高中数学331《几何概型》新人教A版必修精品PPT课件

方法归纳 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域 D，这时 区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生 对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边 界点是否取到却不影响事件 A 的概率.
跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝log2x，在区间[12，2]上随机取一 x0，则使得 f(x0)≥0 的概率为________．
(2)几何概型与古典概型的区别与联系
名称
古典概型
几何概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
①基本事件有限个②P(A)＝0 ①基本事件无限个②P(A)
不同点 ⇔A 为不可能事件③P(B)＝1 ＝0⇐A 为不可能事件
⇔B 为必然事件
③P(B)＝1⇐B 为必然事件
|自我尝试|
1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到 1 的概率．( × ) (2)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到绝对值不大于 1 的 数的概率．( √ ) (3)从区间[－10,10]中任取出一个数，求取到大于 1 且小于 2 的 数的概率．( √ ) (4)向一个边长为 4 cm 的正方形 ABCD 内投一点 P，求点 P 离 正方形的中心不超过 1 cm 的概率．( √ )
形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等 于( )
1பைடு நூலகம் A.4 B.3
12 C.2 D.3
【解析】
点
Q
取 自 △ABE
内部的概率为
P
＝
S△ABE S矩形ABCD
＝
1 2|A|ABB|·||·A|ADD||＝12，故选 C.

【精彩点拨】 当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径 1，硬币 落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为 1 的 直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边 都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边 三角形内的问题．
【尝试解答】 设 A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等
【解析】 A 中奖概率为38，B 中奖概率为41，C 中奖概率为13，D 中 奖概率为13，故选 A.
【答案】 A
3．在区间[－1，2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为________．
【解析】 ∵区间[－1，2]的长度为 3，由|x|≤1 得 x∈[－1，1]，而
区间[－1，1]的长度为 2，x 取每个值为随机的，∴在[－1，2]上取一个数
【精彩点拨】 乘客在上一辆车发车后的 5 min 之内到达车站，等车 时间会超过 10 min.
【尝试解答】 设上一辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于时刻 T2 到达， 则线段 T1T2 的长度为 15，设 T 是线段 T1T2 上的点，且 T1T＝5，T2T＝10，如图 所示．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车站的时刻 t 落在线 段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
∴P(A)＝TT11TT2的的长长度度＝155＝13， 即该乘客等车时间超过 10 min 的概率是13．
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区 域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界 点是否取到却不影响事件 A 的概率．
x，|x|≤1 的概率 P＝32.

解 游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落 在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与 区域面积有关，因此属于几何概型.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由： (1)某月某日，某个市区降雨的概率； 解 不是几何概型，因为它不具有等可能性；
解析答案
返回
达标检测
1.下列关于几何概型的说法错误的是( A ) A.几何概型也是古典概型中的一种 B.几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关 C.几何概型中每一个结果的发生具有等可能性 D.几何概型在一次试验中出现的结果有无限个 解析 几何概型与古典概型是两种不同的概型.
1 2345
解析答案
1 2345
解析答案
1 2345
4.在区间[－1,1]上随机取一个数 x，则 sin π4x值介于－12与 22之间的概率
为( D )
1
1
1
5
A.3
B.2
C.4
D.6
答案
1 2345
5.在装有 5 升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出 1 升水，那么
这 1 升水中含有病毒的概率是( D )
1
1
1
A.0
答案
几何概型的特点： (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 . (2)每个基本事件出现的可能性 相等 .
答案
知识点二 几何概型的概率公式 思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算 概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 几何概型的概念

