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微分几何中的曲面曲率计算方法微分几何是研究曲线、曲面等几何对象的性质和变化规律的数学学科。
曲面曲率是微分几何中的一个重要概念，它描述了曲面在某一点上的弯曲程度。
本文将介绍微分几何中常用的曲面曲率计算方法。
一、曲面的法曲线和法向量在微分几何中，曲面的法曲线是指曲面上每一点的切线都包含在该点的曲面上。
曲面的法向量是指与曲面上一点的法曲线相切且与曲面垂直的向量。
曲面的法曲线和法向量在曲面曲率计算中起到了重要的作用。
二、第一曲率和第二曲率曲面的曲率可以通过计算第一曲率和第二曲率来得到。
第一曲率刻画了曲面在某一方向上的曲率变化率，而第二曲率刻画了曲面在法曲线方向上的曲率变化率。
曲面曲率的大小取决于第一曲率和第二曲率的数值。
三、高斯曲率和平均曲率高斯曲率是描述曲面弯曲程度的量，它等于第一曲率和第二曲率的乘积。
高斯曲率为正表示曲面是凸曲面，为负表示曲面是凹曲面。
平均曲率是第一曲率和第二曲率的平均值，它描述了曲面整体的曲率情况。
四、主曲率和主曲率方向曲面的主曲率是指曲面在法曲线方向和垂直于法曲线方向上的最大和最小曲率。
主曲率方向是指与最大和最小主曲率相对应的法曲线方向和垂直于法曲线方向。
五、曲面曲率计算方法1. 曲面曲率计算的一种方法是使用切向量和法向量进行计算。
通过求解曲面的法曲线和法向量，然后运用一些微积分和线性代数的方法，可以得到曲面的第一曲率、第二曲率、高斯曲率、平均曲率、主曲率和主曲率方向等。
2. 另一种常用的曲面曲率计算方法是使用曲面参数方程。
对于给定的曲面参数方程，可以通过求解方程的偏导数和二阶偏导数来计算曲面曲率。
这种方法相对简单直观，适用于特定形式的曲面。
六、应用举例：球面曲率计算以球面为例，球面的参数方程为：x(u,v) = r*sin(u)*cos(v)y(u,v) = r*sin(u)*sin(v)z(u,v) = r*cos(u)计算球面在某一点的曲率时，可以根据球面的参数方程求出切向量和法向量，进而计算出第一曲率、第二曲率、高斯曲率、平均曲率等。
极小曲面iso value介绍在数学和计算机图形学领域，曲面是一个重要的概念。
而极小曲面则是一种特殊的曲面，具有一些独特的性质和应用。
本文将详细介绍极小曲面的概念、性质以及与之相关的iso value的应用。
什么是极小曲面极小曲面是指曲面上任意一点的平均曲率为零的曲面。
平均曲率是指曲面上某一点处切平面的两个主曲率的平均值。
在极小曲面上，任意一点处的平均曲率都为零，这意味着曲面在该点附近的形状类似于一个平面。
极小曲面可以通过一些数学方法和算法进行计算和构造。
极小曲面的性质极小曲面具有一些独特的性质，这些性质使得它们在数学和计算机图形学中得到广泛的研究和应用。
1. 稳定性极小曲面是稳定的，即当对曲面施加微小扰动时，曲面会尽可能地保持原有的形状。
这种稳定性使得极小曲面在图像处理和计算机图形学中具有重要的应用，例如在图像去噪和形状重建等方面。
2. 最小表面积极小曲面的一个重要性质是它们具有最小的表面积。
这意味着在给定一定约束条件下，极小曲面是能够最有效地利用空间的曲面。
这个性质在物理学和材料科学中有着广泛的应用，例如在液滴和气泡的形状研究中。
3. 物理模拟极小曲面可以用于模拟一些物理现象，例如液滴的形状和表面张力等。
通过构造极小曲面模型，可以更好地理解和预测这些物理现象的行为。
4. 数学研究极小曲面在数学研究中也具有重要的地位。
它们与微分几何、偏微分方程等数学领域有着密切的联系。
研究极小曲面的性质和构造方法可以推动数学理论的发展。
极小曲面iso value的应用在计算机图形学中，iso value是指曲面上某个特定属性的取值。
通过调整iso value，可以得到不同的曲面形状。
对于极小曲面，iso value的应用主要体现在以下几个方面。
1. 曲面构造通过调整iso value，可以构造出具有不同形状和特性的极小曲面。
这对于计算机图形学和虚拟现实等领域的建模和渲染非常重要。
2. 物体表面重建在三维重建和计算机辅助设计中，通过测量物体表面的数据点，可以重建出该物体的极小曲面模型。
曲面论高斯曲率的计算公式高斯定理2122LN MK k k EG F-==-。
注意(,,)u uu r r r L n r =⋅=，(,,)u uv r r r M n r =⋅=，(,,)u vv r r r N n r =⋅=。
所以22LN M K EG F-=- 2221[(,,)(,,)(,,)]()u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--，利用行列式的性质和矩阵乘法，得2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,)u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u vv u u u v u uv v uv v v vv v uv v v uv uu uuu vuu vvuv uuv vuv uvr r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u vv u uv v vv v