2020届高三数学模拟考试(理科)含答案

湖北省黄冈市2020届高三第三次模拟考试理科数学试卷字号：默认大中小试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1、已知全集U=R，A={x|y=ln（1－x2）}，B={y|y=3x－1}，则（）A．（－1，0）B．[0，1）C．（0，1）D．（－1，0]2、若复数z满足，则复数z的共轭复数的模为（）A．1 B．C．2 D．3、的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20C．40 D．804、已知向量a，b满足|a|=1，a·b=－1，则a·（2a－b）=（）A．0 B．2C．3 D．45、已知，则（）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b6、2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．现有四名志愿者医生被分配到A、B、C三所不同的乡镇医院中．若每所医院至少分配一名医生，则医生甲恰好分配到A医院的概率为（）A． B．C． D．7、把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递减区间为（）A．[π，2π]B．C．D．8、已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9、已知双曲线C：，过左焦点F作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若|OA|=|OF|，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．2 D．10．对曲线：2（x－1）（x－3）=y（e x－2＋e2－x），有下列说法：①该曲线关于x=2对称；②该曲线关于点（2，－1）对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A．②③ B．①④C．②④ D．①③11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知BC边上的高为，则的最大值是（）A． B．4C．6 D．812．在三棱锥A—BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，当三棱锥A—BCD的表面积最大时，其内切球的半径是（）A．B．C．D．收起答案1、D解析：A={x|1－x2＞0}={x|－1＜x＜1}，B={y|y＞0}，．2、B解析：由，得，．3、C解析：由二项式定理可得通项公式，令10－3r=4，得r=2，所以x4的系数为．4、C解析：a·（2a－b）=2－a·b=2－（－1）=3．5、A解析：，b∈（0，1），c＜0．∴a＞b＞c．6、D解析：基本事件总数，医生甲恰好分配到A医院包含的基本事件个数,所以医生甲恰好分配到A医院的概率为．7、B解析：函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得的图象；再向左平移个单位，得到函数的图象，，可得函数g（x）的减区间为．8、C解析：补成直四棱柱．9、A解析：由题意可得直线l的方程为：联立可得，，因为OA=OF，即，整理可得3b=4a，解得．10、D解析：将方程，令y=f（x），将x换成4－x时，即，所以f（x）=f（4－x），所以曲线关于x=2对称，所以①正确，②不正确；当x＜0时，f（x）＞0，所以该曲线不经过第三象限，故③正确，曲线过的整数点（1，0），（3，0），（2，－1）三个整数点，故④不正确．11、B解析：，这个形式很容易联想到余弦定理：，而条件中的“高”容易联想到面积，．将②代入①得：b2＋c2=bcsinA＋2bccosA．，当A=时取得最大值4．12、A解析：三棱锥A－BCD的表面积S，．故当AB⊥BD时，表面积最大，为，过A作BC的垂线，垂足为E，连接ED，三棱锥A－BCD的体积为V，设内切球的半径为r，因为Sr=V，所以．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽100次，X表示抽到的二等品件数，则D（X）=__________．14．若则cos2α=_________．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点M，N为抛物线准线上相异的两点，且M，N两点的纵坐标之积为－8，直线OM，ON分别交抛物线于A，B两点，若A，F，B三点共线，则p=__________．16．已知不等式x－3lnx＋1≥mlnx＋n（m，n∈R，且m≠－3）对任意正实数x 恒成立，则的最大值为__________．收起答案13、2.91解析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即X～B（100，0.03），由二项分布的期望公式可得D（X）=np（1－p）=100×0.03×0.97=2.91．14、解析：若15、解析：由抛物线焦点弦的性质可知，，．16、－ln2解析：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列．已知a1=1，b1=2，b2=2a2，b3=2a3＋2．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足，设数列{c n}的前n项和为S n，求．收起答案（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由a1=1，b1=2，b2=2a2，b3=2a3＋2，可得2q=2（1＋d），2q2=2（1＋2d）＋2，（2分）解得d=1，q=2，（4分）则（6分）（2）（9分）18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，AB=，∠ABC=60°， PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的角最大为60°，求二面角E－AF－C的余弦值．收起答案（7分）19、（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，T为椭圆上一点，O为坐标原点，椭圆的离心率为，且△TFO面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设点A（0，1），直线l：y=kx＋t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．收起答案解：（1）设所以直线方程为y=kx，所以直线l恒过定点（0，0）．（12分）20．（本小题满分12分）某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如图所示的频率分布直方图，由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布N（μ，3.22），其中μ近似为样本平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）．（1）若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；（2）现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“有连续3人的旅游消费支出超出μ”．若P n表示的概率，（n≥3，a，b为常数），且P0=P1=P2=1．（i）求P3，P4及a，b；（ii）判断并证明数列{P n}从第三项起的单调性，并用概率统计知识解释其实际意义．（参考数据：P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.6826，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）≈0.9544，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）≈0.9973）收起答案解：（1）由直方图可得21．（本小题满分12分）已知函数．（1）当a=0时，证明：f（x）≥0；（2）若，证明：f（x）在有唯一的极值点x0，且．收起答案解：（1）请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．M为曲线C1上的动点，点P在射线OM上，且满足|OM|·|OP|=20．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设C2与x轴交于点D，过点D且倾斜角为的直线l与C1相交于A，B两点，求|DA|·|DB|的值．收起答案解：（1）设，|OM|·|OP|=20，可得ρ0ρ=20，即有4ρcosθ=20，即ρcosθ=5，可得点P的轨迹C2的直角坐标方程为x=5；（5分）（2）C2与x轴交于点D（5，0），过点D且倾斜角为的直线l的参数方程设为，（6分）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ（ρ＞0），即为ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2=4x，将直线l的参数方程代入x2＋y2=4x，可得t2－＋5=0，即有t1t2=5，|DA|·|DB|=|t1t2|=5．（10分）23．（本小题满分10分）已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c=3，证明：（1）；（2）a2b2＋b2c2＋c2a2≥3abc．收起答案证明：（1）∵a，b，c为正数，且满足a＋b＋c=3，- 返回顶部 -。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷（银川一中第一次模拟考试）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A={-1,0,1}, A 的子集中，含有元素0的子集共有 A.2个B.4个C.6个D.8个2.复数32(1)i i += A. -2iB. -2C.2iD.23.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a =2.2A.2B1.2CD.24.已知m ∈R ,“函数21xy m =+-有零点”是“函数.log m y x =在(0,+∞)上为减函数”的A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.若函数f(x)=-cosx+ax 为增函数,则实数a 的取值范围为 A.[-1,+∞)B.[1,+∞)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)6.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.23A.25B43.C53.D7.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为:一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是8.若231()nx x+展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为 A.1B.5C.10D.209.在平面区域(,)02y x M x y x x y ⎧≥⎧⎫⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎭⎩内随机取一点P,则点P 在圆222x y +=内部的概率为.8A π.4B π.2C π3.4D π10.已知直线l ，m,平面α、β、γ，给出下列命题: ①l//α,l//β,α∩β= m,则l//m;②α//β,β//γ,m ⊥α,则m ⊥γ; ③α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β;④l ⊥m,l ⊥α,m ⊥β,则α⊥β. 其中正确的命题有 A.1个B.2个C.3个D.4个11.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点P,满足212||||PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为4.3A5.3B5.4C41.4D 12.已知以T=4为周期的函数21,(1,1]()1|2|,(1,3]x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩，其中m>0,若方程3f(x)=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为.15.(7)A 4.(7)3B48.(,)33C158.)3D 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知tanθ=2,则cos 2θ的值为___.14.若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r+s 的值为___.15.已知A,B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4,AF BF +=u u u r u u u r 线段AB 的中点到直线2px =的距离为1,则P 的值为___. 16.观察下列算式:311,= 3235,=+ 337911,=++3413151719=+++……若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n=___.三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣104．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D ．这10天学生在线学习人数在逐日增加5．已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝2a 2，则S 6a 2=（ ）A ．4B ．162C ．9D ．126．若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．48．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．289．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√3311．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π1212．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 ． 14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 ． 15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 ．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2．∠BAC 的平分线与BC 交于点E ，且AE =√6． （1）求∠BEA 及AC ；（2）若∠ADC ＝60°，求四边形ABCD 周长的最大值．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t)25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑ n i=1(ωi −ω)(v i −v)∑ ni=1(ωi −ω)2，α=v −βω．19．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝120°，三角形SAB 是等边三角形，平面SAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点．（1）求证：平面SCD ⊥平面SEF ；（2）若AB ＝2，求直线SF 与平面SCD 所成角的正弦值．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】求出集合A，由此能求出A∩B．解：由集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=2+i1−i=(2+i)⋅(1+i)2=12+32i，∴z=12−32i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣10【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1=C5r•（﹣2x）r，令r＝3，得（1﹣2x）5展开式中x3的系数为C53•（﹣2）3＝﹣80．故选：A．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D．这10天学生在线学习人数在逐日增加【分析】根据图象逐一进行分析即可解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A错误对于B：前5天的增长比例极差约为15%﹣5%＝10%，后5天增长比例极差约为40%﹣20%＝20%，故B错误；对于C：由折线图很明显，23﹣24的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．【点评】本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5．已知各项不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝2a2，则S6a2=（）A．4B．162C．9D．12【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．解：由题S6a2=S6a2=3(a1+a6)a2=3(a2+a5)a2=3(a2+2a2)a2=9．故选：C．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．若函数y＝a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝log a|x|的图象是（）A．B．C ．D ．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a ＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．解：∵|x |≥0，∴若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}， ∴0＜a ＜1，当x ＞0时，数y ＝log a |x |＝log a x ，为减函数，当x ＜0时，数y ＝log a |x |＝log a （﹣x ），为增函数，且函数是偶函数，关于y 轴对称， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．