高二数学期末复习练习10

2013-2014苏州中学高二数学期末复习综合练习十（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题纸的相．．．．．应位置上．．．．. 1. 命题“2,220x R x x ∃∈++<”的否定是_______ _________. 2. 双曲线2241x y -=的焦距长是_____________.3. (理科)若△ABC 的周长为16,顶点A(-3,0)、B(3，0)，则顶点C 的轨迹方程为_________________. (文科) 椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝__________．4. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离心率是 ．5. 已知b a 、表示两条直线，γβα、、表示平面，给出下列条件：①;//,//,,αββαb a b a ⊂⊂②;//,,b a b a βα⊥⊥③;,γβγα⊥⊥④.//,//γβγα 其中能推出βα//的 ．（把所有正确的条件序号都填上） 6. 已知伪代码如下，则输出结果S=____________. i ←0 S←0While i ＜6 i ←i +2 S←S+2iEnd while Print S7. 若椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)P 平分,则此弦所在的直线方程是________________.8. 若命题“∃x R ∈,使2(1)10x a x --+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 .9.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上的三点，若FA FB FC ++=O,则FA+FB+FC=___.10.与双曲线22153x y -=有公共渐进线，且焦距为8的双曲线方程为___________.11. 已知命题p ： 44x a -<-<, 命题q ：(2)(3)0x x -->.若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件, 则实数a 的取值范围是________________.12. 已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为 .13. 如图,已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的长、短轴端点分别为,A B 从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线, 恰好通过椭圆的左焦点1F ,向量AB 与OM 平行.设P 是椭圆上任意一点,12,F F 分别是椭圆的两个焦点, 则12F PF ∠的取值范围是F EG D CB A P14. 设点(,)a b 在平面区域{(,)| ||1,||1}D a b a b =≤≤中均匀分布出现,则椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的离心率e <的概率是____________.二、解答题：本大题共6小题,满分90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=，侧面P AD 是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD ，点G 为AD 的中点. （1）求证：BG ⊥面P AD ；（2）E 是BC 的中点，在PC 上求一点F ，使得PG //面DEF ．16.已知函数f （x ）是R 上的单调增函数，且a ，b 0--.R a b f a f b f a f b ∈+≥+≥+，若，则（）（）（）（） 判断其逆命题的真假，并证明你的结论.17．为了让学生了解2014南京“青奥会”知识，某中学举行了一次“青奥知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002， (799)试写出第二组第一位学生的编号；（2）填充频率分布表的空格，并作出频率分布直方图；（3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？18. 已知椭圆C: 22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为35,短轴的一个端点到右焦点的距离为5.（1）求椭圆的标准方程；（2）若“椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b 时，则椭圆的面积是ab π.”请针对⑴中求得的椭圆，求解下列问题：①若,m n ∈是实数,且||5,||4m n ≤≤，求点(,)P m n 落在椭圆内的概率；②若,m n ∈是整数,且||5,||4m n ≤≤，分别求点(,)P m n 落在椭圆外的概率 及点(,)P m n 落在椭圆上的概率.Ｍ19．(文科)如图,A 村在B km 处,C 村与B 地相距4km ,且在B 地的正东方向.已知环形公路PQ 上任意一点到B 、C 的距离之和都为8km ,现要在公路旁建造一个变电房M (变电房与公路之间的距离忽略不计)分别向A 村、C 村送电.⑴试建立适当的直角坐标系求环形公路PQ 所在曲线的轨迹方程；⑵问变电房M 应建在A 村的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线最少?并求出最小值.19.(理科)在三棱锥ABCD AC=2， （1）求DC 与AB （2）在平面ABD 上求一点P20． 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e 的值；（2）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围； （3）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，问当点P 在椭圆上运动时，2222a b ONOM+是否为定值？请证明你的结论．ABCD参考答案一、填空题：1.2,220.x R x x ∀∈++≥2. 3.221(0)2516x y y +=≠4. 5.②④ 6. 56 7.280x y +-= 8.13a -≤≤ 9.6 10.222211106610x y y x -=-=或 11.[-1,6] 12. 72 13.[0,]2π 14.116二、解答题：17. 解：（1）编号为016； --------------------------3分 （2）① 8 ② 0.20 ③ 14 ④ 0.28------------------------9分（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，占样本的比例是160.3250=，即获二等奖的概率约为32%， 所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人。