uv uu uuu vuu vvuv uuv vuv uvE F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅u vv u uv v vvv uv uu uuu vuu vv uv uvuv uuv vE F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，由于()(())()uv u v u v u v uu v v vu vF F r r r r r r ==⋅=⋅+⋅uu vv uuv v u uvv uv uv r r r r r r r r =⋅+⋅+⋅+⋅，11()()22vv v v u uv v u uvv uv uv E E r r r r r r ==⋅=⋅+⋅，11()()22uu u u v vu u v vuu vu vu G G r r r r r r ==⋅=⋅+⋅，所以1122uv vv uu uu vv uv uv F E G r r r r --=⋅-⋅，于是得到221122111[]()22111111222222u v v v u u v uuv vv uu vu EF F E EF E K FG G F G G EG F E F G F E G E G -=-----对于曲面上的正交坐标网来说， 0F =， 此时1[K u v ∂∂=+∂∂，1]u v K =+。
极小曲面 设 2D R ⊂是有界开区域，边界为D ∂。
函数(,)x y ϕ在D ∂上有定义。
设2(,)()u u x y C D =∈，则曲面(,)zu x y =的面积为()DI u =⎰⎰。
设2{(,):(,)(),|}D W u x y u x y C D u ϕ∂=∈=， 考虑泛函I 在W 上的极小值是否存在的问题。
几何意义，以空间封闭曲线Γ为边界的曲面中，寻找其面积最小者。
这里{(,,):(,),(,)}x y z x y D z x y ϕΓ=∈∂= 。
这样的问题称为极小曲面问题。
假若泛函I 在u W ∈处达到最小值，我们考查其必要条件。
记20{(,):(,)(),|0}D W v x y v x y C D v ∂=∈=，显然，若I 在u W ∈处达到最小值， 则对任意0v W ∈，()I u tv +在0t =处达到最小值，所以0()|0t d I u tv dt =+=，而()DI u tv +=⎰⎰，()dI u tv dt +22Du v tv u v tv +++=⎰⎰，于是有x x y y Du v u v +=⎰⎰，设在xz平面上有一条显式曲线=≤≤≤。
z u x a x b(),(0)如果固定z轴不动，让xz平面绕着z 轴旋转360，那么这一条曲线就扫出一张旋转曲面，这个旋转曲面∑的方程为2222:)z u D a x y b=≤+≤。
r=。
我们寻找旋转的极小曲面。
历史资料极小曲面面积在法向变分下达到临界值的曲面，也即平均曲率（见曲面）为零的曲面。
目录简介研究同名图书简介研究同名图书展开小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。
这个问题可以用变分法来解。
从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。
由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h=0。
因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。
极小曲面（物理学概念）编辑锁定在数学中，极小曲面是指平均曲率为零的曲面。
举例来说，满足某些约束条件的面积最小的曲面。
物理学中，由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。
肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜，这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。
中文名称极小曲面外文名称minimal surface 目录1 简介2 研究简介编辑极小曲面平均曲率为零的曲面。
平均曲率定义为：其中k1，k2表示两个主曲率。
给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。
平面是仅有的极小可展曲面。
除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。
极小曲面的经典例子包括：欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面；悬链曲面：由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。
这是最早发现的“不寻常”的极小曲面。
悬链曲面状的皂液膜可以由将两个等大的圆环紧贴放入肥皂水中，拿出后再缓慢分开得到；螺旋曲面：一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋上升时扫过的曲面。