椭圆C ：x 2a +y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【分析】由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝2a ，|BF 1|+|BF 2|＝2a ，即可得出答案． 解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的焦点在x 轴上，则椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ．∴△ABF 2的周长＝|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝8＝4a ．解得a ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．8．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 n ＝1，得a ＝8， 不满足a−221∈Z ，n ＝2，得a ＝13，不满足a−221∈Z ，n ＝3，得a ＝18，不满足a−221∈Z ，n ＝4，得a ＝23，此时，满足a−221∈Z ，退出循环，输出a 的值为23．故选：C ．【点评】本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√33【分析】画出图形，结合圆的对称性，求出∠MOF＝30°．然后求解双曲线的离心率即可．解：因为OF为直径，点M在圆上，所以OM⊥MF．又∠MFN＝120°，由圆的对称性，有∠MFO＝60°，所以∠MOF＝30°．由渐近线斜率tan∠MOF=ba=√33，所以离心率为e=√1+(ba)2=2√33．故选：D．【点评】本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π12【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．解：由π6−π24=2k+14T，则T=π4k+2，k∈Z，当k＝0时，T=π2．故选：B．【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．解：在平面直角坐标系中作出函数y＝f（x）（k＞0）的图象如图所示．令f[f（x）]﹣1＝0，得f[f（x）]＝1，则f（x）＝0或f（x）＝t（t＞1）．当f（x）＝0时，显然存在2个零点x1=−1k，x2＝1；当f（x）＝t（t＞1）时，存在1个零点x3．故函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为3．故选：B ．【点评】本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 150° ．【分析】根据向量a →，b →的坐标即可得出a →⋅b →，|a →|和|b →|的值，从而可得出cos ＜a →，b →＞=−√32，从而可得出a →，b →夹角的大小．解：∵cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−√3−√32×2=−√32，且0≤＜a →，b →＞≤π， ∴a →与b →的夹角为150°． 故答案为：150°．【点评】本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 丁 ． 【分析】逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可． 解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁， 故答案为：丁．【点评】本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 a n =2n ．【分析】利用数列的递推关系式，通过m ＝1，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．解：数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，令m ＝1，得a n +1＝2a n ，则{a n }是首项和公比均为2的等比数列，则a n =2n ． 故答案为：a n =2n ．【点评】本小题主要考查数列以及前n 项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 2 ．【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．解：依题意，折叠后的四面体如图1， 设正方形边长为a ，内切球半径为r ， 则AG ＝a ，EG =FG =a2； 记四面体内切球球心为O ，如图2，则V A ﹣EFG ＝V O ﹣EFG +V O ﹣AEF +V O ﹣AEG +V O ﹣AFG ，即V A−EFG =13(S △EFG +S △AEF +S △ABG +S △AFG )⋅r ，即13×12×a 2×a 2×a =13×a 2×r ，所以a ＝8r ；又4πr 2=π4，即r =14，所以a ＝2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2．∠BAC的平分线与BC交于点E，且AE=√6．（1）求∠BEA及AC；（2）若∠ADC＝60°，求四边形ABCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABE中，由正弦定理可求sin∠AEB的值，又∠AEB＜∠B，可求∠AEB＝45°，利用三角形的内角和定理可求∠BAE的值，进而可求∠ACB的值，可得BC＝AB＝2，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AC的值．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理，基本不等式可求m+n≤4√3，即可求解四边形ABCD周长的最大值．解：（1）在△ABE中，由正弦定理得：sin∠AEB=ABsinBAE=6=√22．又∠AEB＜∠B，则∠AEB＝45°，于是∠BAE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以∠BAC＝30°，∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°．所以BC＝AB＝2．在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝22+22﹣2×2×2×cos120°＝12，所以AC=2√3．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理得(2√3)2=m2+n2−2mncos60°=(m+n)2−3mn，即有(m+n)2=12+3mn≤12+3×(m+n2)2，即(m+n)24≤12，所以m+n≤4√3，当且仅当m=n=2√3时，“＝”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为4+4√3．【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t) 25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑n i=1(ωi−ω)(v i−v)∑n i=1(ωi−ω)2，α=v−βω．【分析】（1）由模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，说明模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，由已知数据求得b与a的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取x＝34求得y值得结论．解：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，b=∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(x i−x)2=48.48168≈0.289，∴a=z−b x=2.89−0.289×25≈−4.34，则z关于x的线性回归方程为z=0.29x−4.34．于是有lny＝0.29x﹣4.34，∴产卵数y关于温度x的回归方程为y=e0.29x−4.34．当x＝34时，y＝e0.29×34﹣4.34＝e5.52≈250（个）．∴在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．【点评】本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC ＝120°，三角形SAB是等边三角形，平面SAB⊥平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．（1）求证：平面SCD⊥平面SEF；（2）若AB＝2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【分析】（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得SE⊥平面ABCD，进一步得到SE ⊥CD．连接BD，得BD∥EF．再证明BD⊥CD，结合BD∥EF，得CD⊥EF．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面SEF．进一步得到平面SCD⊥平面SEF；（2）过E作EN∥CD，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与SF→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD ＝AB ， SE ⊂平面SAB ，SE ⊥AB ，∴SE ⊥平面ABCD ． 又∵CD ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥CD ．连接BD ，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴BD ∥EF ． ∵AD ＝DC ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ．又∵∠BAD ＝∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝30°， ∴∠BDC ＝90°，得BD ⊥CD ． 又∵BD ∥EF ，∴CD ⊥EF ． 又SE ∩EF ＝E ，∴CD ⊥平面SEF ．又∵CD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SEF ；（2）解：过E 作EN ∥CD ，则ES ，EF ，EN 两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系．在△BDC 中，求得BD =2√3，CD ＝2，BC ＝4． 则E （0，0，0），F(0，√3，0)，S(0，0，√3)，C(52，3√32，0)，D(12，3√32，0)．故SD →=(12，3√32，−√3)，SC →=(52，3√32，−√3)，SF →=(0，√3，−√3)．设平面SCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅SD →=12x +3√32y −√3z =0n →⋅SC →=52x +3√32y −√3z =0，可取n →=(0，2，3)． 则|cos〈n →，SF →〉|=|n →⋅SF→n →|⋅|SF →||=√3√6⋅√13=√2626．故SF 与平面SCD 所成角的正弦值为√2626．【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．【分析】（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ，再利用导函数f '（x ）的正负性与函数f （x ）的单调性之间的联系即可得f （x ）的单调性，从而确定f （x ）min ＝f （1），而f （1）＝0，进而得证；（2）构造函数g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立，然后求导g '（x ），令h （x ）＝g ′（x ），再求导h '（x ），从而可确定g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，由于g ′（0）＝2﹣2a ，于是分a ≤1和a ＞1两种情形，讨论函数g （x ）的单调性，以便求证g （x ）min 与0的关系． 解：（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ， 当x ＝1时，f ′（x ）＝0；当x ∈（﹣∞，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 所以f （x ）在x ＝1时取得极小值，也是最小值．所以f （x ）≥f （1）＝0．（2）令g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立．由g ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2a ，令h （x ）＝g ′（x ），则h′(x)=e 2x −1ex ≥0在[0，+∞）上恒成立，所以g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g ′（0）＝2﹣2a ，①当a ≤1时，g ′（x ）≥g ′（0）≥0，所以g （x ）在[0，+∞）上单调递增， 所以g （x ）≥g （0）＝0，即f （x ）≥f （﹣x ），满足题意．②当a ＞1时，因为g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，所以g ′（x ）min ＝g ′（0）＝2﹣2a ＜0，所以存在t ∈（0，+∞），使得当x ∈（0，t ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，t ）上单调递减，此时g （x ）＜g （0）＝0，这与g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾． 综上所述，a ≤1，故实数a 的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．【分析】（1）两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ 面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．（2）由（1）求出PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．求出直线EF 的斜率，得到直线EF 的方程，即可求解直线EF 恒过的定点． 解：（1）由题意可知两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．因为联立直线l 1与抛物线的方程，有{y =k(x −1)+1#/DEL/#x 2=2y #/DEL/#⇒x 2−2kx +2k −2=0，其中△＝4k 2+8＞0，由韦达定理，有{x 1+x 2=2kx 1x 2=2k −2．由上可得|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)(8+4k 2)，同理|MN|=√(1+1k2)(8+4k2)，则四边形MPNQ 面积S =12|PQ||MN|=12√(2+k 2+1k2)(80+32k 2+32k2)．令k 2+1k2=t ≥2．则S =12√(2+t)(80+32t)=√8t 2+36t +40．所以，当且仅当t ＝2，即k ＝±1时，S 取得最小值12，且当t →+∞时，S →+∞． 故四边形MPNQ 面积的范围是[12，+∞）． （2）由（1）有x 1+x 2＝2k ，y 1+y 2=2k 2+2，所以PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．于是，直线EF 的斜率为k EF =k 2+1−(1k2+1)k+1k=k 2−1k 2k+1k=k −1k ，则直线EF 的方程为：y −(k 2+1)=(k −1k )(x −k)⇒y =(k −1k )x +2，所以直线EF 恒过定点（0，2）．【点评】本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，求动点P 到直线l 的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ）． 因为点P 为曲线C 1与C 2的公共点， 所以点P 同时满足曲线C 1与C 2的方程． 曲线C 1消去参数可得tanθ1=yx+2， 曲线C 2消去参数可得tanθ2=y x−2． 由tan θ1tan θ2＝﹣1，所以yx+2⋅yx−2=−1．所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝4（x ≠±2）．（2）由已知，直线l 的极坐标方程2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可化为直角坐标方程：2x﹣y+10＝0．因为P的轨迹为圆x2+y2＝4（去掉两点（±2，0）），圆心O到直线l的距离为d=5=2√5，所以点P到直线l的距离的取值范围为[2√5−2，2√5+2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；（2）将1=a+b+c3代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）(√2a+1+√2b+1+√2c+1)2=2(a+b+c)+3+ 2√(2a+1)(2b+1)+2√(2b+1)(2c+1)+2√(2c+1)(2a+1)≤2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）＝6（a+b+c）+9＝27（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．所以√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）由a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3，可得(1a−13)(1b−13)(1c−13)=(a+b+c3a−1 3)(a+b+c3b−13)(a+b+c3c−13)=b+c3a ⋅a+c3b⋅a+b3c≥127⋅2√bca⋅2√acb⋅2√abc=827（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．则(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【点评】本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。