3.3.1几何概型
引例 为什么要学习几何概型?
▪ 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之 间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事 件A)的概率是多少? 能否用古典概型的公式来求解? 事件A包含的基本事件有多少?
公 式 ： P (A )A 包 基 含 本 基 事 本 件 事 的 件 总 的 数 个 数
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4、取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置 剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有 多大?
变式题、公共汽车站每隔５分钟有一辆汽车通过， 乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，求乘 客候车不超过３分钟的概率．
例2、假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6:30—7:30 之间把报纸送到你家
你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00—8:00之间
课堂小结
• 1.几何概型的特点. • 2.几何概型的概率公式.
P (A ) 全 部 构 结 成 果 事 所 件 构 A 的 成 区 的 域 区 长 域 度 长 （ 度 面 （ 积 面 或 积 体 或 积 体 ） 积 ）
• 3.公式的运用.
古典概型:
特点: (1)试验中所有可能出现的基本 事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性 相等.
练习
1、有一饮水机装有12升的水,其中 含有1个细菌,用一个下面的奥运福 娃纪念杯从这饮水机中取出一满杯 水,求这杯水中含有这个细菌的概率.
P 1 40
2、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它8
3、一张方桌的图案如图所示（小正方形面积都相等）。 将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）A={豆子落在红色区域} （2）B={豆子落在黄色区域} （3）C={豆子落在绿色区域} （4）D={豆子落在红色或绿色区域} （5）E={豆子落在黄色或绿色区域}

2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现(chūxiàn)的结果(基本事无件限)多有个
_________．
相等
(2)每个基本事件出现(chūxiàn)的可能性_____．
3．几何概型的概构率成公事式件A的区域长度（面积或体积） P(A)＝__试__验__的__全__部___结__果__所__构__成__的__区__域__长 ___度__（__面__积__或_ 体积）
长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率． 解 如图所示，区域Ω是长30 m、 宽20 m的长方形．图中阴影部分(bùfen)表 示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖 出现在图中阴影部分(bù fen)的概率．
第八页，共20页。
由于区域 Ω 的面积为 30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为 30×20－26×16＝184(m2)． 所以 P(A)＝168040＝2735≈0.31. 即海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率约为 0.31. 规律方法 解此类几何概型问题的关键是： (1)根据题意确认是否是与面积有关(yǒuguān)的几何概型问题 ． (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何 特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．
A 的距离小于13的概率．
解
到
A
点的距离小于1的点，在以 3
A
为球心，半径为1的球内 3
部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的 A 点的区域体
积为43π×133×18.∴P＝43π×3133 3×18＝2×π37.
第十四页，共20页。
1．下列关于几何(jǐ hé)概型的说法错误的是 ()
A．几何(jǐ hé)概型也是古典概型中的一种 B．几何(jǐ hé)概型中事件发生的概率与位置、形状无关 C．几何(jǐ hé)概型中每一个结果的发生具有等可能性 D．几何(jǐ hé)概型在一次试验中能出现的结果有无限个 答案 A 解析 几何(jǐ hé)概型与古典概型是两种不同的概型．

由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停 1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率.
练一练:
3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面 的概率是多少? 4.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
是
.
3.(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，
于是 0 ≤ X ≤5, 0 ≤ Y ≤5. y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正方 形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5
4
3
.M(X,Y)
2
1
0 1 234 5x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
记“两人会面”为事件A
y
y=x+1
5
P(A) 阴影部分的面积 4 正方形的面积 3
2
5
2
1 2
基本事件:
射中靶面直径为122cm的大 圆内的任意一点.
这两个问题能否用古典概型的方法来求
解吗? 怎么办呢?
对于问题1.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段 上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳 长的1/3.

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构 成 事 件 A 的 几 何 度 量 ( 长 度 、 面 积 或 体 积 ) P (A ) 实 验 的 全 部 结 果 构 成 的 几 何 度 量 （ 长 度 、 面 积 或 体 积 ）
古典概型与几何概型的区别和联系：
古典概型
几何概型
基本事件 的个数
有限个
请总结归纳上述几个试验的共同特点： 1.实验可能出现的结果有无穷多个； 2.每个结果出现的可能性相等。
高中数学必修三第三章3.3.1
几何概型的定义：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
0
50
60
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收 音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求 概率公式得
P（A）=（60-50）/60=1/6
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
应用举例：
例3.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m， 宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超 过2 m的概率.
创设情境 试验一
取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置 剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概 率有多大？
思考：
请注意观察本试验共有多少种可能的结果？符合题意的结 果有多少种呢？是古典概型吗？
实验结果有无限多个，因为30cm长的绳子可以看成有无数 个点组成的线段，剪刀落在每一个点都是可能的。所以， 总的结果有无限多个。但只有剪刀落在中间10cm时，剪得 的两段的长都不小于10cm，此时，结果也有无限多个，因 此，不是古典概型。

