2020年太原市高三二模考试数学理科参考答案

2020届山西省太原市理科数学高考二模试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＞0}．B＝{﹣1，0，1，2}，则（）A．A∩B＝{2}B．A∪B＝RC．B∩（∁R A）＝{﹣1，2}D．B∪（∁R A）＝{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．1B．﹣1C．D．3．（5分）已知，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b4．（5分）如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n≡N（modm）表示正整数n除以正整数m的余数为N，例如10≡4（mod6）．执行该程序框图，则输出的n等于（）A．11B．13C．14D．175．（5分）若是两个非零向量，且．则向量与夹角的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N人，让每人随机写出一对小于1的正实数a，b，再统计出a，b，1能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是（）A．B．C．D．8．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）9．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）．若△MAB的面积为，则|AB|＝（）A．2B．4C．D．810．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝．数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•（2n+1）a n，则数列{b n}的前100项和T100为（）A．B．C．D．11．（5分）对于函数．有下列说法：①f（x）的值城为[﹣1，1]；②当且仅当时，函数f（x）取得最大值；③函数f（x）的最小正周期是π；④当且仅当时f（x）＞0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）三棱锥P﹣ABC中．AB⊥BC，△P AC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π．则三棱锥体积的最大值为（）A．1B．2C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（x﹣1）（ax+1）5的展开式中，x2的系数为0，则实数a＝．14．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线上一点，若△P AB为等腰三角形，∠P AB＝120°，则双曲线的离心率为．15．（5分）已知数列{a n}满足（n∈N*），且a2＝6，则{a n}的通项公式为．16．（5分）改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大．则以上说法中正确的序号是．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9974三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且△ABC外接圆的半径为1．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD相交于点O，四边形ACFE为梯形，EF∥AC，点E在平面ABCD上的射影为OA的中点，AE与平面ABCD所成角为45°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；（Ⅱ）求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．19．（12分）已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y＝1被椭圆截得的弦的中点坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程．20．（12分）为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x∈[14，15]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是，，．若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax+1．（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；（Ⅱ）f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点．x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线C2交于O，P两点，射线与曲线C1交于点Q，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数．（Ⅰ）若a+b+c＝1，证明：；（Ⅱ）证明：．。

1. 2. 3. 4. 5. 6.2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）副标题、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分） 已知集合 0， A.C.已知 a 是实数， 是纯虚数，则 A. 1 B.1， ，则B.D.a 等于 C.已知 ，则 A. B.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 表示正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N ，例如 执行该程序框图，则 输出的 n 等于 A.11C.D.中国剩余定理若 是两个非零向量，且 夹角的取值范围是A. B.C. D.17D.则向量 与7. 圆周率 是数学中一个非常重要的数， 历史上许多中外数学家利用各种办法对 进 行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生 N 人，让每人随机写出一对小于 1 的正实数 a ， 人数 M ，利用所学的有关知识，则可估计出A. B.b ，再统计出 a ，b ，1 能构造锐角三角形的 的值是C.对于函数 有下列说法： 的值城为 ；当且仅当 时，函数 取得最大值； 函数 的最小正周期是 ； 当且仅当 时 ． 其中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4三棱锥 中． ， 为等边三角形，二面角 的 余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 则三棱锥体积 的最大值为A. 1B. 2C.D. 填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）已知 的展开式中， 的系数为 0，则实数 _______________________ 已知双曲线 的左右顶点分别为 A ，B ，点 P 是双曲线上一点，若 为等腰三角形， ，则双曲线的离心率为 _____________________ ． 已知数列 满足 ，且 ，则 的通项公式为 ．改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便 了人们的出行需求． 某城市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间， 上班通常乘坐 公交或地铁加步行． 已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟， 乘坐公交 到离单位最近的公交站所需时间 单位：分钟 服从正态分布 ，下车后 步行再到单位需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间单位：分钟 服从正态分布 ，从地铁站步行到单位需要 5 分钟．现有下列说法：8. 9. 10. 11.12.二、13. 14.15. 16.解集为 A. C.过抛物线 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A ，B 两点，设点 若的面积为 ，则 A. 2 B.4 B. D.D.8C. 已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 数列 满足 ，则数列 的前 100 项和 为A. B. C.D.设奇函数 在 上为增函数，D.且 ，则不等式 的若8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到；若8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；若8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；若8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大．则以上说法中正确的序号是______ ．参考数据：若，则，，三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若且外接圆的半径为1 ．Ⅰ 求角C ；Ⅱ 求面积的最大值．18.如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，，对角线AC与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为．Ⅰ 求证：平面ACF ；Ⅱ 求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．19.已知，是椭圆C ：的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线被椭圆截得的弦的中点坐标为．Ⅰ 求椭圆C 的方程；Ⅱ 过的直线l 交椭圆于A ，B 两点，当面积最大时，求直线l 的方程．20.为实现2020 年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400 件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足：为一级品，为二级品，为三级品．Ⅰ 现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400 件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40 件产品中，抽取2件尺寸的产品，记为这2 件产品中尺寸的产品个数，求的分布列和数学期望；Ⅱ 将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100 件产品，每件产品的检验费用为50 元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200 元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10 件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由；Ⅲ 为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500 元件；二级品的利润为400 元件；三级品的利润为200元件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是，，若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．21.已知函数．Ⅰ 若函数有两个零点，求a 的取值范围；Ⅱ 恒成立，求a 的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ 求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；Ⅱ 射线与曲线交于O ，P 两点，射线与曲线交于点Q，若的面积为1，求的值．23.已知a，b，c 为正实数．Ⅰ 若，证明：；Ⅱ 证明：．答案和解析1.【答案】A{ 解析} 解：或．故选：A．先求出集合A，再求两集合的交，并，补，可判断正误．本题考查集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】A{ 解析} 解：是纯虚数，，，解得，故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】B{ 解析} 解：，，，，，，，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.【答案】D{ 解析} 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数：被3 除余2，被4 除余1，故输出的n 为17 ，故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5.【答案】C{ 解析} 解：根据题意，设，则，再设向量与夹角为，则有，变形可得：，则有 形可得 ，又由 ，则 ，则有 ，故选： C ．根据题意，设，向量 与 夹角为 ，又由 ，由向量模的计算公式变形可得： ，进而可得 的值，由数量积公式可得 ，结合 m 的范围，分析可得 的范围， 结合余弦函数的性质分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．6.【答案】 A { 解析 } 【分析】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键． 根据 的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可． 【解答】 解：设 ，，排除 C ， D ，选项 B 中一个 x 值对应两个 y 值，不是函数，排除 B ， 故选： A ．7.【答案】 B {解析}解：学校共有学生 N 人，每人随机写出一对小于 1的正实数 a ，b ，得到 N 个实 数对 ，因为 ， ，所以 N 个实数对 都在边长为 1的正方形 AOBC 内， 如图所示：，变又由 ，则有 ，即 的取值范围为 ；若 a ，b ，1 能构造锐角三角形，因为 1是最长边，所以 所以 ，即 ，由几何概率的概率公式可得： 所以 故选： B ．N 个实数对 都在边长为，所以 N 对实数对落在单位圆 外的有 M 对，再利用几何概率的概率公式即可求出 的近似值．本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题．8.【答案】 D{ 解析 } 解： 为奇函数，且在 上是增函数， ，，在 内也是增函数，即或根据在 和 内是都是增函数 解得： 故选： D ．根据函数为奇函数求出 ，再将不等式 x 分成两类加以分析， 再分别利 用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础 题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．9.【答案】 D1 所对的角为锐角， 所以 N 对实数对落在单位圆外的有 M 对，1 的正方形 AOBC 内，若 a ，b ， 1 能构造锐角三角形，则{ 解析} 解：抛物线的焦点F 为，可设直线l 的方程为，代入抛物线方程，可得，设，，可得，，则，的面积为，即，解得，则，故选：D ．求得抛物线的焦点F 的坐标，可设直线l 的方程为，联立抛物线的方程，消去x，可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得t ，进而得到所求值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】C{ 解析} 解：，当时，有，解得；当时，可解得，故猜想：，下面利用数学归纳法证明猜想：当，2 时，由以上知道显然成立；假设当时，有成立，此时成立，那么当时，有解得，这说明当时也成立．，由知：数列的前100 项和故选：C．由求出，，猜想出，然后用数学归纳法证明猜想，再使用裂项相消法求数列的前100 项和．本题主要考查数学归纳法在求数列通项公式中的应用及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．11. 【答案】 B{ 解析 } 解：因为，错误； 函数的最 小正周期是 ， 错误； 当且仅当 时，函数 取得最大值， 正确； 当且仅当 时， ， 正确． 故选： B ．根据绝对值的定义将函数 写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真 假． 本题主要考查分段函数的图象，以及三角函数的图象与性质的应用，属于中档题．12. 【答案】 D{ 解析 } 解：如图所示， 过点 P 作 面 ABC ，垂足为 E ，过点 E 作 交 AC 于点 D ，连接 PD ，则 为二面角 的平面角的补角，即有易知 面 PDE ，则，而 为等边三角形，为 AC 中点， 设 ， ， ，设三棱锥 由已知， 过点 O 作于F ，则四边形 ODEF 为矩形，故三棱锥 的体积为：当且仅当时，体积最大，此时 B 、D 、E 共线． 的外接球的球心为O ， ，得 ．半径为 R ，，作出函数 的图象，如图所示：所以， 的值 城为在中，，解得三棱锥的体积的最大值为：故选：D ．