2020年开封市高三一模数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-x-6＜0}，B=N，则A∩B=（）A. {-1，0，1，2}B. {0，1，2}C. {-2，-1，0，1}D. {0，1}2.在复平面内，复数对应的点位于直线y=x的左上方，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （-∞，1）C. （0，+∞）D. （1，+∞）3.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点（1，-2），则tan2α=（）A. B. C. D.5.已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）=2x-1，则f（m）的值为（）A. -15B. -7C. 3D. 156.某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%．其中E 等级为不合格，原则上比例不超过5%．该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到C级及以上级别的学生人数有（）A. 45人B. 660人C. 880人D. 900人7.国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为（）A. 17米B. 22米C. 3l米D. 35米8.已知{F n}是斐波那契数列，则F1=F2=1，F n=F n-1+F n-2（n∈N*且n≥3），如图程序框图表示输出斐波那契数列的前n项的算法，则n=（）A. 10B. 18C. 20D. 229.设m=ln2，n=lg2，则（）A. m-n＞mn＞m+nB. m-n＞m+n＞mnC. m+n＞mn＞m-nD. m+n＞m-n＞mn10.已知F为双曲线C：的右焦点，圆O：x2+y2=a2+b2与C在第一象限、第三象限的交点分别为M，N，若△MNF的面积为ab，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D.11.将函数f（x）=a sin x+b cos x的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，若g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数f（x）有下述四个结论：①f（x）的最小正周期为2π②若f（x）的最大值为2，则a=1③f（x）在[-π，π]有两个零点④f（x）在区间[-，]上单调其中所有正确结论的标号是（）A. ①③④B. ①②④C. ②④D. ①③12.已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则m=______．14.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______．15.设点P为函数f（x）=ln x-x3上任意一点，点Q为直线2x+y-2=0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为______．16.若数列{a n}满足，则称数列{a n}为“差半递增”数列．若数列{a n}为“差半递增”数列，且其通项a n与前n项和S n满足，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a n+1+n=2a n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．18.底面ABCD为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体．若DA=DH=DB=4，AE=CG=3．（1）求证：EG⊥DF；（2）求二面角A-HF-C的正弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，动点Q满足：RQ⊥PF，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹方程E；（2）若直线PF与曲线E交于A，B两点，过点F作直线PF的垂线与曲线E相交于C，D两点，求的最大值．20.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，列需要检验n次；②混合检验，将其k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（Ⅰ）运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2，试求p关于k的函数关系式p=f（k）；（Ⅱ）若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094．21.已知函数f（x）=a•e-x+sin x，a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=1时，证明：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）若函数f（x）在（0，）上存在两个极值点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设P是曲线C1上一点，此时参数φ=，将射线OP绕原点O逆时针旋转交曲线C2于点Q，记曲线C1的上顶点为点T，求△OTQ的面积．23.已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．答案和解析1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】114.【答案】4815.【答案】16.【答案】17.【答案】解：（1）由已知{a n}为等差数列，记其公差为d．①当n≥2时，，两式相减可得d+1=2d，所以d=1，②当n=1时，a2+1=2a1+1，所以a1=1．所以a n=1+n-1=n；（2），，所以=．【解析】（1）设等差数列的公差为d，将已知等式中的n换为n-1，相减可得公差d=1，再令n=1，可得首项，进而得到所求通项公式；（2）由等差数列的求和公式可得S n，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．18.【答案】（1）证明：连接AC，由可知四边形AEGC为平行四边形，所以EG∥AC．由题意易知AC⊥BD，AC⊥BF，所以EG⊥BD，EG⊥BF，因为BD∩BF=B，所以EG⊥平面BDHF，又DF⊂平面BDHF，所以EG⊥DF．（2）解：设AC∩BD=O，EG∩HF=P，由已知可得：平面ADHE∥平面BCGF，所以EH∥FG，同理可得：EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以，从而OP⊥平面ABCD，又OA⊥OB，所以OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O-xyz，OP=3，DH=4，由平面几何知识，得BF=2．则，，F（0，2，2），H（0，-2，4），所以，，．设平面AFH的法向量为，由，可得，令y=1，则z=2，，所以．同理，平面CFH的一个法向量为．设平面AFH与平面CFH所成角为θ，则，所以．【解析】（1）连接AC，证明EG∥AC．推出EG⊥BD，EG⊥BF，证明EG⊥平面BDHF，然后证明EG⊥DF．（2）OA，OB，OP两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O-xyz，OP=3，DH=4，求出平面AFH的法向量，平面CFH的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角的正弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，即|QP|=|QF|，又因为PQ⊥l，即Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q（x，y），则，化简得y2=4x，所以动点Q的轨迹方程E为：y2=4x．（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y=k（x-1），CD：，则，联立可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2=1．因为向量，方向相反，所以=，同理，设C（x3，y3），D（x4，y4），可得，所以，因为，当且仅当k2=1，即k=±1时取等号，所以的最大值为-16．【解析】（1）由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF，所以RQ为PF的中垂线，Q点到点F的距离和到直线l的距离相等，设Q（x，y），运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由题可知直线PF的斜率存在且不为0，设直线PF：y=k（x-1），CD：，分别联立抛物线方程，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，结合基本不等式可得所求最大值．本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线和两点的距离公式，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和向量数量积的定义和坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，则．计算，，所以，由E（ξ1）=E（ξ2），得k=k+1-k（1-p）k，所以（k∈N*且k≥2）．（Ⅱ），，所以，即．设，，x＞0，当x∈（0，4）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，4）上单调递增；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（4，+∞）上单调递减．且f（8）=ln8-2=3ln2-2＞0，，所以k的最大值为8．【解析】（1）利用古典概型、排列组合求出恰好经过3次检验能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）（Ⅰ）由E（ξ1）=k，ξ2的取值为1，k+1，计算对应概率与数学期望值，由E（ξ1）=E（ξ2）求得p的值；（Ⅱ）由题意得，即，设，利用导数判断f（x）的单调性，从而求得k的最大值．本题考查了概率、函数关系式、实数的最大值的求法，也考查了离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题．21.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=e-x+sin x，f′（x）=-e-x+cos x，当x≤0时，-e-x≤-1，则f′（x）≤0（x≤0）所以f（x）在（-∞，0]上单调递减，f（x）≥f（0）=1；所以：∀x∈（-∞，0]，f（x）≥1；（2）函数f（x）在（0，）上存在两个极值点；则f′（x）=0在（0，）上有两个不等实数根；即f′（x）=-ae-x+cos x=0在（0，）上有两个不等实数根；即a=e x cos x在（0，）上有两个不等实数根；设g（x）=e x cos x，则g′（x）=e x（cos x-sin x）；当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；又g（0）=1，，；故实数a的取值范围为：【解析】（1）求出f′（x）=-e-x+cos x，得出f′（x）≤0，则f（x）在（-∞，0]上单调递减，结论可证．（2）函数f（x）在（0，）上存在两个极值点；则f′（x）=0在（0，）上有两个不等实数根，分离参数得a=e x cos x在（0，）上有两个不等实数根；设g（x）=e x cos x，讨论函数g（x）的单调性即可解决；本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查分离参数法，属于难题．22.【答案】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程为，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程为x2+y2=2；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，∴|OQ|=，|OT|=1，则=．【解析】（1）由（φ为参数），消去参数φ，可得曲线C1的普通方程，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程．由ρ=，得ρ2=2，则C2的直角坐标方程可求；（2）当φ=时，P（1，），sin∠xOP=，cos，将射线OP绕原点O逆时针旋转，交曲线C2于点Q，又曲线C1的上顶点为点T，求出|OQ|=，|OT|=1，再求出∠QOT的正弦值，代入三角形面积公式求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：（1）a，b，c＞0，++≥3•；当且仅当a=b=c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【解析】（1）利用三元的均值不等式直接证明即可；（2）要证＞2，只需证明，即证2，由，即得，累加即可证明．考查了基本不等式的应用，中档题．第11页，共11页。