2 5
1 6
第二种三块区域圆心 角之比为1:2:3;
1 4
第三种圆盘两圆的半 径之比为1:2
[情境二] 问题1:在区间[0，9]上任取一个整数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 2
5
问题2:在区间[0，9]上任取一个实数,恰 好取在区间[0，3]上的概率为多少? 1
3
探究:
请问飞镖射中靶心A（看成一个点）的 概率是多少?
中国刑法第三百零三条规定:以营利为目的,聚众 赌博或者以赌博为业的,处三年以下有期徒刑、拘役 或者管制,并处罚金;“开设赌场的,处三年以下有期徒 刑、拘役或者管制,并处罚金;情节严重的,处三年以 上十年以下有期徒刑,并处罚金.
复习提问：
1、古典概型的两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2、计算古典概型的公式:
几何概型的概率计算公式：
构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 构成事件A的测度（长度、弧度、 角度、面积、体积） P( A) 全部结果的测度（长度 、弧度、角度、面积、 体积）
例1：取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意
A包含基本事件的个数 公式：P( A) 基本事件的总数
创设情境：
情境一:摸球游戏：袋子中有分别写有1 号、2号、3号、4号、5号的5个球, 问题:随机抽取一个抽到1号的概率是多 1 少? 5 上述情景改为如图所示，问 1 5 题:圆盘中指针指到到1号的 4 2 概率是多少? 3
注:五个扇形区域面 积相同;
解:设A={等待的时间不多于10分钟}. 所求的事件A恰好是打开收音机时的 时刻位于[50,60]时间段内。 因此由几何概型的概率公式得

3.如图3，正方形边长为4,圆的半径为1，某人随机向正方形内投一 粒黄豆，求黄豆落在圆内的概率.
基本事件是“正方形内任意一点”； 每个点落在正方形内是“均匀”的；
设事件A是“黄豆落在圆内”；事件A包含的基本事件是“圆 内任意一个点” .
P(A) 正圆 方的 形面 的积 面 1积 6
3.如图3，正方形边长为4,圆的半径为1，某人随机向正方形内投一 粒黄豆，求黄豆落在针对1—4四个题目，研究以下问题： 每个试验中所有可能出现的基本事件是什么？基本事件有何特点？
属于哪种概率模型？ 如何计算概率？
1.如图1，在3m长的线段PQ上有三个点A、B、C 将线段PQ四等分，现从这三个点中任取一点，求 选取的点与线段两端点距离都大于1m的概率.
2.如图2，在3m长的线段PQ上任取一点，求选取的 点与线段两端距离都大于1m的概率.
3.如图3，正方形边长为4,圆的半径为1，某人随机 向正方形内投一粒黄豆，求黄豆落在圆内的概率.
4.在500mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出 2mL水样放在显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
请针对1—4四个题目，研究以下问题： 每个试验中所有可能出现的基本事件是什么？基本事件有何特点？
4.在500mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出 2mL水样放在显微镜下观察,求发现草履虫的概率.
1.如图1，在3m长的线段PQ上有三个点A、B、C将线段PQ四等分， 现从这三个点中任取一点，求选取的点与线段两端点距离都大于1m 的概率.
基本事件是“三个点A、B、C”； 每个基本事件出现的可能性相等； 设事件A为“选取的点与线段两端距离 都大于1m”， 事件A包含一个点B； 属于古典概型，概率是 1
设事件A是“黄豆落在圆内”；事件A包含的 基本事件是“圆内任意一个点”. 我们应用圆的面积的大小来衡量黄豆落在圆内的概 率；在正方形面积一定的情况下，圆的面积越大， 黄豆落在圆内的概率就越大，而且这个概率与圆的 位置和图形的形状没有关系.

