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- k 0 ( mg - kv - F ) 0 dt
ln( mg - kv - F ) v - kt
0
m
v
mg
-
F
(1 -
- kt
em
)
k
第三节 动量定理与守恒定律
一 冲量与动量定理
能量和动量是最基本的物理量。它们的守恒定律是自然 界中的基本规律，适用范围远远超出了牛顿力学。
力的时间积累（冲量）引起动量的变化
v0
m0
t ( 2v0 m)1 2 6.90 s b
思考: 在 6.90s 的时间里, 汽车行进了多长的路程 ?
例2
质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为
常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的
关系为
v
mg
-
F
- kt
(1- e m
dp
Fdt
或
dI Fdt
质点动量的元增量等于它获得的元冲量。
质点动量定理 (积分形式)
t
I
F
t0
dt
P
-
P0
P
质点动量的增量等于它获得的冲量。
二 、质点系的动量定理
1 质点系
由N个质点构成的系统 i, j 1,2, , N
◆内力和外力
内力： fij - f ji
外力： fi , fj
第一章 质点力学
▪ 质点力学基础 ▪ 牛顿运动定律 ▪ 动量定理与守恒定律 ▪ 功和能 机械能守恒定律
❖代表人物：牛顿
恩格斯说：牛顿由于发 现了万有引力定律而创 立了天文学,由于进行 光的分解而创立了科学 的光学,由于创立了二 项式定理和无限理论而 创立了科学的数学,由 于认识了力学的本性而 创立了科学的力学.
速度改变量为
Δvr vr (t Δt) - vr (t)
则定义质点的 z 平均加速度为
a Δv Δt
y
v(t)
P1
P2
r (t)
O
r (t Δt)
v(t Δt)
x
v(t ) Δv
v(t Δt)
瞬时加速度( instantaneous acceleration) ： 平均加速度在t趋于零时的极限,即
即速率的大小为质点所走过路程的时间变化率
采用分量形式,速度可以表示为：
v
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
vxi
vy
j
vzk
其中 vx,vy,vz分别表示速度矢量在三个坐标 轴上的分量.在直角坐标系中,速度的大小为
v
v
2 x
v2y
v2z
加速度
设质点在 t 和 t+t
时vr刻(t的), v速r (t度分Δt别),为
中的守恒量及相应的守恒条件.
第一节 质点力学基础
一、物理学理想模型
单位与量纲
物理学中,为了方便描述各物理量,常常选 择一些物理量作为基本量. 在国际单位制中,力学基本量及其单位： 长度(m),质量(kg),时间(s).
❖ 导出量：由基本量导出的量,如速度、 力、加速度等.
❖ 量纲式：表示一个物理量的单位与基本 量单位关系的式子.三个力学基本量的量 纲分别为L, M,T.
❖矢量的加法：两矢量 和仍为一矢量,即
C AB
❖矢量的减法：C
A
(-B)
矢量的加减法服从平行四边形法则和三角 形法则.
平行四边形法则和三角形法则
A
D A (-B)
-B
B
C AB
A
C AB
B
❖ 矢量的乘法：标积(点积)和矢积(叉积)
矢的投量影的与标矢积量(点B积大)小—的矢乘量积A,即在矢量 B上
◆解题时常用分量形式
关于质量的概念:
质量m是物体惯性大小的量度。
惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量
引力质量：
F
-G
m1m2 r2
r0
式中 m1、m2 被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、牛顿第三定律
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等 的，而且指向相反的方向。
i , j, k 分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量.
质点运动过程中,其位置随时间的改变可
以表示为
x x(t)
y
y(t)
或
z z(t)
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
位移
质点在一段时间内 位置的改变称为它
在这段时间内的位 移,记作 Δr ,大小
标志着在这段时间 内质点位置移动的 多少,方向表示质 点的位置移动方向. 图中s表示路程. z
温度、能量、质量； 矢量(vector)：既有大小又有方向且只有一个方
向的物理量,如速度、加速度；
质点：任何物体都有一定的大小和形状, 但当物体的大小和形状在所描写的运动中 所起的作用可以忽略不计时,我们就把它 看作是一个只有质量而没有大小和形状的 点,称为质点.
