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实验五连续时间系统的复频域分析实验五连续时间系统的复频域分析实验⽬的：1、掌握利⽤Matlab 计算拉普拉斯正反变换的⽅法；2、掌握如何利⽤Matlab 求部分分式展开的系数。
实验原理：1、拉普拉斯正反变换Matlab 的符号数学⼯具箱中提供了计算Laplace 正反变换的函数laplace 和ilaplace ，其调⽤形式分别为：)(f laplace F =和)(F ilaplace f =上述两个式中，右端的f 和F 应分别为系统的时域表⽰式和s 域表⽰式符号表⽰式。
需要注意的是符号数学⼯具箱给出的结果也是解析表达式（其中可以带上尚为未知的参数符号），⽽并⾮⼀般的以向量来表⽰的数值结果。
2、部分分式展开法求拉普拉斯逆变换利⽤Matlab 中的residue 函数可以实现将s 域表⽰式)(s F 的部分分式展开式，其调⽤形式为：),(],,[den num residue k p r =其中，num 和den 分别为)(s F 分⼦多项式和分母多项式的系数向量(num=numerator ，den ＝denominator)，r 为所得部分分式展开项的系数量，p 为极点，k 为直流分量。
如果s s s s s F 342)(23+++=，则num ＝[1 2]；den ＝[1 4 3 0]；运⾏的结果为：r ＝-1/6 -1/2 2/3 p=-3 -1 0 k=[]即得F(s)可以展开为：36/112/13/2)(+-++-+=s s s s F再由基本得Laplace 变换对可知，F(s)得反变换)(t f 为：)(61)(21)(32)(3t e t e t t f t t εεε----=注意：如果分母不是多项式⽽是因⼦相乘的形式，我们可以利⽤conv 函数将其转换为多项式的形式，如分母为)2)(1(++s s ，则den ＝conv([1 1],[1 2])。
实验内容：⼀、利⽤Matlab 程序求)(t f 的Laplace 变换： 1、)()(t t f ε= 程序代码： >> syms t f=heaviside(t); F=laplace(f) 输出结果： F = 1/s2、)()(3t te t f t ε-= 程序代码： >> syms tf=t*exp(-3*t)*heaviside(t); F=laplace(f) 输出结果： F = 1/(s + 3)^23、)()sin()(t at e t f t ε-= 程序代码：>> syms t af=exp(-t)*sin(a*t)*heaviside(t); F=laplace(f) 输出结果： F =a/((s + 1)^2 + a^2)⼆、利⽤Matlab 程序求)(s F 的Laplace 反变换：1、11)(+=s s F 程序代码： >> syms s F=1/(s+1); f=ilaplace(F) 输出结果： f = exp(-t)2、1)(22+=s s s F程序代码： >> syms s F=s^2/(s^2+1); f=ilaplace(F) 输出结果： f =dirac(t) - sin(t) 3、ss s s s F 342)(23+++=程序代码： >> syms sF=(s+2)/(s^3+4*s^2+3*s); f=ilaplace(F) 输出结果： f =2/3 - exp(-3*t)/6 - exp(-t)/2三、⽤部分分式展开法将F(s)的展开，并求其反变换1、23795)(223+++++=s s s s s s F 展开程序代码：反变换代码： >> num=[1 5 9 7]; den=[1 3 2]; [r,p,k]=residue(num,den)>> syms sF=(s^3+5*s^2+9*s+7)/(s^2+3*s+2); f=ilaplace(F)展开结果：反变换结果： r = -1 2 p = -2 -1 k =1 2f =2*exp(-t) - exp(-2*t) + 2*dirac(t) + dirac(1, t)2、)2)(1(532)(223+++++=s s s s s s F 展开程序代码：反变换代码： >> num=[2 3 0 5];den=conv([1 1],[1 1 2]); [r,p,k]=residue(num,den) >> syms sF=(2*s^3+3*s^2+5)/ ((s+1)*(s^2+s+2)); f=ilaplace(F) 展开结果：反变换结果：r =-2.0000 + 1.1339i -2.0000 - 1.1339i 3.0000 + 0.0000i p =-0.5000 + 1.3229i -0.5000 - 1.3229i -1.0000 + 0.0000i k = 2 f =3*exp(-t)+2*dirac(t)-4*exp(-t/2)*(cos((7^(1/2)*t)/2) + (3*7^3、)13()1(2)(23+++-=s s s s s F展开程序代码：反变换代码： >> num=[1 -2]; den=conv(conv([1 1],[1 1]),conv([1 1],[1 3 1]));[r,p,k]=residue(nu m,den)>> syms s F=(s-2)/ ((s+1)^3*(s^2+3*s+1)); f=ilaplace(F) 展开结果：反变换结果： r = -0.4875 5.0000 2.0000 3.0000 -4.5125 p =-2.6180 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -0.3820 k = []f = 5*exp(-t)+2*t*exp(-t)+(3*t^2*exp(-t))/2-5*exp(-(3*t)/2)*(cosh((5^(1/2)*t)/2)+ (9*5^(1/2)*sinh((5^(1/2)*t)/2))/25) 四、已知某线性是不变系统的系统函数为：s s s s s s H 23444)(232++++=求该系统的单位阶跃响应表达式并画出其波形图。
