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x 30
题型二：区域是平面图形的几何概型问题
例2.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把
报纸送到你家,你父亲在早上7:00~8:00之间离家去上班,求你父亲 在离家前能得到报纸(称为事件A)的概率.
解:以x表示报纸送到时间,以y表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系. (x,y)可以看成平面 试中 验的 的点 全， 部结 区果 域构
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4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的
面积小于 S 的概率为（ 3 ）
2
4
举例
（五）与体积有关的几何概型
（五）与体积有关的几何概型
（六）几何概型的应用
理论迁移
题型一：区域是线段的几何概型问题
例1.某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每辆车带走站
上的所有乘客），乘客到达车站的任一时刻是任意的，求乘客候 车时间不超过3分钟的概率。
1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒 一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概 率.
练习
练习：课本：P142 A组 1, 2，3
1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域.
解: 以x及 y轴分别表示甲乙二人到达约定地点的时间（分钟）, 则
，0x30 ,如图: 0 y 30
且二人会面 xy 10
y
在平面直角坐标系下，(x,y)的所有可能 30
结果是边长为30的正方形,而事件A“两人
能够会面”的可能结果由图中的阴影部
分表示,则
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P (A )S A 的 的 面 面 积 积 302 3 02 2029 5
O2 O1
分析：
为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线段， 其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。
方法二：
截取长为L的一段, 转化为面积
为矩形的面积
为阴影部分的面积
A
P(A) (2a 2r)l a r
2al
a
（三）与面积有关的几何概型
（四）几何概型的应用——随机模拟
练习 练习：课本：P140 1, 2
为{(x,y)|6.5x7.5,7y8}这 , 是一个正方 面形 积区
为S1. 事件 A表示父亲在离 得开 到家 报前 纸能 ，所构
域为 A{(x,y)| yx,6.5x7.5,7y8}, y
即图中的阴影区域，
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面
积
▪ 事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域 的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位 置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一 点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是 不相邻,甲获胜的概率是不变的.
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
练习：求下列事件的概率
长度
1.取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于1m的概率为（ 1 ）
3
2.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中 任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率3 （ ）
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3.如图在圆心角为90O
角度
的扇形AOB中，以圆心O为
起点作射线OC，则∠AOC和∠BOC都不小于20O 的概率为5 （ ）面积
解：设A={等待不超过3分钟},乘客在时间段(0，5]内任意 时刻到达,事件A发生,则乘客到达的时间在[2,5]内.因此由 几何概型的求概率的公式得
P(A)523 55
3 即乘客候车时间不超过3分钟的概率为 5 .
例3.（会面问题）甲乙二人相约定6:00-6:30在约定地 点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。 求甲乙二人能会面的概率(假定他们在6:00-6:30内的任 意时刻到达约定地点的机会是等可能的)。
引例
为什么要学习几何概型?
▪ 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之 间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事 件A)的概率是多少? 能否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的.
解: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们 所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率
的公式得 P(A)60501, 60 6
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即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6
练习 （一）与长度有关的几何概型
（一）与长度有关的几何概型
练习：取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
P (A ) 全 部 构 结 成 果 事 所 件 构 A 的 成 区 的 域 区 长 域 度 长 （ 度 面 （ 积 面 或 积 体 或 积 体 ） 积 ）
举例 （一）与长度有关的几何概型
例1: 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
例4： 平面上画了一些彼此相距2a的 平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在 这个平面上，求这枚硬币不与任一条平 行线相碰的概率。
M
2a
O
解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。当硬 币不与平行线相碰时，硬币中心O可移动长度2a-2r即是 子区域A的几何度量。
A 2a2r
2a
M
P(A) A2a2 a2raa r. 2a
借助于古典概率的定义，设想仍用 “事件的概率”等于“部分”比“全体” 的方法，来规定事件的概率. 不过现在的 “部分”和“全体”所包含的样本点是无 限的. 用什么数学方法才能构造出这样的 数学模型？
显然用几何的方法是容易达到的.
▪ 问题: 图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘 游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否 则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的 概率是多少?
