L4中平均曲率方向平行的类时曲面的等距变形

弹性理论及有限元方法学习通课后章节答案期末考试题库2023年1.弹性力学的基本假定为___、___、___、___。

参考答案:连续性###完全弹性###均匀性###各向同性;2.在弹性力学中规定,切应变以___时为正,___时为负,与___的正负号规定相适应。

参考答案:直角变小###变大###切应力;3.连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。

()参考答案:错4.下面哪些物体可以作为平面应力问题分析？参考答案:大平圆盘###大平薄板5.当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。

()参考答案:对6.物体受外力以后,其内部将发生___,它的集度称为___。

与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的___和___的分量,也就是___和___。

应力及其分量的量纲是___。

参考答案:内力###应力###法线方向###切线方向###正应力###切应力###ML7.下列属于平面应变问题的是:参考答案:天然气输送管道###具有固定截面的型材8.按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。

()参考答案:错9.弹性力学体素变形分为几类？分别是什么，简述之？参考答案:两类：长度的变化和角度的变化。

任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变（或称正应变）。

当线素伸长时，其线应变为正。

线素缩短时，其线应变为负。

任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变。

夹角变小时为正，变大时为负。

10.弹性力学中应力如何表示?正负如何规定?参考答案:正应力分量三个、剪应力分量六个；正面上与坐标轴方向一致，为正；负面上与坐标轴负向一致，为正。

11.表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。

()参考答案:错12.平面问题分为___问题和___问题。

参考答案:平面应力###平面应变;13.按应力求解平面问题,最后可以归纳为求解一个应力函数。

()参考答案:错14.平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。

6至第8章练习题1.（1.5分）在3D草图中绘制曲线：选择一个点后，将显示一个坐标系，然后按（），选择绘制曲线所在的基准面。

再指定下一点，刚该点自动作为新的原点，并可以再次选择基准面。

A．Ctrl键 B. Shift键 C. Tab键 D. Ctrl + Shift键答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.拉伸曲面生成的是（）。

A. 体B. 面C. 块D. 以上都不正确答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3.在延伸曲面中，表示沿曲面的几何体延伸曲面，是属于（）延伸类型。

A. 同一曲线B. 同一曲面C. 离散D. 线性答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.在延伸曲面中，表示沿边线相切于原有曲面来延伸曲面，是属于（）延伸类型。

A. 同一曲线B. 同一曲面C. 离散D. 线性答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：5.曲面编辑操作中，填充曲面功能的曲率控制用四种类型，其中使用所选边界内生成曲面，但保持修补边线相切，是使用（）类型实现。

A. 相触B. 相切C. 交替面D. 曲率答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：6.曲面编辑操作中，填充曲面功能的曲率控制用四种类型，其中使用与相邻曲面交界的边界线上生成与所选曲面的曲率相配套的曲面，是使用（）类型实现。

A. 相触B. 相切C. 交替面D. 曲率答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：7.在删除曲面操作中，不但所选曲面被删除，而且还自动沿边界进行填充。

这是选择了（）功能选项。

A. 删除B. 删除并修补C. 删除并填补D. 裁剪答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：8.在曲面编辑中，使用自由形功能时，连续性选项中选择（），可以曲面变形沿原始边界保持接触，不保持相切和曲率。

A. 接触B. 相切C. 曲率D. 可移动答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：9.在曲面编辑中，使用自由形功能时，连续性选项中选择（），可以曲面变形沿原始边界保持相切。

