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曲面曲率计算方法的比较与分析(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--研究生专业课程报告题目：曲面曲率直接计算方法的比较学院：信息学院课程名称：三维可视化技术任课教师：刘晓宁姓名：朱丽品学号： 3西北大学研究生处制曲面曲率直接计算方法的比较1、摘要曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。
关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格2、引言传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。
CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。
点的法向量和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。
由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率 1(P ) 2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 1(P ) 2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 (P ) 1(P )I 2 ，即 (P )1(P )g (P ) ．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即：① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为(5.1)I 2 0 ； 等价地，当易知系数矩阵 和 g 之时，其方程可变形为(5.2) g 0 ． ② 对于主方向的算法，各种等价算式为a a i r i 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向, (a 1, a 2) (a 1, a 2) , (a 1, a 2) (0, 0), (a 1, a 2) (a 1, a 2)g , (a 1, a 2) (0, 0) det. ⎝⎛⎭⎫(a 1, a 2) (a 1, a 2)g 0(a2)2a1a2 (a1)2g11g12g22Ω11 12 220 ．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)(d u2)2d u1d u2 (d u1)2g11g12g22Ω11 12 220 ．定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积 ，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3①注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4) |Ω||g|LN-M2EG-F2,(5.5) H tr.2LG- 2MF NE2(EG-F2)．②主曲率方程 (4.3) 式现可改写为(5.6) 2 2H 0 ；其中H 2 ( 1 2)24≥0 ．③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．④当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7) i H H2 , i 1, 2处处连续，并且在非脐点处连续可微．⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）．⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 0 ．证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) a (u )v l (u ) ，由可展定义得知 n v 0 ，故其第二基本形式系数满足M r u n v 0 , N r v n v 0 ,于是LN - M 2 EG - F 20 ． □ 在上例中，若取准线使 a l 0 且 l 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8) 1 L E, 2 0 ． 三．Gauss 映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射(5.9) G : S S 2(1) r (u 1, u 2) G (r (u 1, u 2)) n (u 1, u 2)称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式图4-5(5.10) Ⅲ d n d n称为曲面S的第三基本形式．性质①n1 n2 r1 r2．② (P) limU收缩至P A(G(U))A(U)，其中P U S , U为单连通区域，A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U S的面积．③Ⅲ 2HⅡ Ⅰ 0 ．证明①由Weingarten公式得n1 n2 [( 11r1 12r2)] [( 21r1 22r2)]r1 r2 r1 r2．②A(U)r1(U)| r1 r2| d u1d u2 ,A(G(U))r1(U) | n1 n2| d u1d u2r1(U)|K|| r1 r2|d u1d u2．而由积分中值定理，P* U使r1(U) |K||r1 r2|d u1d u2 |K (P*)|r1(U)|r1 r2|d u1d u2．故而lim U收缩至P A(G(U))A(U)limP* P|K (P*)| |K (P)|．③结论用系数矩阵等价表示为( g1)g( g1)T 2H g 0g1 2H g 0g1 g1 2H g1 I2 0(tr. ) I2 0 ．