高二数学期末复习测试10一、填空题（3*12=36分）1、两异面直线所成角大小的取值范围是_________。

2、若复数i x x z )12()1(-+-=的模小于10，则实数的取值范围是_________。

3、已知2184182+-=x x C C ，则x 的值为 。

4、正三棱锥底面边长为4cm ，侧棱长为3cm ，则其体积为__________。

5、已知复数z 满足1=z ，则复数i z --1的模的取值范围是 。

6、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 。

7、在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数，则至少取出2个奇数的概率是 。

8、已知北纬︒45线上有A 、B 两地，且A 地在东经︒30线上，B 地在西经︒60线上，设地球半径为R ，则A 、B 两地的球面距离为 。

9、设n n n x a x a x a a x x x ++++=++++++ 22102)1()1()1(，若254210=++++n a a a a ，则正整数n = 。

10、圆5)2(22=++y x 绕直线02=--y kx 旋转一周所得的几何体的体积为_________。

11、已知二面角βα--l 内一点P 到平面βα,和直线l 的距离分别为4222,,，则二面角大小是 。

12、从集合{}d c b a U ,,,= 的子集中选出4个不同的子集，且必须同时满足以下两个条件： ①U ,φ都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ⊆或A B ⊆。

那么共有________种不同的选法。

二、选择题（3*5=15分）13、对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得（ ）A ．αα⊂⊂b a ,B ．b a ,α⊂∥αC ．αα⊥⊥b a ,D ．αα⊥⊂b a ,14、集合}3,1{},,)65()13(,2,1{22-=∈--+--=N R m i m m m m M ，若∅≠N M ，则=m （ ）A ．0或3B ．1-或3C ．1-或6D ．1-15、n n n n n C C C C 22624222++++ 的值为（ ）A.n 2B.122-nC. 12-nD. 1212--n 16、已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（ ） A ．a b )12(-= B ．a b )12(+= C ．2)22(a b -=D ．2)22(a b += 17、如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E 、F ， 且EF ＝12，则下列结论中错误的是 ( ) A ．AC⊥BE B ．EF∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等三、解答题（8+8+9+12+12=49分）18、已知复数)()6()23(22R m i m m m m z ∈-+++-=；（1）若z 是实数，求m 满足的条件；（2）若z 是纯虚数，求m 满足的条件。

