人教A版高二上学期数学期末综合测试卷(含答案)

2021年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案一、 选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、已知、为实数,则是的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.5，如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．326、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.37、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=09、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.; B.; C.; D..10、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.; C.4cm; D.8cm 。

2022-2023学年高中高二上数学期末试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知数列满足，且，则 A.B.C.D.2. 当时，式子的值是（ ）A.B.C.D.3. 在空间有三个向量、、，则 A.B.C.D.4. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是( )A.B.{}a n =1a 1=a n a n+12n +=a 12a 21()1086108812801536m =−12m +3−1012AB −→−BC −→−CD −→−++=(AB −→−BC −→−CD −→−)AC −→−AD −→−BD −→−0→+−4x −4y −10=0x 2y 2x +y −14=036186–√C.D.5. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（ ）A.B.C.D.6. 已知过点且与两坐标轴都有交点的直线与圆相切，则直线的方程为A.B.C.或D.或7. 已知椭圆的左、右焦点分别为过 的直线与椭圆交于，两点．若，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.8. 已知数列，欲使它的前项的乘积大于，则的最小值为（ ）A.62–√52–√121323131656P (2,2)l 1+=1(x −1)2y 2l 1( )3x −4y +2=04x −3y −2=03x −4y +2=0x =24x −3y −2=0x =2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2F 1F 2F 2C A B |AB|=||,|A|=|B|F 1F 2F 112F 1C 1+145−−−√20−1145−−−√20−1145−−−√181+145−−−√18{}n +2n n 36n 7B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是( )A.的焦点在轴上B.C.的实轴长为D.的离心率为10. 以下结论不正确的是（ ）A.对立事件一定互斥B.事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率C.事件与事件互斥，则有D.事件，满足，则，是对立事件11. 在正方体中，过作一垂直于直线的平面交平面于直线，动点在直线上，则下列选项正确的是（ ）A.B.．C.点到平面的距离等于线段的长度D.直线与直线所成角的余弦值的最大值是12. 已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，的斜率为，且，，两点在轴上方. 则下列结论中一定成立的是 A.B.四边形面积最小值为C.8910E :−=1(m >0)x 2m y 24x +3y =0E x m =49E 6E 10−−√3A B A A B P (A)=1−P (B)A B P (A)+P (B)=1A B ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C B 1ADD 1A 1l M l C//l B 1C ⊥l B 1M BCC 1B 1AB M B 1CD 5–√3F =2px (p >0)y 2AB CD F AB ⊥CD AB k k >0C A x ()⋅=−OC −→−OD −→−34p 2ACBD 16p 2+=1|AB|1|CD|12p |AF|⋅|BF|=42−–√D.若，则直线的斜率为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，两人下成和棋的概率为，则乙不输的概率为________．14. 圆与圆的位置关系为________.15. 设数列满足，则________.16. 设平面向量则________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知数列的前项和，是递增等比数列，且，．求数列和的通项公式；若，求数列的前项和 18.某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第组第组第组第组第组分别求出,，，，的值；根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；|AF|⋅|BF|=4p 2CD −3–√1312：++2x +8y −8=0C 1x 2y 2：+−4x +4y −8=0C 2x 2y 2{}a n +3+⋯+(2n −1)=2n a 1a 2a n =a n {}a n n =(n ∈)S n n 2N ∗{}b n =b 1a 1=b 3a 5(1){}a n {}b n (2)=⋅(n ∈)c n a n b n N ∗{}c n n .T n 15∼65n 1[15,25)a 0.52[25,35)18x 3[35,45)b 0.94[45,55)90.365[55,65)3y(1)n a b x y (2)(3)若第组回答正确的人员中，有名女性，其余为男性，现从中随机抽取人，求至少抽中名女性的概率.19. 