(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率

曲面曲率高斯定律
曲面曲率高斯定律，又称为高斯-博内定理，是微分几何学中的一条重要定律。

它揭示了曲面在局部的几何性质与其曲率之间的关系。

具体来说，曲面曲率高斯定律指出，在曲面的任意小区域内，高斯曲率的大小与该区域内最小曲率半径的平方成正比。

换句话说，曲率半径越小，高斯曲率就越大，这意味着曲面在该点处的弯曲程度越高。

这一定律的重要性在于它揭示了曲面曲率的基本性质。

通过曲面曲率高斯定律，我们可以更好地理解曲面在各个点处的弯曲情况，这对于解决实际问题至关重要。

例如，在工程设计中，曲面曲率高斯定律可以帮助我们预测结构的应力分布和稳定性；在生物学中，它可以用来描述细胞膜的形态变化；在气象学中，它可以用来研究气候变化对地形的影响。

此外，曲面曲率高斯定律在数学和物理学中也具有广泛的应用。

在数学领域，它可以作为研究曲面几何性质的出发点，进一步推导出其他重要的几何定理，如欧拉公式和格林公式等。

在物理学领域，它可以用来描述流体的流动规律和弹性力学的基本原理。

总之，曲面曲率高斯定律是一个重要的数学定理，它不仅在数学和物理学中有广泛的应用，还对工程学、生物学和气象学等领域产生了深远的影响。

通过深入研究和应用这一定律，我们可以更好地理解自然界的规律和现象，并解决实际生产和生活中的问题。

第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为(5.1) |ω − λI 2 | = 0 ；等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为(5.2) |Ω − λg | = 0 ．② 对于主方向的算法，各种等价算式为a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向⇔ ∃λ , ∋(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ ∃λ , ∋(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ det. ⎝⎛⎠⎞(a 1, a 2)Ω (a 1, a 2)g = 0⇔(a2)2−a1a2 (a1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)(d u2)2−d u1d u2 (d u1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积Κ，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3① 注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4)Κ=|ω|=|Ω||g|=LN−M2EG−F2,(5.5) H= tr.ω2=LG− 2MF+NE2(EG−F2)．② 主曲率方程 (4.3) 式现可改写为(5.6)λ2− 2Hλ+Κ= 0 ；其中H 2−Κ= (κ1−κ2)24≥ 0 ．③ Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．④ 当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7)κi=H±H2−Κ , i= 1, 2处处连续，并且在非脐点处连续可微．⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． ⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 Κ ≡ 0 ．证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，由可展定义得知 n v ≡ 0 ，故其第二基本形式系数满足M = − r u •n v ≡ 0 , N = − r v •n v ≡ 0 ,于是Κ = LN − M 2 EG − F 2≡ 0 ． □ 在上例中，若取准线使 a ′•l ≡ 0 且 |l | ≡ 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8) κ1 = L E , κ2 ≡ 0 ．三．Gauss 映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．图4-5定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射(5.9) G : S →S 2(1) r (u 1, u 2)→G (r (u 1, u 2)) = n (u 1, u 2)称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式(5.10) Ⅲ = d n •d n称为曲面S的第三基本形式．性质① n1×n2=Κr1×r2．② |Κ(P)|=limU收缩至P A(G(U))A(U)，其中P∈U⊂S , U为单连通区域，A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U⊂S的面积．③ Ⅲ− 2HⅡ+ΚⅠ= 0 ．证明① 由Weingarten公式得n1×n2= [−(ω11r1+ω12r2)]×[−(ω21r1+ω22r2)]=|ω|r1×r2=Κr1×r2．② A(U) =∫∫r−1(U)| r1×r2| d u1d u2 ,A(G(U)) =∫∫r−1(U) | n1×n2| d u1d u2=∫∫r−1(U)|Κ|| r1×r2| d u1d u2．而由积分中值定理，∃P*∈U使∫∫r−1(U) |Κ|| r1×r2| d u1d u2=|Κ (P*)|∫∫r−1(U)| r1×r2| d u1d u2．故而lim U收缩至P A(G(U))A(U)= limP*→P|Κ (P*)|=|Κ (P)|．③ 结论用系数矩阵等价表示为(Ω g−1)g(Ω g−1)T− 2HΩ+Κ g≡ 0⇔Ω g−1Ω− 2HΩ+Κ g≡ 0⇔Ω g−1Ω g−1− 2HΩ g−1+Κ I2≡ 0⇔ωω− (tr.ω)ω+|ω|I2≡ 0 ．而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为ωi kωk j− (tr.ω)ωi j+|ω|δi j=ωi1ω1j+ωi2ω2j− (ω11+ω22)ωi j+ (ω11ω22−ω12ω21)δi j≡ 0 ． □习 题⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u+v) ，试求：① 主曲率κ1和κ2；② Gauss曲率和平均曲率．⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2πH(P) =∫2πκ(P, θ) dθ．⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．⒌ 设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数μ足够小时 1 − 2μH+μ2Κ> 0 ．按参数相同作对应曲面 S*: r*(u1, u2) =r(u1, u2) +μn(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：① S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；② S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式ω* =ω (I2−μω )−1；③ S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式Κ* =Κ1 − 2μH+μ2Κ，H* =H−μΚ1 − 2μH+μ2Κ；④ S的曲率线对应于S* 的曲率线．⒍ 已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为κn(1), …,κn(m)，m> 2 ．试证：S在该点的平均曲率H=κn(1)+…+κn(m)m．⒎ 试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．。

