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第一章 质点力学矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。
已知升降机的初速度为零。
解 ：由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得 dt T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=002sin 1π 可得 ：D T t c T ct v ++=2cos 2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ， 故c T D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以 =ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ 直线FM 在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点F 转动。
求此直线与椭圆的焦点M 的速度。
已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos 112e e a r +-=式中a 为椭圆的半长轴，e 为偏心率，常数。
解：以焦点F 为坐标原点题1.8.1图则M 点坐标 ⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ） 又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即 ()rer e a --=21cos θ所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r ea --+--=-=θθ故有 ()2222224222sin 1ωθωr e a r e v +-=()2224221e a r e -=ω()()]1211[2222222e r e ar r e a --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω即 ()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）质点作平面运动，其速率保持为常数。
大学物理力学一、二章作业答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章 质点运动学一、选择题1、一质点在xoy 平面内运动，其运动方程为2,ct b y at x +==，式中a 、b 、c 均为常数。
当运动质点的运动方向与x 轴成450角时，它的速率为[ B ]。
A ．a ；B ．a 2；C ．2c ；D ．224c a +。
2、设木块沿光滑斜面从下端开始往上滑动，然后下滑，则表示木块速度与时间关系的曲线是图1-1中的[ D ]。
3、一质点的运动方程是j t R i t R rωωsin cos +=，R 、ω为正常数。
从t ＝ωπ/到t =ωπ/2时间内该质点的路程是[ B ]。
A ．2R ；B ．R π；C ． 0；D ．ωπR 。
4、质量为0.25kg 的质点，受i t F =(N)的力作用，t =0时该质点以v=2j m/s 的速度通过坐标原点，该质点任意时刻的位置矢量是[ B ]。
A ．22t i +2j m ； B ．j t i t2323+m ；C ．j t i t343243+； D ．条件不足，无法确定。
二、填空题1、一质点沿x 轴运动，其运动方程为225t t x -+=（x 以米为单位，t 以秒为单位）。
质点的初速度为 2m/s ，第4秒末的速度为 -6m/s ，第4秒末的加速度为 -2m/s 2 。
2、一质点以π（m/s ）的匀速率作半径为5m 的圆周运动。
该质点在5s 内的平均速度的大小为 2m/s ，平均加速度的大小为 22m /5s π 。
3、一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其运动方程为22t +=θ（式中的θ以弧度计，t 以秒计），质点在第一秒末的速度为 0.2m/s ，切向加速度为 0.2m/s 2 。
4、一质点沿半径1m 的圆周运动，运动方程为θ=2+3t 3，其中θ以弧度计，t 以秒计。
T =2s 时质点的切向加速度为 36m/s 2 ；当加速度的方向和半径成45º角时角位移是 38rad 。
力学练习题（一）学习目标1． 掌握描述质点运动和运动变化的物理量——位置矢量、位移、速度、加速度，理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性。
2． 理解运动方程的物理意义及作用，掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法。