已知圆经过 ，并且圆心在直线 上.求圆的标准方程；过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程.20. 在四棱锥中， 平面，底面是边长为的菱形， ，是的中点．求证：平面平面；若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．21. 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，右焦点为，且的面积为， . 求的方程；过点的直线（不与轴重合）交椭圆于，两点，轴上存在点满足，求点纵坐标的取值范围 .22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(3)1221C A (2,1),B (−2,−3)C 2x +y =0(1)C (2)D(3,−1)l C M,N |MN|=26–√l P −ABCD PD ⊥ABCD ABCD 2∠DAB =60∘E AD (1)PBE ⊥PAD (2)PB PAD 30∘C −PE −D C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2,A 1A 2B F △B A 1A 242–√⋅=−4B A 1−→−B A 2−→−(1)C (2)F l x C M N y P |PM|=|PN|P F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】数列递推式【解析】利用递推式逐步求解即可．【解答】解：因为 所以令时， ,所以, .故选．2.【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.=,a n a n+12n ⋅=,a n+1a n+22n+1=2,a n+2a nn =1=2,a 1a 2=2a 2=2×==64a 122526=1×=1024,a 21210+=64+1024=1088a 12a 21B【答案】B【考点】空间向量的加减法【解析】首先根据题意作图，然后由三角形法则，即可求得向量 、、的和向量．【解答】解：如图：．故选．4.【答案】C【考点】直线与圆相交的性质点到直线的距离公式【解析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．【解答】解：圆的圆心为，半径为，圆心到到直线的距离为，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.故选．5.【答案】A【考点】互斥事件的概率加法公式AB −→−BC −→−CD −→−++=+=AB −→−BC −→−CD −→−AC −→−CD −→−AD −→−B +−4x −4y −10=0x 2y 2(2,2)32–√x +y −14=0=5>3|2+2−14|2–√2–√2–√2R =62–√C相互独立事件的概率乘法公式【解析】对立事件的概率之和为，相互独立事件的概率用乘法法则．【解答】解：∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为，∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为．故选．6.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，代入直线方程即可.【解答】解：由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即.因为直线与圆相切，则，解得，故直线方程为，即.故选.7.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理1(1−)×(1−)=1213131−=1323A l 1l 1y −2=k(x −2)kx −y +2−2k =0l 1+=1(x −1)2y 2=1|k +2−2k|+(−1k 2)2−−−−−−−−−√k =34x −y +2−=034323x −4y +2=0A根据题意利用椭圆的定义及余弦定理即可求得结果.【解答】设，则，，由于，所以，①由图可得，又由于所以，整理可得：，②将①代入②化简得等式左右两边同除可得，又结合椭圆的离心率的取值范围光解得.故选． 8.【答案】B【考点】数列的应用【解析】根据题设条件可知，数列的前项的乘积．由此能够导出的最小值．【解答】解：由题意可知，数列的前项的乘积．当时，或（舍去）．∵，∴的最小值为．|A|=x F 1|B|=2x F 1|A|=2a −x,|B|=2a −2x F 2F 2|AB|=||F 1F 22a −x +2a −2x =4a −3x =2c cos ∠A =,cos ∠B =F 2F 1+4−(2a −x)2c 2x 24a (2a −2)F 2F 1+4(2a −2x)2c 24(2a −2x)∠A +∠B =πF 2F 1F 1F 2F 1cos ∠A +cos ∠B =0F 2F 1F 2F 2+=04−4ax +4a 2c 22a −x 2−4ax +2ca 2a −x9−ac −4=0c 3a 2a 29−e −4=0e 3(0,1)e =1+145−−−√18D {}n +2nn =×××…×××=T n 314253n n −2n +1n −1n +2n (n +1)(n +2)2n {}n +2nn =×××…×××=T n 314253n n −2n +1n −1n +2n (n +1)(n +2)2=>36T n (n +1)(n +2)2n >7n <−10n ∈N ∗n 8二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故确；根据题意得，所以，故错误；双曲线的实轴长为，故错误；双曲线的离心率 ，故正确．故选．【解答】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故正确；双曲线的一条渐近线方程为，即，根据题意得，所以，故错误；双曲线的实轴长为，故错误；双曲线的离心率，故正确．