曲率曲率说明
表示曲线弯曲程度的量.
平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

K=lim|Δα/Δs|，Δs趋向于0的时候，定义K就是曲率。

曲率的倒数就是曲率半径。

圆弧的曲率半径，就是以这段圆弧为一个圆的一部分时，所成的圆的半径。

曲率半径越大，圆弧越平缓，曲率半径越小，圆弧越陡。

曲率半径的倒数就是曲率。

曲率k = (转过的角度/对应的弧长）。

当角度和弧长同时趋近于0时，就是关于任意形状的光滑曲线的曲率的标准定义。

而对于圆，曲率不随位置变化。

高斯曲率曲面论中最重要的内蕴几何量。

设曲面在P点处的两个主曲率为k1，k2，它们的乘积k＝k1·k2称为曲面于该点的总曲率或高斯曲率。

它反映了曲面的一股弯曲程度。

高斯曲率k的绝对值有明显的几何意义。

设Δб是曲面上包含P点的一小片曲面（其面积仍用Δб表示），把Δб上的每点的单位法向量n平移到E3的原点O处，那么n的终点的轨迹是以O为中心的单位球面S2上的一块区域Δб* 。

这个对应称为高斯映射。

曲面在P点邻近弯曲程度可用
Δб*( 其面积仍用Δб*表示）与Δб的面积比刻画。

曲面在P点的高斯曲率的绝对值正是这个比值当Δб收缩成P点时的极限。

曲率的基本概念在SMT的8.4版本中，新推出了曲率属性，包括高斯曲率、最小最大曲率、平均曲率等概念。

为了让大家更清楚的了解曲率，这里与大家共享一些曲率的基础知识。

一、曲率基本概念曲率是用来反映几何体的弯曲程度。

二、三维欧氏空间中的曲线和曲面的曲率平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素。

平均曲率：是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。

如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K = (K1 +K2 ) / 2。

主曲率：过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin。

这两个曲率属性为主曲率。

他们代表着法曲率的极值。

高斯曲率：两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度。

三、地震层位的曲率属性计算地震层位在三维空间中实际上也是一个构造曲面，因此可表示为如下公式：根据上述方程中的系数组合，可以得出各种曲率属性:平均曲率：高斯曲率：极大与极小曲率：最大正曲率、最小负曲率：倾向与走向曲率：四、曲率在构造裂缝中的应用构造层面的曲率值反映岩层弯曲程度的大小，因此岩层弯曲面的曲率值分布，可以用于评价因构造弯曲作用而产生的纵张裂缝的发育情况。

计算岩层弯曲程度的方法很多，如采用主曲率法。

根据计算结果，将平面上每点处的最大主曲率值进行作图，得到曲率分布图，进行裂缝分布评价。

一般来讲，如果地层因受力变形越严重，其破裂程度可能越大，曲率值也应越高。

该篇博文有很多内容参考了有关曲率研究的论文，如杜文凤发表在《岩石力学与工程学报》上的《利用地震层曲率进行煤层小断层预测》等，同时包括许多曲率的教学稿，在此表示感谢！该博客中已有部分博文列表：1.断层组合与解释2.地震解释三种任务与思路3.A VO分析: SHUEY公式及其物理意义4.Modpak正演--过井线模型正演5.地质异常体的自动追踪解释6.浅谈色标问题及编辑思路7.合成记录制作8.时间切片、沿层切片9.制作岩性图片加载进SMT作为岩性模式10.分频使用小议11.RSA属性分析对比12.RSA模块参数选项卡含义说明13.ModPAK模块--楔形模型正演14.断层、裂缝识别属性15.如何利用smt计算储层厚度16.SMT中输入Landmark、geoframe软件断层时注意的问题17.在SMT中如何计算沿层属性、层间属性？18.加载三维地震数据详解/s/blog_5156997b0100eeap.html。

