概率统计简明教程同济版

概率统计同济课后习题答案在学习概率统计这门课程时，课后习题往往是巩固知识、检验理解的重要环节。

同济大学出版的概率统计教材以其严谨的体系和丰富的内容备受青睐，然而，课后习题的解答有时却让同学们感到困惑。

接下来，我将为大家详细呈现一些常见课后习题的答案及解题思路。

首先，我们来看一道关于随机事件概率的题目。

题目：假设在一个袋子中装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出3 个球，求取出的球中至少有 1 个红球的概率。

解题思路：我们可以先求出取出的 3 个球中没有红球的概率，即从3 个白球中取出 3 个球的组合数除以从 8 个球中取出 3 个球的组合数。

然后用 1 减去这个概率，就得到至少有 1 个红球的概率。

具体计算过程如下：从 8 个球中取出 3 个球的组合数为：C(8, 3) ＝ 56从 3 个白球中取出 3 个球的组合数为：C(3, 3) ＝ 1所以取出的 3 个球中没有红球的概率为：1/56则至少有 1 个红球的概率为：1 1/56 ＝ 55/56再来看一道关于随机变量分布的题目。

题目：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，且 P(X ＝ 1) ＝P(X ＝ 2)，求λ 的值。

解题思路：根据泊松分布的概率质量函数 P(X ＝ k) ＝（λ^k e^（λ)）／ k! ，分别代入 k ＝ 1 和 k ＝ 2 ，然后根据已知条件 P(X ＝ 1) ＝ P(X ＝ 2) 建立方程求解。

具体计算过程如下：P(X ＝ 1) ＝（λ^1 e^（λ)）／ 1! ＝λ e^（λ)P(X ＝ 2) ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2! ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2因为 P(X ＝ 1) ＝ P(X ＝ 2) ，所以λ e^（λ) ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2化简得到：λ ＝ 2接下来是一道关于数学期望和方差的题目。