常熟市浒浦高级中学 高二数学期末复习（10）综合卷（4） 期末考试倒计时：8天姓名：____________1．已知复数()0,,≠∈+=x R y x yi x z 且32=-z ，则xy的范围为_____________． 2．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程21x m -＋22y m-＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________． 3．观察下列等式 1=1 2+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为 ．4．某校高三年级从2名教师和4名学生中选出3人，分别组建成不同的两支球队进行双循环师生友谊赛.要求每支球队中有且只有一名教师,则不同的比赛方案共有 种.5．52()x x+的二项展开式中，3x 的系数是__________（用数字作答）．6．一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能正确回答每题的概率均为23,规定有两次回答正确即通过面试,那么该生“通过面试”的概率为 .7．在三棱锥BCD A -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射 影为BCD ∆的中心， 若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为BCD A -外接球的表面积为__________．8．在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为AC 与BD ,则四边形9．已知直线:l 22(1)440mx m y m +---=，若对任意m ∈R ，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为 ．10．如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线xy 82=及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________.11．已知()21211nnn x a x a x a x +=++++，n N *∈且122n n S a a na =+++，n N *∈，当3n =时，3S = ； 当n N *∈时，1ni i S ==∑ .12．形如1(0)x y x x =>的函数称为“幂指型函数”，它的求导过程可概括成：取对数——两边对x 求导——代入还原；例如：(0)x y x x =>，取对数ln ln y x x =，对x 求导1l n 1y x y'=+，代入还原(ln 1)x y x x '=+；给出下列命题: ①当1α=时，函数1(0)x y x x α=>的导函数是()121ln 0x xy x x x-'=⨯>；②当0α>时，函数1(0)x y x x α=>在10,e α⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,e α⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减；③当11e b e α>时，方程()0,1,0,0x b x b b x αα=>≠≠>有根；④当α<时，若方程()log 0,1,0b x x b b x α=>≠>有两根，则11eeb α<<；其中正确的命题是13．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 02＋2ax 0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a 的取值范围．14．在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转45︒的变换R 所对应的矩阵为M ,T 所对应的矩阵为N ． （1）求矩阵M 的逆矩阵1M-；（2）求曲线1xy =先在变换R 作用下，然后在变换T 作用下得到的曲线方程．15．如图,四棱柱1111A B C DA B C D -中,1DD ABCD ⊥底面.ABCD 为平行四边形,60DAB ∠=︒, 12 2.3AB AD DD ===, ,E F 分别是AB 与1D E 的中点.(1)求证:CE DF ⊥;(2)求二面角A EF C --的平面角的余弦值.16．在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ,抛物线C 的方程为y x 42=,线段AB 是抛物线C 的一条动弦．(1)求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ; (2)若4-=⋅,求证：直线AB 恒过定点；(3)当8=AB 时，设圆)0)1(:222>=-+r r y x D （,若存在且仅存在两条动弦AB ,满足直线AB 与圆D 相切，求半径r 的取值范围？C 1CA 117．湛江为建设国家卫生城市，现计划在相距20 km的赤坎区（记为A）霞山区（记为B）两城区外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对市区的影响度与所选地点到市区的距离有关，对赤坎区和霞山区的总影响度为两市区的影响度之和，记C点到赤坎区的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为4；对霞山区的影响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在AB的中点时，对两市区的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到赤坎区的距离；若不存在，说明理由．18．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点在x()0,2．