一、 选择题1． 一运动质点在某瞬时位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即（1）d d r t ；（2）d d r t ；（3）d d s t ；（4 ） A 只有（1）（2）正确 B 只有（2）正确 C 只有（2）（3）正确 D 只有（3）（4）正确2． 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为245t t S -+=（SI ），则小球运动到最高点的时刻是（ ）。
A t = 4s.B t = 2s.C t = 8s.D t = 5s.3．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j bt i at r 22+=（其中a 、b 为常量） 则该质点作（ ）。
A 匀速直线运动. B 变速直线运动. C 抛物线运动. D 一般曲线运动. 4．下列说法哪一条正确？（ ）A 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变.B 平均速率等于平均速度的大小.C 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成2/)(21v v v +=D 运动物体速率不变时，速度可以变化.二、 填空题1．质点p 在一直线上运动，其坐标x 与时间t 有如下关系： x = A sin ω t （SI ） Ａ为常数）（1）任意时刻t 时质点的加速度 a =___________________；（2）质点速度为零的时间t =___________________________。
2．一人自原点出发，25s 内向东走30m ，又10s 内向南走10m ，再15s 内向正西北走18m ，设X 轴指向正东，Y 轴指向正北，求在这50s 内，（1）位移r ∆= ；（2）平均速度v = ；（3）平均速率v = 。
第一章 质点的运动1－1已知质点运动方程为t R x ω-=sin ，)cos 1(t R y ω-=，式中R ，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。
解：cos ,sin x y dx dy v Rw wt v Rw wt dt dt v Rw==-==-∴==222sin ,cos y xx y x dv dv a Rw wt a Rw wt dt dt a a Rw ====∴==sin ,(1cos )x R wt y R wt ==- 222()x y R R ∴+-=轨迹方程为质点轨迹方程以R 为半径，圆心位于（0，R ）点的圆的方程，即质点作匀速率圆周运动，角速度为ω；速度v = R ω；加速度 a = R ω21－2竖直上抛运动的物体上升到高度h 处所需时间为t 1，自抛出经最高点再回到同一高度h 处所需时间为t 2，求证：h =gt 1 t 2/2解：设抛出点的速度为v 0，从高度h 到最高点的时间为t 3，则012132012221201112()0,2()/2()1122212v g t t t t t v g t t t t h v t gt g t gt gt t -+=+=∴=++∴=-=-= 1－3一艘正以v 0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a ＝-kv 2，k 为一常数，求证船在行驶距离x 时的速率为v=v 0e -kx .解：取汽艇行驶的方向为正方向，则0200,,ln v xv kxdvdx a kv v dtdtdv dv kvdt kdx v v dv kdx v vkx v v v e -==-=∴=-=-∴=-=-∴=⎰⎰ 1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。
解：人前进的速度V 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，22220222203/222220()()()l v t H h dldt H h v d l dt H h v t =+-∴=-=⎡⎤-+⎣⎦所以小车移动的速度220220)(tv h H tv v --=小车移动的加速度[]2/3220222)()(tv h H v h H a +--=1－5一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a 0，以后加速度以t ba a a 00+=均匀增加（式中b 为一常数），求经t 秒后，质点的速度和位移。
第一章 质点运动学填空1. 在平面极坐标系中，单位向量的微分为： ， ，速度的两个分量为 ， ，加速度的两个分量为 。
2. 在自然坐标系下，单位向量的微分为： ， 速度表示为： ，切向加速度为： ，法向加速度为： 。
3. 点M 沿螺旋线自外向内运动，如图所示。
它走过的弧长与时间的一次方成正比，则点的加速度越来越 (填：大、小、不变)，点M 越跑越 (填：快、慢、不变)。
选择题1. 在直角坐标系下，某质点速度随时间的变化为：2234 (m/s)t i t j - ，则在1s 时，质点轨迹的曲率半径ρ= （ ） A. 0 m B. m ∞ C. 1 m D. 5 m计算和证明题：1. 有一作平面曲线运动的质点，其速度在y 轴上的投影于任何时刻均为常数c .试证：任何情况下，加速度的值可用下式表示3v a c ρ= ，其中v 为速率，ρ为轨道曲率半径.M·3. 质点作平面运动，其速率保持为常数.试证此质点速度矢量与加速度矢量相互垂直。