这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面；Enneper曲面。
研究编辑极小曲面著名的普拉托实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中，然后取出来，由于表面张力的作用，在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。
这种表面积最小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。
这个问题可以用变分法来解。
从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。
由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h呏0。
因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。
在三维欧氏空间E3中，若一张曲面可用方程z=z(x,y)来表示，则称它为图，或非参数化曲面。
由极小条件h=0,E3中极小图的z(x,y)满足下述二阶非线性椭圆型微分方程：通常称它为极小曲面方程。
曲率的基本概念在SMT的8.4版本中，新推出了曲率属性，包括高斯曲率、最小最大曲率、平均曲率等概念。
为了让大家更清楚的了解曲率，这里与大家共享一些曲率的基础知识。
一、曲率基本概念曲率是用来反映几何体的弯曲程度。
二、三维欧氏空间中的曲线和曲面的曲率平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素。
平均曲率：是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。
如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K = (K1 +K2 ) / 2。
主曲率：过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin。
这两个曲率属性为主曲率。
他们代表着法曲率的极值。
高斯曲率：两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度。
三、地震层位的曲率属性计算地震层位在三维空间中实际上也是一个构造曲面，因此可表示为如下公式：根据上述方程中的系数组合，可以得出各种曲率属性:平均曲率：高斯曲率：极大与极小曲率：最大正曲率、最小负曲率：倾向与走向曲率：四、曲率在构造裂缝中的应用构造层面的曲率值反映岩层弯曲程度的大小，因此岩层弯曲面的曲率值分布，可以用于评价因构造弯曲作用而产生的纵张裂缝的发育情况。
计算岩层弯曲程度的方法很多，如采用主曲率法。
根据计算结果，将平面上每点处的最大主曲率值进行作图，得到曲率分布图，进行裂缝分布评价。
一般来讲，如果地层因受力变形越严重，其破裂程度可能越大，曲率值也应越高。
该篇博文有很多内容参考了有关曲率研究的论文，如杜文凤发表在《岩石力学与工程学报》上的《利用地震层曲率进行煤层小断层预测》等，同时包括许多曲率的教学稿，在此表示感谢！该博客中已有部分博文列表：1.断层组合与解释2.地震解释三种任务与思路3.A VO分析: SHUEY公式及其物理意义4.Modpak正演--过井线模型正演5.地质异常体的自动追踪解释6.浅谈色标问题及编辑思路7.合成记录制作8.时间切片、沿层切片9.制作岩性图片加载进SMT作为岩性模式10.分频使用小议11.RSA属性分析对比12.RSA模块参数选项卡含义说明13.ModPAK模块--楔形模型正演14.断层、裂缝识别属性15.如何利用smt计算储层厚度16.SMT中输入Landmark、geoframe软件断层时注意的问题17.在SMT中如何计算沿层属性、层间属性？18.加载三维地震数据详解/s/blog_5156997b0100eeap.html。
曲率的概念教学设计曲率概念在SMT的版本中，新推出了曲率属性，包括高斯曲率、最小最大曲率、平均曲率等概念为了让大家更清楚的了解曲率，这里与大家共享一些曲率的基础知识一、曲率基本概念曲率是用来反映几何体的弯曲程度平均曲率、主曲率和高斯曲率是曲率的三个基本要素平均曲率：是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1,K2,那么平均曲率则为：K=(K1+K2)/2主曲率：过曲面上某个点上具有无穷个正交曲率，其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值Kmax，垂直于极大曲率面的曲率为极小值Kmin这两个曲率属性为主曲率他们代表着法曲率的极值高斯曲率：两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度三、地震层位的曲率属性计算地震层位在三维空间中实际上也是一个构造曲面，因此可表示为如下公式：根据上述方程中的系数组合，可以得出各种曲率属性:平均曲率：高斯曲率：极大与极小曲率：最大正曲率、最小负曲率：倾向与走向曲率：四、曲率在构造裂缝中的应用构造层面的曲率值反映岩层弯曲程度的大小，因此岩层弯曲面的曲率值分布，可以用于评价因构造弯曲作用而产生的纵张裂缝的