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第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。
动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。
即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。
2 质点力学的运动定律守恒定律2.1直线运动中的牛顿运动定律1. 水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F如图所示．欲使物体A有最大加速度，则恒力F与水平方向夹角θ 应满足(A) sinθ ＝μ．(B) cosθ ＝μ．(C) tgθ ＝μ．(D) ctgθ ＝μ．答案：(C)参考解答：按牛顿定律水平方向列方程：,)sin(cos amFgmFAA=--μθθ显然加速度a可以看作θ的函数，用高等数学求极值的方法，令,0dd=θa，有.μθ=tg分支程序：凡选择回答错误的，均给出下面的进一步讨论：1.一质量为m的木块，放在木板上，当木板与水平面间的夹角θ由00变化到090的过程中，画出木块与木板之间摩擦力f随θ变化的曲线（设θ角变化过程中，摩擦系数μ不变）.在图上标出木块开始滑动时，木板与水平面间的夹角θ0，并指出θ0与摩擦系数μ的关系．(A) 图(B)正确，sinθ0 ＝μ．(B) 图(A)正确，tgθ 0＝μ．FθA答案： (B)参考解答：(1) 当θ较小时，木块静止在木板上，静摩擦力;sin θmg f =(正确画出θ为0到θ 0之间的f －θ 曲线)(2) 当θ＝θ 0时 (tg θ 0＝μ)，木块开始滑动； (3) 0θθ>时，滑动摩擦力,cos θμmg f =(正确画出θ为θ 0到90°之间的f －θ曲线) .2.2曲线运动中的牛顿运动定律1. 如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心． (B) 它的速率均匀增加． (C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心． (D) 它的合外力大小不变． (E) 轨道支持力的大小不断增加． 答案： (E)参考解答：根据牛顿定律法向与切向分量公式：.dtd ,2υυm F R m F t n == .cos ,sin θθmg F mg N F t n =-= 物体做变速圆周运动，从A 至C 的下滑过程中速度增大，法向加AROθC速度增大。
1、 质点运动量的描述(1) 位置矢量r:运动方程: k t z j t y i t x t r )()()()(++=；模为 222z y x r ++=位移矢量：)()(t r t t r r -∆+=∆；注意：一般r r ∆≠∆(2) 速度：x y z dr v v i v j v k dt ==++，分量式：x y z v ,v ,v dx dy dzdt dt dt===； 速度的大小：222x y z dr ds v v v v v dt dt==++=≡，v 为速率。
速度方向沿曲线切线指向运动的前方。
平均速度：x y z r v v i v j v k t ∆==++∆，分量式：,,x y z x y zv v v t t t∆∆∆===∆∆∆ (3) 加速度：22x y z dv d r a a i a j a k dt dt===++，加速度大小：222xy z a a a a =++ 分量式：222222,,y x z x y z dv dv dv d x d y d za a a dt dt dt dt dt dt ======； 自然坐标系：t e v v =，n n t t e a e a a+=，t dv a dt =(有正负!)，2n v a ρ=，此处v 为速率，ρ为曲率半径。
2、 圆周运动：角位置θ，角速度d dt θω=，角加速度：d dtωα=； 角量与线量的关系：θR s =，R v ω=，t dv a R dt α==，22n va R Rω==3、 抛体运动：0000200000cos 1sin 2x x x x y y y y a v v v x v ta g v v gt v gt y v t gt θθ=→==→=⎧⎪⎨=-→=-=-→=-⎪⎩其中0θ为起抛角。
22t n a a g += 4、 相对运动速度变换： AB AC CB v v v =+ 或表示为 AB AC BC v v v =- 加速度变换：AB AC CB a a a =+ 或 AB AC BC a a a =-（注意：这是矢量加法，用平行四边形作图或分解为分量计算；注意下标的规律。
r r r r r r rr、⎰ dt⎰0 dx = ⎰ v e⎰v v1122v v d tv v d tvg 2 g h d tdt [v 2 + ( g t ) 2 ] 12 (v 2 + 2 g h ) 12第一章质点运动学1、(习题 1.1)：一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为 x = 2 t, y = 4 t 2 - 8 。
（1）求质点 的轨道方程；（2）求 t = 1 s 和 t = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。
解：（1）由 x=2t 得，y=4t 2-8可得： r y=x 2-8r 即轨道曲线（2）质点的位置 ： r = 2ti + (4t 2 - 8) jr r rr r 由 v = d r / d t 则速度： v = 2i + 8tjr r rr 由 a = d v / d t 则加速度： a = 8 jrr r r r r r r 则当 t=1s 时，有 r = 2i - 4 j , v = 2i + 8 j , a = 8 j r当 t=2s 时，有r = 4i + 8 j , v = 2i +16 j , a = 8 j 2 （习题 1.2）： 质点沿 x 在轴正向运动，加速度 a = -kv ， k 为常数．设从原点出发时速度为 v ，求运动方程 x = x(t ) .解：dv = -kvdt v1 v 0 vd v = ⎰ t - k dt 0v = v e - k tdx x= v e -k t0 t0 -k t d t x = v0 (1 - e -k t )k3、一质点沿 x 轴运动，其加速度为 a = 4 t (SI)，已知 t = 0 时，质点位于 x 0=10 m 处，初速 度 v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．解：a = d v /d t = 4 td v = 4 t d tv 0d v = ⎰t 4t d t v = 2 t 2v = d x /d t = 2 t 2⎰x d x = ⎰t 2t 2 d t x = 2 t 3 /3+10 (SI)x4、一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程； d r d v d v （3）落地前瞬时小球的 ，，.d td td t解：（1）x = v t式（1）v v v y = h - gt 2 式（2）r (t ) = v t i + (h - gt 2 ) j0 （2）联立式（1）、式（2）得y = h -vd r（3） = v i - gt j而落地所用时间t =0 gx 22v 22hgvd r所以 = v i - 2gh jvd vdv g 2t= - g j v = v 2 + v 2 = v 2 + (-gt) 2= =x y 0 0vv v d rv d v 2） v = [(2t )2+ 4] 2 = 2(t 2+ 1)2t t 2 + 1, V a = a - a = m + M m + Mvg gvv v 5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = t 2i + 2tj ，式中 r 的单位为 m ， 的单位为 s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
