高二下学期期中考试数学（理科）模拟试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共60分） 1．设复数i z i z +=-=3,121，则2
1
z z z =
在复平面内对应的点在 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于︒60”时，反设正确的是
A ．假设三内角都不大于于︒60 B.假设三内角都大于︒60 C ．假设三内角至多有一个大于于︒60 D.假设三内角至多有两个大于︒60
3．若复数2(4)(3)()z x x i x R =-++∈，则“z 是纯虚数”是“2x =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．函数()y f x =的图象如图所示，若
()f x dx m π
=⎰
，
则20()f x dx π
⎰等于
A ．m
B ．2m
C ．
0 D ．m - 5．复数z 满足|3||3|z z -=+，且||5z =，则z 等于 A ．5± B ．5i ± C ．35i ±+ D ．34i ±±
6．2
0()x x e dx +⎰的值为
A ．24e +
B ．23e +
C ．22e +
D ．21e +
7．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f '的图象最有可能是
8．电视台某节目的现场观众来自四个单位，分别在图中四个区域内坐定，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众
必
须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色不受限制，那么不同着装的方法有几种。
A.80
B.84
C.108
D.72
9．用数学归纳法证明*))(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⨯⨯⨯=+++ΛΛ，从“k 到k+1”，左端需要乘的代数式为（ ） A.2k+1 B.2(2k+1) C.
112++k k D.1
3
2++k k 10．若)2ln(2
1
)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．),1[+∞- B ．),1(+∞- C ．]1,(--∞ D ．)1,(--∞
11.对于函数x x x x f +-=2ln 3)(，下列说法正确的是：
A 既有极大值，又有极小值
B 只有极小值 ，没有极大值
C 只有极大值，没有极小值
D 没有极值
12.定义：若存在常数k ，使得对于定义域D 内的任意两个不同的实数21,x x ，均有2121)()(x x k x f x f -≤-成立，则称函数)(x f 在定义域D 上满足利普希茨条件，对于 函数)1()(≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值应是 A 2
1
B 31
C 1
D 2
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13.曲线)0(2≥=x x y 与直线1=y 及直线2=x 所围成的曲边三角形的面积为 14.函数x e y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 15.若复数i x x z )1()1(2-+-=为纯虚数，其中R x ∈，则1-z = 16． 13．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此下去，得图（3）……，
试用n 表示第n 个图形的边数n a =______________. 三、解答题：
17.证明下列问题 (1)求证：103112+<+
(2)设a ,b,c,为均大于1的数，且10=ab ； 求证：c c c b a lg 4log log ≥+
18．已知函数32()3,f x x ax x a R =-+∈
（I ）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[1,5]x ∈上的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围。
19．已知函数2()(0,f x ax bx c a b =++>、)c R ∈，曲线()y f x =经过点2(0,28)P a +，
且在点(1,(1))Q f --处的切线垂直于y 轴，设()(()16)x g x f x e -=-⋅。 （I ）用a 分别表示b 和c ；
（Ⅱ）当c b
取得最小值时，求函数()g x 的单调递增区间。
20．已知数列{}n a 的前n 项和为121
,,2(2,)3
n n n n
S a S a n n N S =-+=-≥∈。 （I ）求234,,S S S 的值；
（Ⅱ）猜想n S 的表达式；并用数学归纳法加以证明。
21．已知三次函数)0
)(2
(
3≠
bx
ax
cx
f在1-
x
d
+
+
+
=a
x处取得极大值，且
=
f是奇函数.
x
2
)
(-
(1)若函数)(x f的图像在x=0处的切线与直线l：0
-y
+
x垂直，求)(x f的
1
3=
解析式；
（2）当]1,1[-
f恒成立，求实数a的取值范围；
x
∈
x时，不等式0
)(≥