发育情况计算岩层弯曲程度的方法很多，如采用主曲率法根据计算结果，将平面上每点处的最大主曲率值进行作图，得到曲率分布图，进行裂缝分布评价一般来讲，如果地层因受力变形越严重，其破裂程度可能越大，曲率值也应越高ReFract综合裂缝预测与建模软件2008-10-1610:44:30|分类：|标签：|字号大中小订阅近年来，在油气勘探领域，对裂缝油藏的研究变的越来越重要ReFract应用模糊逻辑技术，对直接反映裂缝的测井数据和与裂缝关系密切的地震属性、地质数据进行多学科综合分析与描述，使我们大幅度提高对裂缝分布的认识，减低裂缝油藏的勘探与开发风险的有效手段灵活性，所有对研究区的，这对勘探阶段数据缺乏的状况尤其重要人工智能神经网络建模曲率的概念来源：为了平衡曲线的弯曲程度平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度其中为AB弧长表示曲线段AB上切线变化的角度，计算公式的推导：由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分因为，所以令，同时用代替得所以具体表示；或1、时，2、时，3、时，再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出下面将与ds代入公式中：，即为曲率的计算公式曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径几何意义为在该点做曲线的法线，在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树《曲率》说课稿各位专家上午好，首先介绍一下本堂课的设计思路本门课的课程名称是机械类《高等数学》，共计80学时，教学对象是士官大专学员本门课包括四部分，共分为八章，今天我要讲授的是第四章导数的应用中第五节的内容------《曲率》《导数的应用》这一章突出体现了数学学科的工具性作用，本节课是继导数的一些实际应用，如函数的极值和最值、函数图像的描绘等知识之后，另一个导数在生产生活中的应用，它能解决工程上、生活中的很多问题，更进一步体现了数学学科的工具作用、基础作用和服务于专业的性能在此之前，学员已经学习了极限、导数与微分的知识，对高等数学的特点有一定的认识，对极限的思想和方法有初步的理解，能够用导数和微分的知识解决问题，这些是学习本节课内容的基础基于学员的以上特点，在吃透教材的基础上确定本节课的教学重点是：理解曲率的概念，掌握曲率的计算公式，教学难点是能够应用曲率解决实际问题能力目标为通过影响曲率因素的发现，激发学生的数学学习动机，公式的推导过程则使学生进一步体验观察分析、归纳总结的数学思想方法，公式的实际应用这个难点的突破，则可以培养学生联系实际来学习的意识，体会数学的美，增进数学应用的眼光同时，我还希望通过对概念及公式的发现和推导，培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，增强学生的团结协作意识，提高学生的主观能动性根据教学目标，结合学员的认识基础，采取“五段式”教学过程如下：首先利用西班牙火车脱轨新闻，从众所周知的弯道限速知识入手，引入课题这样设计的意图是：通过设疑，激发学生的学习兴趣和欲望第二，直观演示，鼓励探究通过课件直观演示实验，引导学生观察对比两种状态下的曲线，思考弯曲程度与哪些因素有关？逐渐让学生从特征感知向理性衡量逼近把抽象的问题具体化，达到对曲率概念的理解，从而突破了我们这堂课的第一个重点第三，精选例题，巩固概念通过求解两个特殊曲线的曲率，让学生对曲率概念得到及时的巩固，通过验证直观感觉，进一步表明曲率确实反映了曲线的弯曲程度，这个环节起到了承上启下的作用第四，引导推理，突破重点利用曲率的概念计算比较困难，出于计算的需要，有必要推导曲率的计算公式采用提问法逐步引导推理，使学生的思维实现由“感知”——“认识”的真正转变第五，任务驱动，实例巩固，公式应用：通过本例题的讲解，引导学生总结解决有关曲率问题的思路和方法，使学生更进一步掌握数学模型的实用性，掌握曲率的计算，实现由“认识”——“理解应用”曲率的质的飞跃，更突出培养学生的数学应用意识，增强学生的专业使用感和责任感，教学目标得以实现。
曲面的高斯曲率是描述曲面在某一点上局部弯曲程度的量，通常用K来表示。
具体地说，曲面上任一点处的高斯曲率可以通过曲面局部坐标系下的一阶偏导数和二阶偏导数计算得到。
曲面的高斯曲率分布通常有以下情况：
K > 0：曲面上某个点的高斯曲率为正，代表该点处曲面的弯曲方向相同（凸）。
K < 0：曲面上某个点的高斯曲率为负，代表该点处曲面的弯曲方向相反（凹）。
K = 0：曲面上某个点的高斯曲率为零，代表该点处曲面是平的或者其弯曲方向相互抵消。
除此之外，还有以下特殊情形：
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是正值时，这样的曲面称为椭球面；
曲面的高斯曲率在整个曲面上都是负值时，这样的曲面称为双曲面；
曲面的高斯曲率在不同位置之间变号，称为过渡曲面，典型例子包括圆柱面和双曲抛物面等。
一般情况下，曲面的高斯曲率分布是一个连续的函数，在不同位置处变化，并且曲面的性质与它局部高斯曲率的符号有密切关系。