由已知作出图象，找出二面角的平面角，设出AB，BC，AC 的长，即可求出三棱锥的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值用含有AC 长度的字母表示，再设出球心O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求．本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题．13.【答案】{ 解析} 解：原式，因为，故原式项为：，令，即，解得或舍．故答案为：．将原式转化为，然后利用的通项研究．本题考查二项式展开式通项的应用，以及学生利用方程思想解决问题的能力．属于基础题．14.【答案】{ 解析} 解：设在第二象限，由为等腰三角形，，可得，可得，，即，由P 在双曲线上，可得，即有，即，可得故答案为：．设在第二象限，由题意可得，求得P的坐标，代入双曲线的方程，化简可得a，b 的关系，即可得到所求离心率．本题考查双曲线的方程和性质， 考查任意角三角函数的定义， 考查方程思想和运算能力， 属于基础题．15.【答案】{ 解析 } 解：数列 满足 ，，又 满足上式，，故答案为： ．第二项开始是常数列， 所以 ，从而求出 ，验证首项满足 ，进而得到 的通项公式． 本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16.【答案】{ 解析 } 解：若 8：00 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 服从正态分布 ， 故当满足江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故 错误； 若 8： 02 出门，江先生乘坐公交． 从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 服从正态分布 ，故当满足 时，江先生乘 坐公交不会迟到； 若 8： 02 出门，江先生乘坐地铁． 从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5分钟，当 时， 当 时，数列 从第二项开始是常数列，又易求 ，当 时，对已知等式变形得 ，所以数列 从乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故正确；若8：06 出门，江先生乘坐公交．从家到车站需要5 分钟，下车后步行再到单位需要12 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：06 出门，江先生乘坐地铁．从家到车站需要5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故错误；若8：12 出门，江先生乘坐公交．从家到车站需要5 分钟，下车后步行再到单位需要12 分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘坐公交不会迟到，而；若8：12 出门，江先生乘坐地铁．从家到车站需要5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到．由，若8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故正确．故答案为：．利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率，逐项分析，即可选出正确答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，是中档题．17【. 答案】解：Ⅰ 由正弦定理，可得，，，由余弦定理可得Ⅱ 由正弦定理 ，可得 ， 由余弦定理 ，可得，当且仅当 时等号成立，可得 ，当且仅当 时等号成立，即 面 积的最大值为 ．{ 解析 } Ⅰ 由已知利用正弦定理可得 ， ， ，代入已知等利用三角形的面积公式可求 本题主要考查了正弦定理，余弦定理可，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18. 【答案】 解： Ⅰ 证明：取 AO 中点 H ，连结 EH ，则 平面ABCD ， 在平面 ABCD 内， ， 又菱形 ABCD 中， ，且 ， EH ，AC 在平面 EACF 内， 平面 EACF ， 平面 ACF ． Ⅱ 解：由 Ⅰ 知 平面 ABCD ，以 H 为原点， HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，平面 ABCD ， 为AE 与平面 ABCD 所成的角，即 ，， ， ， ，0， ， 0， ， ，0， ， 0，，平面 ABCD 的法向量0， ，0， ， ， ，0，，设平面 DEF 的法向量y ， ，，取 ，得 ，式整理可得 ，由余弦定理可得 cosC ， 结合范围 ，可求 C 的值．Ⅱ 由正弦定理可得 c ， 由余弦定理，基本不等式可求 ，进而面积的最大值．平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为{ 解析 } Ⅰ 取 AO 中点 H ，连结 EH ，则 平面 ABCD ，从而 ，再由，能证明 平面 ACF ．Ⅱ 以 H 为原点， HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴，HE 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 【答案】解： 设直线 则，解得 ，椭圆 C 的方程为 ．Ⅱ 由 Ⅰ 可得 ， ，设 ， ， 讲直线 l 的方程 代入 ，可得 ， 则，， ，当且仅当 ，即 ， 面积最大， 即直线 l 的方程为 或 ．{ 解析 } Ⅰ 利用点差法和斜率公式即可求出；Ⅱ 设 ， ，联立直线与椭圆的方程可得 ， 由三角形面积公式和基本不等式即可求出．本题考查椭圆的几何性质， 考查椭圆的标准方程， 解题的关键是确定几何量之间的关系， 利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．20.【答案】 解： 抽取的 40 件产品中，产品尺寸的件数为：，其中 的产品件数为 ， 的可能取值为 0，1， 2，的分布列为：Ⅰ 直线 与 y 轴的交于 点， ，与椭圆 C 交于点 ， ，两式相减可得，，三级品的概率为，若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用；若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用，，故不对剩余产品进行逐一检验．设甲设备生产一件产品的利润为，乙设备生产一件产品的利润为，则，．应选购乙设备．{ 解析} 计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算；计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论；分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ 由已知得，．当时，，此时是增函数，故不会有两个零点；当时，由，得，此时；当．所以时，取得极大值，由有两个零点，所以，解得．又，所以在有唯一零点．再取，则．所以在有唯一实数根．a 的取值范围是．Ⅱ 恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立．令，则．令，则所以在上递增．令，在上，，所以在上递增，而在上，，即，所以在上递减；在上，，即，故在上递增．所以a 的取值范围是．{ 解析} Ⅰ 研究函数的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于 a 的不等式求解；Ⅱ 不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所以可分离参数a，即问题转化为在上恒成立．再研究函数的单调性，求其最小值即可．本题考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，从而解决函数的零点、不等式恒成立问题．属于较难的题目．22.【答案】解：Ⅰ 曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为：．Ⅱ 由于，设点，由于直线的极坐标方程为．而，．为参数，转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的参数方程为根据所以 ，解得 ，所以 ， 所以 ．{ 解析 } Ⅰ 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． Ⅱ 利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性 质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的 距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. 【答案】 证明： Ⅰ”时取等号；且仅当“ ”时取等号．{ 解析 } Ⅰ 直接利用基本不等式即可得证； Ⅱ 通过变形，再利用柯西不等式直接证明即可．本题考查基本不等式及柯西不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．，当且仅当“。

2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|x2+x-2＞0}．B={-1，0，1，2}，则（ ）A. A∩B={2}B. A∪B=RC. B∩（∁RA）={-1，2}D. B∪（∁RA）={x|-1＜x＜2}2. 已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a 等于（ ）A. 1B. -1C.D.3. 已知，则（ ）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. c＜a＜b4. 如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n≡N（modm）表示正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N，例如 10≡4（mod6）．执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ）A. 11B. 135. 若 是两个非零向量，且角的取值范围是（ ）A.B.C. 14 C.6. 函数的图象大致为（ ）D. 17．则向量 与 夹D.第 1 页，共 16 页A.B.C.D.7. 圆周率 π 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 π 进 行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生 N 人， 让每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的 人数 M，利用所学的有关知识，则可估计出 π 的值是（ ）A.B.C.D.8. 设奇函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式＜0 的解集为（ ）A. （-1，0）∪（1，+∞）B. （-∞，-1）∪（0，1）C. （-∞，-1）∪（1，+∞）D. （-1，0）∪（0，1）9. 过抛物线 y2=4x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M（3，0）．若△MAB的面积为 ，则|AB|=（ ）A. 2B. 4C.D. 810. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an=．数列{bn}满足 bn=（-1）n•（2n+1）an，则数列{bn}的前 100 项和 T100 为（ ）A.B.C.D.11. 对于函数．有下列说法：①f（x）的值城为[-1，1]；②当且仅当时，函数 f（x）取得最大值；③函数 f（x）的最小正周期是 π；④当且仅当时 f（x）＞0．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 三棱锥 P-ABC 中．AB⊥BC，△PAC 为等边三角形，二面角 P-AC-B 的余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 8π．则三棱锥体积的最大值为（ ）A. 1B. 2C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知（x-1）（ax+1）5 的展开式中，x2 的系数为 0，则实数 a=______．14. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB=120°，则双曲线的离心率为______．15. 已知数列{an}满足（n∈N*），且 a2=6，则{an}的通项公式为______．第 2 页，共 16 页16. 改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便 了人们的出行需求．某城市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐 公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟，乘坐公交 到离单位最近的公交站所需时间 Z1（单位：分钟）服从正态分布 N（33，42），下 车后步行再到单位需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2（单 位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要 5 分钟．现有下 列说法： ①若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到； ②若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是______． 参考数据：若 Z～N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜Z≤μ+σ）=0.6826， P（μ-2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544， P（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，且△ABC 外接圆的半径为 1． （Ⅰ）求角 C； （Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18. 如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形，∠BAD=60°，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 四边形 ACFE 为梯形，EF∥AC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，AE 与 平面 ABCD 所成角为 45°． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 ACF； （Ⅱ）求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值．第 3 页，共 16 页19. 已知 F1，F2 是椭圆 C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线 x+y=1 被椭圆截得的弦的中点坐标为．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，当△ABF2 面积最大时，求直线 l 的方程．20. 为实现 2020 年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学 研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可 以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件 的尺寸 x，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足：|x-12|≤1 为一级品，1＜|x-12|≤2 为二级品，|x-12|＞2 为三级品． （Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽 取 40 件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2 件尺寸 x∈[12，15]的产品，记 ξ 为这 2 件产品中尺寸 x∈[14，15]的产品个数，求 ξ 的分布列和数学期望； （Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有 100 件产 品，每件产品的检验费用为 50 元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二 级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付 200 元补偿．现从一 箱产品中随机抽检了 10 件，结果发现有 1 件三级品．