在等距变换下曲面的第一基本形式
1 均匀变换
均匀变换是指将几何原理应用到曲面理论中，以解决这种曲面变换中几何问题的问题。

它根据曲面的某种变化，就可以在等距变换中获得一种基本形式。

等距变换包括一般数学概念中的等距转换，但它不局限于这些转换，而是指由一般几何原理组成的更广泛的概念。

均匀变换是一种唯一的等距转换，即在固定的条件下，任何曲面上的点的变换，都必须是以恒定的距离变化的。

所以大多数称它为恒定距离变换。

换句话说，均匀变换是一种特殊的几何变换，可以将表面上的任何一点，以制定的距离进行变化，使得曲面在被变换过程中保持平滑度。

因此，在等距变换中，由于在变换的过程中，点的变化是以一定的步伐，从而获得均匀变换中的第一基本形式。

换言之，经过这种变换，可以将曲面定义为几何体的一部分，其几何形状是更加有序的。

2 结论
综上所述，均匀变换是一种等距变换，在此变换过程中，获得的第一基本形式可以用来定义曲面几何体的一部分，从而获得更加有序的几何体。

因此，均匀变换是应用于曲面理论中提出的一种非常有用的变换方法。

第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为(5.1) |ω - λI 2 | = 0 ；等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为(5.2) |Ω - λg | = 0 ．② 对于主方向的算法，各种等价算式为a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向 ⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ det. ⎝⎛⎭⎫(a 1, a 2)Ω (a 1, a 2)g = 0⇔(a2)2-a1a2 (a1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)(d u2)2-d u1d u2 (d u1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积K，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3①注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4)K=|ω|=|Ω||g|=LN-M2EG-F2,(5.5) H= tr.ω2=LG- 2MF+NE2(EG-F2)．②主曲率方程 (4.3) 式现可改写为(5.6)λ2- 2Hλ+K= 0 ；其中H 2-K= (κ1-κ2)24≥ 0 ．③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．④当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7)κi=H±H2-K , i= 1, 2处处连续，并且在非脐点处连续可微．⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． ⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 K ≡ 0 ．证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，由可展定义得知 n v ≡ 0 ，故其第二基本形式系数满足M = - r u ∙n v ≡ 0 , N = - r v ∙n v ≡ 0 ,于是K = LN - M 2 EG - F 2≡ 0 ． □ 在上例中，若取准线使 a '∙l ≡ 0 且 |l | ≡ 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8) κ1 = L E, κ2 ≡ 0 ． 三．Gauss 映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射(5.9) G : S →S 2(1) r (u 1, u 2)→G (r (u 1, u 2)) = n (u 1, u 2)称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式(5.10) Ⅲ = d n ∙d n图4-5称为曲面S的第三基本形式．性质①n1⨯n2=K r1⨯r2．②|K(P)|=limU收缩至P A(G(U))A(U)，其中P∈U⊂S, U为单连通区域，A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U⊂S的面积．③Ⅲ- 2HⅡ+KⅠ= 0 ．证明①由Weingarten公式得n1⨯n2= [-(ω11r1+ω12r2)]⨯[-(ω21r1+ω22r2)]=|ω|r1⨯r2=K r1⨯r2．②A(U) =⎰⎰r-1(U)| r1⨯r2| d u1d u2 ,A(G(U)) =⎰⎰r-1(U) | n1⨯n2| d u1d u2=⎰⎰r-1(U)|K|| r1⨯r2| d u1d u2．而由积分中值定理，∃P*∈U使⎰⎰r-1(U) |K|| r1⨯r2| d u1d u2=|K (P*)|⎰⎰r-1(U)| r1⨯r2| d u1d u2．故而lim U收缩至P A(G(U))A(U)= limP*→P|K (P*)|=|K (P)|．③结论用系数矩阵等价表示为(Ω g-1)g(Ω g-1)T- 2HΩ+K g≡ 0⇔Ω g-1Ω- 2HΩ+K g≡ 0⇔Ω g-1Ω g-1- 2HΩ g-1+K I2≡ 0⇔ωω- (tr.ω)ω+|ω|I2≡ 0 ．而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为ωi kωk j- (tr.ω)ωi j+|ω|δi j=ωi1ω1j+ωi2ω2j- (ω11+ω22)ωi j+ (ω11ω22-ω12ω21)δi j≡ 0 ．□习题⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u+v) ，试求：①主曲率κ1和κ2；②Gauss曲率和平均曲率．⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2πH(P) =⎰2πκ(P, θ) dθ．⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．⒌设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数μ足够小时 1 - 2μH+μ2K> 0 ．按参数相同作对应曲面S*: r*(u1, u2) =r(u1, u2) +μn(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：①S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；②S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式ω* =ω (I2-μω )-1；③S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式K* =K1 - 2μH+μ2K，H* =H-μK1 - 2μH+μ2K；④S的曲率线对应于S* 的曲率线．⒍已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为κn(1), …,κn(m)，m> 2 ．试证：S在该点的平均曲率H=κn(1)+…+κn(m)m．⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．。

常曲率空间中曲面的等距变形
王兴林;宋瑞霞
【期刊名称】《北方工业大学学报》
【年(卷),期】1997(009)003
【摘要】Ｏ．Ｂｏｎｎｅｔ首先研究了保持主曲率不变的曲面的等距变形问题，并证明了常中曲率曲面具有保主曲率的等距变形。

１９８５年Ｓ．Ｓ．Ｃｈｅｒｎ证明了在欧氏空间中具有保持主曲率不变的非常中曲率曲面是Ｗ－曲面。

【总页数】8页(P24-31)
【作者】王兴林;宋瑞霞
【作者单位】贵州师大学数学系;贵州师大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O186.12
【相关文献】
1.拟常曲率空间中具常平均曲率的闭超曲面 [J], 吴泽九
2.关于拟常曲率空间中具有常平均曲率超曲面 [J], 宋卫东;潘雪艳
3.Anti-de Sitter空间中具有常k阶平均曲率及两个不同主曲率的完备类空超曲面[J], 刘建成;魏艳
4.常曲率空间中超曲面的平均曲率 [J], 周振荣
5.拟常曲率空间中具有常平均曲率的完备超曲面 [J], 何国庆;宋卫东
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可展曲面到平面的等距变换可展曲面和平面是几何中两种不同形式的几何体，它们之间的变换可分为六种：翻折、旋转、平移、缩放、膨胀和等距变换。