实验5-连续时间系统的复频域分析报告
本实验的目的是研究连续时间系统的复频域分析。
首先，构建了一个由推力继电器组
成的系统，其模型为图1所示。
再将此系统内建模，得到开环传递函数
G(s)=K/[(s+1)(s+1)(s+2)]，其中1为系统参数，s为复频变量。
然后使用MATLAB编程，实现基于Laplace变换计算复频域函数和系统振型，并以一系列频率点绘制系统频率响应
曲线等曲线，从而评估系统性能。
实验结果表明，当系统参数K处于[6.5,9.2]中时，系统的复频响应表现出了各向同
性的性能（图2），表明系统具有更一致的响应特性，并且误差幅值在0.03以内保持稳定，说明系统具有良好的稳定性性能。
此外，系统振型（图3）也说明了系统的稳定性，振型
稳定时间较短，且交叉率较小，说明系统具有良好的稳定性能。
综上，连续时间系统的复频域分析中，MATLAB编程在系统参数K为[6.5,9.2]范围内时，运用Laplace变换和求和函数，成功绘制出系统的复频响应曲线，以及相应的系统振型，从而对系统的复频响应、稳定行为等做出定量性、全面性的评估，为系统运行提供了
可靠的参考。
实验六 连续时间系统的复频域分析一、实验目的：1、熟悉拉普拉斯变换的物理意义及基本性质。
2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI 系统的时域响应的方法。
3、掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布（零、极点图）与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。
4、掌握用MATLAB 语言对系统进行变换域分析的编程方法。
5、掌握用MATLAB 求解拉普拉斯反变换的方法。
二、实验原理：1、连续时间LTI 系统的复频域描述除了时域描述系统的数学模型微分方程以外，描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数（System Function ）”——H (s )：[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲激响应的拉氏变→→=5.1 系统函数H (s )的实质就是系统单位冲激响应h (t )的拉普拉斯变换。
因此，系统函数也可以定义为：⎰∞∞--=dt e t h s H st )()(。
因此求系统函数的方法，除了按照定义式的方法之外，更常用的是对描述系统的线性常系数微分方程经过拉氏变换之后得到系统函数H (s )。
假设描述一个连续时间LTI 系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k k k k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 5.2 对5.2式两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===Mk k k N k k k s X s b s Y s a00)()(即 ∑∑====N k kk M k k k s as b s X s Y s H 00)()()( 5.3 5.3式说明，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI 系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。
由此，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。
实验5 连续时间系统的频域和复频域分析一．实验目的1.掌握和理解连续时间函数系统频率相应、系统函数的概念和物理意义。
2.学习和掌握连续时间系统频域、复频域的分析方法。
3.掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二．实验原理1.连续时间系统的频率响应系统的频率响应定义为：ττωωτd eh j H j -∞∞-⎰=)()(H （ωj ）反映了LTI 连续时间系统对不同频率信号的相应特性，是系统内在固有的特性，与外部激励无关。
H （ωj ）又可以表示为)()()(ωθωωj ej H j H =其中)(ωj H 称为系统的幅度响应，)(ωθ成为系统的相应响应。
对于由下述微分方程描述的LTI 连续时间系统∑∑===Mm m n Nn n n t xb t ya 0)(0)()()(其频率响应H （ωj ）可以表示为下列式子所示的ωj 的有理多项式1110111...)()(...)()()()()(a j a j a j a b j b j b j b X Y j H N N N N M M M M ++++++++==----ωωωωωωωωωMATLAB 的信号处理工具箱提供了专门的函数freqs ，用来分析连续时间系统的频率响应，该函数有下列几种调用格式：[h,w]=freqs(b,a) 计算默认频率范围内200个频率点上的频率响应的取样值，这200个频率点记录在w 中。