空间曲面的法向量与曲率空间曲面是三维空间中的一个二维曲面，我们可以通过法向量和曲率来描述其性质和特点。

本文将探讨空间曲面的法向量与曲率，并介绍它们的计算方法和应用。

一、法向量的定义与计算方法法向量是指与曲面上某一点的切平面垂直的向量。

在空间中，我们可以通过求取曲面的法向量来揭示曲面的几何性质。

对于一般曲面，法向量的计算方法如下：1. 首先，我们需要确定曲面的参数方程或隐函数表达式。

2. 然后，以曲面上的一点为基准点，分别计算该点横、纵坐标对参数的偏导数。

3. 最后，将计算得到的偏导数向量归一化，得到该点处的法向量。

以某空间曲面为例，其参数方程为：x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)。

在该参数方程下，求取曲面上某一点处的法向量的具体步骤如下：1. 分别计算基准点处的横、纵坐标对参数u的偏导数：$\frac{\partial x}{\partial u}$，$\frac{\partial y}{\partial u}$，$\frac{\partial z}{\partial u}$2. 分别计算基准点处的横、纵坐标对参数v的偏导数：$\frac{\partial x}{\partial v}$，$\frac{\partial y}{\partial v}$，$\frac{\partial z}{\partial v}$3. 计算法向量的横、纵、纵坐标分量：$n_x = \frac{\partialy}{\partial u} \cdot \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partialu}\cdot\frac{\partial y}{\partial v} $，$n_y=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partialu}\cdot\frac{\partial z}{\partial v}$，$n_z=\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partialu}\cdot\frac{\partial x}{\partial v}$4. 归一化法向量：$N = \frac{1}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}}(n_x,n_y, n_z)$通过以上步骤，我们可以得到空间曲面上每个点处的法向量。

曲率的概念教学设计曲率概念在SMT的版本中，新推出了曲率属性，包括高斯曲率、最小最大曲率、平均曲率等概念为了让大家更清楚的了解曲率，这里与大家共享一些曲率的基础知识一、曲率基本概念曲率是用来反映几何体的弯曲程度平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素平均曲率：是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K=(K1+K2)/2主曲率：过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin这两个曲率属性为主曲率他们代表着法曲率的极值高斯曲率：两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度三、地震层位的曲率属性计算地震层位在三维空间中实际上也是一个构造曲面，因此可表示为如下公式：根据上述方程中的系数组合，可以得出各种曲率属性:平均曲率：高斯曲率：极大与极小曲率：最大正曲率、最小负曲率：倾向与走向曲率：四、曲率在构造裂缝中的应用构造层面的曲率值反映岩层弯曲程度的大小，因此岩层弯曲面的曲率值分布，可以用于评价因构造弯曲作用而产生的纵张裂缝的发育情况计算岩层弯曲程度的方法很多，如采用主曲率法根据计算结果，将平面上每点处的最大主曲率值进行作图，得到曲率分布图，进行裂缝分布评价一般来讲，如果地层因受力变形越严重，其破裂程度可能越大，曲率值也应越高ReFract综合裂缝预测与建模软件2008-10-1610:44:30|分类：|标签：|字号大中小订阅近年来，在油气勘探领域，对裂缝油藏的研究变的越来越重要ReFract应用模糊逻辑技术，对直接反映裂缝的测井数据和与裂缝关系密切的地震属性、地质数据进行多学科综合分析与描述，使我们大幅度提高对裂缝分布的认识，减低裂缝油藏的勘探与开发风险的有效手段灵活性，所有对研究区的，这对勘探阶段数据缺乏的状况尤其重要人工智能神经网络建模曲率的概念来源：为了平衡曲线的弯曲程度平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度其中为AB弧长表示曲线段AB上切线变化的角度，计算公式的推导：由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分因为，所以令，同时用代替得所以具体表示；或1、时，2、时，3、时，再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出下面将与ds代入公式中：，即为曲率的计算公式曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径几何意义为在该点做曲线的法线，在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树《曲率》说课稿各位专家上午好，首先介绍一下本堂课的设计思路本门课的课程名称是机械类《高等数学》，共计80学时，教学对象是士官大专学员本门课包括四部分，共分为八章，今天我要讲授的是第四章导数的应用中第五节的内容------《曲率》《导数的应用》这一章突出体现了数学学科的工具性作用，本节课是继导数的一些实际应用，如函数的极值和最值、函数图像的描绘等知识之后，另一个导数在生产生活中的应用，它能解决工程上、生活中的很多问题，更进一步体现了数学学科的工具作用、基础作用和服务于专业的性能在此之前，学员已经学习了极限、导数与微分的知识，对高等数学的特点有一定的认识，对极限的思想和方法有初步的理解，能够用导数和微分的知识解决问题，这些是学习本节课内容的基础基于学员的以上特点，在吃透教材的基础上确定本节课的教学重点是：理解曲率的概念，掌握曲率的计算公式，教学难点是能够应用曲率解决实际问题能力目标为通过影响曲率因素的发现，激发学生的数学学习动机，公式的推导过程则使学生进一步体验观察分析、归纳总结的数学思想方法，公式的实际应用这个难点的突破，则可以培养学生联系实际来学习的意识，体会数学的美，增进数学应用的眼光同时，我还希望通过对概念及公式的发现和推导，培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，增强学生的团结协作意识，提高学生的主观能动性根据教学目标，结合学员的认识基础，采取“五段式”教学过程如下：首先利用西班牙火车脱轨新闻，从众所周知的弯道限速知识入手，引入课题这样设计的意图是：通过设疑，激发学生的学习兴趣和欲望第二，直观演示，鼓励探究通过课件直观演示实验，引导学生观察对比两种状态下的曲线，思考弯曲程度与哪些因素有关？逐渐让学生从特征感知向理性衡量逼近把抽象的问题具体化，达到对曲率概念的理解，从而突破了我们这堂课的第一个重点第三，精选例题，巩固概念通过求解两个特殊曲线的曲率，让学生对曲率概念得到及时的巩固，通过验证直观感觉，进一步表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度，这个环节起到了承上启下的作用第四，引导推理，突破重点利用曲率的概念计算比较困难，出于计算的需要，有必要推导曲率的计算公式采用提问法逐步引导推理，使学生的思维实现由“感知”——“认识”的真正转变第五，任务驱动，实例巩固，公式应用：通过本例题的讲解，引导学生总结解决有关曲率问题的思路和方法，使学生更进一步掌握数学模型的实用性，掌握曲率的计算，实现由“认识”——“理解应用”曲率的质的飞跃，更突出培养学生的数学应用意识，增强学生的专业使用感和责任感，教学目标得以实现。