本文重点研究的是可展曲面到平面的等距变换。

可展曲面到平面的等距变换是指把一个有弧度的曲面折痕展成平面，能够在不改变曲面内部曲率的前提下，将曲面表面展开到一个平面上。

在数学上，这可以通过称为等距变换的一种函数表示。

等距变换由三个步骤组成：求曲面弧度、把曲面展开、建立展开表面的坐标系统。

求曲面弧度，是从一个点沿曲面曲率半径向外推进，计算出两点之间的距离，可以求出曲面的弧度。

把曲面展开，先按照曲面弧度展开90度，分成多个折痕，然后把折痕的弧形展开成直线，将曲面展开到平面上。

最后建立展开表面的坐标系统，将曲面展开到平面形状，就可以用等距变换实现曲面到平面的映射关系。

等距变换在工程中有很多应用。

例如，等距变换可用于从非平面几何体（比如曲面）到平面几何体（比如图形）的转换，这样可以使几何体可以在屏幕上显示，也可以用于设计新的几何体，或者研究几何体的变换特性。

另外，等距变换也被用于遥感图像中的自动数据检测和信息提取，比如空中影像检测、测量、重建等，以及地形学和水文学的分析。

其中，空中影像检测是利用等距变换重建室外场景，从而可以对被拍摄场景进行更深入的研究。

最后，等距变换也用于计算机图形学的设计，比如模型表面的构建、3D形状的变换以及实现立体效果等。

例如，计算机图形学中的模型表面一般都是曲面，为了使模型表面的细节呈现出3D效果，就需要把曲面展开，这时就需要使用等距变换。

等距变换可以用在许多场景中，为几何形状的变换提供了一种有效的方法。

本文讲述了可展曲面到平面的等距变换，结合实例介绍了等距变换的相关内容，并从实用和数学角度对等距变换的应用进行了介绍。

微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。

2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。

答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。

3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。

4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。

5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。

6. 描述Christoffel符号的作用。

答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。

7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。

8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。

9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。

10. 描述Hodge星算子的作用。

答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。

11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。

12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。

13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。

14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。

曲率变形定义曲率是数学上定义的一个重要概念，它涉及到几何、微积分以及物理学等多个学科，曲率变形定义也是极具争议性和复杂性的课题。

曲率变形定义是指利用一定的变换，将原来的平面及非平面几何定义变形，以达到非常复杂的曲率变形效果。

曲率的定义曲率的定义源于微积分学中的几何原理，其中“曲率”是指在某一特定点的曲率半径，即在这一点附近曲线的紧密程度。

它可以用来量度曲线或曲面的弯曲程度，也能描述物体的变形状。

在几何学上，曲率的定义是指曲线的某一特定点处曲线的曲率半径，简单来讲，曲率就是某一特定点处曲线的曲率半径。

曲率变形定义在几何学中，曲率变形定义是指利用一定的变换，将原来的平面及非平面几何定义变形，以达到非常复杂的曲率变形效果。

这种变形方法往往可以大大提高几何图形的折叠程度和曲率，从而使平板材料具有更高的弯曲或变形性能，满足不同的设计要求。

曲率变形定义的原理曲率变形定义的原理也建立在微积分学的基础之上。

基本思想是利用重力、压力和其他机械力以及惯性力，使材料发生挠曲变形，如果将被变形的材料拉伸或放缩，其面积和体积也会随着材料的变形而变化，从而影响曲率的变化。

曲率变形定义的应用曲率变形定义的应用非常广泛，在建筑、船舶和飞机等工程中，曲率变形定义可以极大地提高结构的强度和耐用性，延长使用寿命。

另外，曲率变形定义也可以应用在照明行业，利用变形灯箱可以同时达到照明效果和装饰效果。

曲率变形定义技术还可用于现代先进材料的制备，如超级细菌单层材料、功能性微纤维材料等，这些材料可以实现精细的加工以及强度高的制备，使工程材料具有更好的耐用性和美观性。

总结曲率变形定义是一种利用一定的变换，将原来的平面及非平面几何定义变形，以达到曲率变形效果的技术。

曲率变形定义的基本原理是利用重力、压力和其他机械力，使材料发生挠曲变形；曲率变形定义的应用也非常广泛，可广泛应用于建筑、船舶和飞机等工程领域，也可用于现代先进材料的制备。