四川省内江市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|y ，B ＝{－2，－1，0，1，2，3}，则(A)∩B＝R ðA.{－2，－1，0，1，2} B.{0，1，2，3} C.{1，2，3} D.{2，3}2.若i 为虚数单位，则复数z ＝－sin ＋icos 的共轭复数在复平面内对应的点位于23π23πz A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.“φ＝－”是“函数f(x)＝sin(3x ＋φ)的图象关于直线x ＝－对称”的8π8πA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，n 2这n 2个数填入n×n 方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方。

定义f(n)为n 阶幻方对角线上所有数的和，如f(3)＝15，则f(10)＝A.55B.500C.505D.50505.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是A.若m//α，α//β，则m//β或m βB.若m//n ，m//α，n α，则n//α⊂⊄C.若m ⊥n ，m⊥α，n⊥β，则α⊥β D.若m⊥n，m⊥α，则n//α6.(x 2－2)(x ＋2)5的展开式中含x 4的项的系数为A.－20B.60C.70D.807.若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，z ，y 成等比数列，则x y z +=A.－ B.－2 C.2 D.52728.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数z=21ii +对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{2,1,,2},{2|},01,A B b b A =--=+∈则A∩B=A ．{2,1,0}--B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,2-D ．{0,1,2} 3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．已知点在双曲线221x y a b-= (a>0，b>0)的一条渐近线上，该双曲线的离心率为A ．3B C ．2 D ．4 5．已知点(cos10,sin10),(cos100,sin100)A B ︒︒︒︒则|AB|=A ．1BCD ．26．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为A ．216B ．108C D ．367．材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S =，其中2a b c p ++=。

这个公式被称为海伦—秦九韶公式。

材料二：阿波罗尼奥斯()Apollonius 在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。

根据材料一或材料二解答：已知ABC ∆中,4,6BC AB AC =+=则ABC ∆面积的最大值为A B ．3 C ．D ．68．已知函数()()(0)2sin x f x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与f(x)的图象重合，则ω的最小值为 A ．8 B ．4 C ．2 D ．19．如图1，已知PABC 是直角梯形,,,PC A D B B A BC ⊥P 在线段PC 上,AD PC ⊥将PAD ∆沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD ⊥ACD ．PB=2AN 10．已知F 为抛物线()220x py p =>的焦点，点P 为抛物线上一点，以线段PF 为直径的圆与x 轴相切于点M ，且满足||||,||2,MF PM PF ==则p 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 11．已知函数()()()2214442x f x ex x k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数的取值范围为A ．)2,e ⎡-+∞⎣B ．)3,e ⎡-+∞⎣C ．)2,e ⎡+∞⎣D ．)3,e ⎡+∞⎣ 12．在ABC ∆中，A=2π，AB=AC=2，有下述四个结论：①若G 为ABC ∆的重心，则1133AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ②若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r 为定值2③若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为32.④已知P 为ABC ∆内一点，若1,BP =且,AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r 则λ的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若()120555221,x a x a x a x α-=++++L 则a 1= ▲ 14．若“∃x 0∈()20R,ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .15．在ABC 中,4,AB BC ==6B π=，在线段AB 上，若ADC ∆与△BDC 的面积之比为3：1，则CD= ▲ 。

宁夏银川唐徕回民中学2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题 理考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合M={032|<--x x x }，N={1)2(log |21≥-x x }，则M ∩N=（ ） A. [3,25]B. (25,2]C. [25,2] D. (3,25) 2. 若复数i m m m m )65()43(22--+--表示的点在虚轴上，则实数m 的值是（ ） A. -1B. +4C. +4和-1D. -1和63. 下列说法正确的个数为（ ） ①若||b a >，则22b a >②若b a >，d c >，则d b c a ->-③若b a >，d c >，则bd ac > ④若0>>b a ，0<c ，则bc a c > A. 4B. 3C. 2D. 14. 已知圆0138222=+--+y x y x 截直线01=-+y ax 所得的弦长为32，则a =（ ）A. 34-B. 43-C. 3D. 25. 已知m l ,是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断： ①m l ⊥ ②α//m ③α⊥l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，则其可以构成______个正确命题. A. 0B. 1C. 2D. 36. 某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根据这几年的经验，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5kg ；第二网捞出25条，称得平均每条鱼 3kg ；第三网捞出35条，称得平均每条鱼2kg ，则估计鱼塘中鱼的总质量为（ ） A. 186200kgB. 196000kgC. 190000kgD. 186250kg7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,，若cos 2b a =A ，B=3π，C=1，则△ABC 的面积为（ ）A.83 B.63 C.43 D.23 8. 在边长为2的等边三角形ABC 中，若D 是BC 边上的中点，点P 是线段AD 上的一动点，则·的取值范围是（ ）A. [-1.0]B. [-1,1]C. [43-,∞+) D. [43-,0] 9. 如图，已知函数)62tan(3π+=x y 的部分图像与坐标轴分别交于点D ，E ，F ，则△DEF 的面积等于（ ）A.4π B.2πC. πD. π210. 已知函数x x x f cos 41)(2+=的图像在点（)(,t f t ）处的切线的斜率为k ，则函数)(t g k =的 大致图像是（ ）11. 已知三棱锥D —ABC 四个顶点均在半径为R 的球面上，且AB=BC=2，AC=2，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）A.π81500B.π9100C.π925D. π412. 已知F 1，F 2是椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为63的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=1200，则C 的离心率为（ ） A.31B.21 C.32 D.41第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知双曲线C ：14222=-y a x 的焦距为34，则C 的离心率为 . 14. 已知55)4cos(=+πα，∈α(0，2π），则αtan = . 15. 《无字证明》就是将数学命题和简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来。