（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的长轴为直径作圆O，设T为圆O上不在坐标轴上的任意一点，M为x轴上一点，过圆心O作直线TM的垂线交椭圆右准线于点Q．问：直线TQ能否与圆O总相切，如果能，求出点M的坐标；如果不能，说明理由．参考答案1．⎡⎣【解析】试题分析：因为32=-z 表示以(2,0)Cx y表示圆上的点到坐标原点连线的斜率,所以x y的范围为过原点作圆的两切线斜率之间，即[tan(60),tan 60]3,.⎡-=-⎣考点：复数几何意义 2．[13，38] 【解析】由a>0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a<m<4a ，即命题p ：3a<m<4a ，a>0.由21x m -＋22y m -22y m-＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m>m －1>0，解得1<m<32，即命题q ：1<m<32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以31342a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩或31342a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩解得13≤a≤38，所以实数a 的取值范围是[13，38]． 3．5+6+7+8+9+10+11+12+13=81 【解析】试题分析：根据题意，观察等式的左边，分析可得规律：第n 个等式的左边是从n 开始的（2n ﹣1）个数的和，进而可得答案． 解：根据题意，观察可得，第一个等式的左边、右边都是1，第二个等式的左边是从2开始的3个数的和， 第三个等式的左边是从3开始的5个数的和， …其规律为：第n 个等式的左边是从n 开始的（2n ﹣1）个数的和，第五个等式的左边应该是从5开始的9个数的和，即5+6+7+8+9+10+11+12+13，计算可得，其结果为81；故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．点评：本题考查归纳推理，解题时要认真分析题意中的等式，发现其变化的规律，注意验证即可． 4．12【解析】首先把两名教师分成甲乙两组,仅有一种方案.然后从4名学生中选两名加入甲组组成一支球队,其余两名加入乙组组成另一支球队,共有种方案.由于比赛实行双循环制,两支球队共比赛两场.根据乘法计数原理,不同的比赛方案共有1××2=12种5．10 【解析】试题分析：52()x x +的二项展开式的通项为5521552()(2)r r r r r rr T C x C x x--+==，则当3x 时，1r =，3x 的系数为115(2)10C =考点：二项展开式的通项 6．2027【解析】试题分析：有已知条件可知分为三类情况：第一次第一次答对的概率为224339⨯=； 第一次答对第二次答错第三次答对的概率为212433327⨯⨯=； 第一次答错第二次答对第三次答对的概率为122433327⨯⨯=；那么该生“通过面试”的概率为 444202727927++=，故答案为2027. 考点：相互独立事件的概率. 7．π6 【解析】试题分析：设M 是BCD ∆中心，即AM ⊥面BCD ，∴AEM ∠是AE 与面BCD 所成角，EM 是BCD ∆的内切圆半径r ，01164sin 6022BCD S r ∆=⨯=⨯，3r EM ==，在Rt AEM ∆中，tan AEM ∠==，∴AM =， 三棱锥BCD A -外接球球心O 在AM 上，在Rt ODM ∆中，OM R =-，022sin 60MD =，即MD =222)R R +=，即R =，即246S R ππ==球. 考点：勾股定理、三棱锥的外接球的表面积. 8．【解析】点(0,1)E 在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦与最短弦分别为圆的直径及与该直径垂直的弦.如图所示AC 为直径，BD 是与AC 垂直的弦，由1101312BD AC k k -=-=-=--得，直线BD 的方程为112y x =-+，由圆的几何性质得，BD ====.所以答案应填：考点：1、圆的几何性质；2、直线的斜率与方程；2、点到直线的距离. 9．()()22224x y -+-= 【解析】试题分析：取特殊值0,1m m ==±，三条直线分别为4,4,0y x x ===，这三条直线只与圆22(2)(2)4x y -+-=都相切，经验证，对任意m R ∈，直线l 都与这个圆相切.考点：圆的切线. 10．()8,12. 【解析】试题分析：易知圆()22216x y -+=的圆心坐标为()2,0，则圆心为抛物线28y x =的焦点，圆()22216x y -+=与抛物线28y x =在第一象限交于点()2,4C ，作抛物线28y x =的准线2x =-，过点A 作AD 垂直于直线2x =-，垂足为点D ，由抛物线的定义可知AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点()6,0时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值为4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<，因此FAB ∆的周长的取值范围是()8,12.11．12；()121nn -⋅+.【解析】试题分析：在等式()21211nn n x a x a x a x +=++++两边求导得()111212n n n n x a a x na x --+=+++，令1x =得，11222n n n S a a na n -=+++=⋅，所以233212S =⨯=，011112222nn i i S n -==⨯+⨯++⋅∑，令01112222n n T n -=⨯+⨯++⋅，则()11212122n n n T n n -=⨯++-⋅+⋅，下式-上式，得()()0111111222222222212n n n nn nn T n n n ---=----+⋅=⋅-+++=⋅--()()221121nnnn n =⋅--=-⋅+，()1121nn i i S n =∴=-⋅+∑.