而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为i k k j (tr. ) i j i ji1 1j i2 2j ( 11 22) i j ( 11 22 12 21) i j 0 ．□习题⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u v) ，试求：①主曲率 1和 2；②Gauss曲率和平均曲率．⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2 H(P) 2πκ(P, ) d ．⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．⒌设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数 足够小时 1 2 H 2 0 ．按参数相同作对应曲面S*: r*(u1, u2) r(u1, u2) n(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：①S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；②S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式 * (I2 )1；③S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式*1 2 H 2，H*H1 2 H 2；④S的曲率线对应于S* 的曲率线．⒍已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为 n(1), …,n (m)，m 2 ．试证：S在该点的平均曲率Hn(1)… n(m)m．⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．工作总结-财务处长个人工作总结[工作总结-财务处长个人工作总结]工作总结-财务处长个人工作总结（范文）工作总结-财务处长个人工作总结2009-07-06 11：52财务处长个人工作总结光阴似箭、岁月如梭，转眼之间一年过去了，新的一年已经开始，工作总结-财务处长个人工作总结。
空间曲面与曲面积分在数学中，曲面是一种在三维空间中展开的二维对象。
曲面可以通过参数方程或隐函数方程来描述。
与平面不同，曲面具有曲率和形状的变化。
空间曲面的研究是数学分析和几何学的重要领域之一。
1. 曲面的定义与性质曲面可以通过参数方程来定义，常见的参数方程有笛卡尔坐标系参数方程、球坐标系参数方程和柱坐标系参数方程等。
曲面的性质包括曲面的方向、切平面、法线和曲率等。
2. 曲面积分的概念曲面积分是将函数沿着曲面进行积分的一种方法。
常见的曲面积分有第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是将函数在曲面上的数值进行积分，而第二类曲面积分则是将函数乘以曲面的微元进行积分。
3. 第一类曲面积分第一类曲面积分的计算涉及到曲面的面积元素和函数的数值。
具体而言，可以通过将曲面分割成小区域，计算每个小区域的贡献，然后将贡献进行累加来得到曲面积分的结果。
常见的例子包括曲面面积的计算和质量分布的求解。
4. 第二类曲面积分第二类曲面积分的计算需要考虑曲面的方向和曲面的法向量。
根据曲面的方向和法向量的关系，第二类曲面积分可以分为曲面的左侧区域和右侧区域两种情况。
具体而言，可以通过将曲面分割成小区域，计算每个小区域的贡献，然后将贡献进行累加来得到曲面积分的结果。
常见的例子包括曲面的通量计算和曲面的旋度计算等。
5. 曲面积分的应用曲面积分在物理学和工程学等领域有广泛的应用。
例如，在电动力学中，曲面积分可以用来计算电场通过曲面的总通量。
在流体力学中，曲面积分可以用来计算流体通过曲面的总流量。
在声学中，曲面积分可以用来计算声波通过曲面的总能量等。
总结起来，空间曲面与曲面积分是数学分析和几何学的重要研究内容。
通过曲面的定义与性质的理解，我们可以深入探讨曲面积分的概念和计算方法。
曲面积分在物理学和工程学等应用中起着至关重要的作用。
.研究生专业课程报告题目：曲面曲率直接计算方法的比较学院：信息学院课程名称：三维可视化技术任课教师：刘晓宁姓名：朱丽品学号： 201520973西北大学研究生处制曲面曲率直接计算方法的比较1、摘要曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。
关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格2、引言传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。
CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。
点的法向量和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。
由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。
在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。
CAD中的曲面分析与曲率计算方法曲面分析是CAD设计中的重要环节，通过对曲面的分析，可以评估设计是否符合要求，并进行必要的修改和调整。
而曲率计算则是曲面分析中的一个重要指标，用于衡量曲面的弯曲程度和变化率。
在CAD软件中，有多种方法可以实现曲面分析和曲率计算。
下面将简要介绍一些常用的方法和技巧。
1. 曲率计算方法曲率是描述曲面在某点上弯曲程度和变化率的指标。
在CAD软件中，可以使用以下几种方法计算曲率：- 数值法：通过计算曲面上一个点处的法向量和曲面参数方程的一阶和二阶偏导数，可以得到该点的主曲率和主曲率方向。
这种方法适用于任意类型的曲面，但计算量较大。
- 参数法：通过对曲面参数方程进行求导，可以得到曲面上点处的法向量和曲率。
这种方法适用于参数化曲面，计算相对较简单。
- 曲率矩阵法：通过构造曲率矩阵，可以直接计算曲面上点的主曲率和主曲率方向。
这种方法适用于旋转和缩放对称的曲面。