例如，对于凸曲面，其高斯曲率处处为正，即在任何一点处曲率半径都是正值；而对于双曲面，则处处为负，即在任何一点处曲率半径都是负值。
3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。
因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。
二 欧拉公式结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为1κ，沿v-线的主曲率为2κ,曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角为θ,则沿（d ）的法曲率n κ满足2212cos sin n κκθκθ=+ . 这个公式叫做欧拉公式。
证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上任意方向(d)=du:dv ,与其对应的法曲率2222n Ldu Ndv Edu Gdv κII +==I + . 沿u-线（0v δ=）的法曲率为主曲率1LEκ=,沿v-线（0u δ=）的法曲率为主曲率2N Gκ=. 因为(d)=du:dv 与u-线的夹角是θ,所以cos θ=,所以2222cos Edu Edu Gdv θ=+,2222sin Gdv Edu Gdvθ=+,所以 22222212222222cos sin n Ldu Ndv L Edu N Gdv Edu Gdv E Edu Gdv G Edu Gdvκκθκθ+==+=++++ 三 主曲率的性质命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。
证明 设12κκ< (如果12κκ>,可以交换坐标u 和v）由欧拉公式知：22212212cos sin ()cos n κκθκθκκκθ=+=+-,于是2221()cos 0n κκκκθ-=-≥,所以2n κκ≥,同样可得2121()sin n κκκκθ-=-，所以1n κκ≤,故12n κκκ≤≤, 这就是说，曲率21,κκ分别是法曲率n κ 中的最大值和最小值。
四 主曲率的计算公式结论 设(d)=du:dv 为曲面S: (,)r r u v =在 P 点处的主方向，沿主方向的主曲率为N k ，则N k 的计算公式是0N N N N L E M F M FN Gκκκκ--=-- 即222()(2)()0NN EG F LG MF NE LN M κκ---++-=。
高斯曲率、平均曲率和最大曲率曲率是描述曲线或曲面弯曲程度的一个重要概念。
在数学和几何学中，我们常常关注曲线或曲面的各种曲率指标，其中包括高斯曲率、平均曲率和最大曲率。
这些指标可以帮助我们理解和分析曲线和曲面的性质，对于计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域也具有重要的应用价值。
1. 曲率的定义在介绍高斯曲率、平均曲率和最大曲率之前，我们先来了解一下曲率的定义。
对于一个曲线，我们可以通过切线来描述其局部的弯曲程度。
切线与曲线的交点越靠近，曲线的弯曲程度就越大，曲率就越大。
曲线上任意一点的曲率可以通过求取该点处的切线的弯曲程度来计算。
对于一个曲面，我们可以通过法线来描述其局部的弯曲程度。
法线与曲面的交点越靠近，曲面的弯曲程度就越大，曲率就越大。
曲面上任意一点的曲率可以通过求取该点处的法线的弯曲程度来计算。
2. 高斯曲率高斯曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标。
在二维曲面上，高斯曲率可以通过求取曲面上任意一点处的曲率乘积来计算。
对于一个曲面上的点P，假设其曲率为k1和k2，其中k1和k2分别表示该点处两个主曲率。
高斯曲率K可以通过计算k1和k2的乘积来得到：K = k1 * k2高斯曲率可以用来描述曲面的整体形状。
当高斯曲率为正时，曲面呈现凸状；当高斯曲率为负时，曲面呈现凹状；当高斯曲率为零时，曲面呈现平坦状。
3. 平均曲率平均曲率是描述曲面弯曲程度的另一个重要指标。
在二维曲面上，平均曲率可以通过求取曲面上任意一点处的两个主曲率的平均值来计算。
对于一个曲面上的点P，假设其曲率为k1和k2，其中k1和k2分别表示该点处两个主曲率。
平均曲率H可以通过计算k1和k2的平均值来得到：H = (k1 + k2) / 2平均曲率可以用来描述曲面的整体弯曲程度。
当平均曲率为正时，曲面呈现凸状；当平均曲率为负时，曲面呈现凹状；当平均曲率为零时，曲面呈现平坦状。
4. 最大曲率最大曲率是描述曲面弯曲程度的另一个重要指标。
第二章曲面论第十三节曲面上法曲率的最大值、最小值、高斯曲率、平均曲率、极小曲面根据法曲率的几何意义, 法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向, 因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化. 但实际上是做不到的, 因为曲面在一点处有无穷多个切方向. 于是我们自然提出这样两个问题: 法曲率随方向变化的变化规律是什么? 法曲率是否有最大值和最小值? 下面针对这两个问题展开讨论.得到的结论是: 由Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向, 法曲率的变化规律, 而且法曲率有最大值和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念.一、 法曲率的最大值、最小值曲面:(,)r r u v ∑=上一点P 沿一方向():d du dv =上的法曲率n k 为n k II =I 2222()2()()2()L du Mdudv N dv E du Fdudv G dv ++=++ ，（1） 我们考虑法曲率n k 的最大值、最小值问题。