考点：1.导数；2.错位相减法求和 12．①②④ 【解析】试题分析：对①，当1α=时，函数1(0)x y x x α=>即为1xy x =，两边取对数得1ln ln y x x=，两边求导得21ln 1x x x y y x ⨯-'⨯=，将1xy x =代入即得()121ln 0x x y x x x-'=⨯>；正确. 对②，当0α>时，函数1(0)x y x x =>两边取对数得ln ln xy x α=，两边取对数得11211ln 1(1ln )x x x x x x y y x y x x αααααα-+⨯-''⨯=⇒=-.由1ln 0x α->得1x e α<，所以1(0)x y x x α=>在10,eα⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增，在1,e α⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减，正确； 对③，由x b x α=得ln ln ln ln ,bx x b x x αα==.令ln x y x =，则21ln 0xy x e x-'=>⇒<，所以ln 1x x e ≤.所以当ln 1b e α≤时，x b x α=有解.由ln 1b eα≤得11e b e α≤，故③错； 对④，由log b x x α=得ln ln xb x α=.令ln ()x f x x α=，则1211ln 1ln ()x x x xx f x x x αααααα-+⨯--'==.因为0α<，所以ln ()x f x x α=在10,e α⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在1,e α⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增，1ln 1()()x f x f e x e ααα=≥=.所以当1ln b e α>时，若方程()log 0,1,0b x x b b x α=>≠>有两根.由1ln b eα>得，1e b e α>.又结合图象易得，当1b >时方程()log 0,1,0b x x b b x α=>≠>只有一个根，所以11eeb α<<.考点：新定义及导数的应用. 13．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a)(x ＋a)＝0， ∴x ＝2a或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时|2a|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足x 02＋2ax 0＋2a≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∵命题“p∨q”为假命题，∴p 假q 假，∴|a|>2，∴a>2或a<－2. 即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．（1）2222⎡⎢⎢⎢-⎢⎣⎦;（2）224y x -= 【解析】 试题分析：（1）在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转45︒的变换R 所对应的矩阵为M .所以由旋转变换得到的公式即可求得矩阵M.再根据逆矩阵求出结论.（2）将每个点横、T 所对应的矩阵为N ,由于曲线1xy =先在变换R 作用下，然后在变换T 作用下得到的曲线方程.所以1111NM -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.所以在曲线1xy =上任取一点,通过NM 的变换即可得到结论.（1）2222M -⎢⎥=⎥⎢⎥⎣⎦，1M =，1122222222M M -⎡⎡⎢⎢⎢⎢∴==⎢⎢--⎢⎢⎣⎦⎣⎦． 4分（2）00N ⎤=⎢⎣，M ⎥=⎥⎥⎦， 1111NM -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x y y x y '=-⎧∴⎨'=+⎩⇒22x y x x y y ''+⎧=⎪⎪⎨''-+⎪=⎪⎩代入1xy =中得：224y x ''-=． 故所求的曲线方程为：224y x -=． 7分 考点：1.矩阵的逆.2.曲线通过矩阵变换. 15．(1)见解析(2) 13-【解析】试题分析：(1) 先证明△ADE 为正△，再利用余弦定理可求CE ，然后证明出CE ⊥DE ，CE ⊥DD 1 ，最后得到CE ⊥平面DD 1E, 即可证明出CE ⊥DF. (2)先建立以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,然后根据点坐标求出法向量(0,m =-，(3,n =-，再利用夹角公式求出二面角A EF C --的平面角的余弦值cos θ=. (1)AD=AE, ∠DAB=60° ∴△ADE 为正△ 在△CDE 中,由余弦定理可求又22212+=.由勾股定理逆定理知CE ⊥DE又DD 1⊥平面ABCD, CE ⊂平面ABCD. ∴CE ⊥DD 1 ∴CE ⊥平面DD 1E, 又DF ⊂平面DD 1E. ∴CE ⊥DF.(2)以直线AB, AA 1分别为x 轴,z 轴建立空间直角坐标系,由题设A(0,0,0), E(1,0,0), D 1(12), C 5(2 可求平面AEF的一个法向量为(0,m =- 平面CEF的一个法向量为(3,n =- ∴平面角θ满足||130|cos |||||m n m nθ⋅== 又θ为纯角 ∴cos θ=注:本题(1)也可建坐标直接证明.(2)的坐标系建法不唯一.考点：余弦定理；勾股定理逆定理；线面垂直的性质与判定定理；法向量；夹角公式. 16．（1）准线方程：1y =-，焦点坐标(0,1)F ；（2）证明见解析；（3）3r >. 