4. 一质点沿抛物线22y px =运动. 其切向加速度的量值为法向加速度量值的2k -倍.如此质点从弦的一端(,)2pp 以速率u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率.)p )p5，质点沿着半径为r 的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角α保持不变。
求：(1)，质点的速率随时间而变化的规律，(2)，质点速率关于速度与x 之间夹角θ之间的函数关系。
已知初始时，速率为0v ，速度与x 轴夹角为0θ。
6，如图所示，细长杆A 端沿半径为R 的半圆槽底滑动，杆紧靠槽边以角速度ω倒下。
求：当杆与x 轴的夹角为ϕ时，杆的端点A 和杆上与槽边的接触点C 的速度。
开始时A 点在半圆槽底端A 0处。
x第二章 质点动力学填空题1．如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一定点，我们称此力为有心力，而这个定点叫 。
2. 在直角坐标系下，某质点的动量为：32cos te i t j -- ，则作用在质点上的力F= 。
第一章质点运动学例1、质点沿x轴正向运动，加速度a=-kv，k为常数。
设从原点出发时速度为v0，求运动方程x=x(t)与速度—位移关系v=v(x)。
例2、已知斜抛运动的抛射角为θ，初速度为v0。
求其轨迹方程。
例3、如图，小船在绳子的匀速v0牵引下运动，已知h。
求θ位置时船的速度与加速度大小。
（两种方法）例4、有一轮以匀角速ω旋转，一质点自轮心沿水平轮轴以匀速v0向轮边移动。
求质点的轨迹方程，以及t时刻质点的速度和加速度大小。
*例5、一只狼沿着半径为R的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动，当狼经过某点时，一只猎犬以相同的速率从岛中心出发追逐狼。
设追逐过程中犬、狼、岛中心始终在一直线上，求猎犬的轨迹和追上狼时的位置。
*例6、（上海高考题改编）下图为平静海面上拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。
已知A、B的速度分别沿缆绳CA、CB方向，且A、B、C不共线。
以下说法正确的是（）（多选）（A）C的速度大小可能介于A、B的速度大小之间（B）C的速度一定不小于A、B的速度（C）C的速度方向可能在CA、CB的夹角之外（D）C的速度方向一定在CA、CB的夹角之内**例7、已知点P0(l,0)处有一小船，以长为l的线，拉着小船从原点向上走，小船沿着绳运动，PQ为P点切线，Q点恒在y轴上。
（1）以图中θ为参数，求P点的轨迹方程。
（曳物线）（2）若Q 点以匀速u 向上运动，求θ位置处P 点的加速度。
练习题1、一质点沿x 轴运动，其速度—时间关系为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t v 6sin 23ππ，式中各量均取国际单位。
已知当t =0时质点在x =-2m 处。
求：（1）2s 时质点的位置；（2）0s 至2s 质点的位移；（3）0s 和2s 两时刻质点的加速度。
2、一质点以初速度v 0=5i 开始离开原点，其运动加速度为a =-i -j 。
求：（1）质点到达x 坐标最大值时的速度；（2）上述时刻质点的位置。
3、如图所示，长为l 的棒的一端A 靠在墙上，另一端B 搁在地面上，A 端以恒定速率u 向下运动。
第一章质点运动学单元测验题一、选择题1.一质点沿x 轴运动，加速度与位置的关系为a (x )=2x +4x 2(SI 单位).已知质点在x =0处的速度为2m/s ，则质点在x =3m 处的速度为A.42m/s; B.26m/s ; C.94m/s ; D.34m/s .答案：C 解：根据题意：224dv a x x dt ==+，两边同乘dx 有：2(24)dv dx x x dx dt ⋅=+⋅由dx v dt=,上式化为:2(24)v dv x x dx ⋅=+对上式两边积分得到：223423v x x c =++由x =0，v =2m/s ，确定c =2.则当x =3m 时，解得：v =94m/s.2.一质点沿x 轴做直线运动，其速度v 随时间t 的变化关系如图所示.则下列哪个图可表示质点加速度a 随时间t 变化关系？2-•/s m a 2-•/s m a AB C答案：B 解：依据质点在一维运动时，速度-时间曲线的斜率对应加速度可知B 为加速度曲线.3.质点的运动学方程为33(21)t t =++r i j (SI 单位).则t =1s 时质点的速度为(SI单位)A.ji 6+3; B.j i 3+3; C.j i 6+6; D.j i 3+6.答案：A解：根据题意：33(21)t t =++r i j ，微分得：236d t dt ==+r v i j ，()136=+v i j 4.