设du dv λ=，则有2222n L M N k E F G λλλλ++=++，这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。
222(2)0n L M N k E F G λλλλ++-++=，2()2()0n n n L k E M k F N k G λλ-+-+-=， 此二次方程有根，当且仅当 2()()()0n n n M k F L k E N k G ----≥， 222()(2)()0n n EG F k LG MF NE k LN M --+-+--≥。
设12,k k 12()k k ≤是方程222()(2)()0n n EG F k LG MF NE k LN M --+-+--=，（2） 的两个根，则有12n k k k ≤≤，于是n k 的最大值、最小值分别为 21,k k ，且由方程（2）所解出。
由韦达定理，便得2122LN M k k EG F-=-，1222LG MF NE k k EG F -++=- 。
将12,n k k k =代入2222n L M N k E F G λλλλ++=++， 解出两个根21,λλ，就得到使n k 达到最大值、最小值的方向。
对曲面:(,)r r u v ∑=上一给定点(,)P u v , 法曲率n k 是切方向():d du dv =的函数, 称法曲率的每个临界值(critical value)为曲面在这一点的主曲率; 对应的方向称为曲面在这一点的主方向.二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率设21,k k 分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值，则将它们的乘积12k k 称为曲面在这一点的高斯(Gauss)曲率，通常以K 表示，12K k k =，它描述了曲面在一点处总的弯曲程度, 又称为总曲率或全曲率； 它们的平均数121()2k k +称为曲面在这一点的平均曲率，通常以H 表示，121()2H k k =+，它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度, 又称为中曲率。
由方程（2）及韦达定理，便得2122LN M K k k EG F-==-， 12212()22()LG MF NE H k k EG F -+=+=- 。
220n n k Hk K -+= 。
三、 计算高斯(Gauss)曲率、平均曲率的例题设∑是半径为R 的球面，由于2111,n k k k R R ===，所以球面的高斯曲率21K R =， 平均曲率1H R = 。
【例1】 求正螺面(cos ,sin ,)r u v u v bv =的主曲率, 总曲率和全曲率. 【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下2222()()()du u b dv I =++，2bdudv -II =，由此便知正螺面上所有点都非脐点, 于是其上每点处都有两 个不相等的主曲率. 将基本量代入法曲率的计算公式, 得到222()()n Mdudv k E du G dv II ==I +， 由于22|2||()()]Mdudv M E du G dv ≤+，所以，有||||n M k M -≤≤， 于是 正螺面的主曲率k 1; k 2, 总曲率K 和平均曲率H 分别为212222||||,()()b b k k u b u b ==-++， 2212222()M b K k k EG u b -===-+， 121()02H k k =+= 。
【例2】 设:()C r r s =是一条空间正则曲线, s 是自然参数，其切线构成的曲面为:(,)()()S r s t r s t s α=+， 其中()s α是C 的单位切向量. 求S 的Gauss 曲率.【解】记曲线C 的曲率和挠率分别为,k τ， 基本向量为,,αβγ 。
则(),()t s r s r s tk ααβ==+，于是1,1,t t t s E r r F r r =⋅==⋅=221s s G r r t k =⋅=+进一步计算得到0,tt ts r r k β==，2()(())ss r tk s k tk s tk αβτγ'=-+++， ||||t s t s r r n r r γ⨯==⨯；所以0tt L n r =⋅=，0st M n r =⋅=，ss N n r tk τ=⋅=因此曲面S 的Gauss 曲率为220LN M K EG F-==- 。