【解析】试题分析：（1）根据抛物线标准方程确定焦点在哪个轴上及开口方向，焦点为(0,1)，准线方程为1y =-；（2）本题实质是直线与抛物线相交问题，一般是设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立方程组，消去y 可得2440x kx b --=，再设1122(,),(,)A x y B x y ，则有124x x k +=，124x x b =-，而1212O AO B x x yy ⋅=+，把刚才求出的1212,x x x x +代入可得,k b的关系，本题中求得2b =为常数，因此直线AB A 一定过定点(0,2)；（3）由（2）利用8AB =可求出,k b的关系式，12AB x x =-8=2=，而直线AB 与圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r，即r d ===，由题意，作为关于k 的方程，此方程只有两解，设1t =，则有34r tt =-，由于34()f t t t =-在1t ≥时是减函数，且0f =，即函数34r t t=-在1t ≤≤时递减(03)r <≤，在t ≥(0)r >，因此为了保证k 有两解，即t 只有一解，故要求3r >.（1）准线方程：1-=y +2分 焦点坐标：)1,0(F +4分 （2）设直线AB 方程为b kx y += ,),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=+=yx b kx y 42 得 0442=--b kx x ⎩⎨⎧-==+∴b x x k x x 442121 +6分 4162221212121-=+=+=⋅xx x x y y x x 821-=∴x x 84-=-∴b +8分2=b 直线 2+=kx y 过定点（0，2） +10分（3）81616122=++=b k kAB 2122=++b k k +12分r k b d =+-=211 +14分 1114222+--+=k k k r 令112≥+=k tt tr -=34当21<≤t 时， t t r -=34单调递减，30≤<r +15分 当2>t 时， 34tt r -=单调递增，0>r +16分 k 存在两解即t 一解 3>∴r +18分考点：（1）抛物线的性质；（2）直线与抛物线相交问题；（3）圆的切线的条数与方程的解. 17．（1）2249(020)400y x x x =+<<-；（2）116.【解析】试题分析：（1）根据条件中描述：垃圾处理厂对赤坎区的影响度与所选地点到赤坎区的距离的平方成反比，比例系数为4；对霞山区的影响度与所选地点到霞山区的距离的平方成反比，比例系数为k ，而y 表示建在C 处的垃圾处理厂对两市区的总影响度为y ，因此可设224400k y x x =+-，根据题意当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对两市区的总影响度为0.065可求得k 的值；（2）由(1)，2249(020)400y x x x =+<<-，可求得422322188(400)'(400)x x y x x --=-，进而可以得到y 的在(0,20)上的单调性，从而求得y 的最小值.(1)如图，由题意知AC ⊥BC ，AC ＝x km ，则22400BC x =-，224(020)400k y x x x =+<<- 2分由题意知，当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，即当x =时，y ＝0.065，代入224400ky x x =+-得k ＝9.所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x=+<<-． 6分； （2）由于2249400y x x =+-，∴422322322809-2x 188(400)'(400)(400)x x y x x x x -⋅--=-+=--（） 8分令'0y =得x =或x =-舍去)， 9分当0x <<时，422188(400)x x <-，即'0y <，此时函数为单调减函数；当20x <<时，422188(400)x x >-，即'0y >，此时函数为单调增函数 12分所以当0x =时，即当C 点到赤坎区的距离为时，函数2249(020)400y x x x =+<<-有最小值116f = 14分.考点：1、具体情境下函数解析式的求解；2、利用导数判断函数的单调性求最值. 18．(1) 22194x y +=；（2）能，点M . 【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，一般要找到两个条件，本题中有离心率为3，即3c a =，另外椭圆过点(0,2)，说明2b =，这样结论易求；（2）存在性命题，问题假设存在，设(,0)M c ，再设00(,)T x y ，首先有000x y ≠，22009x y +=，00TM y k x c=-，于是00OQ x ck y -=-，写出直线OQ 方程为00x c y x y -=-，让它与椭圆右准线相交，求得0Q ，TQ 与圆O 相切，则有TQ OT ⊥，即1TQ OTk k =-，这是关于00,x y 的恒等式，由此利用恒等式的知识可求得c =c ，说明假设错误，M 不存在.（1）设椭圆方程为22221(,0)x y a b a b+=>，因为经过点()0,2，所以，2b =，又因为c e a ==,3c a x =，所以，222244b a c x =-==，即1x =， 所以椭圆的标准方程为22194x y +=． 6分（2）存在点M 7分设点00(,)T x y ，(,0)M c ，因为T 在以椭圆的长轴为直径作圆O 上，且不在坐标轴上的任意点， 所以 000x y ≠且22009x y +=，又因为00TM y k x c=-， 由OQ TM ⊥，所以，00OQ x c k y -=-，所以直线OQ 的方程为0x cy x y -=-， 10分因为点Q在直线x上，令x=，得y=即Q， 12分所以TQyk)259x x c-+-=，又0OTykx=，TQ与圆O总相切，故OT TQ⊥，于是有1OT TQk k⋅=-，TQxky=-)259x x c xy-+-=-恒成立，解之可得c，即存在这样点M，使得TQ与圆O总相切． 16分考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆、圆的综合性问题.。