0.01
(
构成事件 B的区域面积 全部结果的区域面积
)
1m
P( A) 1 3
1m 3m
(
构成事件 A的区域长度 全部结果的区域长度
)
人教A版高中数学必修三 3.3.1 几何概型(共23张PPT)
P(C) 2 1 500 250
(
构成事件 c的区域体积 全部结果的区域体积
)
人教A版高中数学必修三 3.3.1 几何概型(共23张PPT)
的概率.
人教A版高中数学必修三 3.3.1 几何概型(共23张PPT)
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（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，
任取一个x的值和一个y的值，
求 “ x – y ≥1 ”的概率。
y
作直线 x - y=1
4
3
古典概型
2
P=3/8
1
-1
人教A版高中数学必修三 3.3.1 几何概型(共23张PPT)
人教A版高中数学必修三 3.3.1 几何概型(共23张PPT)
解: 以X表示送报人到达时间,以Y表示父亲离家时间，
(x,y)可以看成平面区域中的点,试验的全部结果所构
成的区域 {(x, y)6.5 x 7.5,7 y 8} ,这是一个正方形区域,
面积为 S 11 1 .事件A表示父亲在离开家前能得到 报纸,所构成的区域 A {(x, y) y x,6.5 x 7.5,7 y 8} ,面积为
S
A
1
1 2
1 2
1 2
7 8
p( A)
sA S
7 8
人教A版高中数学必修三 3.3.1 几何概型(共23张PPT)

3.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽车在1～3分 钟之间到达的概率.
2 5
4.假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时 间不超过 3 分钟的概率 .
0.3
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。

（3－2）2
=
=
32
1 9
解题方法小结：对于复杂的实际问题,解题的关键 是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
练习
1.一个路口的红绿灯，红灯的 时间为30秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40秒。当 你到达路口不用停直接通过 的概率为 8/15
第三章 概率 3.3.1 几何概型
一、复习回顾.
我抛一枚硬币，
猜这一次是正面
问题：猜中的概率是多少？ 向上。
这是什么概型问题？
1、古典概型的两个基本特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2、计算古典概型的公式：
公 式 ： P (A )A 包 基 含 本 基 事 本 件 事 的 件 总 的 数 个 数
那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如 何求呢?
二、问题情境1. 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么
剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断 位置可以是3m绳子上的任意一点，并且每一点被 剪的可能性相等。
问题情境2.
下图是卧室和书房地板的示意图，图中 每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分 别在卧室和书房中自由地走来走去，并 随意停留在某块方砖上。在哪个房间里， 与面积成比例 小猫停留在黑砖上的概率大？
例2. 抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏
之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币” 的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上， 抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为 3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得 到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什 么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上）

P 1. 3
高中数学【人教A版必修】3第三章3.3 .1几何 概型课 件【精 品】
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当堂检测：
1.一只蜜蜂在长、宽、高分别为4,3,5的 长方体箱体内飞行，某时刻该蜜蜂距离 长方体的八个顶点的距离均大于1的概率 P(A)为？
D1
C1
A1 D
A
B1 C
B
高中数学【人教A版必修】3第三章3.3 .1几何 概型课 件【精 品】
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2.（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任 取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y ≥1 ”
的概率。
y
作直线 x - y=1
m A m
1 3
2.面积问题：如右下图所示的单位圆,假 设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分 别计算它落到阴影部分的概率.
解：由题意可得 设 “豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A， “豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。
从而：基p(A本) mm事A件 的12 全体 对应的几何区域为面积为１的单位圆
何概型公式求解。
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无限性
p
A
m A m
基础训练：
1.长度问题：取一根长度为3m的绳子， 拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段 的长度都不小于1m的概率有多大？
解：由题意可得
1m
1m
3m