2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)

2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)

一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 已知全集𝑈={𝑙,2，3，4，5，6}，集合𝐴={𝑙,2，4，6}，集合𝐵={𝑙,3，5}，则𝐴∪(∁𝑈𝐵)=( )

A. {𝑙,2，3，4，5，6} B. {1,2，4，6}

C. {2,4，6} D. {2,3，4，5，6}

2. 把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，当B、D两点距离为a时，二面角𝐵−𝐴𝐶−𝐷的大小为( )

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

3. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为( )

A. 4√3 B. 4√33 C. 8√3 D. 8√33

4. 已知函数𝑓(𝑥)={1−𝑥,𝑥≤0𝑙𝑜𝑔2𝑥,𝑥>0，若关于x的方程𝑓(𝑓(𝑥))=𝑚有两个不同的实数根𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2的取值范围为( )

A. [2,3) B. (2,3) C. [2𝑙𝑛2,4) D. (2𝑙𝑛2,4)

5. 已知实数x，y满足条件{𝑥−𝑦+1≥0𝑦+1≥0𝑥+𝑦+1≤0，那么2𝑥−𝑦的最大值为( )

A. −3 B. −2 C. 1 D. 2

6. 已知随机变量X的分布列如表，则𝐷(𝑋)=( )

X 0 1 3

P 0.2 0.2 y

A. 0.4 B. 1.2 C. 1.6 D. 2

7. 若双曲线𝑥2−𝑦2=2右支上一点(𝑠,𝑡)到直线𝑦=𝑥的距离为2，则𝑠−𝑡的值等于( )

A. 2 B. 2√2 C. −2 D. −2√2 8. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=32，𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛𝑎𝑛+3，则𝑎2019=( )

A. 32020 B. 20203 C. 20193 D. 20213

9. 已知[𝑥]表示不超过x的最大整数，则𝑓(𝑥)=√1−log2[𝑥]的定义域为( )

A. (0,3] B. [0,3) C. (1,3] D. [1,3)

10. “𝛼≠𝛽”是“𝑐𝑜𝑠𝛼≠𝑐𝑜𝑠𝛽”的( )条件．

A. 充分不必要 B. 必要不充分

C. 充要 D. 既不充分又不必要

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

11. 在𝛥𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=√3，𝐴𝐶=1，𝐴=30∘，则𝛥𝐴𝐵𝐶的面积为________________．

12. 若向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ 满足|𝑎⃗ |=8，|𝑏⃗ |=12，则|𝑎⃗ +𝑏⃗ |的最小值是__________．

13. 若函数𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)满足：∀𝑥∈(0,+∞)，均有𝑓(𝑥)>𝑥，𝑔(𝑥)<𝑥成立，则称“𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)关于𝑦=𝑥分离”.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥与𝑔(𝑥)=log𝑎𝑥(𝑎>0，且𝑎≠1)关于𝑦=𝑥分离，则a的取值范围是______．

三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）

14. 已知𝑎,𝑏为正实数，且𝑎+𝑏=2，则2𝑎+1𝑏+1的最小值为 (1) ，(𝑎2+3)(𝑏2+3)的最小值为 (2) ．

15. 在二项式(𝑥−2√𝑥)7 的展开式中，所有项系数之和为 ，含𝑥4的项的系数是 ．

16. 已知定义域为R的奇函数𝑓(𝑥)，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=−(𝑥−1)2+1．

 ①当𝑥∈[−1,0]时，𝑓(𝑥)的取值范围是 (1) ;

 ②当函数𝑓(𝑥)的图像在直线𝑦=𝑥的下方时，x的取值范围是 (2) ．

17. 如图，长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，ABCD是边长为1的正方形，𝐷1𝐵与平面ABCD所成的角为45∘，则棱𝐴𝐴1的长为 ；二面角𝐵−𝐷𝐷1−𝐶的大小为 ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

18. 知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥sin𝜃−1,𝑥∈[−√32,12],𝜃∈[0,2𝜋)．

(1)当𝜃=𝜋6时，求𝑓(𝑥)的最值；

(2)若𝑓(𝑥)是单调函数，求𝜃的取值范围．

19. 如下图，在直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱𝐵1𝐵，𝐷1𝐷，DA的中点．

(1)求证：平面𝐴𝐷1𝐸//平面BGF．

(2)求证：𝐷1𝐸⊥𝐴𝐶．

20. 在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎4+𝑎7+𝑎10=17，𝑎4+𝑎5+⋯+𝑎14=77，求此数列的通项公式．若𝑎𝑘=13，求k的值．

21. 已知抛物线𝑦2=4𝑥上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．

22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+(1−𝑎)𝑙𝑛𝑥+1𝑥(𝑎∈𝑅).