题目：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜ 1 ，求E(X) 和 D(X) 。

习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

习题一解答 1 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 1 抛一枚硬币两次观察出现的面事件 2 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数事件一分钟内呼叫次数不超过次 3 从一批灯泡中随机抽取一只测试其寿命事件寿命在到小时之间解 1 2记为一分钟内接到的呼叫次数则 3 记为抽到的灯泡的寿命单位小时则2 袋中有个球分别编有号码1至10从中任取1球设取得球的号码是偶数取得球的号码是奇数取得球的号码小于5 问下列运算表示什么事件 1 2 3 45 6 7 解 1 是必然事件 2 是不可能事件 3 取得球的号码是24 4 取得球的号码是135678910 5 取得球的号码为奇数且不小于5 取得球的号码为579 6 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6810 7 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6810 3 在区间上任取一数记求下列事件的表达式 1 2 3 4 解1 2 3 因为所以 4 4 用事件的运算关系式表示下列事件1 出现都不出现记为2 都出现不出现记为3 所有三个事件都出现记为 4 三个事件中至少有一个出现记为 5 三个事件都不出现记为 6 不多于一个事件出现记为 7 不多于两个事件出现记为8 三个事件中至少有两个出现记为解 1 2 3 4 5 6 7 8 5 一批产品中有合格品和废品从中有放回地抽取三次每次取一件设表示事件第次抽到废品试用表示下列事件1 第一次第二次中至少有一次抽到废品2 只有第一次抽到废品3 三次都抽到废品 4 至少有一次抽到合格品只有两次抽到废品解 1 23 4 5 6 接连进行三次射击设第次射击命中三次射击恰好命中二次三次射击至少命中二次试用表示和解习题二解答 1．从一批由45件正品5件次品组成的产品中任取3件产品求其中恰有1件次品的概率解这是不放回抽取样本点总数记求概率的事件为则有利于的样本点数于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球从这袋中任取一球看过它的颜色后放回袋中然后再从这袋中任取一球设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同求 1 第一次第二次都取到红球的概率 2 第一次取到红球第二次取到白球的概率 3 二次取得的球为红白各一的概率 4 第二次取到红球的概率解本题是有放回抽取模式样本点总数记 1 2 3 4 题求概率的事件分别为ⅰ有利于的样本点数故ⅱ有利于的样本点数故ⅲ有利于的样本点数故ⅳ有利于的样本点数故 3．一个口袋中装有6只球分别编上号码1至6随机地从这个口袋中取2只球试求 1 最小号码是3的概率 2 最大号码是3的概率解本题是无放回模式样本点总数ⅰ最小号码为3只能从编号为3456这四个球中取2只且有一次抽到3因而有利样本点数为所求概率为ⅱ最大号码为3只能从123号球中取且有一次取到3于是有利样本点数为所求概率为 4．一个盒子中装有6只晶体管其中有2只是不合格品现在作不放回抽样接连取2次每次取1只试求下列事件的概率 1 2只都合格 2 1只合格1只不合格 3 至少有1只合格解分别记题 1 2 3 涉及的事件为则注意到且与互斥因而由概率的可加性知 5．掷两颗骰子求下列事件的概率 1 点数之和为7 2 点数之和不超过5 3 点数之和为偶数解分别记题 1 2 3 的事件为样本点总数ⅰ含样本点 16 61 34 43 ⅱ含样本点 11 12 21 13 31 14 41 22 23 32 ⅲ含样本点 11 13 31 15 51 22 24 42 26 62 3335 53 44 46 64 55 66 一共18个样本点 6．把甲乙丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去假设每间宿舍最多可住8人试求这三名学生住不同宿舍的概率解记求概率的事件为样本点总数为而有利的样本点数为所以 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语今偶遇其中的三位求下列事件的概率 1 事件其中恰有一位精通英语 2 事件其中恰有二位精通英语 3 事件其中有人精通英语解样本点总数为 1 2 3 因且与互斥因而 8．设一质点一定落在平面内由轴轴及直线所围成的三角形内而落在这三角形内各点处的可能性相等计算这质点落在直线的左边的概率解记求概率的事件为则为图中阴影部分而最后由几何概型的概率计算公式可得 9．见前面问答题2 3 10．已知求 1 2 3 4 5 解 1 2 3 4 5 11．设是两个事件已知试求及解注意到因而于是习题三解答 1．已知随机事件的概率随机事件的概率条件概率试求及解 2．一批零件共100个次品率为10从中不放回取三次每次取一个求第三次才取得正品的概率解 3．某人有一笔资金他投入基金的概率为058购买股票的概率为028两项投资都做的概率为019 1 已知他已投入基金再购买股票的概率是多少 2 已知他已购买股票再投入基金的概率是多少解记基金股票则 1 2 4．给定验证下面四个等式解 5．有朋自远方来他坐火车船汽车和飞机的概率分别为03020104若坐火车迟到的概率是025若坐船迟到的概率是03若坐汽车迟到的概率是01若坐飞机则不会迟到求他最后可能迟到的概率解迟到坐火车坐船坐汽车乘飞机则且按题意由全概率公式有 6．已知甲袋中有6只红球4只白球乙袋中有8只红球6只白球求下列事件的概率 1 随机取一只袋再从该袋中随机取一球该球是红球 2 合并两只袋从中随机取一球该球是红球解 1 记该球是红球取自甲袋取自乙袋已知所以 2 7．某工厂有甲乙丙三个车间生产同一产品每个车间的产量分别占全厂的253540各车间产品的次品率分别为542求该厂产品的次品率解 8．发报台分别以概率0604发出和由于通信受到干扰当发出时分别com同样当发出信号时com收到和求 1 收到信号的概率 2 当收到时发出的概率解记收到信号发出信号 1 2 9．设某工厂有三个车间生产同一螺钉各个车间的产量分别占总产量的253540各个车间成品中次品的百分比分别为542如从该厂产品中抽取一件得到的是次品求它依次是车间生产的概率解为方便计记事件为车间生产的产品事件次品因此 10．设与独立且求下列事件的概率解 11．已知独立且求解因由独立性有从而导致再由有所以最后得到 12．甲乙丙三人同时独立地向同一目标各射击一次命中率分别为131223求目标被命中的概率解记命中目标甲命中乙命中丙命中则因而 13．设六个相同的元件如下图所示那样安置在线路中设每个元件不通达的概率为求这个装置通达的概率假定各个元件通达与否是相互独立的解记通达元件通达则所以 14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为02机器发生故障时全天。