山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。

是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。

的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。

，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。

绝密★启用前湖南省怀化市普通高中2020届高三毕业班下学期高考仿真模拟考试(三模)数学(理)试题(解析版)2020年6月注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.2.考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}1,2,5A =，{}250B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则B =（ ） A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,4D. {}1,5【答案】C【解析】【分析】 根据{}1A B ⋂=可得1B ∈，从而得到m 的值，再代入求出二次方程的根，即可得到答案； 【详解】{}1A B ⋂=，∴1B ∈，∴150m -+=，解得：4m =， ∴{}{}{}22505401,4B x x x m x x x =-+==-+==， 故选：C.【点睛】本题考查利用集合交运算的结果求参数值，再进一步求集合，考查运算求解能力，属于基础题.2. 函数()tan()3π=+f x x 的最小正周期是（ ） A. 2π B. 4π C. π D. 2π【答案】C【解析】【分析】 根据三角函数图像变换分析()tan()3π=+f x x 的图像,再判断最小正周期即可. 【详解】因为()tan()3π=+f x x 的图像为tan y x =向左移动3π个单位,再将x 轴下方的部分往上翻折所得.故最小正周期与tan y x =相同为π.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的最小正周期,需要分析所得的图像与原图像间的关系求解.属于基础题.3. 已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，则“//αβ”是“m n ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条作C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件定义判断即可. 【详解】直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，∴若//αβ可得m β⊥，m n ⊥； 若m n ⊥，则m 不一定垂直β，∴α与β不一定平行；。

2020届高三年级适应性模拟测试理科数学本试卷共6页，23小题，满分150分， 考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =≤，则A B =I（A ）{|31}x x -≤≤ （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|32}x x -≤≤ （D ）{|2}x x ≤2．已知3i1iz -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 （A ）i - （B ）1- （C ） 1 （D ）23．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -4．若4cos5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan2αα+=-(A)12-(B)12(C) 2(D) 2-5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为(A)2π332(π3)--(B)32(π3)-(C)32(π3)+(D)2π332(π3)-+6．已知51(1)(2)axx x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(A) 80-(B) 40-(C) 40(D) 807．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不．正确的是.(A)样本中的女生数量多于男生数量(B)样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量(C)样本中的男生偏爱理科(D)样本中的女生偏爱文科8．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，l AK ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是(A) 4 (B) 33 (C) 34 (D) 89．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u uv u u u v则ADC ∠= 5()6A π 3()4B π 2()3C π ()2D π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于, P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三 点共线，则椭圆C 的离心率为 (A)13 (B) 23 (C) 83 (D) 32或8311． 设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）412． 设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++ (A) 有最大值而无最小值 (B) 有最小值而无最大值 (C) 既有最大值又有最小值，且两者不相等 (D)是一个与平面QRS 无关的常数第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 14. 已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x =π对称，则cos2_____ϕ=．15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为的等边三角形，PAB ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_________．16．已知函数22, 0,()e , 0,x x x f x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN ． （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．HPABCDM N19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，离心率为6的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点6(1,)M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．20. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：第x 年 12345678910旅游人数y （万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx y ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bxy ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②$bxy ae =µ1021()iii y y =-∑ 30407 14607①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑． ②刻画回归效果的相关指数µ22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e≈， 1.43 4.2e ≈．表中1ln ,10i i i i u yu u ===∑．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k+∈N 上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l 的参数方程为2,,x t y t =--⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程;（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为,A B ，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲](10分）已知实数正数x , y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭高三年级适应性测试理科数学参考答案及说明题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBCABDDACCCD13．___1_________； 14．____35____； 15．__48π___； 16. ___3ln22-_____ .17．（本小题满分12分）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.AC 解：连接,在4154AC 中，ABC 22=+=∆....................................................3分414sin ,415cos =∠=∠ACB ACB .…………………………….5分.)32cos(cos ACB ACD ∠-=∠π=412534414*23415*)21(-=+-…….9分312-65412534*3*412-341AD 中，ACD 在2=-+=∆…….12分18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN ． （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．HPABCDM N【解析】（1）证明：连结AC 、BD 且AC BD O =I ，连结PO ． 因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥，因为，AC PO O =I 且AC 、PO ⊂平面PAC ， 所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN I 平面PBD MN =， 所以，//BD MN ，MN ⊥平面PAC ，所以，MN PC ⊥． ……………………………….5分 （2）由（I ）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒， 所以，12AO PA =，32PO PA =，因为，3PA AB =，所以，36BO PA =. 以OA u u u r ，OD u u u r，OP uuu r分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系……….…..7分 记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，3(0,,0)3B -，(1,0,0)C -，3(0,,0)3D ，(0,0,3)P ，13(,0,)22H -，所以， 23(0,,0)BD =u u u r，33(,0,)2AH =-u u u r ，3(1,,0)AD =-u u u r .……………..8分 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =r ，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即23033022y x z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，23z =，所以，(2,0,23)n =r，.…………………….…..10分记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||4||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==r u u u rr u u u r r u u ur . ………………………………………………………………………………………….…..11分 所以，AD 与平面AMHN 所成角的正弦值为34.………………………………..…..12分19. （本小题满分12分）如图：在平面直角坐标系xOy 中，离心率为63的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点6(1,)3M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意，2226,,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b =，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．------------------------------------------4分（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得(3,1)G ±；--------------------------------------------------------------6分②当过点G 的椭圆C 的切线的斜率均存在时，设000(,), 3G x y x ≠± 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=，由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，--------------------------------------8分设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(3)x y x +=≠±，---------9分 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，所以211m +≤，所以2222m -≤≤．-------------------------11分综上所述，m 的取值范围为[22,22]-．---------------------------12分 20. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：第x 年 12345678910旅游人数y （万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 y x 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bxy ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②$bxy ae =µ1021()iii y y =-∑ 30407 14607解：（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，……1分 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程。