h=freqs （b ，a ，w ） b 、a 分别为表示H （ωj ）的有理多项式中分子和分母多项式的系数向量，w 为频率取样点，返回值h 就是频率响应在频率取样点上的数值向量。
[h ，w]=freqs （b ，a ，n) 计算默认频率范围内n 个频率点上的频率响应的取样值，这n 个频率点记录在w 中。
Freqs （b ，a ，……） 这种调用格式不返回频率响应的取样值，而是以对数坐标的方式绘出来系统的频率响应和相频响应。
因而拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法。
拉普拉斯变换分析法和傅里叶变换分析法都是建立在线性非时变系统的齐次性可迭加性基础上的。
只是信号分解的基本单元函数不同。
（1）拉普拉斯变换的数学定义和物理意义（2）拉普拉斯变换的性质及计算方法（3）连续时间系统的复频域分析法（4）系统函数的定义§5.3 拉普拉斯变换的收敛域由上面的讨论可知，连续时间信号f t 的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式F s 是否存在，取决于f t 乘以衰减因子以后是否绝对可积，即：受迫分量自然分量受迫分量自然分量例5-15 图5-18中，已知C1 1F， C2 2F， R 3Ω，初始条件uC1 0 EV，方向如图。
设开关在t 0时闭合，试求通过电容C1的响应电流iC1 t 。
图5-18 （a）时域电路模型 E 图5-18 （b）s域电路模型 3 s s 2 1 s 1 1 s I C uC1 0 C1 1F， C2 2F，R 3Ω初始条件uC1 0 EV s 1 1 s I C 3 s s 2 1 E sin ?ot 例：解： 9、时域卷积定理：若则 10、频域卷积定理：则若其中初值: f t |t 0+ f 0+ 若f t 有初值，且f t ? F s ，则 12、终值定理：终值: f t |t ? f ? 若f t 有终值，且f t ?F s ，则 11、初值定理：注意：终值存在的条件：F s 在s右半平面无极点，在j?轴上单实根极点[F S 1/S]。
当f t 含有冲激及其导数时，有解：§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.7 线性系统的拉普拉斯变换分析方法一、由方程求响应利用拉氏变换求线性系统的响应时，需要首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个s域的代数方程; 由于在变换中自动地引入了系统起始状态的作用，因而求出响应的象函数包含了零输入响应和零状态响应，再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。
实验5连续时间系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MAT1AB实现方法。
2、学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。
3、掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法1、拉普拉斯变换连续时间信号XQ)的拉普拉斯变换定义为拉普拉斯变换定义为X(S)=Γx(t)e-st dt (1)J-‹XJ拉普拉斯反变换定义为x(t)≈-Γr X(s)e s,ds (2)2用J”>在MAT1AB中，可以采用符号数学工具箱的Iap1ace函数和iIap1ace函数进行拉氏变换和反拉氏变换。
1=IaPIaCC(F)符号表达式F的拉氏变换，F中时间变量为t,返回变量为S的结果表达式。
1=Iap1ace(F,t)用t替换结果中的变量s。
F=i1ap1ace(1)以S为变量的符号表达式1的拉氏反变换,返回时间变量为t的结果表达式。
F=iIap1ace(1,x)用X替换结果中的变量t。
除了上述iIap1ace函数，还可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆变换，具体原理如下：当X(S)为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比：X(S)=祟=…+"。
...................... ⑶D(S)a N s+即_科+…+劭式(3)可以用部分分式法展成一下形式X(S)=/一+/一+...+—^ (4)♦Pi s-p2s-p N通过查常用拉普拉斯变换对，可以由式(1-2)求得拉普拉斯逆变换。
利用MAT1AB的residue函数可以将I(S)展成式(1-2)所示的部分分式展开式，该函数的调用格式为：[r,p,k]=residuc(b,a)其中b、a为分子和分母多项式系数向量，r、p、k分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。
2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换HG)=Γh(t)e-s1dt (5)J-OO此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和系统输出信号的拉氏变换之比得到H(S)=Y(S)ZX(S) (6)单位冲激响应反映了系统的固有性质，而"($)从复频域反映了系统的固有性质。