二、参考系与坐标系
坐标系：描述一个物体的运动需要另一个物体作为 参考,这个被选定的参考物体称为参考系.
说明 ◆反映了物体的惯性，又叫做惯性定律
◆给出了力的概念，提出了力是改变物体 运动状态的原因
如物体在一参考系中不受其它物体作用，而 保持静止或匀速直线运动，这个参考系就称为惯 性参考系．
相对惯性系做匀速直线运动的参考系也是惯性系
二、牛顿第二定律
“动量”的定义：物体的质量与其速度的乘积
p mv
根据叉积运算定义,可以得到如下结果： A B -B A
四、质点的运动
运动描述
位置矢量
空间一质点 P 的位置可以用三个坐标
x,y,z 来确定,也可以用从原点O到Pr点的
有向r 线段 表示, 称 为位置矢量.
在直角坐标系中,
r
可以表示为
r xi yj zk
其r 中r xr,y,z,分别表示 rr在三个坐标轴上的分量,
A B ABcos
A
当两矢量同向时,点积结 果数值最大；当两矢量 反向时,点积结果数值最 小；当两矢量垂直时,点 积结果为0.
B
矢等于量的C=矢A积Bs(in叉积,方)—向—垂结直果于仍矢为量一A与矢B量构,大成的小
平面,并服从右手螺旋法则,即
C AB
当两个矢量平行时,叉积结果为零；当两 个矢量垂直时,叉积结果最大.
)
k
F
式中t为从沉降开始计算的时间 证明：取坐标，作受力图。
根据牛顿第二定律，有
mg - kv - F ma m dv dt
f
a x
mg
mg - kv - F ma m dv dt
初始条件：t=0 时 v=0
v
dv
t
0 ( mg - kv - F ) m 0 dt
m v d( mg - kv - F ) t
本节从牛顿力学出发给出动量的定义，推导动量守恒定
律，并讨论它在牛顿力学中的应用。
动量
p mv 单位：千克·米/秒( kg·m/s)
说明
★矢量、瞬时量和相对量 ★描述运动状态的参量
牛顿第二定律质点的动量定理：
F
dp
Fdt
dp
dt
将力的时间积累称为冲量 用I
表示I
t2
Fdt
t1
质点动量定理
(微分形式)
◆过程中包括的质点不变
fi
mi
ri
f ij
f ji
o 惯性系rj
mj fj
2 质点系的动量定理
第 i 个质点受系统内其它 质点作用的合力：Fi内
第 i 个质点受系统外部作
用的合力：Fi外Βιβλιοθήκη 第 i 个质点的动量：Pi
对第 i 个质点应用牛顿第二定律：
F合
Fi内
Fi外＝
d
(Pi ) dt
对于整个质点系：
一般方法
第 一 类
第 二 类
已知 及
例如 或
时的 和
求得
求
解题的基本思路
1）确定研究对象，分析其运动，进行受力分析； （隔离物体，分析力，画受力图）
2）取坐标系； 3）列方程（一般用分量式, 用文字符号列方程式）；
4）利用其它的约束条件列补充方程； 5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
例1 设有一质量为m = 2500kg 的汽车, 在平直的高
牛 顿 (1643-1727) 英 国 伟大的物理学家、数学 家、天文学家,经典力 学理论的集大成者,建 立了著名的万有引力定 律和牛顿运动三定律.
❖力学的内容：
➢研究物体的运动轨道及其动力学因素； ➢研究物体间的相互作用以及作用过程
中物体运动量的交换和变化规律； ➢寻求物体运动过程中或相互作用过程
用动量描述运动比用速度更普遍和深刻
定律内容：物体在合外力作用下，其动量随时间的
变化F率v ，d等(于mvv作) 用d在m 物vv体m上dvv的合m外dvv力。mav
dt
dt
dt dt
F
dp dt
m ddvt
ma
分量式：
Fx Fy
max ma y
Fz
maz
说明
◆F 为合力
◆矢量关系
◆此关系是瞬时关系 ◆适用于质点的运动
Δt
瞬时速度(instantaneous velocity) ：平均 速度的极限,即
v lim Δr dr Δt0 Δt dt
速率(speed) ：速度的大小,即
v v lim
Δr
dr
Δt0 Δt dt