海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

高二上学期数学期末复习练习十1、给出命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若,a b c d a c b d ≠≠+≠+且则”.对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.4个2.在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率是（ ） A.23B. 5C.23 或 25 D. 23或5 4．若)9,2,1(),3,1,2(y x -==，且//，则A ．1,1==y xB ．21,21-==y x C ．23,61-==y x D ．23,61=-=y x 5．已知,06165:,09:22>+->-x x q x p 则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．在平行六面体ABCD A B C D ''''-,O '是上底面的中心，设=a ,= AD b ,'=AA c ,则AO ' =A ．c b a 212121++ B ．c b a ++2121 C ．++21 D ． ++217．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM →＝4MB →，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋16y 2＝64 B ．16x 2＋y 2＝64 C ．x 2＋16y 2＝8 D ．16x 2＋y 2＝8 9．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1y的最小值为 A ．2B.32 C ．1＋223D ．3＋2 2 10．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C A =，则ca的取值范围是(A)(B)1,（(C)2） (D)1,2（）11．若不等式012≥++ax x 对于一切)21,0(∈x 成立，则a 的最小值是 （ ）A.0B.-2C. 25- D.-312. 设P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1(a ＞0 ,b ＞0)上的点，F 1、F 2是焦点，双曲线的离心率是54 ，且∠F 1PF 2＝90°，△F 1PF 2面积是9，则a + b ＝ A. 4 B. 5 C. 6D. 7PDCBA13．设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+113y y x y x ,则目标函数y x z 24+=的最大值为14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的方程为 . 15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列， 030B =，ABC ∆的面积为32，则b =16．已知数列｛n a ｝满足⎪⎩⎪⎨⎧-=+.(,2a (,21为奇数）为偶数），n n n nn a n a a a 若13=a ，则1a 的所有可能的取值为 17．已知命题p ：关于x 的不等式01)1(2≤+-+x a x 的解集为空集φ；命题q ：函数xa y )1(-=为增函数，若命题q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求实数a 的取值范围. 18．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为abc 、、且bcB A 2tan tan 1=+. （1）求角A ；（2）已知6,27==bc a ，求b c +的值. 19.已知函数9()(3)3f x x x x =+>- （I ）求函数()f x 的最小值； （II ）若不等式()71tf x t ≥++恒成立，求实数t 的取值范围。

高二数学期末复习练习题Revised by Petrel at 2021高二数学期末复习练习题（文科）班级 姓名 学号一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）1.在等差数列}{n a 中，已知前15项和为9015=S ，那么8a =（ ）2.满足条件︒===45,23,4A b a 的△ABC 的个数是（ ）A.一个B.两个C.无数个D.不存在3.“0≠k ”是“方程b kx y +=表示直线”的（ ）条件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4.动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则动圆必过点（ ）A.)0,4(B.)0,2(C.)2,0(D.)2,0(-5.若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于（ ） D.21 6.数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足1322+-=n n S n ，则1054a a a +++ 等于（ ）7.已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为（ ） C.22 D.238.在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且有C b a cos 2=，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形9.函数)1()(2x x x f -=在]1,0[上的最大值为（ ） A.932 B.922 C.923 D.83 10.若椭圆)1(1222>=+m y m x 和双曲线)0(1222>=-n y nx 有相同的焦点1F 、P F ,2是两条曲线的一个交点，则△PF 1F 2的面积是（ ）C.1210- 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）11.命题“相似三角形的面积相等”的否命题是 ，它的否定是 ；12.若△ABC 面积)(341222a c b S -+=，则A= ； 13.不等式11<-x ax 的解集为}2,1|{><x x x 或，则a 的值为 ； 14.给出平面区域如图，若使目标函数(>+=a y ax z 取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为 .三、解答题（共6题，共80分） 15.(12分)已知函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图像都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.16.(14分)命题甲：关于x 的不等式0)1(22≤+-+a x a x 的解集为；命题乙：函数 x a a y )2(2-= 为增函数. 分别求符合下列条件的实数a 的取值范围.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.17.(12分)已知△ABC 中，.552cos ,10,45==︒=∠C AC B (1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长.18.(14分)已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图像过点)2,0(P ，且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为.076=+-y x(1)求函数)(x f y =的解析式；(2)求函数)(x f y =的单调区间.19.(14分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15. 本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元 .写出n a ，n b 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？20.(14分)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与直线01=-+y x 相交于P 、Q 两点，且 OQ OP ⊥（O 为原点）. (1)求证2211ba +等于定值； (2)当椭圆离心率]22,33[∈e 时，求椭圆长轴长的取值范围. 【答案】（供参考） 1～10 CBBBA DCAAD11 .若两个三角形不相似，则它们的面积不相等 ；相似三角形的面积不相等 ； 12.6π ; 13. 21 ; 14.53 ; 15. k 的取值范围是)19,1[. 16.(1)),31()21,(+∞--∞ ; (2))21,1[]1,31(-- . 17.(1)23=BC ; (2)13=CD .18.(1)233)(23+--=x x x x f ; (2)在)21,(--∞及),21(+∞+上递增； 在)21,21(+-上递减. 19.(1)454000[1()],1600[()1]54n n n n a b =-=- ；(2) 5n ≥ 20.(1)21122=+ba ；(2)]6,5[. 增城中学 沈金荣2006-10-16。