若将甲设备的样本频率作为 总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检 验？请说明理由； （Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利 润为 500 元/件；二级品的利润为 400 元/件；三级品的利润为 200 元/件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是 ， ， ．若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．第 4 页，共 16 页21. 已知函数 f（x）=lnx+ax+1． （Ⅰ）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （Ⅱ）f（x）≤xex 恒成立，求 a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），曲线 C2的参数方程为（α 为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线 C2 交于 O，P 两点，射线与曲线 C1交于点 Q，若△OPQ 的面积为 1，求|OP|的值．23 已知 a，b，c 为正实数．（Ⅰ）若 a+b+c=1，证明：；（Ⅱ）证明：．2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）【答案】答案和解析第 5 页，共 16 页1. A2. A3. B8. D9. D10. C13.14. 15. 2n2-n 16. ②④17. 解：（Ⅰ）∵由正弦定理又，4. D 11. B5. C6. A7. B12. D，可得 sinA= ，sinB= ，sinC= ，∴= ，∴a2-b2= ab-b2，即 ∵C∈（0，π）， ∴C= ．= ，由余弦定理可得 cosC==，（Ⅱ）由正弦定理，可得 c=2sin = ，由余弦定理 2=a2+b2-2ab ≥2ab- ab=（2- ）ab，可得 ab≤ =2+ ，当且仅当 a=b 时等号成立， 可得 S△ABC= absinC= ab≤ ，当且仅当 a=b 时等号成立，即△ABC 面积的最大值为．18. 解：（Ⅰ）证明：取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH∥平面 ABCD，∵BD 在平面 ABCD 内，∴EH⊥BD， 又菱形 ABCD 中，AC⊥BD，且 EH∩AC=H， EH，AC 在平面 EACF 内， ∴BD⊥平面 EACF，∴BD⊥平面 ACF． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 EH⊥平面 ABCD， 以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵EH⊥平面 ABCD，∴∠EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即∠EAH=45°， ∵AB=4，∴AO=2 ，AH= ，EH= ， ∴H（0，0，0），A（ ，0，0），D（- ，-2，0），O（- ，0，0），E（0，0， ），平面 ABCD 的法向量 =（0，0，1），=（-2 ，0，0）， =（），∵EF∥AC，∴=（-2 λ，0，0），设平面 DEF 的法向量 =（x，y，z），第 6 页，共 16 页则，取 y= ，得 =（0， ，-2），∴cos＜ ＞= = =- ．∴平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为=．19. 解：（Ⅰ）直线 x+y=1 与 y 轴的交于（0，1）点，∴b=1，设直线 x+y=1 与椭圆 C 交于点 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2= ，y1+y2= ，∴ + =1， + =1，两式相减可得 （x1-x2）（x1+x2）+ （y1-y2）（y1+y2）=0，∴ =-，∴- • =-1，解得 a2=3， ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 F1（- ，0），F2（- ，0），设 A（x3，y3），B（x4，y4）， 讲直线 l 的方程 x=my- 代入 +y2=1，可得（m2+3）y2-2 my-1=0，则 y3+y4= ，y3y4= ，|y3-y4|==，∴= |F1F2|•|y3-y4|= |•|y3-y4|==≤ =，当且仅当=，即 m=±1，△ABF2 面积最大，即直线 l 的方程为 x-y+ =0 或 x+y+ =0．20. 解：（I）抽取的 40 件产品中，产品尺寸 x∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]=18， 其中 x∈[14，15]的产品件数为 40×（0.075×1）=3， ∴ξ 的可能取值为 0，1，2，∴P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，∴ξ 的分布列为：ξ012P第 7 页，共 16 页∴Eξ=0× +1× +2× = ．（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175， 若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用 50×100=5000； 若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用 50×10+200×90×0.175=3650， ∵5000＞3650， 故不对剩余产品进行逐一检验． （III）设甲设备生产一件产品的利润为 y1，乙设备生产一件产品的利润为 y2， 则 E（y1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415，E（y2）=500× +400× +200× =420．∵E（y1）＜E（y2）． ∴应选购乙设备．21. 解：（Ⅰ）由已知得 x＞0，．①当 a≥0 时，f′（x）＞0，此时 f（x）是增函数，故不会有两个零点；②当 a＜0 时，由，得，此时；当．所以 ＜0． 又时，f（x）取得极大值，由 f（x）有两个零点，所以 ，所以 f（x）在（0， ）有唯一零点．，解得-1＜a再取，则．所以 f（x）在（）有唯一实数根．a 的取值范围是（-1，0）．（Ⅱ）f（x）≤xex 恒成立，即 xex≥lnx+ax+1 在（0，+∞）上恒成立，即+∞）上恒成立．令 g（x）=，则．在（0，令 h（x）=x2ex+lnx，则＞0．所以 h（x）在（0，+∞）上递增．而 h（1）=e＞0，h（ ）=，故存在使得 h（x0）=0，即．∴=．令 λ（x）=xex，在（0，+∞）上，λ′（x）=（x+1）ex＞0，所以 λ（x）在（0，+∞）上递增，∴．而在（0，x0）上，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，所以 g（x）在（0，x0）上递减；在（x0， +∞）上，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，故 g（x）在（x0，+∞）上递增．第 8 页，共 16 页所以 g（x）min=g（x0）==所以 a 的取值范围是（-∞，1]．，∴a≤1．22. 解：（Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为：x-y+1=0． 曲线 C2 的参数方程为（α 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0，根据，转换为极坐标方程为 ρ=4cosθ．（Ⅱ）由于 ρ=4cosθ，设点 P（4cosβ，β），由于直线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ-ρsinθ+1=0．得到 Q（），所以，解得 cosβ=sinβ，所以 ，所以|OP|=4cos．23. 证明：（Ⅰ）=，当且仅当“a=b=c”时取等号；（Ⅱ）==“a=b=c”时取等号． 【解析】1. 解：∵A={x|x2+x-2＞0}={x|x＜-2 或 x＞1}．∴A∩B={2}．故选：A． 先求出集合 A，再求两集合的交，并，补，可判断正误． 本题考查集合的基本运算，属于基础题．2. 解：∵是纯虚数，∴，0，解得 a=1，故选：A． 利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3. 解：∵，∴0＜a＜ ，∵log0.50.2=log25＞log24，∴b＞2，∵0.51＜0.50.2＜0.50，∴，∴a＜c＜b， 故选：B． 利用对数函数和指数函数的性质求解．，当且仅当第 9 页，共 16 页本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用．4. 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被 3 除余 2， ②被 4 除余 1， 故输出的 n 为 17， 故选：D． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于基础题．5. 解：根据题意，设| |=| |=t，则| + |=mt，再设向量 与 夹角为 θ，则有| + |2=（ + ）2= 2+ 2+2 • =m2t2，变形可得： • = -t2，则有| - |2=（ - ）2= 2+ 2-2 • =2t2-2（ -t2）=4t2-m2t2，变形可得| - |=t，则 cosθ==== × =- ×，又由 1≤m≤ ，则 1≤≤ ，则有- ≤cosθ≤- ，又由 0≤θ≤π，则有 ≤θ≤ ，即 θ 的取值范围为[ ， ]； 故选：C． 根据题意，设| |=| |=t，向量 与 夹角为 θ，又由| + |=mt，由向量模的计算公式变形可得： • = -t2，进而可得| - |的值，由数量积公式可得 cosθ==- ×，结合 m 的范围，分析可得 cosθ 的范围，结合余弦函数的性质分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．6. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键． 根据 f（1）的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：设，f（1）= ＞0，排除 C，D，选项 B 中一个 x 值对应两个 y 值，不是函数，排除 B， 故选：A．7. 解：学校共有学生 N 人，每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，得到 N 个实数对（a，b）， 因为 0＜a＜1，0＜b＜1，所以 N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内， 如图所示：第 10 页，共 16 页若 a，b，1 能构造锐角三角形，因为 1 是最长边，所以 1 所对的角为锐角，所以，即 a2+b2＞1，所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y2=1 外的有 M 对，由几何概率的概率公式可得：=1- ，所以 π=，故选：B． N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内，若 a，b，1 能构造锐角三角形， 则 a2+b2＞1，所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y2=1 外的有 M 对，再利用几何概率的概率 公式即可求出 π 的近似值． 本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题．8. 解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，∴f（1）=-f（-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数∴= ＜0，即或根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x∈（-1，0）∪（0，1） 故选：D． 根据函数为奇函数求出 f（1）=0，再将不等式 x f（x）＜0 分成两类加以分析，再分别 利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集． 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础 题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．9. 解：抛物线 y2=4x 的焦点 F 为（1，0），可设直线 l 的方程为 x=ty+1，代入抛物线方程，可得 y2-4ty-4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 y1+y2=4t，y1y2=-4，则|AB|=•|y1-y2|=•=•，第 11 页，共 16 页△MAB 的面积为 |MF|•|y1-y2|= ×2|y1-y2|=4 ，即=4 ，解得 t=±1，则|AB|=•=8，故选：D．求得抛物线的焦点 F 的坐标，可设直线 l 的方程为 x=ty+1，联立抛物线的方程，消去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得 t，进而得到所求值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10. 解：∵，∴当 n=1 时，有 a1=，解得 a1= ；当 n=2 时，可解得 a2= ，故猜想：an=，下面利用数学归纳法证明猜想：①当 n=1，2 时，由以上知道 an=显然成立；②假设当 n=k（k≥2）时，有 ak=成立，此时Sk= + +…+== 成立，那么当 n=k+1 时，有ak+1==也成立． 由①②知：an=n（），=，解得 ak+1=，这说明当 n=k+1 时．∵bn=（-1）n•（2n+1）an，∴bn=（-1）n•（2n+1）•=（-1）∴数列{bn}的前 100 项和 T100=-（ ）+（ ）-（ ）+…+（ 故选：C．）=-1+ =- ．由 an=求出 a1，a2，猜想出 an=，然后用数学归纳法证明猜想，再使用裂项相消法求数列{bn}的前 100 项和 T100． 本题主要考查数学归纳法在求数列通项公式中的应用及裂项相消法在数列求和中的应 用，属于中档题．11. 解：因为 f（x）=，作出函数 f（x）的图象，如图所示：所以， f（x） 的值 城为 [-1，]，①错第 12 页，共 16 页误； 函数 f（x）的最小正周期是 2π，③错误；当且仅当时，函数 f（x）取得最大值，②正确；当且仅当时，f（x）＞0，④正确．故选：B． 根据绝对值的定义将函数 f（x）写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真 假． 本题主要考查分段函数的图象，以及三角函数的图象与性质的应用，属于中档题．12. 解：如图所示，过点 P 作 PE⊥面 ABC，垂足为 E，过点 E 作 ED⊥AC 交 AC 于点 D，连接 PD， 则∠PDE 为二面角 P-AC-B 的平面角的补角，即有cos∠PDE= ，易知 AC⊥面 PDE，则 AC⊥PD，而△PAC 为等边三角形， ∴D 为 AC 中点，设 AB=a，BC=b，AC==c，则 PE=PDsin∠PDE= ×c× = ，故三棱锥 P-ABC 的体积为：V= × ab× = ≤ × = ，当且仅当 a=b= 时，体积最大，此时 B、D、E 共线．设三棱锥 P-ABC 的外接球的球心为 O，半径为 R， 由已知，4πR2=8π，得 R= ． 过点 O 作 OF⊥PE 于 F，则四边形 ODEF 为矩形，则 OD=EF=，ED=OF=PDcos∠PDE=，PE= ，在 Rt△PFO 中，（ ）2=，解得 c=2．∴三棱锥 P-ABC 的体积的最大值为：．故选：D． 由已知作出图象，找出二面角 P-AC-B 的平面角，设出 AB，BC，AC 的长，即可求出三 棱锥 P-ABC 的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有 AC 长度 的字母表示），再设出球心 O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心 距，半径，底面半径之间的关系求得 AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求． 本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用， 基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题．13. 解：原式=x（ax+1）5-（ax+1）5，因为（ax+1）5=（1+ax）5，故原式 x2 项为：-=，令，即 5a-10a2=0，第 13 页，共 16 页解得 或 a=0（舍）．故答案为： ．将原式转化为 x（ax+1）5-（ax+1）5，然后利用（ax+1）5 的通项研究 x2． 本题考查二项式展开式通项的应用，以及学生利用方程思想解决问题的能力．属于基础 题．14. 解：设 P（m，n）在第二象限，由△PAB 为等腰三角形，∠PAB=120°，可得|PA|=|AB|=2a，可得 m=2acos120°-a=-2a，n=2asin60°= a，即 P（-2a， a），由 P 在双曲线上，可得 - =1，即有 =1，即 a=b，可得 e= ==，故答案为： ． 