Probability & Statistics第一章 随机事件与概率 1．基本概念：Ω：样本空间ω：样本点2．随机事件之间的关系和运算包含：B A ⊂ 相等：B A = 和（并）事件：B A积（交）事件：B A （或AB ） 差事件：B A -互不相容（互斥）事件：φ=B A 对立（逆，余）事件：A A -Ω= 运算定律：①交换律：A B B A =，A B B A =②结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =③分配律：()()()C A B A C B A =，()()()C A B A C B A = ④德·摩根(De Morgan)法则：B A B A =，B A B A =3．古典型概率：nn A P A=)(（A 事件中包含A n 个样本点） 4．几何型概率：)()()(Ω=m A m A P 5．频率：nn A f An =ˆ)( 6．概率的性质：①非负性：对于任意一个事件A ，0)(≥A P ②规范性：1)(=ΩP③可列可加性：当可列无限个时间 ,,21A A 两两互不相容时，∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P④0)(=φP ⑤)(1)(A P A P -= ⑥1)(≤A P⑦)()()(AB P B P A B P -=- ⑧)()()()(AB P B P A P A B P -+=7．条件概率：)()(ˆ)|(B P AB P B A P = 8．乘法公式：当0)(>A P 时，)|()()(A B P A P AB P =当2≥n 且0)(11>-n A A P 时，)|()|()()(111211-=n n n A A A P A A P A P A A P 9．随机事件的独立性：事件A 与B 相互独立)()()(B P A P AB P =⇔事件C B A ,,相互独立)()()(B P A P AB P =⇔且)()()(C P A P AC P =且)()()(C P B P BC P =且 10．二项概率：k n kk n n p p C k P --=)1()(，n k ,,1,0 =11．设n 个事件21,,A A 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当),,1(0)(n i A P i =>时： )()()()(C P B P A P ABC P =全概率公式：∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()(贝叶斯公式：当0)(>B P 时，n i A B P A P A B P A P B A P nj jji i i ,,1,)|()()|()()|(1==∑=第二章 离散型随机变量及其分布 1．随机变量：)(ωX X =2．概率函数： ,2,1,)(===i p a X P i i3．二项分布：),(~p n B X 的概率函数为：n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-4．泊松定理：设)10(,0<<>=n n p np λ，对于0≥∀k ，!)1(lim k e p p C kkn n k nknn λλ⋅=---→∞5．泊松分布：)(~n P X 的概率函数为： ,2,1,0,!)(=⋅==-k k e k X P kλλ6．联合概率函数： ,2,1,}){}({ˆ),(=======j i p b Y a X P b Y a X P ij j i j i ， 7．随机变量的独立性：随机变量X 与Y 相互独立)()(),(j i j i b Y P a X P b Y a X P =====⇔ 8．条件概率函数：jij j i p p b Y a X P .)|(===iij i j p p a X b Y P .)|(===9．随机变量分布的可加性：设X 与Y 相互独立，则①当),(~),,(~p n B Y p m B X 时，),(~p n m B Y X ++ ②当)(~),(~21λλP Y P X 时，)(~21λλ++P Y X第三章 连续型随机变量及其分布 1．随机变量的分布函数：)()()(x X P x F x F X ≤==，+∞<<-∞x则)()()(a F b F b X a P -=≤< 2．分布函数的性质：①1)(0≤≤x F②当21x x <时，)()(21x F x F ≤ ③0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim =→∞x F x④)(x F 在),(+∞-∞上每一点处至少右连续3．随机变量X 与Y 的联合分布函数：)),((),(),(xy D Y X P y Y x X P y x F ∈=≤≤= 4．联合分布函数的性质：①1),(0≤≤y x F②固定一个自变量的值时，),(y x F 作为一元函数关于另一个自变量是单调不减的 ③对任意固定一个y ，0),(lim =-∞→y x F x ；对任意固定一个x ，0),(lim =-∞→y x F y ；0),(lim =-∞→-∞→y x F y x ，0),(lim =→∞→∞y x F y x④固定一个自变量的值时，),(y x F 作为一元函数关于另一个自变量至少右连续 ⑤对任意的R y y x x ∈2121,,,：0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F ⑥),(),(lim y Y X P y x F x ≤+∞≤=+∞→,),(),(lim b x F y x F by =+→5．