安徽省合肥市2020届高三高考数学（理科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()R C A B =（ ）A.{}23x x << B.{}23x x ≤<C.{}023x x x <≤<或D.{}023x x x ≤≤<或2.若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，z 1＝1+i ，则12z z ⋅＝（ ） A.﹣2B.﹣2iC.2D.2i3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为（ ） A.59B.49C.445D.21354.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个顶点到一条渐近线的距离为2a ，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.35.“关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是（ ） A.113a << B.12a ≥C.213a << D.112a ≤<6.已知tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝（ ）A.19C.137.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A.10101010887⨯-斗B.9101010887⨯-斗C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +b ＝2c cos B ，则2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A. B.3C. D.49.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝6，AA 1＝2，M 为棱BC 的中点，动点P 满足∠APD ＝∠CPM ，则点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线长等于（ ）A.23πB.πC.43π11.已知不等式e x ﹣x ﹣1＞m [x ﹣ln （x +1）]对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.（﹣∞，1]D.（﹣∞，e ]12.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝G ，H 分别为直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P .若2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是点N ，则PMN 的周长为（ ）A.12B.16C.24λD.32λ第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．14.在544x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 2的系数为______. 15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c .点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为S A ，S B ，S C ，S D .在下列所给的命题中，正确的有______.（请写出所有正确命题的编号） ①三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为（a 2+b 2+c 2）π； ②S A •S △BCO ＝S D 2； ③S A 3＜S B 3+S C 3+S D 3；④若三条侧棱与底面所成的角分别为α1，β1，γ1，则sin 2α1+sin 2β1+sin 2γ1＝1； ⑤若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为α2，β2，γ2，则cos 2α2+cos 2β2+cos 2γ2＝1.三、解答题（题型注释）17.已知函数()cos (sin )f x x x x ωωω=+（ω＞0）. （1）求函数f （x ）的值域；（2）若方程f （x [0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围. 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，11AC ，M 为线段AC 的中点.（1）求证：平面1BMC ⊥平面11A BC ； （2）求点C 到平面11A BC 的距离.19.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.20.已知函数()x x f x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R. （1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：2214x y +=上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点.（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线P A 的位置关系，并说明理由.22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.D【解析】1.先求得集合{|0R C A x x =≤或2}x ≥，再结合集合的交集运算，即可求解. 由题意，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<， 则{|0R C A x x =≤或2}x ≥，所以()R C A B ={0x x ≤或23}x ≤<.故选：D. 2.B【解析】2.首先求2z ，再根据运算法则求12z z ⋅的值. 由条件可知21z i =--()()12112z z i i i ∴⋅=+--=-，故选：B 3.C【解析】3.基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=，每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区的概率.解：从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，每个小区安排2人，则基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=， 每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为：849045m P n ===， 故选：C 4.D【解析】4.写出其中一条渐近线方程by x a=，整理成一般式0bx ay -=，顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离公式即可求解.渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 所以顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离2a d ==即12b c =，所以a c =离心率c e a ==故选：D 5.C【解析】5.首先根据题意得到221xxa =+，令2x t =，()111f t t =-+，再根据()f t 的范围结合选项即可得到答案.由题知：()212xxa +=，221xxa =+，令21x t =≥，()1111t f t t t ==-++， 因为1t ≥，11012t <≤+，所以()1,12f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是213a <<. 故选：C 6.B【解析】6.到1tan 3πα⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而注意到2tan tan 333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并利用两角和差的正切公式计算.11tan 3πα-⎛⎫⎪⎪=-=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2tan tan 333πππαα+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-==- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,故选：B. 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可． 由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10； 设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-；∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.B【解析】8.应用余弦定理化角为边，然后变形后应用基本不等式可得最小值．由余弦定理得2222cos 22a c b a b c B c ac +-+==⨯，21c ab b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2113b a b c b a b a =+⎛⎫+ ⎭+⎝⎪≥=，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立，所以2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选：B ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故349982.48v =≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.A【解析】10.根据∠APD ＝∠CPM ，求出在平面11DCC D 内P 点性质，确定其轨迹后可计算出交线长． 显然在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11DCC D ，PD ⊂平面11DCC D ，∴AD PD ⊥，同理MC PC ⊥，tan tan AD CMAPD CPM PD PC∠==∠=， 因为M 是BC 中点，所以1122CM BC AD ==，∴2PD PC =，在平面11DCC D 内以DC 中x 轴，棱DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图，则(3,0),(3,0)D C -，设(,)P x y ，由2PD PC =得2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得22(5)16x y -+=，所以P 为在以(5,0)H 为圆心，4为半径的圆上，由于14HC =<，因此该圆与11C D 交点，设交点为Q ，圆与CD 交于点K ，则P 点在侧面11DCC D 的轨迹就是圆弧QK ，作QN CD ⊥于N ，则12QN CC ==， 又4HQ =，∴6QHN π∠=，QK 的长度为2463ππ⨯=， 故选：A ．11.C【解析】11.设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，求出函数的导数，通过讨论m 的取值范围，结合函数的单调性判断.由题意可知，当0x >时，()1ln 10xe x m x x ----+>⎡⎤⎣⎦恒成立，设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，则()1111xf x e m x ⎛⎫'=--- ⎪+⎝⎭，()()21x m f x e x ''=-+， ①当0m ≤时，()0f x ''>恒成立，()f x '∴单调递增，()00f '=，0x ∴>时，()()00f x f ''>=，()f x ∴单调递增，又()00f =，0x ∴>时，()()00f x f >=，符合题意，②0m >时，()()321x mf x e x '''=++，()0f x '''∴>恒成立，()f x ''单调递增，()01f m ''=- ，（ⅰ）当10m -≥，即01m <≤时，与①同理，符合题意； （ⅱ）当10m -<，即1m 时，()00f ''<， 当x →+∞时，()0f x ''>，且()f x ''连续，∴由零点存在性定理可知，存在()00x ∈+∞,，使得()00f x ''=00x x ∴<<时，()0f x ''<，()f x '递减，又()00f '=，00x x ∴<<时，()0f x '<，()f x 递减，()00f =，00x x ∴<<时，()0f x <，不合题意，综上，m 的范围是(],1-∞. 故选：C 12.A【解析】12.分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用点斜式可写出直线AH 的方程和直线DG 的方程，然后将其联立成方程组求出点P 的坐标，进一步得到点P 的坐标满足2211612x y +=，最后结合椭圆的定义，求得PMN 的周长.解：分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,(0,(2,0),(2,0)A D M N --,因为2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），所以(8,(4,))H G λλ-， 所以直线AH的方程为82y x x λλ=-=- 直线DG的方程为y x =+=+，联立这两条件直线方程可得点28(1P λλ+ 所以2222224222222222228()6412(1)412(1)111161216(1)12(1)(1)(1)λλλλλλλλλλλλ-+-+++++=+===++++即点P 的坐标满足2211612x y +=，所以点P 的轨迹是以O 为对称中心，,N M分别为左右焦点的椭圆，其中4,2a b c ===，则椭圆的定义可知，28PM PN a +==所以PMN 的周长为8412PM PN MN ++=+= 故选：A 13.480；【解析】13.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 14.﹣960【解析】14.把式子化为二项式，然后写出二项展开式通项公式，令x 的指数为2，求得项数后得系数．10544x x =⎛⎫ ⎪⎝-+⎭，10511010(2)rr r r r rr T C C x --+⎛==- ⎝，令52r ，3r =，所求系数为3310(2)960C -=-．故答案为：960-． 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n nb -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④⑤【解析】16.建立空间直角坐标系，利用坐标法可以得到⑤正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得到④正确；由'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，进而可得②正确；构造长方体，可得①正确；特殊排除可知③错误.如图所示建立空间直角坐标系，设(),,M x y z ,并构造如图所示的长方体.ABFC DGHE - 连接DO 并延长交BC 于O',则'AO BC ⊥，则AM =222222222222cos cos cos 1x y z AM AM AM αβγ⎛⎫⎪++=++= ⎪⎝⎭,故⑤正确； 当M 与O 重合时，结论仍然正确，由于各侧棱与底面所成的角与侧棱与AO 所成的角互为余角，故④正确；由于'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，∴2'O A O O O D '=⨯',∴2A BCOD S S S ⋅＝,故②正确；三棱锥A ﹣BCD 外接球的的直径是长方体ABFC DGHE -的对角线2222,,AH AH a b c =++外接球的表面积为()()2222242R R a b c πππ==++,故①正确；当1a b c ===时，33331128BCDS S S ⎛⎫==== ⎪⎝⎭， 可得33338B C D S S S ++=，而33A S ==⎭3333A B C D S S S S >++,故③错误， 综上，正确的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤.17.（1）；（2）5463ω≤<．【解析】17.（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）解方程()2f x =，由第二小的正数解[0,]π∈，第三小的正数解大于π可得出ω的范围．（1）2()cos (sin )sin cos f x x x x x x xωωωωωω==+)1sin 2cos 2122x x ωω=++sin(2)32x πω=++， 因为sin(2)[1,1]3x πω+∈-，所以()f x的值域是22,]22． （2）()sin(2)3f x x πω=+=，sin(2)03x πω+=，23x k πωπ+=，显然0x ≠，32k x ππω-=，k Z ∈，因为方程在[0,]π上只有两个解，又0>ω，所以232332πππωπππω⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得5463ω≤<．18.（1）证明见解析；（2【解析】18.（1）首先根据四边形11A ACC为菱形，11AC 得到1ACC ∠△为等边三角形，从而易证1AC C M ⊥，AC BM ⊥，得到AC ⊥平面1BMC ，又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC ，再利用面面垂直的判定即可得到平面1BMC ⊥平面11A BC .（2）首先根据平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥得到1C M ⊥平面ABC .再以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到面的距离即可.（1）因为四边形11A ACC 为菱形，所以11A C AC ⊥.又因为11AC =，所以160ACC ∠=，即1ACC ∠△为等边三角形. 因为11AC CC =，M 为线段AC 的中点，所以1AC C M ⊥. 因为AB BC =，M 为线段AC 的中点，所以AC BM ⊥.又因为1C M BM M =，所以AC ⊥平面1BMC .又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC .又11A C ⊂平面11A BC ，所以平面1BMC ⊥平面11A BC . （2）因为平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥， 所以1C M ⊥平面ABC .以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：()0,1,0C，)B，(1C，(10,A -，则()110,2,0AC =，(1BC =-，(10,CC =-，设平面11A BC 的法向量(),,n x y z =，则1112030n AC y n BC ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()1,0,1n = 所以点C到平面11A BC 的距离1322CC n d n⋅===. 19.（1）28天；（2）①分布列见解析，25；②56750000.【解析】19.（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数； （2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；②甲不适宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，然后求解概率即可.解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(]90,110的天数为2天，所以估计空气质量指数在(]90,100的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴()224230920145C P X C ===，()11624230481145C C P X C ⋅===，()262301229C P X C ===， ∴X 的分布列为∴2()012145145295E X =⨯+⨯+⨯=. ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310， ∴2223219375671010101050000P C C ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎝⎭. 20.（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】20.（1）求导后，对a 分类讨论，利用导数符号可得函数的单调性； （2）根据1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数，可得当*n N ∈且2n ≥时，111ln 11n n n n >--+，再利用裂项求和可证不等式. （1）因为()x xf x e e a -'=+-，且2x x e e -+≥，所以当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上为增函数，当2a >时，由()0f x '>，得0x x e e a-+->，所以2()10x xe ae -+>，所以22()124x a a e ->-，所以22x ae ->或22xa e -<-，所以xe >xe <所以24ln2aa x 或24ln2aa x ，由()0f x '<，得0x x e e a -+-<，解得2244ln22a a aa x，所以()f x 在⎛⎝⎭上递减，在,ln ⎛-∞ ⎝⎭和⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增. （2）由（1）知，当2a =时，()2x xf x e e x -=--在R 上为增函数，所以1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数， 所以当*n N ∈且2n ≥时，13()(2)22ln 2ln 422g n g ≥=--=-=32ln 04e >，即12ln 0n n n-->，所以212211ln 1(1)(1)11n n n n n n n >==---+-+， 所以211111ln 2ln 23ln 34ln 4ln ni i i n n==++++∑ 1111111121213131414111n n >-+-+-++--+-+-+-+ 111121n n =+--+2322(1)n n n n --=+， 所以22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.（1）证明详见解析；（2）动点Q 的轨迹方程是2241x y +=，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.【解析】21.（1）根据对称性设点,A B 的坐标，再设()00,P x y ，代入斜率公式，化简即可；（2）由条件可知2OP OQ =-，利用点()00,P x y 的坐标满足220014x y +=，代入可得点Q 的轨迹方程，设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则由条件可知22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后分类讨论两种情况，当20y ≠和20y =，分别求直线PA 的方程，判断直线与曲线的位置关系.（1）设()00,P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --1010PA y y k x x -=-，1010PB y y k x x --=-- ()()()()()222210101010222210101101144PA PB x x y y y y y y k k x x x x x x x x ------⋅=⨯===------， 所以直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值14-； （2）设(),Q x y ，()00,P x y0OA OB OP ++=，∴点O 是ABP △的重心，且2OA OB OQ +=，2OP OQ ∴=-，即02x x =-，02=-y y ，220014x y +=，即2241x y +=， ∴动点Q 的轨迹方程是2241x y +=设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，①当20y ≠时，220022111414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减得：()()22221010104x x y y -+-=，化简得1010210102144y y x x x x x y y y -+=-⋅=--+，1021024PAy y x k x x y -∴==--， ∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，整理得2224x x y y +=-，将2224x x y y +=-代入动点Q 的轨迹方程得()()2222222244410x y x x x y +++-=，（Δ） 将222214x y +=代入（Δ），整理得2222440x x x x ++= ，222216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切；②当20y =时，()2,0B 或()2,0-，且PA k 不存在，即直线PA ⊥x 轴， 若()2,0B ，则()00,P x y ，()00,A x y -，002,22x y Q +⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 2OP OQ =-，00222x x +∴=-⨯，解得：01x =-， 同理可得，若()2,0B -，解得01x =，因此直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切，综上所述，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=，因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα． 由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=，当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。