设 P（m，n）在第二象限，由题意可得|PA|=|AB|=2a，求得 P 的坐标，代入双曲线的方 程，化简可得 a，b 的关系，即可得到所求离心率． 本题考查双曲线的方程和性质，考查任意角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力， 属于基础题．15. 解：数列{an}满足（n∈N*），①当 n=1 时，a1=1，②当 n≥2 时，∴，∴数列{ }从第二项开始是常数列，又 =2，∴ =2，∴（n≥2），又 a1=1 满足上式，∴，故答案为：2n2-n．易求 a1=1，当 n≥2 时，对已知等式变形得，所以数列{ }从第二项开始是常数列，所以 =2，从而求出 an，验证首项满足 an，进而得到{an}的通项公式．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16. 解：若 8：00 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≥45）=．∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误；第 14 页，共 16 页若 8：02 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≤41）=时，江先生乘坐公交不会迟到； 若 8：02 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤48）=时，江先生乘坐地铁不会迟到． 此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； 若 8：06 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≤37）==0.8413 时，江先生乘坐公交不会迟到； 若 8：06 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤44）= =0.5 时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； 若 8：12 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z≤31）时，江先生乘坐公交不会迟到，而 P（Z≤31）＞P（Z≤29）=；若 8：12 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤38）=时，江先生乘坐地铁不会迟到．由 0.1857＞0.00135， ∴若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确． 故答案为：②④． 利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率，逐项分析，即可选出正确答案． 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 μ 和 σ 的应 用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，是中档题．17. （Ⅰ）由已知利用正弦定理可得 sinA= ，sinB= ，sinC= ，代入已知等式整理可得= ，由余弦定理可得 cosC，结合范围 C∈（0，π），可求 C 的值．（Ⅱ）由正弦定理可得 c，由余弦定理，基本不等式可求 ab≤ =2+ ，进而利用三角第 15 页，共 16 页形的面积公式可求△ABC 面积的最大值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理可，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18. （Ⅰ）取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH∥平面 ABCD，从而 EH⊥BD，再由 AC⊥BD，能证明 BD⊥平面 ACF． （Ⅱ）以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴，HE 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （Ⅰ）利用点差法和斜率公式即可求出；（Ⅱ）设 A（x3，y3），B（x4，y4），联立直线与椭圆的方程可得（m2+2）y2-2my-1=0， 由三角形面积公式和基本不等式即可求出． 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系， 利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．20. （I）计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算；（II）计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论； （III）分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论． 本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于中档题．21. （Ⅰ）研究函数 f（x）的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于 a 的不等式求解； （Ⅱ）不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所以可分离参数 a，即问题转化为在（0，+∞）上恒成立．再研究函数 g（x）=的单调性，求其最小值即可．本题考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，从而解决函数的 零点、不等式恒成立问题．属于较难的题目．22. （Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性 质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的 距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （Ⅰ）直接利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）通过变形，再利用柯西不等式直接证明即可． 本题考查基本不等式及柯西不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．第 16 页，共 16 页。

2020届山西省太原市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果复数m2+i是纯虚数，那么实数m等于()1+miA. 1B. 0C. 0 或 1D. 0 或−12.如果集合，，，那么()等于()A. B. C. D.3.对于程序：试问，若输入m=−4，则输出的数为()INPUT mIF m>−4THENm=2∗m+1ELSE m=1−mEND IFPRINT mENDA. 9B. −7C. 5或−7D. 54.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为120°，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则向量a⃗−b⃗ 在向量a⃗+b⃗ 上的投影是()D. −3A. −√3B. √3C. √335.若实数满足，则曲线与曲线的A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等6.将正方体截去一个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图是()A.B.C.D.7.下面是2015年至2018年我国人口出生率、人口死亡率和人口自然增长率的柱状图：注：人口出生率=年出生人口年平均人口×100%人口死亡率=年死亡人口年平均人口×100%人口自然增长率=人口出生率−人口死亡率下面说法正确的是()A. 2016年我国二孩政策的全面实施后，人口出生率不断提升B. 2015年以来，随着医疗水平不断提升，我国人口死亡率显著下降C. 2016年以来，我国人口增速逐渐放缓D. 2018年人口较2017年减少8.cos39°cos(−9°)−sin39°sin(−9°)等于()A. 12B. √32C. −12D. −√329.若棱长为√2的正四面体的4个顶点都在一个球面上，则该球的体积为()A. √3πB. √32π C. √34π D. √36π10.直线y=2x与直线y=2x+5间的距离为()A. 52B. √5 C. 5 D. √5211.直线与双曲线有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是()A. B.C.D.12. 实数x ，y 满足{y ≥0x −y ≥02x −y −2≥0，则t =y−1x+1的取值范围是( ) A. [−12,1)B. [−12,+∞)C. [−1,13]D. [−12,13]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 4、将3封信投入到两个信箱，则每个信箱都有信的概率为 ．14. 由三条直线x =0，x =2，y =0和曲线y =x 3所围成的图形的面积为______ ． 15. sin347°cos148°+sin32°cos13°= ______ ．16. 已知奇函数f(x)的图象关于直线x =−2对称，当x ∈[0,2]时，f(x)=2x −1，则f(−6)= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是首项为19，公差为−4的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(Ⅰ)求通项a n 及S n ；(Ⅱ)设{b n −a n }是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB//CD ，AB =2AD =2CD =2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P−AC−E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9：20∼10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20∼9：40记作区间[20,40)，9：40∼10：00记作[40,60)，10：00∼10：20记作[60,80)，10：20∼10：40记作[80,100].例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20∼10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20∼10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20∼10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：22之间通过的车辆数(结果保留到整数)．参考数据：若T∼N(μ,σ2)，则①P(μ−σ<T≤μ≤σ)=0.6827；②P(μ−2σ<T≤μ+2σ)=0.9545；③P(μ−3σ<T≤μ+3σ)=0.9973．20.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l：x+y=0的一个交点的横坐标为4．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，若|AF|=3，求线段AB的长．e−2x21.已知函数f(x)=1+ax1−x(1)若函数y=f(x)在x=2时有极值，求a的值；(2)若对任意x∈(0,1)时，f(x)>1恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(4+5sin 2θ)=36． (1)求l 和C 的直角坐标方程；(2)设P(−2,0)，l 和C 相交于A ，B 两点，若|PA|⋅|PB|=4，求sinα的值．23. 直线交圆于两点，是直径，平分，交圆于点，过作于。

绝密★启用前2020届山西省太原市高三模拟（二）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案：正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则()A ．{2}AB =I B ．A B R =UC ．(){1,2}R B C A =-ID ．(){|12}R B C A x x =-<<U答案：A首先解不等式220x x +->得到{|2A x x =<-或1}x >，再根据{2}A B =I 即可得到答案：. 解：因为2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-或1}x >，{1,0,1,2}B =-，所以{2}A B =I ，A B R ≠U ，(){1,0,1}R C A B =-I ，()[2,1]{2}R C A B =-U U 故选：A 点评：本题主要考查集合的运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于简单题. 2．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则a 等于（）A ．B ．1-CD ．1答案：D分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能3．已知0.250.520.20.5a log b log c ===，，，则() A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b答案：B由对数函数性质和指数函数性质与特殊值1和12比较大小后可得． 解：∵555125log log log ＜＜，∴0＜a 12＜， ∵log 0.50.2=log 25＞log 22，∴b ＞1， ∵0.51＜0.50.2＜0.50，∴112c ＜＜， ∴a ＜c ＜b ， 故选：B . 点评：本题考查对数、幂的大小比较，掌握对数函数性质和指数函数性质是解题关键．对于不同类型的数可以借助中间值比较．4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4（mod 6）.执行该程序框图，则输出的n 等于()A ．11B ．13C ．14D ．17答案：D根据程序框图得出其功能是求同时满足被3除余2，被4除余1的最小两位数，从而得由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被3除余2， ②被4除余1， 故输出的n 为17， 故选：D. 点评：本题考查程序框图中的循环结构，考查学生的分析能力，属于基础题.5．若a b r r ，是两个非零向量，且a b m a m b m ⎡+==∈⎣r r r r ，.则向量b r 与a b -r r 夹角的取值范围是() A ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．2536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案：C设|a r |=|b r |=t ，设向量b r 与a b -r r 夹角为θ，由已知和a b ⋅r r 222m t =-t 2，计算出a b-r r 后，由向量数量积求出cos θ，由m 的范围可得结论． 解：根据题意，设|a r |=|b r |=t ，则|a b +rr |=mt ，再设向量b r 与a b -r r 夹角为θ， 则有|a b +r r |2=（a b +r r ）2a =r 2b +r 2+2a b ⋅r r =m 2t 2，变形可得a b ⋅r r 222m t =-t 2，则有|a b -r r |2=（a b -r r ）2a =r 2b +r 2﹣2a r •b =r 2t 2﹣2（222m t -t 2）=4t 2﹣m 2t 2，变形可得|a b -rr|=t ，则cos θ()2222221122m t t t b a b a b b ba b b a b --⋅-⋅-=====---r r r r r r rr r r r r 又由1≤m ≤1≤≤，则有≤cos θ12≤-， 又由0≤θ≤π，则有23π≤θ56π≤，即θ的取值范围为[23π，56π]；本题考查求平面向量间的夹角，掌握平面向量数量积的定义是解题关键． 6．函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断大小关系，可得结果.解：由题可知：函数定义为当时， 当时，所以可知：原函数在递增，在递减 令，则当时， 当时，则在递减，且 在递增，所以函数在定义域中，函数值均大于故选：A 点评：本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题.7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是() 4M4N M -2M N+42M N+首先求出0＜a ＜1，0＜b ＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解. 