专升本高等数学一(解答题)模拟试卷3(题后含答案及解析)
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专升本高等数学一（解答题）模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 计算．
正确答案：． 涉及知识点：函数、极限与连续
2． 设f(x)=讨论f(x)在x=0处的连续性和可导性．
正确答案：因=1．故=1=f(0)，f(x)在x=0处连续，又故f(x)在x=0处连续、可导，且f’(0)=0． 涉及知识点：一元函数微分学
3． 设函数y=f(x)由方程xef(y)=ey所确定，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求．
正确答案：方程两边先取对数再求导得：lnx+f(y)=y，方程两边对x求导可得：+f’(y)y’=y’，再对x求导，一+f’’(y)(y’)2+f’(y)y’’=y’’，代y’并解出：y’’=一． 涉及知识点：一元函数微分学
4． 设函数y=alnx+bx2+5x在x=1处取极值且x=为其拐点横坐标，求a，b之值．
正确答案：y’=＋2bx+5，y’’=+2b，又有已知条件可得y’(1)=a+2b+5=0，y’’()=—4a+2b=0，联立解得a=一1，b=一2． 涉及知识点：一元函数微分学
5． 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，=1，证明至少存在一个ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=1．
正确答案：令F(x)=f(x)一x，则有F(0)=f(0)一0=0，F(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈(，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η)(0，1)，使F’(ξ)=0，f’(ξ)=1． 涉及知识点：一元函数微分学
6． 一艘轮船甲以20海里／小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙在其正北82海里处以16海里／小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?
正确答案：设经过t小时两船相距S海里，则S=，即S2=(82—16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2．(82—16t)．(一16)+2．20t．20，令(S2)’=0，
得驻点t=2，即经过两小时后两船相距最近． 涉及知识点：一元函数微分学
设函数f在[a，b]上连续，且f(x)＞0，若F(x)=∫axf(t)dt+∫bxdt，证明：
7． F(x)为[a，b]上的严格单调递增函数；
正确答案：因为F’(x)=+2≥2，所以F(x)在[a，b]上严格单调增加． 涉及知识点：一元函数积分学
8． 方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．
正确答案：因为F(a)=∫badt=—∫abdt＜0，F(b)=∫abf(t)dt＞0，所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程F(x)=0在(a，b)内至少存在一个根，又由于F(x)在[a，b]上严格单调增加，所以方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根． 涉及知识点：一元函数积分学
9． 设2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，确定了函数z=f(x，y)，求．
正确答案：在2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z两边对x求导，则有2cos(x＋2y—3z)．，整理得．同理，由2cos(x＋2y一3z)，得=1．也可使用公式法求解：记
F(x，y，z)=2sin(x+2y一3z)一x一2y+3z，则Fx=2cos(x+2y一3z)．(一3)＋3，Fy=2cos(x+2y一3z)．2—2，Fx=2cos(x+2y一3z)一1，故=1． 涉及知识点：多元函数积分学
10． 求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．
正确答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，两边对x求导，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次对x求导，得y’一y=sinx为一阶线性非齐次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解为y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解为y(x)=(ex+sinx+cosx)． 涉及知识点：常微分方程
11． 将f(x)=展成x的幂级数．
正确答案： 涉及知识点：无穷级数
12． 将函数展开成x的幂级数．
正确答案：
涉及知识点：无穷级数
13． 将xOz平面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程．
正确答案：在z2=5x中，把z换成±得所求旋转曲面方程为y2＋z2=5x． 涉及知识点：向量代数与空间解析几何
14． 设f(x)为连续函数，且满足f(x)=3x2-x∫01f(x)dx，求f(x)。
正确答案：设∫01f(x)dx=A，则f(x)=3x2-Ax，将其两端在区间[0，1]上取定积分，则 ∫01f(x)dx=∫01(3x2-Ax)dx，可得A=，故f(x)=3x2- 涉及知识点：一元函数积分学
15． 计算
正确答案：令x=sint，则dx=costdt，t∈因此引入直角三角形如图1所
示，则锐角t的直角邻边也为，所以
解析：由于所给积分为的形式，所以考虑利用三角置换求解。
知识模块：一元函数积分学