2. 曲面分析方法曲面分析可以评估设计的强度、稳定性和美观度等因素。
以下是一些常用的曲面分析方法：- 可视化分析：CAD软件提供了多种可视化分析工具，例如曲面仿真和曲面着色等。
通过这些工具，可以直观地观察曲面的形状和特征，快速发现问题并做出相应的调整。
- 剖面分析：通过在曲面上选择多个剖面线，可以计算每个剖面线上的曲率和曲率方向。
通过比较不同位置的曲率值，可以评估曲面的整体曲率分布情况。
- 截面分析：通过在曲面上选择多个截面线，可以计算每个截面线上的曲率和曲率方向。
通过比较不同位置的曲率值，可以评估曲面的横向曲率变化情况。
3. 使用技巧在进行曲面分析和曲率计算时，还可以使用一些技巧来提高效率和准确性：- 合理选择曲面类型：不同类型的曲面有不同的计算方法和适用范围。
在设计中，应根据需要选择合适的曲面类型，以便进行准确的分析和计算。
- 合理设置参数：CAD软件中有多个参数可以影响曲面分析和计算的结果。
在使用时，应根据实际情况合理设置这些参数，以获得准确的结果。
空间曲面的曲率引言：曲率是几何学中的一个重要概念，它描述了曲线或曲面的弯曲程度。
空间曲面的曲率是研究曲面在某一点的弯曲程度的关键指标。
本文将介绍空间曲面的曲率的基本概念、计算方法以及曲率对曲面性质的影响。
一、基本概念1. 曲率的定义：空间曲面的曲率描述了曲面在某一点上的弯曲情况。
对于平面曲线而言，曲率只有一个方向，两个方向上的曲率都是一样的；而对于空间曲面而言，曲率具有两个方向，分别是主曲率和平均曲率。
2. 主曲率：主曲率是空间曲面上某一点的弯曲程度最大和最小的两个曲率，分别记作k1和k2。
主曲率可以用曲面上的曲率切线来表示，其中曲率切线在每个方向上的倾斜角度与主曲率成正比。
3. 平均曲率：平均曲率是主曲率的算术平均值，记作H=(k1+k2)/2。
平均曲率可以用曲面上的球面表示，该球面的半径等于1/平均曲率。
平均曲率描述了曲面上整体的弯曲情况。
二、计算方法计算空间曲面的曲率需要用到微积分的工具。
下面介绍一些常用的计算方法。
1. 方程法：对于给定的曲面，我们可以写出其方程。
然后通过微积分对方程进行求导，从而得到曲率切向量。
通过计算曲率切向量的长度，我们可以得到主曲率和平均曲率。
2. 平行搬移法：平行搬移法是一种几何计算曲率的方法。
通过在曲面上平行搬移一段长度为Δs的曲线段，可以得到该曲线段的弯曲程度。
然后通过取Δs 趋近于0的极限，可以得到曲率切向量和曲率。
3. 流线法：流线法是一种流体力学中使用的计算曲率的方法。
将曲面看作流体流动的路径，在曲面上选取一条流线。
通过计算流线的弯曲程度，可以得到对应点的曲率。
三、曲率对曲面性质的影响曲率是描述曲面形状的重要性质，不同曲率的曲面具有不同的性质。
1. 平面曲率为0的曲面：当曲面的主曲率都为0时，该曲面在该点附近呈现平坦的性质，类似于一个平面。
2. 主曲率为正的曲面：当曲面的主曲率都为正时，该曲面在该点附近呈现凸起的性质，类似于一个凸出的球面。
3. 主曲率为负的曲面：当曲面的主曲率都为负时，该曲面在该点附近呈现凹陷的性质，类似于一个凹入的碗形。
研究生专业课程报告题目：曲面曲率直接计算方法的比较学院：信息学院课程名称：三维可视化技术任课教师：刘晓宁姓名：朱丽品学号： 3西北大学研究生处制曲面曲率直接计算方法的比较1、摘要曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学,机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。
关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格2、引言传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。
CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。
点的法向量和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。
由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。
在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。
研究生专业课程报告
题目：曲面曲率直接计算方法的比较
学院：信息学院
课程名称：三维可视化技术
任课教师：***
*名：***
学号：*********
西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较
1、摘要
曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。
关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格
2、引言
传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。
CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。
点的法向量
和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。
由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。
在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。
本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结.
3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现
为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。
这两个曲率的属性为主曲率。
它们代表着法曲率的极值。
主曲率是法曲率的最大值和最小值。
H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。
如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2，