解：学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ， 得到N 个实数对（a ，b ），因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内， 如图所示：若a ，b ，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以22102a b ab+-＞，即a 2+b 2＞1，所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2=1外的有M 对，由几何概率的概率公式可得：21111411M N π⨯-⨯==⨯114π-， 所以π()4N M N-=，故选：B . 点评：本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.8．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，，由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0.选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内9．过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB的面积为|AB |=()A ．2B ．4C ．D ．8答案：D设直线l 的方程为x =ty +1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB |，根据三角形的面积求出|y 1﹣y 2，代入计算即可求解. 解：抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0）， 可设直线l 的方程为x =ty +1， 代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |=y 1﹣y 2|==△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2，=，解得t =±1，则|AB |==8， 故选：D .本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．已知数列{a n}的前n 项和为S n，且满足a n()21nnS S -=.数列{b n }满足(1)(21)n n n b n a =-⋅+则数列{b n }的前100项和T 100为()A ．101100B ．101100-C ．100101-D ．100101答案：C由已知求出12,a a ，归纳猜测出n a ，再用数学归纳法证明猜测n a 对于*n N ∈成立，进而求出数列{b n }通项公式，用裂项相消法，即可求出结论. 解： ∵()21nnnS a S -=，∴当n =1时，有a 1211(1)S S -=，解得a 112=；当n =2时，可解得a 216=，故猜想：a n ()11n n =+，下面利用数学归纳法证明猜想： ①当n =1，2时，由以上知道a n ()11n n =+显然成立；②假设当n =k （k ≥2）时，有a k ()11k k =+成立，此时S k ()11111111112231122311k k k k k k =+++=-+-++-=⨯⨯+++L L 成立， 那么当n =k +1时，有2221111111(1)(1)(1)11k k k k k k k k k ka S S a k a k S S a a k ++++++++--+-+===+++，解得a k +1()()1111k k =⎡⎤+++⎣⎦，这说明当n =k +1时也成立. 由①②知：a n ()11n n =+.∵(1)(21)n n n b n a =-⋅+，∴111(1)(21)(1)()(1)1nn n b n n n n n =-⋅+⋅=-+++，∴数列{b n}的前100项和1001111111 (1)()()()22334100101T=-+++-++++L11001101101=-+=-.故选：C.点评：本题考查数学归纳法证明数列通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，考查计算求解能力，属于中档题.11．对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx=+--.有下列说法：①()f x的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Zππ=+∈时，函数()f x取得最大值；③函数()f x的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Zπππ⎛⎫∈+∈⎪⎝⎭，时,()0f x>.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案：B根据题意，先得到()cosx sinx cosxf xsinx sinx cosx≥⎧=⎨<⎩，，，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果.解：因为()()1122cosx sinx cosxf x sinx cosx sinx cosxsinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误；。

2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则复数=（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合A={x|x（x-1）≤0}，B={x|y=ln（x-a）}，若A∩B=A，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0）B. （-∞，0]C. （1，+∞）D. [1，+∞）3.如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的a=18，b=42，则输出的a=（）A. 2B. 3C. 64.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. 60°B. 120°C. 30°D. 150°5.已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.6.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体各棱中最长棱的长度为（）A.B.C.D.7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药10 45 55没服用药20 30 50总计30 75 105由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（）附：；P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005k0 3.841 5.024 6.635 7.879①能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效②不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效③能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效④不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效A. 1C. 3D. 48.已知α∈（0，），β∈（0，），且sin2α（1+sinβ）=cosβ（1-cos2α），则下列结论正确的是（）A. 2α-β=B. 2α+β=C. α+β=D. α-β=9.已知在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.10.已知点P是直线y=2x-4上的动点，点Q是曲线y=x+e x上的动点，则|PQ|的最小值为（）A. 5B.C.D.11.已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知实数x，y满足，若当且仅当时，z=（x-a）2+（y-b）2取最小值（其中a≥0，b≥0），则a-2b的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将6名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆3名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为______．14.在平面直角坐标系内，由曲线，和轴正半轴所围成的封闭图形的面积为________．15.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，b2+c2=ac cos C+c2cos A+a2，，则△ABC周长的最小值为______．16.已知函数f（x）=（ax+sin x）（x-sin x）（x≠0）的图象与g （x）=x2的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=（a n-1）（a n+2），且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n}的前n项和为T n，证明：．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，△PCD是正三角形，PC⊥AC，E 是PA的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥BE；（Ⅱ）求直线BP与平面BDE所成角的正弦值．19.已知某保险公司的某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表：上年度出险次数0123≥4保费（元）0.9a a 1.5a 2.5a4a出险次数0123≥4频数140401262出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额（元）2.5a 1.5a a0.5a0将所抽样本的频率视为概率．（1）记随机变量ξ为一续保人在下一年度的续保费用，η为其在该年度所获的赔付金额，求ξ和η的分布列；（2）若下一年度有100万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于900万元，求a的最小值（纯收益=总入保额-总赔付额）．20.已知直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于A，B两个不同点，点M是抛物线C在点A，B处的切线的交点．（Ⅰ）若直线l经过抛物线C的焦点F，求证：FM⊥AB；（Ⅱ）若点M的坐标为（2，-2p），且，求抛物线C的方程．21.已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax （a∈R）的两个极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2）-f（x1）＜2ln a．22.已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），点M在曲线C1上运动，动点P满足，其轨迹为曲线C2．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若点A，B分别是射线与曲线C1，C2的公共点，求|AB|的最大值．23.已知函数f(x)＝|2x－a|－|x＋2a|(a>0)．(1)当a＝时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)若?k∈R，?x0∈R，使得f(x0)≤|k＋3|－|k－2|成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：A解析：解：A={x|0≤x≤1}，B={x|x＞a}；∵A∩B=A；∴A?B；∴a＜0；∴实数a的取值范围为（-∞，0）．故选：A．可求出A={x|0≤x≤1}，B={x|x＞a}，根据A∩B=A即可得出A?B，从而得出a＜0．考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集、子集的定义．3.答案：C解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断语句计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案．【解答】解：输入a=18，b=42，第一次执行判断语句后，b=b-a=42-18=24，不满足退出的条件；第二次执行判断语句后，b=b-a=24-18=6，不满足退出的条件；第三次执行判断语句后，a=a-b=18-6=12，不满足退出的条件；第四次执行判断语句后，a=a-b=12-6=6，满足退出的条件；故输出a值为6，故选：C．4.答案：D解析：【分析】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．根据，对两边平方，进行数量积的运算即可求出夹角．【解答】解：∵；∴=；∴；∴；又；∴与的夹角为150°．故选：D．5.答案：B解析：解：∵双曲线的离心率为，又∵c2=a2+b2，∴b=a．双曲线经过点，验算得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线标准方程为，∵点，在双曲线上，∴，解得a2=4，b2=1，故所求双曲线方程：．故选：B．由双曲线的离心率，得到a与b的关系，设出双曲线方程，代入点的坐标求解．本题考查了双曲线的标准方程，注意给出渐近线方程的双曲线方程的设法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．6.答案：C解析：解：由题意可知几何体的直观图如图：是长方体的一部分，三棱锥A-BCD，正方形的边长为4，长方体的高为3，由题意可得：AD=4，AB=，BD==，故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解最长的棱长即可．本题考查三视图求解几何体的几何量，判断几何体的形状是解题的关键．7.答案：B解析：【分析】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．根据列联表计算K2，对照临界值即可得出结论．【解答】解：根据列联表，计算K2==≈6.109＞5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，①正确；能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，②错误；不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，③错误；不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，④正确．综上，正确的命题序号是①④．故选：B．8.答案：A解析：解：∵sin2α（1+sinβ）=cosβ（1-cos2α），∴=sin2α+cos（2α-β）=．将A，B，C，D中的结论代入方程中，只有A能使方程成立．故选：A．由条件得sin2α+cos（2α-β）=，然后将选项代入检验即可得到正确结果．本题考查了两角差的余弦公式和诱导公式，属基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由题意求得三棱锥S-ABC的外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式得答案．【解答】解：如图，∵SA=SB=SC，∴S在底面ABC上的射影D为底面三角形的外心，又AC⊥BC，∴D为AB的中点，又SA=SB=AB=2，∴△SAB外接圆的半径即为三棱锥S-ABC外接球的半径，等于．∴该三棱锥外接球的体积为．故选：A．10.答案：B解析：【分析】本题考查了导数的几何意义、曲线的曲线、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设直线y=2x+c与曲线y=x+e x相切于点Q（a，b）．利用导数，解得切点为Q坐标．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x-4上的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x-4平行的直线y=2x+c与曲线y=x+e x相切于点Q（a，b）．∴y′=1+e x，1+e a=2解得a=0，∴b=1，∴切点为Q（0，1）．Q到直线y=2x-4的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故选：B．11.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆、双曲线的离心率的范围，考查勾股定理和定义法的运用，考查基本不等式的运用，运算能力，属于中档题．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦点坐标为（±c，0），由椭圆与双曲线的定义和余弦定理，可得，再由求e1的取值范围．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦点坐标为（±c，0），不妨设P为第一象限的点，由椭圆与双曲线的定义得：PF1+PF2=2a1，①，PF1-PF2=2a2，②，由余弦定理得：PF12+PF22+PF1PF2=4c2，③联立①②③得：3a12+a22=4c2，由e1=，e2=，得，∴，∵，∴∈（），则（，），∴∈（，），∈（，），又e1∈（0，1），∴e1∈（，）．