例1、 求曲面 ∑：D y x y x f z ∈=),(),,(的高斯曲率、平均曲率。
解 我们已经得出第一类基本量为21()x x x E r r f =⋅=+，x y x y F r r f f =⋅=，21()y y y G r r f =⋅=+；第一基本形式为2222(1())()2(1())()x x y y f dx f f dxdy f dy I =++++；第二类基本量为xx f L n r =⋅=，yy f N n r =⋅=，第二基本形式为22))f f dx dy II =+。
代入计算，可得2222()[1()()]xx yy xy x y f f f K f f -=++，22(1)2(1)f f f f f f f H +-++=。
容易验证12f H div ∇= 。
求上半椭球面2122221)1(:b y a x c z --=∑上的高斯曲率； 求下半椭球面2212222:(1)x y z c a b ∑=---上的高斯曲率。
例2、求旋转曲面 ∑：(()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=。
（这里02θπ≤≤，()0,x t a t b >≤≤） 的高斯曲率、平均曲率。
解 (()cos ,()sin ,())r x t x t z t θθ=，(()sin ,()cos ,0)r x t x t θθθ=-， (()cos ,()sin ,())t r x t x t z t θθ'''=，22||||()E r x t θ==， 0t F r r θ=⋅=，222||||(())(())t G r x t z t ''==+， 22()()E d G dt θI =+， ||||t r r EG θ⨯=()(())x t x t '=+， {()cos ,()sin ,()}||||t t r r z t z t x t n r r θθθθ'''⨯-==⨯(()cos ,()sin ,0)r x t x t θθθθ=--，(()sin ,()cos ,0)t r x t x t θθθ''=-， (()cos ,()sin ,())tt r x t x t z t θθ''''''=，L n r θθ'=⋅=-，0t M n r θ=⋅=，()()()()tt x t z t x t z t N n r ''''''-=⋅=。
22()()L d N dt θII =+。
2222()()()()n L d N dt k E d G dt θθII +==I +222222()()()()()()L E d N G dt E E d G dt G E d G dt θθθ=+++，则有min{,}max{,}n L N L Nk E G E G≤≤ 。
1min{,}L N k E G =，2max{,}L Nk E G= 。
将基本量代入12LN K k k EG ==，121()22LG NE H k k EG +=+=，可算出222[()()()()]()()[(())(())]x t z t x t z t z t K x t x t z t '''''''-=''+，223222()[(())(())]()[()()()()]2()[(())(())]z t x t z t x t x t z t x t z t H x t x t z t '''''''''++-=-''+。
（2）若∑的全曲率处处为零, 试判断曲面∑的形状?(3) 证明: 若∑的经线有垂直于旋转轴的切线, 则切点是曲面∑上的抛物点.(2) 由(1)知, 全曲率处处为零的充要条件是[()()()()]()0x t z t x t z t z t '''''''-=，(i) 若()0z t '= ，则f ()z t C = (常数), 因而曲面是垂直于z -轴的平面. (ii) 若()()()()0x t z t x t z t ''''''-= ， 即()()()()x t z t x t z t ''''=''，那么1()(),()()x t Cz t x t Cz t C ''==+，当常数0C ≠时, 曲面为圆锥面; 当常数 0C =时, 曲面为圆柱面.(3) 若经线的切线垂直于旋转轴(即z -轴), 则()0z t '= 从而K = 0, 所以切点为抛物点.特别地，将xOz 平面上曲线()x x z =，绕z 轴旋转一周，则所得旋转曲面为(()cos ,()sin ,)r x z x z z θθ=，22||||()E r x z θ==，0z F r r θ=⋅=， 22||||1(())z G r x z '==+，2222()()[1(())]()x z d x z dz θ'I =++，||||z r r EG θ⨯=()1(())x z x z '=+，{cos ,sin ,()}||||z z r r x z n r r θθθθ'⨯-==⨯(()cos ,()sin ,0)r x z x z θθθθ=--， (()sin ,()cos ,0)z r x z x z θθθ''=-， (()cos ,()sin ,0)zz r x z x z θθ''''=，()x z L n r θθ=⋅=，0z M n r θ=⋅=，()zz x z N n r ''=⋅=。