(1)当𝑎=0时，求𝑓(𝑥)的极值；

(2)当𝑎<0时，求𝑓(𝑥)的单调区间．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：∵全集𝑈={1,2，3，4，5，6}，集合𝐴={1,2，4，6}，集合𝐵={1,3，5}，

∴∁𝑈𝐵={2,4，6}，

则𝐴∪(∁𝑈𝐵)={1,2，4，6}．

故选：B．

根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2.答案：D

解析：解：如图，

连接AC，BD交于O，则𝐷𝑂⊥𝐴𝐶，𝐵𝑂⊥𝐴𝐶，

∴∠𝐵𝑂𝐷为二面角𝐵−𝐴𝐶−𝐷的平面角，

∵正方形ABCD的边长为a，则𝐵𝑂=𝐷𝑂=√22𝑎，

在△𝐵𝑂𝐷中，由𝐵𝑂=𝐷𝑂=√22𝑎，𝐵𝐷=𝑎，可得𝐵𝑂2+𝑂𝐷2=𝐵𝐷2，

则∠𝐵𝑂𝐷=90°．

∴二面角𝐵−𝐴𝐶−𝐷的大小为90°．

故选：D．

由题意画出图形，求出二面角𝐵−𝐴𝐶−𝐷的平面角，解三角形得答案．

本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

3.答案：B

解析：

本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．

依据三视图的数据，求出几何体的体积．

解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，

所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33．

故选：B．

4.答案：A

解析：解：函数𝑓(𝑥)={1−𝑥,𝑥≤0𝑙𝑜𝑔2𝑥,𝑥>0，的图象如下：

当𝑚≥1时，𝑓(𝑡)=𝑚，有两个解𝑡1，𝑡2，其中𝑡1≤0，𝑡2≥2，

𝑓(𝑥)=𝑡1有一个解，𝑓(𝑥)=𝑡2有两个解，不符合题意．

当𝑚<0时，𝑓(𝑡)=𝑚，有一个解t，且𝑡∈(0,1)，𝑓(𝑥)=𝑡有一个解，不符合题意．

当0≤𝑚<1时，𝑓(𝑡)=𝑚，有一个解t，且𝑡∈[1,2)，𝑓(𝑥)=𝑡两个不同的实数根𝑥1，𝑥2，符合题意．

可得1−𝑥1=log2𝑥2=𝑡，且𝑡∈[1,2)，

𝑥1+𝑥2=2𝑡−𝑡+1，

令𝑔(𝑡)=2𝑡−𝑡+1，𝑔′(𝑡)=2𝑡𝑙𝑛𝑡−1>0，

故𝑔(𝑡)在[1,2)单调递增，

∴𝑔(𝑡)∈[2,3)．

故选：A．

画出函数𝑓(𝑥)={1−𝑥,𝑥≤0𝑙𝑜𝑔2𝑥,𝑥>0，的图象，可求得当0≤𝑚<1时，𝑓(𝑡)=𝑚，有一个解t，且𝑡∈[1,2)，𝑓(𝑥)=𝑡两个不同的实数根𝑥1，𝑥2，符合题意． 可得1−𝑥1=log2𝑥=𝑡，且𝑡∈[1,2)，𝑥1+𝑥2=2𝑡−𝑡+1，

令𝑔(𝑡)=2𝑡−𝑡+1，利用导数求解．

本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．

5.答案：C

解析：解：由约束条件作出图形：

易知可行域为一个三角形，验证当直线过点𝐴(0,−1)时，

z取得最大值𝑧=2×0−(−1)=1，

故选：C．

先根据约束条件画出可行域，𝑧=2𝑥−𝑦表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．

本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．

6.答案：C

解析：解：由题意0.2+0.2+𝑦=1，所以𝑦=0.6

所以𝐸(𝑋)=1×0.2+3×0.6=2

所以𝐷(𝑋)=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6

故选C．

利用概率和为1，确定y的值，计算出期望，即可求得方差．

本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．

7.答案：B

解析：解：∵双曲线𝑥2−𝑦2=2右支上一点(𝑠,𝑡)到直线𝑦=𝑥的距离为2，

∴𝑑=|𝑠−𝑡|√2=2，

∴|𝑠−𝑡|=2√2．

又P点在右支上，则有𝑠>𝑡，

∴𝑠−𝑡=2√2．

故选B．

根据点到直线的距离公式能够求出𝑠−𝑡的值．

本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．

8.答案：A

解析：

本题考查了数列的通项公式与数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

运用数列的递推公式可得数列{1𝑎𝑛}是以首项为1𝑎1=23，公差为13的等差数列，进而由等差数列的通项公式可求出𝑎2019．

解：∵𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛𝑎𝑛+3⇒1𝑎𝑛+1=13+1𝑎𝑛⇒1𝑎𝑛+1−1𝑎𝑛=13，

∴数列{1𝑎𝑛}是以首项为1𝑎1=23，公差为13的等差数列，

∴1𝑎2019=23+(2019−1)×13=20203，

∴𝑎2019=32020．

故选A．

9.答案：D

解析：

本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键，属基础题．

根据函数表达式建立不等式，结合[𝑥]的定义进行求解即可．

解：要使函数有意义，则1−log2[𝑥]≥0，即log2[𝑥]≤1且[𝑥]>0

得0<[𝑥]≤2，则1≤𝑥<3，

即函数的定义域为[1,3)，