故选：D．12.答案：B解析：解：实数x，y满足的可行域如图：当且仅当时，z=（x-a）2+（y-b）2取最小值（其中a≥0，b≥0），可知（a，b）在可行域中点两条红色线之间，两条红线分别与所给直线垂直．即，a，b满足的可行域如图，当z=a-2b结果可行域的A时，取得最大值：3．故选：B．画出约束条件的可行域，推出a，b满足的不等式组，然后再通过线性规划求解a-2b的最大值．本题考查线性规划的应用，两次线性规划解决问题，是线性规划中点难题．13.答案：解析：解：依题意，所有的基本事件的个数为=20个，甲和乙被分到同一场馆包含=8个，所以志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率P==．故答案为：．计算所以基本事件的个数和事件“志愿者甲和乙被分到同一场馆”包含的基本事件个数，代入古典概型的概率公式即可．本题考查了古典概型的概率计算，计数原理．本题属于基础题．14.答案：解析：【分析】本题考查定积分的应用，属于基础题.将黑色区域看作两个部分的面积之查，进而用定积分进行计算即可．【解答】解：根据题意画图，其中黑色区域即为所求的封闭图形．∵y=x2和x2+y2=2的交点为（1，1），∴S黑=S扇-S红==．故答案为：．15.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cos A=，结合范围A∈（0，π），可求A，利用三角形的面积公式可求bc=3+2，由余弦定理，基本不等式可得a≥，根据余弦定理可求得b+c≥2（），即可求得△ABC 周长的最小值．【解答】解：∵b2+c2=ac cos C+c2cos A+a2，∴2bc cos A=ac cos C+c2cos A，∴由正弦定理可得：2sin B sin C cos A=sin A sin C cosC+sin2C cos A=sin C（sin A cos C+sin C cos A）=sin C sin（A+C）=sin C sin B，∵sin B sin C≠0，∴可得cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．∵=bc sin A=bc，可得bc=3+2，又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc=3+2，可得a≥，当且仅当b=c时等号成立，∴（b+c）2=a2+3bc≥3+2+3（3+2）=4（3+2），可得b+c≥2（），当且仅当b=c时等号成立，∴△ABC周长的最小值为（a+b+c）min=3（）．故答案为：3（）．16.答案：1解析：解：因为f（x）=（ax+sin x）（x-sin x），所以f（-x）=f（x），所以函数f（x）为偶函数，又函数g（x）为偶函数，令（ax+sin x）（x-sin x）=x2，又x≠0，所以（a+）（1-）=1，又x1，x2，x3，x4为从小到大的4个解，由偶函数的对称性可知：x1=-x4，x2=-x3，（a+）（1-）=（a+）（1-）=1，（a+）（1-）=（a+）（1-）=1即（1-）（1-）（1-）（1-）=1故答案为：1．由函数f（x）=（ax+sin x）（x-sin x）知f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数，又函数g（x）=x2为偶函数，且两函数的图象交点横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，所以x1=-x4，x2=-x3．考查偶函数的定义，以及对偶函数图象的理解，函数图象交点的理解．17.答案：解：（I）当n=1时，2S1=（a1-1）（a1+2）=2a1，∵a1＞0，∴a1=2，当n≥2时，2a n=2（S n-S n-1）=（a n-1）（a n+2）-（a n-1-1）（a n-1+2），∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，∵a n＞0，∴a n-a n-1-1=0，∴a n-a n-1=1，∴{a n}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列，∴；（Ⅱ）由（I）得a n=n+1，∴，∴T n=b1+b2+…+b n-1+，∵，∴{T n}是递增数列，∴．解析：（Ⅰ）通过已知条件求出首项，利用a n=S n-S n-1，求解数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力．18.答案：（I）证明：设F是PD的中点，连接EF、CF，∵E是PA的中点，∴EF∥AD，，∵AD∥BC，AD=2BC，∴EF∥BC，EF=BC，∴BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，∵AD∥BC，AB⊥AD，∴∠ABC=∠BAD=90°，∵AB=BC，∠CAD=45°，，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC?AD?cos∠CAD=2，∴AC2+CD2=4=AD2，∴AC⊥CD，∵PD⊥AC，∴AC⊥平面PCD，∴AC⊥CF，∴AC⊥BE；（Ⅱ）由（I）得AC⊥平面PCD，，∴平面ABCD⊥平面PCD，过点P作PO⊥CD，垂足为O，∴OP⊥平面ABCD，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，则，，，∴，设是平面BDE的一个法向量，则，∴，令x=1，则，∴，∴=，∴直线BP与平面BDE所成角的正弦值为．解析：（I）设F是PD的中点，连接EF、CF，证明BE∥CF，推出AC⊥CD，结合PD⊥AC，得到AC⊥平面PCD，推出AC⊥BE；（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，求出平面BDE的一个法向量，通过空间向量的数量积求解直线BP与平面BDE所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.答案：解：（）由题意得的所有取值为，，，，，其分布列为：ξ0.9a a 1.5a 2.5a4ap0.70.20.060.030.01η0 2.5a4a5a 5.5ap0.70.20.060.030.01（）由（）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为：E（ξ）=0.9a×0.7+a×0.2+1.5a×0.06+2.5a×0.03+4a×0.01=1.035a，该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为：E（η）=0×0.7+2.5a×0.2+4a×0.06+5a×0.03+5.5a×0.01=0.945a，∴该公司此险种的总收益为100×（1.035a-0.945a）=9a，∴9a≥900，∴a≥100，∴基本保费为a的最小值为100元．解析：（1）由题意得ξ的所有取值为0.9a，a，1.5a，2.5a，4a，η的所有取值为0，2.5a，4a，5a，5.5a，由此能求出ξ和η的分布列．（2）由（1）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值，再求出该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值，从而得到该公司此险种的总收益，由此能求出基本保费为a 的最小值．本题考查概率的求法，考查平均值、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（I）由题意可得，①当k≠0时，设直线，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由，得x2-2pkx-p2=0，∴，过点A为的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由得，∴，∵，∴FM⊥AB；②当k=0时，则直线，，∴FM⊥AB；（Ⅱ）①当k≠0时，设直线l：y=kx+m，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得x2-2pkx-2pm=0，∴，过点A的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由，得，∴，△=4p2k2+16p2＞0，∴=∴p=1或p=2，∴抛物线C的方程为x2=2y或x2=4y解析：（1）分两种情况讨论，k≠0时，联立方程组求出M的坐标，利用斜率之积为-1即可；k=0时，验证即可；（2）通过联立方程组，根据根与系数关系建立线段|AB|的方程求出p的值即可．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目．21.答案：解：（I）解：函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax（a∈R）由题意得：，x＞-1，令，x＞-1，则，令，x＞-1，则，∴h（x）在（-1，+∞）上单调递增，且h（0）=0，当x∈（-1，0）时，g'（x）=h（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g'（x）=h（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（0）=2-a，①当a≤2时，f'（x）=g（x）＞g（0）=2-a≥0，f（x）在（-1，+∞）单调递增，此时无极值；②当a＞2时，∵，g（0）=2-a＜0，已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax（a∈R）的两个极值点．∴，g（x1）=0，当x∈（-1，x1）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x1，0）时，g（x）=f'（x）＜0，g（x）单调递减，∴x=x1是f（x）的极大值；∵，g（0）=2-a＜0，∴?x2∈（0，ln a），g（x2）=0，当x∈（0，x2）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴x=x2是f（x）的极小值；综上所述，a∈（2，+∞）；（Ⅱ）证明：法一：由（I）得a∈（2，+∞），，且g（x1）=g （x2）=0，∴x2-x1＞0，，1＜x2+1＜1+ln a，，∴，，∴=．即：f（x2）-f（x1）＜2ln a．法二：由（I）得a∈（2，+∞），f（x）在区间（x1，x2）递减，所以：f（x2）-f（x1）＜0．因为：a∈（2，+∞），所以：1＜a2，所以：ln1＜ln a2=2ln a．即：f（x2）-f（x1）＜0=ln1＜ln a2=2ln a．即：f（x2）-f（x1）＜2ln a解析：（Ⅰ）求函数的导数，令新函数求导即原函数的二阶三阶导数进行判断，讨论a的取值范围可求得a；（Ⅱ）由（I）得，且g（x1）=g（x2）=0，表达f（x2）-f（x1）由不等式性质证明即可．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，分类讨论思想，属于难题．22.答案：解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x'，y'），∵，∴，∵点M在曲线C1上，∴，∴曲线C1的普通方程为（x'-2）2+（y'-1）2=1，则曲线C2的普通方程为（x-4）2+（y-2）2=4；（Ⅱ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0，曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0，由，得，或，∴或；由，得，或，∴或，∴|AB|的最大值为．解析：（Ⅰ）设P（x，y），M（x'，y'），由已知向量等式可得，得到，消参数可得曲线C1的普通方程为（x'-2）2+（y'-1）2=1，进一步得到曲线C2的普通方程为（x-4）2+（y-2）2=4；（Ⅱ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲线C1与曲线C2的极坐标方程，分别与射线联立求得A，B的极坐标，可得|AB|的最大值．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了平面向量的坐标运算及其应用，是中档题．23.答案：解：函数f（x）=|2x-a|-|x+2a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=时，f（x）=|2x-|-|x+1|=，不等式f（x）≥1化为或或，解得x≤-1或-1＜x≤-或x≥；所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-或x≥}；（Ⅱ）由|k+3|-|k-2|≥-|（k+3）-（k-2）|=-5，当且仅当k≤-3时取“=”，所以对?k∈R，?x0∈R，使得f（x0）≤|k+3|-|k-2|成立，即f（x）min≤-5；由f（x）=|2x-a|-|x+2a|=，x≤-2a时，f（x）=-x+3a是单调减函数，最小值为f（-2a）=5a；-2a＜x＜时，f（x）=-3x-a是单调减函数，且f（x）＞f（）=-；x≥时，f（x）=x-3a是单调增函数，最小值为f（）=-；令-≤-5，解得a≥2；又a＞0，所以实数a的取值范围是．解析：本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．（Ⅰ）当a=时利用分段讨论法去掉绝对值，求对应不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）求出|k+3|-|k-2|的最小值M，再求f（x）的最小值N，由此列不等式N≤M求出a的取值范围．。

山西省太原市2020届高三模拟试题（二）数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022>-+=x x x A ．{}2101，，，-=B 则 A ．A∩B={2} B ．A ∪B= RC ．{}2,1)(-=A C B RD ．{}21)(<<-=x x A C B R 2．已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a= A ．1 B ．-1 C ． 2 D ．2- 3．已知2.05.055.02.0log 2log ===c b a ，，，则A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b4．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡ 4（ mod6）．执行该程序框图，则输出的n 等于A ．11B ．13C ．14D ．175．若b a ，是两个非零向量，且]31[，，∈==+m b m a m b a ．则向量b 与b a -夹角的取值范围是 A ．]32,3[ππ B ．]65,3[ππ C ．]6532[ππ， D ．]65[ππ， 6．函数)1ln(1)(+-=x x x f 的图象大致为7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人．让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是A ．N M 4 B ．N M N )(4- C ．N N M +2 D ．NNM 24+ 8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0．则不等式0)()(<--xx f x f 的解集是A ．（-1，0） （1，+∞）B ．（-1，0） （0，1）C ．（-∞，-1） （1，+∞）D ．（-∞，-1） （0，1）9．过抛物线x y 42=的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为24．则|AB|=A ．2B ．4C ．32D ．810．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．且满足nn n S S a 2)1(-=．数列{}n b 满足n n n a n b )12()1(+⋅-=，则数列{}n b 的前100项和100T 为A ．100101 B ．100101- C ．101100- D ．10110011．对于函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=．有下列说法：①f （x ）的值城为[-1，1]； ②当且仅当)(42Z k k x ∈+=ππ时，函数f （x ）取得最大值；③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当))(222(Z k k k x ∈+∈πππ，时f （x ）＞0．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．412．三棱锥P —ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P —AC —B 的余弦值为36-，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π ．则三棱锥体积的最大值为 A ．1 B ．2 C ．21 D ．31 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知5(1)(1)x ax -+的展开式中，x 2的系数为0，则实数a = ．