FE ED ===,得2AE = 所以1
=2
BC
AE BC AE ,
在图2中设点M 为线段1D E 的中点,连结,MG MC ,
因为点G 是1AD 的中点, 所以1
=2
GM
AE GM AE ,
所以 =GM BC GM BC ,,所以四边形MGBC 为平行四边形 所以BG
CM
又因为CM ?平面1D EC ,BG ?平面1D EC 所以BG
平面1D EC
(Ⅱ)因为平面1D EC ⊥平面ABCE ,
平面1D EC
平面ABCE EC =,
1,D E EC ⊥1D E ?平面1D EC ,
所以1D E ⊥平面ABCE 又因为AB ?平面ABCE
所以1D E AB ⊥
又2AB BE AE ===,满足222AE AB BE =+ ,
所以BE AB ⊥ 又1BE
D E E =
所以AB ⊥平面1D EB (Ⅲ)因为1,,EA EC ED 三线两两垂直,如图,建立空间直角坐标系
所以(2,0,0)A ,1(0,0,1)D ,(1,1,0)B ,1(2,0,1),AD EB =-= 假设存在点G 满足题意,
设1,01AG AD λλ=≤≤,则(2,0,1)AG λ=-,
所以(2,0,0)(2,0,1)(22,0,)EG EA AG λλλ=+=+-=-
设平面GBE 的法向量为(,,)a b c =m ,
1
所以0
0EB EG ??=???=??
m m ,即0(22)0a b a c λλ+=??-+=?
取a λ=,则(,,22)λλλ=--m ,
由(Ⅱ),(1,1,0)AB =-为平面1BED 的法向量,
令cos ,3
AB AB AB ?<>=
=
=
m m m
解得2
3
λ=
或
2λ=(舍) 所以存在点G ,使得二面角1G BE D --的余弦值为
3
,且123AG AD =,
得AG =
18.(共13分)
所以22b =
所以椭圆方程为 22
142
x y +=
所以c =
=,
焦点坐标分别为12(F F (Ⅱ)方法1:
设00(,)P x y ,则2200142
x y +=,且(2,0),A - 若点P 为右顶点,则点Q
为上(或下)顶点,4,AP AQ ==,△PAQ 不是等边三角形,不合题意,所以002,0x y ≠±≠. 设线段PA 中点为M ,所以00
2(
,)22
x y M - 因为PA MQ ⊥,所以1PA MQ k k ?=- 因为直线PA 的斜率0
02
Ap y k x =
+ 所以直线MQ 的斜率00
2
MQ x k y +=-
又直线MQ 的方程为000022()22
y x x y x y +--
=-- 令0x =,得到0000
(2)(2)22Q y x x y y +-=
+ 因为22
00142
x y += 所以02
Q y
y =-
因为PAQ △为正三角形,
所以||||AP AQ =
化简,得到200532120x x ++=,解得002,65
x x =-=-(舍) 即点P 的横坐标为25
-. 方法2:
设00(,)P x y ,直线AP 的方程为(2)y k x =+.
当0k =时,点P 为右顶点,则点Q 为上(或下)
顶点,4,AP AQ ==,△PAQ 不是等边三角形,不合题意,所以0k ≠.
联立方程22
142
(2)x y y k x ?+
=???=+?
消元得2222(12)8840k x k x k +++-= 所以160?=>
所以2
02
8(2)12k x k -+-=+
设线段PA 中点为M ,所以2
02
24212M x k x k --==
+,
222
42(2)1212M k k
y k k k -=+=
++ 所以222
42(,)1212k k
M k k -++
因为AP MQ ⊥,所以1
MQ K k =-
所以直线MQ 的方程为2
22
214()1212k k y x k k k --=--++
令0x =,得到2222
2142121212Q k k k
y k k k k -=-?=
+++ 因为PAQ △为正三角形, 所以||||AP AQ =
2412k =+化简,得到42
430k k +-=,解得223,14
k k ==-(舍)
所以202422
125
k x k -+==-
+, 即点P 的横坐标为2
5
-.
方法3: 设00(,)P x y ,
当直线AP 的斜率为0时,点P 为右顶点,则点Q
为上(或下)顶点,
4,AP AQ ==,△PAQ 不是等边三角形,不合题意,所以直线AP 的
斜率不为0.
设直线AP 的方程为2x ty =-
联立方程 22
142
2x y x ty ?+
=???=-?