故选．10.【答案】B,C,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】由互斥事件及对立事件的概念及性质对选项逐一判断即可.【解答】m ＞0E x A ==b a 2m −−√13m =36B E 2=12m−−√C E e ====e a m +4−−−−−√m −−√10−−√3D AD m >0E x A E :−=1(m >0)x 2m y 24x +3y =0y =−x 13==b a 2m −−√13m =36B E 2=12m−−√C E e ===c a m +4−−−−−√m −−√10−−√3D AD A A解：，对立事件一定互斥，故正确，不符合题意；，当事件包含事件时，事件与的和事件的概率等于事件的概率，故错误，符合题意；，当事件与对立时，有，故错误，符合题意；，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，所以“”是“与是对立事件”的必要不充分条件，故错误，符合题意.故选.11.【答案】B,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】解：12.【答案】A,C,D【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题抛物线的性质圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题可知，直线的方程为，联立消去可得，，A A B A B A B A B C A B P(A)=1−P(B)C D P(A)+P(B)=1A B D BCD A(,),B(,),C(,),D(,)x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y 4CD y =−(x −)1k p 2{y =−(x −)，1k p 2=2px ，y 2y −(+2p)x +=01k 2x 2p k 2p 24k 22，，，故正确；直线，联立得，，，由抛物线的定义得，，同理，， 四边形的面积，故错误；由上可知，，故正确；，，当时，，又，解得，直线的斜率为，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】∴+=p(1+2)x 3x 4k 2=x 3x 4p 24∴⋅=+OC −→−OD −→−x 3x 4y 3y 4=+(−)(−)x 3x 41k 2x 3p 2x 4p 2=(1+)−(+)+1k 2x 3x 4p 2k 2x 3x 4p 24k 2=−34p 2A AB :y =k(x −)p 2{y =k(x −)，p 2=2px ，y 2−p(+2)x +=0k 2x 2k 214k 2p 2∴+=p x 1x 2+2k 2k 2=x 1x 2p 24|AB|=|AF|+|BF|=++p =2p x 1x 2+1k 2k 2|CD|=(+1)2p k 2∴ACBD =|AB|⋅|CD|=212p 2(+1k 2)2k 2=2(++2)p 2k 21k 2≥8p 2B+=1|AB|1|CD|12p C |AF|⋅|BF|=(+)(+)x 1p 2x 2p 2=+(+)+x 1x 2p 2x 1x 2p 24=+⋅p 22+2k 2k 2p 22=+1k 2k 2p 2|AF|⋅|BF|=4p 2=4+1k 2k 2p 2p2k >0k =3–√3∴CD −3–√D ACD 23(A)=1(B)=1设表示“甲胜”，表示“和棋”，表示“乙胜”，则，，，由此能求出乙不输的概率．【解答】解：设表示“甲胜”，表示“和棋”，表示“乙胜”，则，，，∴乙不输的概率为：．故答案为：．14.【答案】相交【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】本题主要考查两圆的位置关系，先转化为标准方程，求出圆心和半径即可解得．【解答】解：圆:圆：两圆相交．故答案为：相交．15.【答案】【考点】数列递推式【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．A B C P(A)=13P(B)=12P(C)=1−−=131216A B C P(A)=13P(B)=12P(C)=1−−=131216P =P(B ∪C)=P(B)+P(C)=+=12162323C 1(x +1+(y +4=25)2)2∴(−1,4),=5C 1Y 1C 2(x −2+(y +2=16)2)2∴(2,−2),=4C 2r 2∴||==C 1C 29+4−−−−√13−−√∴−<||<+r 1r 2C 1C 2r 1r 2∴22n −1解：数列满足，∴，∴两式相减得，∴.当时，，上式也成立，∴.故答案为：.16.【答案】【考点】相等向量与相反向量空间向量的夹角与距离求解公式平行向量的性质【解析】此题暂无解析【解答】由题意得，四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：当时，；当时， ；∴，∴，，∴数列的公比，∴．由可得，∴，①，②①②，整理得．【考点】{}a n +3+5+…+(2n −1)=2n a 1a 2a 3a n +3+5+…+(2n −3)=2n −2a 1a 2a 3a n−1(n ≥2)(2n −1)=2a n =a n 22n −1(n ≥2)n =1=2a 1=a n 22n −122n −1−62a −b =(3,−4)∴(2a −b)⋅c =3×2−4×3=−6(1)n =1==1a 1S 1n >1=−a n S n S n−1=−n 2(n −1)2=2n −1=2n −1(n ∈)a n N ∗==1b 1a 1==9b 3a 5{}b n q =3=(n ∈)b n 3n−1N ∗(2)(1)=⋅=(2n −1)⋅(n ∈)c n a n b n 3n−1N ∗=+++⋯++T n c 1c 2c 3c n−1c n =1×1+3×3+5×+⋯32+(2n −3)×3n−2+(2n −1)×3n−13=1×3+3×T n 32+5×+⋯33+(2n −3)×3n−1+(2n −1)×3n −=(n −1)×+1T n 3n (n ∈)N ∗数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，；当时， ；∴，∴，，∴数列的公比，∴．