2022-2023学年度第一学期期末练习题年级：高二 科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知直线l 1：ax −y −1=0，l 2：ax +(a +2)y +1=0. 若l 1⊥l 2，则实数a =( )A. −1或1B. 0或1C. −1或2D. −3或22. 在832()x x-的展开式中，常数项为 ( )A. −112B. 112C. −1120D. 11203. 已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( )A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±4. 如图，在四面体ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )等于 ( ) A. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. FA⃗⃗⃗⃗⃗ C. AF ⃗⃗⃗⃗⃗D. EF⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )A. 两条不重合直线l 1，l 2的方向向量分别是a =(2,3,−1)，b =(2,3,1)，则l 1//l 2B. 直线l 的方向向量为a =(1,−1,2)，平面α的法向量为u =(6,4,−1)，则l ⊥αC. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u =(2,2,−1)，v =(−3,4,2)，则α⊥βD. 直线l 的方向向量a =(0,3,0)，平面α的法向量是u =(0,−5,0)，则l//α6. 1a >“”是“直线1y ax =-的倾斜角大于4π”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1AC 上运动时，异面直线BP 与AD 1所成角的取值范围是( )A. [,]64ππB. [,]63ππC. [,]43ππD. [,)32ππ8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点，若，则的面积为（ ） A ．BC ．D．9. 已知22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅ 最小时，直线AB 的方程为( ) A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=10．点P 在直线:(0)l y x p p =+>上，若存在过P 的直线交抛物线22(0)y px p =>于,A B 两点，且2||||PA AB =，则称点P 为“M 点”，那么下列结论中正确的是( )A ．直线l 上的所有点都是“M 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“M 点”C ．直线l 上的所有点都不是“M 点”D ．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“M 点”24y x =F ,A B O 3AF =AOB ∆22二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为()A. B. C. D.2.已知数列的前n项和为，且，，则()A. B. C.1 D.33.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.若，则()A.2B.3C.4D.54.已知椭圆的焦点在x轴上，则m的取值范围是()A. B. C. D.5.如图，在四面体OABC中，，，点M在OC上，且，N为AB 的中点，则()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上.若，则的面积为()A.2B.4C.8D.97.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，且表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则()A.40B.80C.96D.1128.已知点P在由直线，和所围成的区域内含边界运动，点Q在x轴上运动.设点，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱上一动点.给出下列四个结论：①存在点F，使得平面；②直线EF与所成角的最大值为；③点到平面的距离为；④点到直线的距离为其中所有正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.410.过双曲线的右焦点F引圆的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知向量，，若与共线，则__________.12.双曲线的渐近线方程为__________.13.已知等差数列的前n项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点Q在圆上运动，当取最大值时，PQ 的长为__________.15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。