2020届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（理）试题一、单选题1.设集合A=（xeZ||x|<2},B={y\y=l-x1},则AcB的子集个数为（）A. 4B.8C.16D.32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B,得到AC8,可求AnB的子集个数详解：A={xeZ|国<2}={xg Z|-2<x<2}={-2,-1,0.1,2},B={y|y=l_J}={y|y〈l},An B={-2,-1,0,1},AoB的子集个数为24=16.故选C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2.复数z=——在复平面内对应的点位于（）iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】化简复数为z=。

+初的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.【详解】。

I.z=b=l-2Z，该复数对应的点为（1,一2）,在第四象限.故选D.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）A.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份B.年接待游客量逐年增加C.月接待游客量逐月增加D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到。

错误.【详解】由折线图可知，每年游客量最多的月份为：7,8月份，可知A正确；年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知B正确；以2018年8月和9月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知C错误；每年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月的变化较小，数量更加稳定，可知。

正确.本题正确选项：C【点睛】本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.4.定义在R上的函数=偶函期«=/(log2|),Z,=/((l)3),c=f(m),贝ijA.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】由偶函数得到m=0,明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.【详解】/■⑴=(<)E—2为偶函数，.•.m=0,即/(x)=(|)W-2,且其在［0,+8)上单调递减，11又0<(一)3<1,111c=/(m)=f(0)罚=/((-)3)〉a=/(log2-)=/(1)故选：C【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面 积是16A,—5B.18C. 1032D,—5【答案】B【解析】边长为3的正方形的面积S 正您=9,设阴影部分的面积为S 网，由几何概型得S 阴 800了」=房而，由此能估计阴影部分的面积.'正方形【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其 包含在内,则边长为3的正方形的面积S 正",=9,设阴影部分的面积为S 耕..•该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分,..S 阴 800S 正方形2000… 800 ° 800 八 18解得S 阴=-----x ‘中方形=------x 9 =——2000 正方形 2000 51 Q..•估计阴影部分的面积是；.故选：B.【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6.已知向量q与》夹角为;，且\a\=\,|2a-Z?|=V3,贝\\\b\=A.也B.y/2C.1D.亟2【答案】C【解析】对\2a-b\=yf3两边平方，结合数量积的定义与法则即可得到结果.【详解】I,向量a与Z?夹角为：，且|«|=1 >|2a—Z?|=^3,p*一外=3，即4a2-4a-b+b2=3••.4一2种+祥=3,所以\b\=l,故选：C【点睛】本题考查利用数量积求模，考查数量积定义与运算法则，考查运算能力.7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题，松长三尺，竹长一尺,松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a,。