14．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB= 120°，则双曲线的离心率为 ． 15．已知数列{a n }满足11(1)11n n a a n n n n +-=-++（n ∈N *），且a 2=6，则{a n }的通项公式为 ． 16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N(33,42)，下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N(44,22)，从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法： ①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是 ．参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z ≤μ＋σ) = 0.6826，P(μ－2σ＜Z ≤μ＋2σ) = 0.9544，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin 2sin A C a bB --=，且△ABC 外接圆的半径为1．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD = 60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF//AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知F 1，F 2是椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为)41,43(P （Ⅰ）求椭圆C 的方程；20．（本小题满分12分）为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．下图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足： 121x -≤为一级品，1122x -＜≤为二级品，122x -＞为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[ 12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15 ]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验? 请说明理由；（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备。

2020年山西省高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={-1}，B={x|x2+mx-3=1}，若A⊆B，则m=（）A. 3B. 2C. -2D. -32.复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设命题p：∃x0＜0，，则￢p为（）A. ∀x≥0，e x-x＞1B. ∀x＜0，e x-x≤1C. D.4.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上一点A作其准线l的垂线，垂足为B，若△ABF为直角三角形，且△ABF的面积为2，则p=（）A. 1B. 2C. 3D. 45.从圆C：x2+y2-2x-2y=0内部任取一点P，则点P位于第一象限的概率为（）A. B. C. D.6.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）内是增函数的是（）A. y=x lnxB. y=x2+xC. y=cos2xD. y=e x-e-x7.=（）A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图，则输出x的值为（）A. -2B.C.D. 39.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为（）A. 1B. 2C.D.10.已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上，AB为球O的直径，AB=4，AD=2，BC=，则四面体ABCD体积的最大值为（）A. B. C. D.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte=8bit，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为A. 254B. 381C. 510D. 76512.已知函数只有一个零点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（-2，1）与=（x，2）互相垂直，则x=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为______．15.已知函数，则函数f（x）在的值域为______．16.双曲线C：的左、右焦点为F1，F2，直线与C的右支相交于点P，若|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，已知∠ABC的平分线BD交AC于点D，BA=2BC．（1）求△BDC与△BDA的面积之比；（2）若∠ABC=120°，BC=3，求AD和DC．18.某大型工厂招聘到一大批新员工．为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，并统计他们的日加工零件数，得到以下数据；日加工零[80，120）[120，160）[160，200）[200，240）[240，280）[280，320]件数（个）人数51025202020（1）已知日加工零件数在[80，120）范围内的5名员工中，有3名男工，2名女工，现从中任取两名进行指导，求他们性别不同的概率；（2）完成频率分布直方图，并估计全体新员工每天加工零件数的平均数（每组数据以中点值代替）；19.如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=CD，M是线段DE上的动点．(1)试确定点M的位置，使BE∥平面MAC，并说明理由；(2)在(1)的条件下，四面体E-MAC的体积为3，求线段AB的长．20.已知椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为A1，A2．（1）P为C上任意一点，求|PF1|•|PF2|的最大值；（2）椭圆C上是否存在点P，使PA1，PA2与直线x=4相交于E，F两点，且|EF|=1．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=e x-a ln x（a∈R，a＞0）．（1）若a=e，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）≥a（2-ln a）．22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ-2sinα-2cosα=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=2，求直线l倾斜角求α的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-m|．（1）当m=-1时，画出函数y=f（x）的图象；（2）不等式f（x）≥|2m+1|-2恒成立，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={-1}，B={x|x2+mx-3=1}，A⊆B，∴1-m-3=1，解得m=-3．故选：D．利用子集定义得到1-m-3=1，由此能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查子集定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：∵=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，2），在第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x＜0，e x-x≤1故选：B．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．4.答案：B解析：解：由抛物线的定义以及三角形的性质△ABF为直角三角形，可知A为90°，△ABF的面积为2，可得，解得p=2，故选：B．利用抛物线的性质，推出A为直角，利用三角形的面积求解即可．本题开学篇文章是简单性质的应用，是基本知识的考查．5.答案：D解析：解：因为x2+y2-2x-2y=0，所以（x-1）2+（y-1）2=2，即圆C是以（1，1，）为圆心，为半径的圆，记圆与x，y轴的正半轴交点分别为A，B，坐标原点为O，则A（2，0），B（0，2），则∠AOB=90°，所以圆在第一象限的面积为π+2，设“点P位于第一象限”为事件A，由几何概型中的面积型公式可得：P（A）=，故选：D．由圆的面积公式及几何概型中的面积型得：因为x2+y2-2x-2y=0，所以（x-1）2+（y-1）2=2，即圆C是以（1，1，）为圆心，为半径的圆，记圆与x，y轴的正半轴交点分别为A，B，坐标原点为O，则A（2，0），B（0，2），则∠AOB=90°，所以圆在第一象限的面积为π+2，设“点P位于第一象限”为事件A，由几何概型中的面积型公式可得：P（A）=，得解．本题考查了圆的面积公式及几何概型中的面积型题型，属中档题．6.答案：D解析：解：A．函数y=x lnx的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件，B．f(x)=y=x2+x，f（1）=2，f（-1）=0，则f（-1）≠-f（1），则函数不是奇函数，不满足条件，C．y=cos2x是偶函数，不满足条件，D．f(x)=y=e x-e-x，定义域为R，关于原点对称，f（-x）=e-x-e x=-f（x），函数y=e x-e-x是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，满足条件．故选：D．本题主要考查函数奇偶性和单调性，是基础题．根据奇函数的定义和单调性逐个选项分析判断即可.7.答案：D解析：【分析】本题考查数列求和的方法的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．利用已知条件求解数列通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】解：由题意可知：==，原式===．故选：D．8.答案：A解析：解：∵x=，∴当i=1时，x=-，i=2时，x=-2，i=3时，x=3，i=4时，x=，即x的值周期性出现，周期数为4，∵2018=504×4+2，则输出x的值为-2，故选：A．根据程序框图进行模拟运算得到x的值具备周期性，利用周期性的性质进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件判断x的值具备周期性是解决本题的关键．9.答案：D解析：解：由正视图可知：M是AD1的中点，N在B1处，Q在C1D1的中点，可得俯视图的面积为：2×2--=．故选：D．判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．本题考查三视图求解几何体的面积与体积，判断方式它的形状是解题的关键．10.答案：C解析：解：显然当平面ABC⊥平面ABD时，四面体的体积最大，过C作CF⊥AB，垂足为F，如图：由于AB为球O的直径，所以∠ADB=∠ACB=90°，所以AD=2，BC=2，BD=2，AC=2，∴F为AB的中点，CF为四面体的高，∴四面体ABCD的体积的最大值为V=××2××2=．故选：C．显然当平面ABC⊥平面ABD时，四面体的体积最大，过C作CF⊥AB，垂足为F，根据AB为直径，计算出AC，BD，可得F为AB的中点，CF为四面体的高，由体积公式可求得．本题考查了球的体积和表面积，属中档题．11.答案：B解析：解：根据题意，可知符合题意的数为：11（2），110（2），1100（2），…11000000（2）共7个，转化成十进制数后，它们可以构成以3为首项，2为公比的等比数列，(+)+(+)+(+)+(+)+(+)+(+)+(+)=381,故计算结果为3×=381．故选：B．由题意，可知符合题意的数为：11（2），110（2），1100（2），…11000000（2）共7个，化成十进制数后，利用等比数列的求和公式即可计算得解．本题考查进位制之间的转化，等比数列的求和，考查了转化首项和计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：∵f（x）=只有一个零点，∴x lnx+a=0只有一解，即a=-x lnx只有一解．设g（x）=-x lnx（x＞0），则g′（x）=-ln x-1=-（ln x+1），∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x=时，g（x）取得最大值g（）=．且当x→0时，g（x）→0，当x→+∞时，g（x）→-∞，∵a=g（x）只有一解，∴a≤0或a=．故选：C．令f（x）=0可得a=-x lnx，判断g（x）=-x lnx的单调性，计算函数极值，从而可得出a 的范围．本题考查了函数零点与方程根的关系，考查函数单调性的判断，属于中档题．13.答案：1解析：解：∵向量=（-2，1）与=（x，2）互相垂直，∴•=-2x+2=0，解得x=1．故答案为：1．向量=（-2，1）与=（x，2）互相垂直，可得：•=0，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：3解析：【分析】本题考查线性规划问题，属于基础题．画出可行域、求出关键点、定出最优解即可．【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=x+2y，可看成是直线z=x+2y的纵截距，画直线z=x+2y，平移直线过C（1，1）点时z有最大值3．故z=x+2y的最大值为3故答案为3．15.答案：[-]解析：解：∵函数=sin（2x-）•sin（-2x）=-sin2（2x-）=-=cos（4x-）-，在上，4x-∈[-，]，cos（4x-）∈[-，1]，f（x）∈[-，0]，故答案为：[-，0]．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在的值域．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．16.答案：解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．求出P的坐标，利用双曲线的定义，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：把y=代入C的方程可得x=2a；∴P（2a，），F1（-c，0），F2（c，0），由双曲线的定义可知：|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴，，整理可得8ac=12a2，∴2c=3a，所以双曲线的离心率为：．故答案为：．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）设△BDC与△BDA的面积分别为S1，S2，则S1=BC•BD•sin∠CBD，S2=BA•BD•sin∠ABD，…2分因为BD平分∠ABC，所以：∠ABD=∠CBD，…4分又因为BA=2BC，所以，S2=2S1，即：=．…6分（2）在△ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos120°=36+9+2×=63，∴AC=3，…9分由（1）可得：=2，∴DC=，AD=2．…12分解析：（1）设△BDC与△BDA的面积分别为S1，S2，利用角平分线的性质及三角形的面积公式即可计算得解=．（2）在△ABC中，由余弦定理可得AC的值，由（1）可得：=2，即可得解DC，AD的值．本题主要考查了角平分线的性质及三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）记3名男工分别为a，b，c，2名女工分别为e，从中任取两名进行指导，不同的取法有10种，分别为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，ed，ec，de，他们性别不同包含的基本事件有6种，分别为：ad，ae，bd，be，ed，ce，∴他们性别不同的概率为p=．（2）频率分布直方图如下：估计全体新员工每天加工零件数的平均数为：（100×5+140×10+180×25+220×20+300×20）=220．解析：（1）记3名男工分别为a，b，c，2名女工分别为e，从中任取两名进行指导，不同的取法有10种，利用列举法能求出他们性别不同的概率．（2）先作出频率分布直方图，由此能估计全体新员工每天加工零件数的平均数．本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的作法，考查平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：（1）当EM=时，BE∥平面MAC．