消元得,22
(2)40t y ty +-=
所以0242
t
y t =
+ 设线段PA 中点为M
所以222M t y t =
+,24
2M
x t -=+, 所以2242(,)22
t
M t t -++
因为AP MQ ⊥,所以1
MQ k k =-
所以直线MQ 的方程为2224
()22t y t x t t --=--++
令0x =,得到222
Q t
y t -=+
因为PAQ △为正三角形, 所以||||AP AQ =
2|4|2t t =+化简,得到42340t t --=,解得224
,13t t ==-(舍)
所以202242
25
t x t -==-+,
即点P 的横坐标为2
5
19.(共14分)
解:(Ⅰ)因为2
2
()e ()a x a f x x a
+=-
,所以2'()e (2(2))a x f x ax x a =+-+ 所以'(1)0f =
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为0 (Ⅱ)方法1:
因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=,得到122
,1a x x a
+=-
= 当0a >时,x ,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:
而222
(1)e (1)e (11)e ()0a a a a f a a a +=-
=--=-<,符合题意 当1a =-时,122
1a x x a
+=-==,
2'()e (1)0a x f x x =-+≤,()f x 没有极值,不符合题意
当10a -<<时,x >11,'()f x ,()f x 的变化情况如下表
而2
(1)e ()0a f a
=->,不符合题意
当1a <-时,x <11,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:
x 1(,)x -∞ 1x
1(,1)x
1
(1,)+∞
()f x '
+
-
+
()f x
极大值
极小值
x
(,1)-∞ 1
1(1,)x 1x
1(,)x +∞
()f x '
-
+
-
()f x
极小值
极大值
所
以
2
()2122
()e
[()()]0a a a
a a f x a a
+-
++=-
-<, 解得2a <- 综上,a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞
方法2:
因为函数()f x 的极小值小于0, 所以()0f x <有解,即22
0a x a
+-<有解 所以
2
0a a
+>,所以有0a >或2a <- 因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=,得到122
,1a x x a
+=-
= 当0a >时, x ,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:
而222
(1)e (1)e (11)e ()0a a a a f a a a
+=-
=--=-<,符合题意 当2a <-时,x <11,'()f x ,()f x 的变化情况如下表:
x
1(,)x -∞ 1x
1(,1)x 1
(1,)+∞
()f x '
-
+
-
()f x
极小值
极大值
x
1(,)x -∞ 1x
1(,1)x
1
(1,)+∞
()f x '
+
-
+
()f x
极大值
极小值
x
1(,)x -∞ 1x
1(,1)x 1
(1,)+∞
()f x '
-
+
-
而2
2()()212
22
2(2)()e
[()()]e 0a a a a a
a a a a f x a a a ++-
-+++=--=<,符合题意
综上,a 的取值范围是(,2)
(0,)-∞-+∞
20.(共13分)
解:(Ⅰ)“好位置”有:(1,2),(1,3),(2,1),(3,1) (Ⅱ)因为对于任意的1,2,3,4,5i =,()3c i ≥;
所以当,1i j a =时,5
|5()|532c i -≤-<
, 当,0i j a =时,,5
|5()|()2
i j a c i c i -=>;
因此若(,)i j 为“好位置”,
则必有,1i j a =,且55
()2
r j -<,即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1,其中有t 列中含1的个数不少于3,
则有5t -列中含1的个数不多于2, 所以52(5)15t t n +-≥≥,53
t ≥
, 因为t 为自然数,所以t 的最小值为2
因此该数表中值为1,且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326?= 所以,该数表好位置的个数不少于1569-=个 而下面的55?数表显然符合题意
()f x
极小值
极大值
1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1
1
1
此数表的“好位置”的个数恰好为9
综上所述,该数表的“好位置”的个数的最小值为9
(Ⅲ) 当(,)i j 为“好位置”时,且,1i j a =时,
则有|()|2m m c i -<
,所以()2
m c i >, 注意到m 为奇数,*
()c i ∈N ,所以有1
()2
m c i +≥ 同理得到1
()2
m r j +≥
当(,)i j 为“好位置”,且,0i j a =时,
则|()|2m m c i -<
,则必有()2
m
c i <, 注意到m 为奇数,*
()c i ∈N ,所以有1
()2
m c i -≤ 同理得到1
()2
m r j -≤
因为交换数表的各行,各列,不影响数表中“好位置”的个数,
所以不妨设11
(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥
≤≤<+≤≤ 11
(),0,(),122
m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤
其中0,p q m ≤≤,,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表
1A
3A
2A 4A
其中1A 是p 行q 列,3A 是p 行m q -列,2A 是m p -行q 列,4A 是m p -行
1 0 0 1 1
m q -列
设1A ,2A ,3A ,4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x
则1A ,2A ,3A ,4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---
34(),()()p m q x m p m q x -----
则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个
而 1312m x x p ++≥?, 341
()2m x x m q -+≤-? 所以 1411
()22
m m x x p m q +--≥?--?
所
以
141411
()()()()()22
m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+?
--?
而 11
()()()22m m m p m q p m q +---+?--?
211
()22m m m pm qm pq p m q +-=--++?--?
211222m m m m
p q pq -++=?-?++
22111()()2242m m m m m
p q +--+=---+
21121
()()224m m m m p q +-++=--+
显然当11
()()22
m m p q +---取得最小值时,上式取得最小值,
因为0,p q m ≤≤,所以
2211211121
()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+
2211211121
()()(0)()224224
m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+
当p m =时,数表A 中至少含有1
2
m m +?个1,
而11(1)22m m m m m +-?>+-?
,所以q 至少为2 此时21121
()()224m m m m p q +-++--+
21121
()(2)224
m m m m m +-++≥--+
21m =-