质点运动学方程为：kbt j t a i t a r +sin +cos =ωω，其中a 、b 、ω均为正的常数.问质点作什么运动？A.平面圆周运动；B.平面椭圆运动；C.螺旋运动；D.三维空间的直线运动.答案：C解：把质点的运动分解到三个方向上：cos sin x a t y a t z bt ωω===，，整理可知：222x y a z bt+==，则质点是以z 5.如图所示，在桌面的一边，—小球作斜抛运动，初速度v 0=4.7m/s.已知桌面宽a =2.0m.欲使小球能从桌面的另—边切过，小球的抛射角θ为A.30°;B.38°;C.50°;D.58°.答案：D 解：根据题意，小球沿x 和y 方向的运动方程为：t v x ⋅=θcos 0，201sin 2y v t gt θ=⋅-由x =2.0m 时，y =0，解得：o 58θ=.6.如图，有一半径为R 的定滑轮，沿轮周绕着一根绳子，悬在绳子一端的物体按s =(1/2)bt 2的规律向下运动.若绳子与轮周间没有相对滑动，轮周上一点A 在任一时刻t 的总加速度大为A.2t b a ;B.222/=R t b a ；C.b a =;D.R t b b a /+=22.答案：A 解：已知221bt s =，微分可得速度大小：t b dtds v ⋅==切向加速度大小：b dt dv a ==τ;法向加速度大小：Rt b R v a n 222==总加速度大小：a ==.7.当蒸汽船以15km/h 的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向.过一会儿，船以24km/h 的速度向正东方向航行，船上的人则观察到烟飘向正西北方向.若在这两次航行期间风速不变，则风速的大小为A.9km/h; B.17.5km/h ; C.26.9km/h ; D.41km/h.答案：B解：地面为静系，船为动系，风为研究对象，则风对地的速度为绝对速度：风v v =船对地的速度为牵连速度：船牵连v v =风对船的速度为相对速度：风对船牵连v v =由绝对速度、牵连速度和相对速度的关系可得v v v =+船风对船，其矢量几何关系如图所示由此几何关系可得：1cos v v θ=船风，o 2145sin v v ctg v θ-=风船船联立解得：o 31θ=，5.17=v km /h .8.一个自由落体在它运动的最后一秒内所通过的路程等于全程的1/3.则物体通过全程所需的时间为A.3s ;B.6-3s ;C.6+3s ;D.6s答案：C解：设自由落体的全程下落时间和下落的高度分别为t 、S t 。
班级:__________ 姓名:__________ 学号:___ 成绩:__________ 第一章质点运动学一、选择题1．如图，物体沿两个半圆弧由C 运动至A 。
它的位移和路程分别是： ［ ］（A ）4R 向右；2πR 向右； （B ）4πR 向右；4R 向左； （C ）4R 向左；2πR ； （D ）4R ；2πR .2．一物体在位置1的矢径是1r ，速度是1v ；经过t ∆秒到达位置2，此时其矢径为2r ，速度为2v；那么在t ∆时间内的平均速度是： ［ ］ （A ）212v v -； （B ）212v v -； （C ）tr r ∆-12 ； （D ）tr r ∆-123．一物体在位置1的速度为1v ，加速度为1a ；经过t ∆秒到达位置2，此时其速度为2v ，加速度为2a；那么在t ∆时间内的平均加速度是： ［ ］ （A ）tv v ∆-12 ； （B ）tv v ∆-12； （C ）212a a -； （D ）212a a -4．平均速度总是等于瞬时速度的运动是： ［ ］（A ）匀速直线运动； （B ）匀变速直线运动； （C ）匀速圆周运动；（D ）抛体运动.5．一个质点作曲线运动，r表示位置向量，S 表示路程，t a 表示切线方向加速度，下列几种表达式中，正确的表达式为： ［ ］ （A ）a dtdv =； （B ）v dtdr =； （C ）v dtds =； （D ）t a dtv d =.6．见图，能正确表示质点在曲线轨迹上P 点的运动为减速的图是： ［ ］7．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度大小与速度大小的关系是 （A ）与速度大小成正比； （B ）与速度大小的平方成正比； （C ）与速度大小成反比； ［ ］ （D ）与速度大小的平方成反比.RRv PvPvPavPaaa8．下列哪一种说法是正确的： ［ ］ （A ）在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心； （B ）匀速圆周运动的速度和加速度都恒定不变；（C ）物体作曲线运动时，速度的方向一定在轨道的切线方向上，法向分速度恒等于零，因此其法向加速度也一定等于零； （D ）物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零.9．一质点沿如图所示的轨迹以恒定的速率运动，由图可知，加速度最大的位置是： ［ ］（A ）A 点处 （B ）B 点处 （C ）C 点处 （D ）D 点处10．一个质点在oxy 平面上运动，已知质点的运动方程为j t i t r3352-= （SI ）, 则该质点作：［ ］(A)匀速直线运动； （B ）匀加速直线运动； （C ）变加速直线运动； （D ）曲线运动。