连续性随机变量X 的概率密度函数)(x f ：⎰∞-=xdt t f x F )()(①0)(≥x f ②1)(=⎰+∞∞-dx x f6．连续型随机变量的性质：①)(x F 是连续函数，且当)(x f 在0x x =处连续时，)()(00x f x F =' ②对R Const c ∈=∀，0)(==c X P③对R Const b a ∈=∀,，dx x f b x a P ba ⎰=≤<)()(7．常用连续型随机变量：①均匀分布),(~b a R X ：⎪⎩⎪⎨⎧=<<- ,0 ,1)(else bx a a b x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≥<≤--<b x b x a a b a x a x x F,1 ,,0)(②指数分布)(~λE X ：⎩⎨⎧=>-else x e x x f ,00 ,)(λλ,⎩⎨⎧=<≥--0 ,00,1)(x x e x x F λ③正态分布),(~2σμN X ：222)(21)(σμσπ--=x ex f④标准正态分布)1,0(~N X ：2221)(x ex -=πϕ，分布函数：dt ex Φxt ⎰∞--=2221)(π性质：)(1)(x Φx Φ-=-，5.0)0(=Φ，0)(=-∞Φ，1)(=∞Φ正态概率计算公式：⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤<σμσμa Φb Φb x a P )(标准正态分布的p 分位数：)(1p Φu p -=，p p u u --=18．二维随机变量的联合密度函数),(y x f ：dv du v u f y x F x y⎰⎰∞-∞-=),(),(① ②9．二维随机变量的边缘分布函数：),()(∞=x F x F X ，),()(y F y F Y ∞=10．二维随机变量的边缘密度函数：⎰∞∞-=dy y x f x f X ),()(，⎰∞∞-=dx y x f y f Y ),()(11．随机变量的独立性：随机变量X 与Y 相互独立)()(),(y F x F y x F Y X =⇔ 12．条件密度函数：)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =，)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =①0)|(|≥y x f Y X ②1)(),()|(|==⎰⎰+∞∞-∞+∞-y f dx y x f dx y x f Y Y X13．条件分布函数：F ( ) ∫f (u )xdu ∫f(u )f ( )xdu ，F ( ) ∫f (v )y dv ∫f(v )f ( )ydv14．当X 与Y 相互独立时：F ( )(x y) (y)(x) (y) (y)f ( )，F ( )(y x) (x)(x) (y) (x)f ( )15．求 g( )的分布函数与密度函数的一般步骤： ①由 的值域 确定 的值域②对任意 ，求出F ( ) ( ) (g ( ) ) ( y ) ∫f( )d③按分布函数性质写出F ( ) ④通过求导得f ( )16．当 N( ς ) 时， c N ( c ς ) ，N ( )当X 与Y 相互独立， N ( ς )， N( ς )时： N ( ς ς )17．设 * n +， * n +， ( n)独立同分布，且 的分布函数和密度函数分别为F( )和f( )，则f U (u ) nF (u )n f(u)，f V (u ) n, −F (v )-n f(v)第四章 随机变量的数字特征1．离散型随机变量 的概率函数为 ( a ) p ， ，E ( ) ∑a p 连续性随机变量 的密度函数为f( )，E ( ) ∫ f( )+d 2．常用分布的期望：当 B(n p)时，E ( ) np当 (λ)时，E ( ) λ，E ( ) λ λ 当 R(a b)时，E ( )(a b) 当 E(λ)时，E ( )λ，E ( ) λ当 N( ς )时，E ( ) ，E ( ) ς 3．期望计算公式：①离散型随机变量 的概率函数为 ( a ) p ， ，E,g( )- ∑g(a )p 连续性随机变量 的密度函数为f( )，E,g( )- ∫g( )f( )+d②离散型随机变量( )的概率函数为 ( a b j ) p j ， j ，E,g( )- ∑∑g(a b j )p j j 连续性随机变量( )的密度函数为f( )，E,g( )- ∫∫g( )f( )+d +d 4．期望的性质： ①E (c ) c②E ( c ) E ( ) c ③E ( l ) E ( ) lE ( )④当X 与Y 相互独立时，E ( ) E ( )E( )5．方差：D ( ) E *, −E ( )- + E ( )−,E( )- ；标准差：√D ( ) 6．常用分布的方差：当 B(n p)时，D ( ) np( −p) 当 (λ)时，D ( ) λ 当 R(a b)时，D ( )(b −a) 当 E(λ)时，D ( )λ当 N( ς )时，D ( ) ς 7．方差的性质： ①D (c )②D ( c ) D ( )③D ( ± ) D ( ) D ( )± E *, −E( )-, −E( )-+ ④当X 与Y 相互独立时，D ( ± ) D ( ) D ( )8．中心化随机变量： ∗ −E ( )，其E ( ∗) ，D ( ∗) D( ) 标准化随机变量： ∗E ( )√D( )，其E ( ∗) ，D ( ∗)9．协方差：cov ( ) E *, −E( )-, −E( )-+ E ( )−E ( )E( )D ( ± ) D ( ) D ( )± cov ( )10．