高二下学期期中考试(数学理)

1、曲线2
x y x =
-在点（1，－1）处的切线方程为 .
2、若22(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x ＝ .
3、如果复数
2()3bi b R i
-∈+的实部与虚部互为相反数，则b ＝ .
4、用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 .
5、函数32()2310f x x x =-+的单调递减区间是 .
6、设,x y 是实数，且
511213x y i
i
i
+
=
---，则x y += .
7、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数有 .
8、已知A B C ∆的三边长a b c 、、，内切圆半径为r （用A B C S ∆表示A B C ∆的面积），则
1()2
A B C S a b c r ∆=
++，类比这一结论有：若三棱锥A －BCD 的内切球半径为R ，四个面的
面积分别为1234S S S S 、、、，则三棱锥的体积A B C D V -＝ .
9、已知z C ∈，且221,z i i --=为虚数单位，则22z i +-的最小值为 .
10、设函数sin ()tan 3
2
f θθθθ=++，
，则'(0)f ＝ 11、求函数32()23121f x x x x =+-+在[3,3]-上的最大值是
最小值是 . 12、用数学归纳法证明41
21
3
5
n n +++能被14整除时，1n k =+时，4(1)12(1)1
35
k k +++++变形为 .
13、用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下了一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第九层恰好砖用完，那么共用去砖的块数是 .
14、已知3
()31f x ax x =-+对于[1,1]x ∈-上总有()0f x ≥成立，则a ＝ . 15、（本小题满分14分）已知函数3
2
()f x ax bx =+的图象在点（－1，2）处的切线恰好与
30x y -= 垂直，又()f x m ≤对任意[1,1]x ∈-恒成立，求m 的取值范围.
16、（本小题满分14分）已知z 是复数，22z
z i i
+-、
均为实数（i 为虚数单位），且复数
2
()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.
_ B
_ M
_ N
_0
_ A 主干道
l 17、（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，22(a a a =+为常数），n S 是{}n a 的前n 项和，且n S 是n na 与na 的等差中项， （1）求13a a 、； （2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.
18、（本小题满分
12分）给定实数0,1a a ≠≠，设函数11(,)1
x y x R x ax a -=
∈≠
-.
求证：经过该函数图象上任意两点的直线不平行于x 轴.
20、（本小题满分18分）给定两个函数3
2
111(),()32
3
m f x x x g x m x +=
-
=
-；
（1）若()f x 在x ＝1处取得极值，求函数()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数，求m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若关于x 的方程()()0f x g x -=有三个不同的根，求m 的取值范围.
二．解答题： 15、（本题14分）
解：'(1)323(1)2f a b f a b -=-=-⎧⎨=-+=⎩
…………… 3分
1
3a b =⎧∴⎨=⎩
32()3 '()36f x x x f x x x ∴=+∴=+……………6分 令'()0f x =得02(x x ==-或舍） …………………7分
……………10分
()(1)9f x f ∴≤= ………………12分 ()f x m ≤ 在[1,1]x ∈-上恒成立，9m ∴≥……………14分
16、设(,)z m ni m n R =+∈ 由22z
z i i
+-、
均为实数得4,2m n ==-，……………8分
42z i ∴=-
222()[4(2)]16(2)8(2)z ai a i a a i +=+-=--+-………10分 由题得216(2)0
8(2)0
a a ⎧-->⎨->⎩ 26a ∴<<……………14分
17、（1）n S 是n na na 与的等差中项， 当1n =时，1112
a a S a +==
1a a =……………2分
当3n =时，33123332
a a
S a a a +=++= 34a a =+………4分
（2）猜想：*
2(1)()n a a n n N =+-∈………………6分
证明：①当1n =时，由（1）可知等式成立；……………7分
②假设(1,*)n k k k N =≥∈时等式成立，即：2(1)k a a k =+-……8分 则1n k =+时，
11(1)(1)2
k k k a k a
S +++++=
2k k ka ka
S +=
111(1)(1)2
2
k k k k k k a k a
ka ka
a S S +++++++∴=-=
-
1(1)[2(1](1)2(1)k k k a ka a k a k a a k k k +∴-=-=+--=-+- 122[(1)1]k a a k a k +∴=+=++-
即1n k =+时等式也成立 ……………14分 综合①②知：2(1)n a a n =+-对任意*n N ∈均成立 ………16分
18、假设该函数图象上存在两点112212(,()(,())()A x f x B x f x x x ≠、的连线平行x 轴，
…………4分
则12()()f x f x =
即1212111
1
x x ax ax --=
-- …………6分[来源:学&
科&网]
2112(1)(1)(1)(1)ax x ax x --=--即1212()a x x x x -=-
121x x a ≠∴= 与1a ≠矛盾 …………10分
假设错误，即函数11(,)1
x y x R x ax a
-=
∈≠
-任意两点的连线不平行x 轴……12分
19、(1)cos 100(cos 1)
sin 100sin 1100(cos 1)100sin 5000sin (cos 1)((0,))
2
AB R R BM R S θθθθ
θθθθθπ=+=+===
⨯+⨯=+∈
……6分 (2)2
'5000(2cos cos 1)S θθ=+- ……………8分 令'0S =，得3
π
θ= …………10分
列表得当3
π
θ=
，max S =………15分 答：当3
A O N π
∠=
时，最大绿化面积为2
…………16分
20、（1）2
'()(1)f x x m x =-+
'(1)1(1)0f m =-+= 0m ∴=…………2分
2
'()f x x x =-
令2'()0f x x x =-> 得10x x ><或 2'()0f x x x =-< 得01x <<
()f x 的单调递增区间为(,0),(1,)-∞+∞；单调递减区间为(0,1)…………4分
（2）：()f x 在区间(2,)+∞为增函数，
2'()(1)0f x x m x ∴=-+≥在(2,)x ∈+∞上恒成立…………6分 1m x ≤-在(2,)x ∈+∞上恒成立
1m ∴≤ ………………9分 又1m =时，()f x 不为常函数
∴所求m 的取值范围为 1m ≤ ……………10分 （3）令3
111()()()32
3
m F x f x g x x x m x +=-=
-
+-
………11分
令2'()(1)F x x m x m =-++得1x m x ==或 …………12分
由题得
2
3
11013
2
2
3
m m m m +
-
-
>≤且 ……………16分
122
m -<<- ……………18分。