单元三 冲量和动量 1一 选择题01. 在两个质点组成的系统中，若质点之间只有万有引力作用，且此系统所受外力的矢量和为零，则此系统： 【 D 】(A) 动量和机械能一定都守恒； (B) 动量与机械能一定都不守恒； (C) 动量不一定守恒，机械能一定守恒； (D) 动量一定守恒，机械能不一定守恒。
02. 如图所示，置于水平光滑桌面上质量分别为1m 和2m 的物体A 和B 之间夹有一轻弹簧。
首先用双手挤压A 和B 使弹簧处于压缩状态，然后撤掉外力，则在A 和B 被弹开的过程中 【 B 】(A) 系统的动量守恒，机械能不守恒； (B) 系统的动量守恒，机械能守恒； (C) 系统的动量不守恒，机械能守恒； (D) 系统的动量与机械能都不守恒。
03. 质量为m 的小球，以水平速度v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量变化为 【 D 】(A) v m ； (B) 0； (C) 2v m ； (D) 2v m 。
04. 如图所示，质量为m 的质点，沿正三角形ABC 的水平光滑轨道匀速度v运动，质点越过A 点时，轨道作用于质点的冲量的大小： 【 C 】(A) v m ；(B)v ；(C) v ； (D) 2v m 。
05. 质量为20g 的子弹，以400/m s 的速度沿图示方向射入一原来静止的质量为980g 的摆球中，摆线长度不可伸缩。
子弹射入后与摆球一起运动的速度为 【 A 】(A) 4/m s ； (B) 8/m s ； (C) 2/m s ； (D) 7/m s 。
06. 如图所示，一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上，在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动，说明在此过程中摩擦力对物块的冲量 【 D 】(A) 水平向前； (B) 只可能沿斜面向上；选择题_04图示 选择题_05图示选择题_06图示选择题_02图示(C) 只可能沿斜面向下； (D) 沿斜面向上或向下均有可能。
大学物理习题解答——力学部分 11—2 一质点的运动方程为 k t j t i r ++=24，式中r 、t 分别以m 、s 为单位。
试求：（1）它的速度与加速度；（2）它的轨迹方程。
解 ⑴ j dtd a k j t dt r d 8 8==+==υυ ⑵ t z t y x === ,4 ,12 所以轨道方程为 ⎩⎨⎧==241zy x l —3 一质点自原点开始沿抛物线2bx y =运动，它在O x 轴上的分速度为一恒量，值为10.4-⋅=s m x υ,15.0-=m b 。
求质点位于m x 0.2=处的速度和加速度。
解 抛物线2bx y =是质点的轨迹方程，它是参数方程)(t x x =和)(t y y =合成的结果．由于x υ是已知的，可得x 方向上的运动方程)(t x x =及加速度分量x a ，由)(t x x =和轨迹方程)(x f y =，求得运动方程在y 方向上的分量式)(t y y =及其加速度分量y a ，再由速度和加速度的分量可得其矢量表达式．因10.4-⋅=s m x υ为一常量，故0=x a ．当0=t 时，0=x ，由dt dx x =υ积分可得 t x x υ= (1)又由质点的抛物线方程，有22)(t b bx y x υ== (2)由y 方向的运动方程可得该方向的速度和加速度分量分别为t b dt dy x y 22υυ== (3) 2222xy b dt y d a υ== （4） 当质点位于m x 0.2=时，由上述各式可得→-→-→→→⋅+⋅=+=j sm i s m j i y x 110.80.4υυυ； →-→→→⋅=+=j s m j a i a a y x 216． 1—5 质点的运动方程为230)10(t t x +-=；22015t t y -=．试求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向。
解 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量，再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．(1)速度的分量式为t dt dx x 6010+-==υ；t dt dy y 4015-==υ；当0=t 时，1010-⋅-=s m x υ，1015-⋅=s m y υ，则初速度大小为1202000.18-⋅=+=s m y x υυυ；设0→υ与x 轴的夹角为α，则2300-==x tg y υυα，/041123=α；(2)加速度的分量式为 260-⋅==s m dt d a x x υ；240-⋅-==s m dtd a y y υ．则加速度的大小为 2221.72-⋅=+=s m a a a y x设→a 与x 轴的夹角为β，则 32-==x y a a tg β，)19326(4133/0/0或-=β 1—9 一半径为0.50m 的飞轮在启动时的短时间内，角速度与时间的平方成正比。