那么平均曲率则为：H= (K 1 +K 2 ) / 2。
K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度。
K=k 1*k 2。
N fk表示法曲率, n 表示法向量.考虑三角网格的顶点V i。
（1）曲面三角网格的表示形式
给一个三维曲面，如下图所示，如果用文本形式将其打开，则是由两部分组成，第一部分以v开头是三维的点，第二部分以f开头是三个点组成的面三角形。
（2）三角网格模型曲率计算---直接计算
第一步：估计给定点的法向量
三角网格模型一般情况下可以由一对线性表表示，M=（V,F）；其中V={v i：1<=i<=n v}表示顶点集，F={f K:1<=k<=n f}表示三角片集。
如下图所示：
各个三角片的法向量的计算，在计算以v i为公共顶点的法向量时，由于后面的计算要取其平均值，故必须保证法向量方向的一致性，在这里要用到了数学上的右手法则或者左手法则，即与v i相邻的点形成一个三维的封闭的圈，按照右手法则给其线段标注方向，如下图所示。
三角面片f k 的法向量N fk 的计算公式如下：
N fk=(v i-v j+1)*(v j+1-v j)/||(v i-v j+1)*(v j+1-v j)||;
我们称1-环邻域是与点v i相邻的三角形集合。
图中除顶点v i外其它顶点组成的集合记为V i。
如果顶点v j属于V i，则v j是v i的相邻点。
V i中顶点的个数称为其顶点的度，记为|N(i)|。
包含v i的三角形片集
合记为F i。
如果三角形片记f k属于F i。
记为f k∈ F i。
记|f k|为三角形片的面积。
包含点v i的三角片的面积之和记为N(v i)。
离散三角网格上法向量和法曲率也有一般的定义方法，这些几何量估算的准确度对高斯曲率和平均曲率的准确度影响很大。
对于离散三角网格曲面M=(V,F)，任意点v i的法向量一般可定义为1-环三角形某些几何量的加权和。
最简单的加权方法为1-环三角形的法向量平均值，定义如下：
对于三角网格上任意点v i，法曲率通常使用公式
第二步：计算法曲率，得到两个主曲率K 1和K 2
对于三角网格上任意点v i，法曲率通常使用公式
第三步：计算高斯曲率和平均曲率
K=K 1*K 2H=（K 1+K 2）/2
实现代码见附件
4、点云曲面的曲率的计算及代码实现
(1)点云简介
点云(Cloud Points)是由很多单个的点组成的集合。
点是最简单、最基本的几何定义实体。
记录了模型表面离散点上的各种物理信息，例如模型表面离散点的三维位置坐标、大小、法向量、颜色、透明度、纹理特征等。
用点云表示的颅骨如下图所示：
（2）点云模型曲率计算---直接计算
1)选取当前的点P i ‘(x,y,z);
2)运用kd -tree 查找点P i ’的最近邻的m 个点，够成m*3的矩阵A ；
3)计算协方差矩阵A ’A ；
4)求解3）中获得的协方差矩阵的特征值1λ，2λ，3λ；
5）取1λ，2λ，3λ中的最小特征值min λ；
6）计算’
i p 的曲率：min λ/(1λ+2λ+3λ);
实现代码见附件
5、曲面曲率的应用
（1）基于曲率的点采样曲面简化
对于从原始的几何形体采样得到的密集点云来说,有时并不需要丰富的细节特征只需要形体的大致轮廓,或者为了避免对利用采样得
到的密集点云进行曲面重建后再简化。
这时为了有利于绘制, 方便后续处理就有必要对点采样曲面进行简化。
关于点采样曲面的简
化,Pauly 等【4】提出了几种有效的方法, 主要是将原来网格曲面成熟的简化算法推广到点采样曲面。
从微分几何的角度来看, 原始曲面曲率较高的区域, 应该用较多的采样点表示, 相反则用相对较少的采样点表示。
曲率是反映曲面的基本特性, 因此常用作简化的阈值准则之一。
一般基于曲率的简化是这样的:设一个阈值, 小于阈值的简化掉, 反之则给予保留;反复重复该过程直至简化之后的点个数满足要求为止, 或者当没有小于阈值的采样点了。
然而这种做法一个明显不足的是, 简化可能一直在某个曲相差微小的区域进行, 相反在需要简化的曲面区域则没有简化到。
为此, 简化算法可以这样改进:首先根据曲率大小把曲率分成不同的区间段, 相当于对点采样曲面进行分割, 然后设一个曲率偏差, 最后把每个区间段内与最大曲率点相差小于偏差的采样点简化掉。
这样做法的最大好处在于点采样曲面的不同曲率间段的区域都简化到。
根据不同的需要,区间段的个数, 曲率偏差可以取不同的值, 甚至每个区间段的曲率偏差可以取不同。
（2）特征提取
特征提取在计算机视觉、图像处理、逆向工程等领域得到广泛研究。
在逆向工程中, 三维几何形体的特征提取在曲面的重建、光顺去噪等都占有重要的地位。
Gumhold等【5】通过Hoppe 等的主元分析, 为每个采样点加权, 接着利用最小生成图(minimum spanning graph)提出一种直接在点云曲面进行特征提出的方法;与之类似,Pauly 等
[ 5] 将图像处理中的多尺度概念引入点采样曲面,提出一种抗干扰性更强的多尺度特征提取方法。
本文对点采样曲面进行特征提取采用的方法也与Gumhold 类似, 只不过算法中的曲率计算方法不一样。
曲率计算在工程、医学、信息学等方面都有很多的应用，在法医学上，对于无身源颅骨和失踪人照片重叠的过程中，轮廓线的曲率是一个重要的指标。
在工程制造方面，曲率的一致性也发挥了很大的作用
6、总结
本文首先给出了两种方法在点集上直接计算曲率,试验表明这两种方法都可以达到很小的误差,然后我们从准确度和效率上对这两种方法做了比较,给出了各自的适用场合.进一步的工作可以考虑曲率的一些应用.在点集的重采样和点集的简化[6]中,曲率可以起指导作用,比如曲率小的区域比较平坦,采样密度可以小一些. 在点集的绘制方面, A. Ka laiah等人[4]提出了一种基于曲率的绘制方法,但是他们的曲率是通过参数曲面或者网格计算得到的,而结合我们的方法,就可以直接从点集进行绘制.本文填补了从点集模型计算曲面曲率的空白,拓展了点集模型的应用。
7、参考文献
【1】邬凯，等．山区公路路基边坡地质灾害远程监测预报系统开发及应用［J］．岩土力学，
【2】贺美芳．基于散乱点集数据的曲面重建关键技术研究［D］．南京航空航天大学，2006．
【3】吴剑煌.点采样曲面曲率估计。