协方差的性质： ①cov ( ) cov ( )②cov ( c )③cov ( l ) lcov ( )④cov (∑ m=∑ j nj=) ∑∑cov( j )nj=m=11．相关系数：ρ( ) E ( ∗ ∗) cov ( )√D( )D( )12．相关系数的性质： ①ρ( ) ρ( )② ρ( )③ ρ( ) ⟺∃ c ，使 ( c ) 13．相关性：①当ρ( ) 时，X 与Y 正线性相关 ②当ρ( ) − 时，X 与Y 负线性相关 ③当ρ( ) 时，X 与Y 不相关 ④X 与Y 相互独立 X 与Y 不相关⑤若二维随机变量( )服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立⟺X 与Y 不相关 14．X 与Y 的( l )阶原点矩：E ( k )；X 与Y 的( l )阶中心矩：E,( −E( ))k -X 与Y 的( l )阶原点矩：E ( k l )；X 与Y 的( l )阶中心矩：E,( −E( ))k ( −E( ))l -二维随机变量( )的期望向量：(E( )E( )*；( )的协方差矩阵：(D( )cov ( )cov ( )D( )*15．p 分位数：νp ，其中, ( νp )≥p( ≥νp ) −p ，ν12为中位数变异系数：δ√D( ) E( )众数：,离散型随机变量： ( a ∗)≥ ( a )，连续型随机变量：f ( ∗)≥f ( )， R ，则a ∗或 ∗为众数16．两个不等式： 3 ς准则： ( − ≥3 ς) .3%切比雪夫不等式：设E ( ) ，D ( ) ς ，对∀ε> ， ( − ≥ε) 2ε2柯西—许瓦兹不等式：对∀随机变量( )，,E ( )- E ( )E( )第五章 随机变量序列的极限1．随机变量序列 ，若∃c ∀ε>n( n −c <ε)则随机变量序列 依概率收敛于c ，记作 n→ c 2．若 n→ a ， n→ b ，且g ( )在(a b )处连续，则g ( n n )→ g (a b )3．大数定律：切比雪夫大数定律：随机变量序列 两两不相关，∃c 使D ( ) c ， ，则n ∑ n=− n ∑E( )n=n ∑ ∗n=→ 辛钦(独立同分布)大数定律：随机变量序列 独立同分布，且E( ) D( ) ς ,则̅→ 贝努利大数定律：随机变量序列 独立同分布，且 B( p) ,则 ̅→ p 4．中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且 N( ς ) ,则( − ≥ε) * −Φ(√nες)+当n 足够大时，则近似认为∑ n = 服从正态分布列维—林德博格(独立同分布)中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且E( ) D( ) ς ,则对∀ R 有：n(∑ −n n=√nς̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) Φ( )其中Φ( )为N( )的分布函数德莫夫—拉普拉斯中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且 B( p),则对∀ R 有：n( ∑ −npn= √np( −p)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )Φ( ) 5．由德莫夫—拉普拉斯中心极限定理的近似计算：若 B(n p)，则当n 较大时：(a < b ) ∑C n k p k ( −p)n k a<k≤b≈Φ(b −np √np ( −p ))−Φ(a −np √np( −p))说明：①无论不等号中是否含等号，都用此公式近似②当a 时，认为a −∞；当b n 时，认为b ∞第七章 数理统计的基本概念 1．设( n )是一个样本，定义： 样本均值：̅n∑ n= 样本方差：n −∑( −̅) n= 样本方差： √n −∑( −̅) n=样本的 阶原点矩：A kn∑ k n=样本的 阶中心矩：M kn∑( −̅)k n= 2．设( n )是取自总体 的一个样本，E ( ) ，D ( ) ς ，则①E (̅) ，D ( ̅) ςn②E ( ) ς ，D ( n )n − nς，n ≥ ③当n ⟶∞时， ̅→ ，→ ς ， n→ ς3．三个常用分布： ①χ 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且都服从N ( )，若 ∑ n = ，则 χ(n)联合密度函数：f ∗( n ) ∏f i ( )n=∏√ πn=e x i 2( π)n e p {−∑ n=}密度函数：f ( ) {n Γ.n/ n e y ， > ， else，其中Γ(n ) ∫t n e t + 0dt性质：①当 χ (n)时，E ( ) n ，D ( ) n②可加性：设与相互独立，且 χ (m)， χ (n)，则X χ (m n)分位数：χp (n )，当 χ (n)时， . χp(n )/ p ， <p < ②t 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且 N ( )， χ (n)，若T √n，则T t(n)密度函数：f T (t ) Γ.n /√nπΓ.n/( t n ) n+ ，t R 分位数：t p (n )，当T t(n)时， . t p (n )/ p ， <p <（当p >时，可查表得到，当p <时，利用t p (n ) −t p (n )得到t p (n )的值）③F 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且 χ (m)， χ (n)，若F m n ，则F F(m n)密度函数：f ( ) {Γ.m n /Γ.m/Γ.n /.m n /m m . m n / m+n， >， else分位数：F p (m n )，当F F(m n)时， . F p (m n )/ p ， <p <（当p > 时，可查表得到，当p < 时，利用F p (m n )F p (n m )得到F p (m n )的值） *若T t(n)，则T F( n)*具有可加性质的分布：χ 分布、柏松分布、正态分布、二项分布X Y p p p4．