曲面的高斯曲率是描述曲面在某一点上局部弯曲程度的量，通常用K来表示。

具体地说，曲面上任一点处的高斯曲率可以通过曲面局部坐标系下的一阶偏导数和二阶偏导数计算得到。

曲面的高斯曲率分布通常有以下情况：
K > 0：曲面上某个点的高斯曲率为正，代表该点处曲面的弯曲方向相同（凸）。

K < 0：曲面上某个点的高斯曲率为负，代表该点处曲面的弯曲方向相反（凹）。

K = 0：曲面上某个点的高斯曲率为零，代表该点处曲面是平的或者其弯曲方向相互抵消。

除此之外，还有以下特殊情形：
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是正值时，这样的曲面称为椭球面；
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是负值时，这样的曲面称为双曲面；
曲面的高斯曲率在不同位置之间变号，称为过渡曲面，典型例子包括圆柱面和双曲抛物面等。

一般情况下，曲面的高斯曲率分布是一个连续的函数，在不同位置处变化，并且曲面的性质与它局部高斯曲率的符号有密切关系。

例如，对于凸曲面，其高斯曲率处处为正，即在任何一点处曲率半径都是正值；而对于双曲面，则处处为负，即在任何一点处曲率半径都是负值。

一 曲面的概念1 简单曲面以及参数表示（1） 主要概念若尔当曲线，初等区域、简单曲曲面的参数表示、区纹坐标、坐标曲线、区纹坐标网。

（2） 主要公式曲面的参数方程：曲面S),(v x x μ=，),(v y μ=，),(v z μ=，G v ∈),(μ 曲面的向量参数表示：曲面S==),(v u r r),,({v u x ),,(v u y )},(v u z其中G v u ∈),(，u ，v 曲面上的点的曲纹坐标。

（3） 实例：圆柱面的参数表示),(z r θ={}z R ,cos θ=即,θμ=G z v ,=是一个长方形的区域：,20πθ<<.∞<<-∞z 坐标曲线是：-θ曲线（z=常数）即=),(0z r θ{}z R R 0,sin ,cos θθ.它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。

-z 曲线（θ是常数）即:{}z R R z r ,sin ,cos ),(000θθθ= 它是原柱面上的直母线。

球面的参数表示为：),(θφr r =,cos cos {φθR = }sin ,sin cos θφθR R ， G ∈),(θφ是一个长方形区域：22πθπ<<-；.20θφ<<即φ=u ，θ=v 。