证明如下：连接BD，交AC于N，连接MN，由于AB=，∴，得MN∥BE，由于MN⊂平面MAC，BE⊄平面MAC，∴BE∥平面MAC；（2）∵CD⊥DA，CD⊥DE，DA∩DE=D，∴CD⊥平面ADE，又∵平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，∴AD⊥平面CDEF，则AD⊥DE，设AB=a，则=．由，得a=3．因此，AB=3．解析：（1）当EM=时，BE∥平面MAC．连接BD，交AC于N，连接MN，由AB=，得，得MN∥BE，再由线面平行的判定可得BE∥平面MAC；（2）证明CD⊥平面ADE，由已知结合面面垂直的性质可得AD⊥DE，设AB=a，利用等积法求a，则答案可求．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：（1）由题意定义可知，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴．∴|PF1|•|PF2|的最大值为4，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立；（2）不妨设P（x0，y0）（y0＞0），∵A1（-2，0），A2（2，0），∴PA1：，令x=4，得，PA2：，令x=4，则．∴|EF|==．∴x0+y0=4，把x0=4-y0代入，得．∵△=64-240＜0，∴满足条件的P点不存在．解析：（1）由题意定义可知，|PF1|+|PF2|=2a=4，然后利用基本不等式求|PF1|•|PF2|的最大值；（2）不妨设P（x0，y0）（y0＞0），又A1（-2，0），A2（2，0），分别写出PA1，PA2的方程，求出E，F的坐标，由|EF|=1可得x0+y0=4，把x0=4-y0代入，得，此方程无解，可知满足条件的P点不存在．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：（1）解：a=e时，函数f（x）=e x-e ln x．x∈（0，+∞）．f′（x）=e x-=．令g（x）=xe x，则g′（x）=（x+1）e x＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．又g（1）=e．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时单调递增．∴函数f（x）的单调递减为（0，1）；单调递增为（1，+∞）．（2）证明：f′（x）=e x-=．由（1）可知：f（x）在x∈（0，+∞）上必有唯一零点，设为x0，则x0=a．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，此时单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时单调递增．∴f（x）≥f（x0）=-a ln x0．由x0=a，可得：=，ln x0+x0=ln a．∴f（x）≥f（x0）=+ax0-a lna≥2a-a lna．∴f（x）≥a（2-ln a）．解析：（1）a=e时，函数f（x）=e x-e ln x．x∈（0，+∞）．f′（x）=．令g（x）=xe x，利用导数研究其单调性即可得出．（2）f′（x）=e x-=．由（1）可知：f（x）在x∈（0，+∞）上必有唯一零点，设为x0，则x0=a．利用单调性即可证明结论．本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点，考查学生的运算推理能力，属于难题．22.答案：解（1）由ρ-2sinα-2cosα得ρ2-2ρsinα-2ρcosα=0，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0；（2）易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：kx-y+k=0（k=tanα），设圆心C（1，1）到直线了的距离为d，由直角三角形可知2=2，∴d=1，∴=1，解得k=0，或k=1，∴α=0，或α=．解析：（1）由ρ-2sinα-2cosα得ρ2-2ρsinα-2ρcosα=0，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0；（2）设出直线l的方程后，利用圆中的直角三角形列式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当m=1时，f（x）=|x-1|+|x+1|=其图象如图所示，\（2）∵f（x）≥|2m+1|-2恒成立，又∵f（x）=|x-1|+|x-m|≥||m-1|∴|m-1|≥|2m+1|-2恒成立，∴或或解可得，-4∵m的取值范围[-4，]解析：（1）当m=1时，代入可得f（x）=|x-1|+|x+1|，讨论x的范围，结合一次函数的图象即可（2）由绝对值不等式可得f（x）=|x-1|+|x-m|≥||m-1|，从而有|m-1|≥|2m+1|-2恒成立，结合含有绝对值的不等式的解法即可求解m的范围本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解及绝对值不等式的性质的应用，体现了分类讨论思想的应用．。

2020年山西太原迎泽区太原市第五中学校高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第1题5分设集合A={x|x2−x−2<0}，集合B={x|−1<x⩽1}，则A∩B=（）．A. [−1,1]B. (−1,1]C. (−1,2)D. [1,2)2、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第2题5分2017~2018学年河北唐山路北区唐山市开滦第一中学高三上学期期中理科第1题5分2017~2018学年9月广东深圳南山区深圳市第二高级中学高三上学期月考理科第1题5分已知复数z满足(1+i)z=2，则复数z的虚部为（）．A. 1B. −1C. iD. −i3、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第3题5分2017年内蒙古呼和浩特高三一模文科第7题5分已知a=(√2)43，b=225，c=913，则（）．A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b4、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第4题5分若x，y满足约束条件{x−2y−2⩽0x−y+1⩾0y⩽0，则z=3x+2y的最大值为（）．A. 2B. 4C. 6D. 85、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第5题5分2019~2020学年9月河北衡水安平县河北安平中学高三上学期月考理科第5题5分2017~2018学年湖北襄阳市高三上学期期末理科第7题5分2018年重庆高三三模文科第10题5分函数y=2x sin⁡(π2+6x)4x−1的图象大致为（）．A.B.C.D.6、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第6题5分2018年湖南郴州高三二模文科第3题5分如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）．A. π8B. π16C. 1−π8D. 1−π167、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第7题5分2015~2016学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考文科第8题5分2016~2017学年陕西西安长安区西安市长安区第一中学高一下学期期中理科第8题5分2011年上海同济大学自主招生卓越联盟第1题2011年北京清华大学自主招生夏令营第1题向量a →，b →均为非零向量，(a →−2b →)⊥a →，(b →−2a →)⊥b →，则a →，b →的夹角为（ ）．A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第8题5分已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）．A. 12πB. 16πC.32π3 D. 40π39、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第9题5分设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m =4，S m =0，S m+2=14（m ⩾2，且m ∈N ∗），则a 2019的值为（ ）．A. 2020B. 4032C. 5041D. 301910、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第10题5分已知抛物线C 方程为x 2=4y ，F 为其焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，则|AP|⋅|BQ|的取值范围为（ ）．A. (12,+∞)B. [2,+∞)C. (2,+∞)D. [0,2)11、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第11题5分已知函数f(x)={sin⁡x,x⩽π4cos⁡x,x>π4，给出下列四个结论：（1）f(x)不是周期函数（2）f(x)是奇函数（3）f(x)的图象关于直线x=π4对称（4）f(x)在x=5π2处取得最大值其中所有正确结论的编号是（）．A. （1）（3）B. （2）（4）C. （1）（3）（4）D. （1）（2）（4）12、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第12题5分已知三棱锥A−BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=√2，E是BC的中点，点A在平面BCD 上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为（）．A. 30π11B. 60π11C. 9π16D. 25π16二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第13题5分2018~2019学年10月广东广州越秀区高三上学期月考文科第14题5分2019~2020学年10月江苏泰州海陵区泰州中学高三上学期月考（江都中学、宜兴中学三校联考）第7题5分2018年高考真题全国卷III理科第14题5分2020~2021学年1月四川成都郫都区郫都区成都外国语学校高三上学期月考文科第13题曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，则a=．14、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第14题5分记S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若a2a4=1，S3=7，则S5=．15、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第15题5分2010年高考真题福建卷理科第13题4分某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．16、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第16题5分2017~2018学年9月广东深圳宝安区高三上学期月考理科第15题5分2017~2018学年广东深圳宝安区高三上学期期末理科第15题如图，已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且OQ→=3OP→，则双曲线C的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第17题12分如图，在三棱锥S−ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．(1) 证明：SO⊥平面ABC．(2) 求二面角A−SC−B的余弦值．18、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第18题12分2020~2021学年广东广州越秀区广州市执信中学高二上学期期中第17题10分，其中角A，B，C的对边分别为a，在△ABC中，cos⁡(A−B)cos⁡B−sin⁡(A−B)sin⁡(A+C)=−35b，c．(1) 求sin⁡A的值．(2) 若a=4√2，b=5，求向量BA→在BC→方向上的投影．19、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第19题12分2019~2020学年9月黑龙江大庆让胡路区大庆第一中学高三上学期月考理科第18题12分2018~2019学年3月河北石家庄长安区石家庄第一中学高二下学期月考理科第20题12分2019~2020学年3月山西太原小店区山西大学附属中学高三下学期月考理科第19题12分《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科：2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169)．(1) 求物理原始成绩在区间(47,86)的人数．(2) 按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ:N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.682，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.954，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.997）20、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且椭圆C的中心O关于直线2x−y−5=0的对称点落在直线x=a2上．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设P(4,0)，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN 的斜率取值范围，并证明直线ME与x轴相交于定点．21、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第21题12分2020~2021学年10月江苏南京秦淮区南京市第一中学高三上学期月考第22题12分已知函数f(x)=k(x−1)e x−x2，其中k∈R．(1) 当k⩽2时，求函数f(x)的单调区间．(2) 当k∈[1,2]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值g(k)的表达式，并求g(k)的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第22题10分2020~2021学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末文科第19题8分在平面直角坐标系xOy中，l的方程为x=4，C的参数方程为{x=2cos⁡θy=2+2sin⁡θ，（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1) 求l和C的极坐标方程．(2) 直线θ=α(ρ∈R,α∈[0,π))与l交于点A，与C交于点B（异于O），求|OB||OA|的最大值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原迎泽区太原市第五中学高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x−1|．(1) 解不等式f(x)+f(x+1)⩾4．(2) 当x≠0，x∈R时，证明：f(−x)+f(1x)⩾2．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 B;13 、【答案】−3;14 、【答案】314;15 、【答案】0.128;16 、【答案】√72;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √33．;18 、【答案】 (1) 45．;(2) √22．;19 、【答案】 (1) 1636人．;(2) X的分布列为数学期望E(X)=3×25=65．;20 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) (−12,0)∪(0,12)；证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当k⩽0时，f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，当0<k<2时，f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(ln⁡2k ,+∞)，减区间为(0,ln⁡2k)，当k=2时，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)．;(2) g(k)=k(k−1)e k−k2，2e2−4．;22 、【答案】 (1) ρ=4cosθ，ρ=4sinθ．;(2) 12．;23 、【答案】 (1) (−∞,−32]∪[52,+∞)．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。