设( n )是取自总体N( ς )的一个样本，则：①X̅ N (μ σ )或√ X ̅−μσN( ) ②( − )S σ S n σσ∑(X i −X ̅) ni=χ ( − ) ③X ̅与S 相互独立 ④√n̅− √n −̅− nt(n − ) 5．设(X X m )是取自总体N(μ σ)的一个样本，(Y Y n )是取自总体N(μ σ )的一个样本，则：①(X ̅−̅)−(μ −μ )√σ m σn N( )② ∑( −μ )mσm=∑( i −μ )nσ ni= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ F(m n) ③ σσF(m − n − ) 6．设(X X m )是取自总体N(μ σ )的一个样本，(Y Y n )是取自总体N(μ σ )的一个样本，则：①(X ̅−̅)−(μ −μ ) w √ mnt (m n − )， w √ w ， wm n −[∑(X i −X ̅) mi=∑( i − ̅) ni=] ②F(m − n − ) 7．设(X X m )是取自总体X 的一个样本，当n 较大时，近似地有：①X ̅ N (μσ )或√ X ̅−μσN( ) ②√n̅− N ( )，或√n ̅− ςN( ) 8．最小次序统计量：X ( ) ≤ ≤nX i 最大次序统计量：X (n) ≤ ≤nX i第八章 参数估计1．设(X X m )是取自总体X 的一个样本，E ( ) ，D ( ) ς ，则： ①̅是未知参数 的矩估计②S n 是未知参数ς 的矩估计，S n是未知参数ς的矩估计 2．常用分布的矩估计：设(X X m )是取自总体X 的一个样本， 当 (λ)时，λ̂ ̅，λ̂ ̅ 当 R( θ)时，θ̂ ̅ 当 E(λ)时，λ̂̅当 N( ς)时， ̂̅，ς̂S n，ς̂S n3．似然函数：L(θ;n)∏f(;θ)n=设(X X m)是取自总体X的一个样本，若存在θ̂使：L(θ̂)ΘL(θ)，则θ̂为θ的极大似然估计值一般通过解方程ddθlnL(θ)得到θ的极大似然估计4．常用分布的极大似然估计：设(X X n)是取自总体X的一个样本，当 (λ)时，λ̂̅当 R(θθ)时，θ̂X( )，θ̂X(n)当 E(λ)时，λ̂̅当 N( ς)时， ̂̅，ς̂S n，ς̂S n，变异系数δ̂x S n ̅5．无偏性：若未知参数θ的估计量θ̂满足：E(θ̂)θ，则θ̂为θ的无偏估计；若未知参数θ的估计量θ̂满足：nE(θ̂)θ，则θ̂为θ的渐近无偏估计；6．设(X X n)是取自正态总体N( ς)的一个样本，①当未知但ς已知时，的矩估计和极大似然估计都是̅，̅是的无偏估计②当已知但ς未知时，ς的极大似然估计ς̂S n具有无偏性，因为E(S n)ς③当与ς均未知时，ς的矩估计和极大似然估计都分别是̅S n，则̅是的无偏估计, Sn不是ς的无偏估计，而是ς的一个渐近无偏估计7．有效性：设θ̂和θ̂∗都是未知参数θ的无偏估计，若D(θ̂∗)<D(θ̂)，则θ̂∗比θ̂有效8．相合性：若未知参数θ的估计量θ̂满足θ̂→θ，即对∀ε>，n(|θ̂−θ|>ε)则θ̂为θ的相合估计9．设θ̂是未知参数θ的无偏估计，若nD(θ̂)，则θ̂为θ的相合估计10．置信区间：设(X X n)是取自总体X的一个样本，对于未知参数θ，给定α，<α<，若∃θ θ，使得：(θθθ)≥−α则[θ θ]为θ的双侧−α置信区间，−α为置信水平(度)，θ θ为θ的双侧−α置信区间的上、下限11．求置信区间的一般步骤：①求出未知参数θ的较优点估计θ̂②以θ̂为基础，寻找一个只包含θ̂的随机变量J③记J的α分位数为a，−α分位数为b，则(aθb)−α④把aθb作等价变形，成为θθθ，则[θ θ]为双侧−α置信区间12．设(X X n)是取自总体X的一个样本，对于未知参数θ，给定α，<α<，若∃θ，使得：(θθ)≥−α则[θ ∞]为θ的单侧−α置信区间，−α为置信水平，θ为θ的单侧−α置信区间的下限（上限类似）13．一个正态总体下位置参数的置信区间（见附表Ⅰ）14．常用分布总结（见附表Ⅱ）附表Ⅰ一个正态总体下位置参数的置信区间未知参数随机变量J J的分布双侧置信区间的上、下限单侧置信区间的下限单侧置信区间的上限ς已知√X̅−μσN( )̅±uασ√̅−uας√n̅uας√nς未知√X̅−μσt(n− )̅±tα(n−)σ√̅−tα(n−)ς√n̅tα(n−)ς√nς已知∑(−μ)n=ςχ(n)∑(−)n=χα(n)，∑(−)n=χα(n)∑(−)n=χ α(n)∑(−)n=χα(n)未知∑(−μ)n=ςχ(n− )∑(−X̅)n=χα(n− )，∑(−X̅)n=χα(n−)∑(−X̅)n=χ α(n−)∑(−X̅)n=χα(n−)附表Ⅱ常用分布总结X B( p)X P(λ)X R( b)X E(λ)X N(μ σ)f()/()C n k p k( −p)n k e λλk!{b−a， a<<b， else,λe λx，>， else√ πςe(x μ)2σ2F()/ /{，<a −ab−a， a<b ，≥b ,−e λx，≥，<略E(X) pλ( b)λμD(X) p( −p)λ(b− )λσ矩估计略λ̂̅b̂̅λ̂̅ ̂̅，ς̂n 极大似然估计略λ̂̅â( )，b̂(n)λ̂̅ ̂̅，ς̂n。