坐标曲线是-ϕ曲线（θ=常数），即),(0θϕr =ϕθcos cos {0R ，ϕθsin cos 0R ，}sin 0θR 是球面上等纬度的圆——纬线，-θ曲线，（θ=常数），即==),(0θϕr ϕθ0cos cos {R ，}sin ,sin cos 0θθϕR 它是球面上过两极的半圆——纬线（子午线）。

2光滑曲面（1）主要概念k 阶正则曲面、光滑曲面、曲面的正常点、曲面的正规坐标网、曲面的特殊参数表示、曲面的切方向、曲面的切平面、曲面的法方向、曲面的法线、曲面的正侧。

（2）主要定理命题 1 曲面在正常点的邻域中可以有形式为),(y x z z =的特殊参数表示。

3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。

因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。

二 欧拉公式结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为1κ，沿v-线的主曲率为2κ,曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角为θ,则沿（d ）的法曲率n κ满足2212cos sin n κκθκθ=+ . 这个公式叫做欧拉公式。

证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上任意方向(d)=du:dv ,与其对应的法曲率2222n Ldu Ndv Edu Gdv κII +==I + . 沿u-线（0v δ=）的法曲率为主曲率1LEκ=,沿v-线（0u δ=）的法曲率为主曲率2N Gκ=. 因为(d)=du:dv 与u-线的夹角是θ,所以cos θ=,所以2222cos Edu Edu Gdv θ=+,2222sin Gdv Edu Gdvθ=+,所以 22222212222222cos sin n Ldu Ndv L Edu N Gdv Edu Gdv E Edu Gdv G Edu Gdvκκθκθ+==+=++++ 三 主曲率的性质命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。

证明 设12κκ< (如果12κκ>,可以交换坐标u 和v）由欧拉公式知：22212212cos sin ()cos n κκθκθκκκθ=+=+-,于是2221()cos 0n κκκκθ-=-≥,所以2n κκ≥,同样可得2121()sin n κκκκθ-=-，所以1n κκ≤,故12n κκκ≤≤, 这就是说，曲率21,κκ分别是法曲率n κ 中的最大值和最小值。

四 主曲率的计算公式结论 设(d)=du:dv 为曲面S: (,)r r u v =在 P 点处的主方向，沿主方向的主曲率为N k ，则N k 的计算公式是0N N N N L E M F M FN Gκκκκ--=-- 即222()(2)()0NN EG F LG MF NE LN M κκ---++-=。

微分几何中的几何不变量计算微分几何是研究曲线和曲面的几何性质以及它们的不变量的数学学科。

几何不变量是在几何对象转动、伸缩、扭曲等变换下保持不变的数值特征。

在微分几何中，我们通过计算一些重要的几何不变量来描述和研究曲线和曲面的性质。

本文将介绍微分几何中常用的几何不变量的计算方法。

一、曲线的几何不变量计算曲线是一维的几何对象，常见的曲线不变量有曲率、挠率和弯曲圆等。

下面将分别介绍这些几何不变量的计算方法。

1. 曲率曲率描述了曲线的弯曲程度。

对于曲线上的一点P，曲线在P点处的曲率可通过计算曲线在该点处的切线和法线之间的夹角来得到。

假设曲线的参数方程为r(t)，其中t为参数。

定义曲线切向量T(t)为T(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))其中x'(t)，y'(t)，z'(t)分别为曲线在该点处的切线方向的偏导数。

曲线法向量N(t)可通过计算切向量的一阶导数得到：N(t) = (x''(t), y''(t), z''(t))曲线在P点处的曲率k定义为：k = |N(t)| / |T(t)|2. 挠率挠率描述了曲线的扭转程度。

对于曲线上的一点P，曲线在P点处的挠率可通过计算曲线在该点处的切线、法线和循环方向之间的三重积来得到。

假设曲线的参数方程为r(t)，其中t为参数。

定义曲线切向量T(t)和法向量N(t)与循环方向的三重积为：B(t) = T(t) × N(t)曲线在P点处的挠率τ定义为：τ = |B(t)| / |T(t)|3. 弯曲圆弯曲圆是曲线上某一点处的局部近似圆。

它用于描述曲线在该点处的弯曲情况。

假设曲线的参数方程为r(t)，其中t为参数。

对曲线上任意一点P，取P点的切向量T(t)和法向量N(t)作为切平面上的两个互相垂直的单位向量。

则该切平面与曲线相交于曲线上的一段弧，弧的半径定义为弯曲圆的半径。