大庆实验中学2020届高三综合训练（一）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜3}，N ＝{x |y ＝lg （x 2﹣1）}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |﹣1＜x ≤1}2．已知复数z 满足z •（1+2i ）＝|3﹣4i |（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a ＝0.40.3，b ＝0.30.3，c ＝0.30.4，则（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a4．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm 的零件，各抽测10件进行测量，其结果如图，不通过计算从图中数据的变化不能反映和比较的数字特征是（ ） A ．极差 B ．方差 C ．平均数 D ．中位数 5．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”； ③若,a b 是实数，则“2a >”是“24a >”的必要不充分条件； ④命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.其中正确命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ﹣c cos B ＝2c •cos C ，则角C 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（ ）A ．B ．3C ．D ．8．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|．若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x +a ）＞f （x ）成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2）B ．（0，2）∪（﹣∞，﹣6）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，0）∪（6，+∞）10．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．2B．3C．4D．511．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④12．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．∪（1，+∞）B．∪[1，+∞）C．D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（﹣）5的展开式中x﹣2的系数是．14．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有种．（用数字填写答案）15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN ⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝．16．在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，数列{b n}的前2n项和为P2n，若，求正整数n的最小值．18.（12分）19．（12分）已知椭圆与抛物线D：y2＝﹣4x有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足，n∈N*，5n≤X＜5（n+1）．（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数2()23()x x f x e ax a e a R −=−+∈，其中 2.71828...e =为自然对数的底数． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当(0,)x ∈+∞时，222e ()3e 10()x x x a a x af x −−+−−+>恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2﹣2x +y 2＝0．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点M ，N 的极坐标； （2）设P 是椭圆上的动点，求△PMN 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|． （1）解关于x 的不等式：；（2）若f （x ）的最小值为M ，且a +b +c ＝M （a ，b ，c ∈R +），求证：．大庆实验中学2020届高三综合训练（一）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．解：N ＝{x |x 2﹣1＞0}＝{x |x ＞1或x ＜﹣1}，M ＝{x |﹣1＜x ＜3}， ∴M ∩N ＝{x |1＜x ＜3}． 故选：C ．2．解：由z •（1+2i ）＝|3﹣4i |＝5， 得，∴在复平面内复数z 对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限， 故选：D ．3．解析：0.30.3＞0.30.4，即b ＞c ＞0，而，即a ＞b ，∴a ＞b ＞c ， 故选：B ． 4．C由于极差反映了最大值与最小值差的关系，方差反映数据的波动幅度大小关系，平均数反映所有数据的平均值的关系，中位数反映中间一位或两位平均值的大小关系，因此由图可知，不通过计算不能比较平均数大小关系. 故选C . 5．【答案】B对于①，若 “p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，故①正确；对于②，命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”的否命题为“若x ＜2或y ＜3，则x +y ＜5”，故②错；对于③，因为2a <−时24a >，所以若a ，b 是实数，则“a ＞2”是“a 2＞4”的充分不必要条件，故③错； 对于④，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则其的逆否命题为真命题，故④正确． 故选：B ．6．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin （B ﹣C ）＝sin2C ，在锐角三角形中可求B ＝3C ，可得，且，从而解得C 的取值范围．【解答】解：∵b cos C ﹣c cos B ＝2c •cos C ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ﹣sin C cos B ＝2sin C cos C ， ∴sin （B ﹣C ）＝sin2C ， ∴B ﹣C ＝2C ， ∴B ＝3C ，∴，且，∴．故选：A．7．解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）2＝+2•+＝3，故||＝；∴＝•+﹣（+）•＝﹣（）≤+|+|•|﹣|＝+；当且仅当与反向时取等号．故选：C．8．解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影＝12×（×πR2﹣×R2×sin60°）＝（2π﹣3）R2，故所求概率为．故选：B．9．解析：依题意作出f（x）的图象，y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a ＜0时）平移|a|个单位而得，当a＞0时，y＝f（x）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立（对任意的x∈[﹣1，2]），故x∈（﹣2，0）∪（6，+∞），故选：D．10．解：不妨设P在第二象项，|FM|＝m，H（0，h）（h＞0），由知N（0，﹣2h），由△AFM～△AON，得（1），由△BOH～△BFM，得（2）（1），（2）两式相乘得，即c＝3a，离心率为3．故选：B．11．解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．12．解：求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，h（x）在递减，在递增，显然在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，（原定义域x＞0，这里为方便讨论，考虑h（0）），当t≥1时，直线y＝t与只有一个交点即φ（x）只有一个零点（该零点值大于1）；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时在x＝1两侧附近同号，使得x＝1不是极值点不合．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．解：展开式通项，依题意，，得r＝3，所以：x﹣2的系数是．故答案为：﹣80．14．解：根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有C41种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，所以不同的分配方案数共有．故答案为：240．15．解：设准线l与x轴交于E．易知F（1，0），EF＝2，由抛物线定义知|MN|＝|MF|，由于∠NMF＝60°，所以△NMF为等边三角形，∠NFE＝60°，所以三角形边长为|NM|＝＝2|FE|＝4，又OD是△FEN的中位线，MD就是该等边三角形的高，，故答案为：2．16．解：∵在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，∴AB⊥CD，又GE∥CD，GF∥AB，∴GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE，90°]，∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．故答案为：[0，]．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，且不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得P2n，解不等式可得所求最小值．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为a1＝d，又S 3＝3a 1+3d ＝6，可得a 1＝d ＝1，所以数列{a n }是以1为首项和公差的等差数列， 故综上；（2）由（1）可知， 所以＝，所以，故n 的最小值为505． (2)法二：所以当n 为奇数时+11111+=21212123n n b b n n n n −++−+++－112123n n =+−+－ ()()()21234212+++11111155743411=141n n nP b bb b b b n n n −=+++=−+−++−+−+−++ 所以，故n 的最小值为505． 18.19．解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a2＝b2+1，又两曲线在第二象限内的交点Q（x Q，y Q）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+x Q＝2（﹣x Q+1），得，则，代入到椭圆方程，得．由，解得a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆的方程为．（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则2122834kx xk−+=+，，由于OABM为平行四边形，得，故，若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．20．解：（1）根据题意，X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），∵70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，∴n＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P＝5Y＝．，解得k＝，∴n的对值是14，15，16，17，18，19，k＝．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是：，我们用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，则P（W）＝P（B1+B21+B22A22+B32A22）＝P（B1）+P（B21）+P（B22）P（A22）+P（B32）P（A22）＝+＝．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，P （ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝， P （ξ＝1）＝， P （ξ＝2）＝， ∴ξ的分布列为：E ξ＝＝．21. （1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令()()221210x g x e x a x ax a =−−−+−+只需在()0,x ∈+∞使()min 0g x >即可，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可．解：（1）由题意可知，()22223'23x x x x x e ae a f x e a a e e −−−=−−= ()()3x x x e a e a e−+=， 当0a =时，()'0xf x e =>，此时()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，令()'0f x =，解得()ln 3x a =，当()(),ln 3x a ∈−∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()()ln 3,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增；当0a <时，令()'0f x =，解得()ln x a =−，当()(),ln x a ∈−∞−时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()()ln ,x a ∈−+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增；综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()(),ln 3x a ∈−∞时，()f x 单调递减， ()()ln 3,x a ∈+∞时单调递增；当0a <时，()(),ln x a ∈−∞−时，()f x 单调递减， ()()ln ,x a ∈−+∞时单调递增．（2）由()()222310x x ex a a e x a f x −−+−−+>， 可得，()2212100x e x a x ax a −−−+−+>，令()()221210x g x e x a x ax a =−−−+−+，只需在()0,x ∈+∞使()min 0g x >即可，()()()()'1222x x x g x e x a e x a e x a =−−+−+=−−，①当0a ≤时，0x a −>，当0ln2x <<时，()'0g x <，当ln2x >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,ln2上是减函数，在()ln2,+∞上是增函数，只需()()22ln22ln22ln 22ln280g a a =−+−−++>， 解得ln24ln22a −<<+，所以ln240a −<≤；②当0ln2a <<时，()g x 在()0,a 上是增函数，在(),ln2a 上是减函数，在()ln2,+∞上是增函数，则()()2000g ln g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，解得0ln2a <<， ③当ln2a =时，()'0g x ≥，()g x 在()0,+∞上是增函数，而()209ln2ln 20g =−−>成立， ④当ln2a >时，()g x 在()0,ln2上是增函数，在()ln2,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，则()()2100090a g a e g a a ⎧=−>⎪⎨=−−≥⎪⎩，解得ln2ln10a <<． 综上，a 的取值范围为()ln24,ln10−.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．解：（1）曲线C 的方程为x 2﹣2x +y 2＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cos θ．联立，得M （0，0），．（2）易知|MN |＝1，直线．设点P （2cos α，sin α），则点P 到直线l 的距离．∴（其中）． ∴△PMN 面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（1）当x＜0时，等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式恒成立，……（1分）当0＜x≤1时，f（x）＞等价于x2﹣2x＞0，该不等式解集为ϕ，……（2分）当x＞1时，等价于x2+2x﹣2＞2，解得，………（3分）综上，x＜0或，所以不等式的解集为．…………………（5分）证明：（2），易得f（x）的最小值为1，即a+b+c＝M＝1……………………………（7分）因为a，b，c∈R+，所以，，，所以≥2a+2b+2c＝2，……………………（9分）当且仅当时等号成立．…………………………………………（10分）。

第 1 页 共 8 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0( C ．]1,21( D ．]21,0( 2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i 3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 444． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+5．若)()1(*3N n xx x n ∈+ 的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ） A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为A.211B.25C.21D. 23 9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）。