考试的重点内容与要求考试的范围是现用教材：工程数学—《概率统计简明教程》（同济大学应用数学系主编）第一、二、三、四、六、七、八、九、十章。

以下按章次明确考试的重点与要求。

第一章随机事件1.了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念。

2.理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。

第二章事件的概率1.了解事件频率的概念，了解概率的统计定义。

2.熟悉关于排列与组合的基本知识，掌握求排列数与组合数的公式。

3.了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。

4.了解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质，并会解决比较简单的问题。

第三章条件概率与事件的独立性1.了解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，并会解决比较简单的应用问题。

2.理解事件的独立性概念，了解伯努利（Bernoulli）概型和二项概率的计算方法。

第四章随机变量及其分布1.理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。

2.理解离散型随机变量及分布律的概念，掌握0－1分布、二项分布，了解泊松（Poisson）分布。

3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念。

掌握正态分布，均匀分布，了解指数分布。

第六章随机变量的函数及其分布掌握求简单随机变量函数的概率分布(重点是一维随机变量的函数及其分布)。

第七章随机变量的数字特征1.理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算。

2.掌握二项分布、正态分布、泊松分布等的数学期望与方差。

第八、九、十章1、了解统计量定义，掌握常用统计量的计算；理解参数点估计的概念，掌握用矩估计法构造参数的估计量。

2、掌握用最大似然估计法构造参数的估计量，了解估计量的优良性评判准则。

上述列出的各章内容与要求是本次统考的重点内容和应当达到的合格要求。

当中对所列内容按教学要求的不同，分为两个层次。

属较高要求，应使考生深入领会和掌握，并能熟练应用。

其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。