由可得，∴，①，②①②，整理得．18.【答案】解：由频率表中第组数据可知，第组总人数为，结合频率分布直方图可知，∴，，第组人数为，第组人数为,∴，．设中位数为，由频率分布直方图可知且有，解得，估计这组数据的中位数为，估计这组数据的平均数为：由知，则第一组中回答正确的人员中有名男性，名女性.男性分别记为女性分别记为先从人中随机抽取人，共有：个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件，共有个基本事件，至少抽中一名女性的概率.【考点】(1)n =1==1a 1S 1n >1=−a n S n S n−1=−n 2(n −1)2=2n −1=2n −1(n ∈)a n N ∗==1b 1a 1==9b 3a 5{}b n q =3=(n ∈)b n 3n−1N ∗(2)(1)=⋅=(2n −1)⋅(n ∈)c n a n b n 3n−1N ∗=+++⋯++T n c 1c 2c 3c n−1c n =1×1+3×3+5×+⋯32+(2n −3)×3n−2+(2n −1)×3n−13=1×3+3×T n 32+5×+⋯33+(2n −3)×3n−1+(2n −1)×3n −=(n −1)×+1T n 3n (n ∈)N ∗(1)44=2590.36n ==100250.025×10a =100×(0.010×10)×0.5=5b =100×(0.030×10)×0.9=2720.020×10×100=2050.015×10×100=15x ==0.91820y ==0.2315(2)x x ∈[35,45)0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=0.5x ≈41.67∴41.67=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×x ¯¯¯10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5，(3)(1)a =532a,b,c ，1,2,52(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)，(c,1),(c,2),(1,2),(b,c)10A (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)7∴p =710列举法计算基本事件数及事件发生的概率众数、中位数、平均数、百分位数频率分布直方图【解析】（1）根据频率表中数据求出的值，再分别计算、、与的值；（2）利用分层抽样法求出第、、组分别抽取的人数；（3）利用列举法求出从人中抽人的基本事件数以及所抽取的人中恰好没有第组人基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：由频率表中第组数据可知，第组总人数为，结合频率分布直方图可知，∴，，第组人数为，第组人数为,∴，．设中位数为，由频率分布直方图可知且有，解得，估计这组数据的中位数为，估计这组数据的平均数为：由知，则第一组中回答正确的人员中有名男性，名女性.男性分别记为女性分别记为先从人中随机抽取人，共有：个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件，共有个基本事件，至少抽中一名女性的概率.19.【答案】解：中点为，斜率，∴的垂直平分线所在直线方程为,即，又∵圆心在直线上，则有解得n a b x y 234623(1)44=2590.36n ==100250.025×10a =100×(0.010×10)×0.5=5b =100×(0.030×10)×0.9=2720.020×10×100=2050.015×10×100=15x ==0.91820y ==0.2315(2)x x ∈[35,45)0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=0.5x ≈41.67∴41.67=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×x ¯¯¯10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5，(3)(1)a =532a,b,c ，1,2,52(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)，(c,1),(c,2),(1,2),(b,c)10A (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)7∴p =710(1)AB (0,−1)AB ==1k AB 1−(−3)2−(−2)AB y −(−1)=−1⋅(x −0)y =−x −1C 2x +y =0{y =−x −1,y =−2x,{x =1,y =−2,C(1,−2)∴圆心,，∴圆的标准方程为.∵，∴圆心到的距离，①当直线斜率存在时，设，即,，解得，此时,②当直线斜率不存在时，，此时，也符合要求.综上，可得直线的方程为或.【考点】直线与圆相交的性质圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：中点为，斜率，∴的垂直平分线所在直线方程为,即，又∵圆心在直线上，则有解得∴圆心,，∴圆的标准方程为.∵，∴圆心到的距离，①当直线斜率存在时，设，即,，解得，此时,②当直线斜率不存在时，C(1,−2)=|CA =10r 2|2C (x −1+(y +2=10)2)2(2)|MN|=2，=106–√r 2C l d ==2−(r 2|MN|2)2−−−−−−−−−−−√l l :y +1=k(x −3)kx −y −3k −1=0d ==2|−2k+1|+1k 2−−−−−√k =−34l :3x +4y −5=0l l :x =3d =2l 3x +4y −5=0x =3(1)AB (0,−1)AB ==1k AB 1−(−3)2−(−2)AB y −(−1)=−1⋅(x −0)y =−x −1C 2x +y =0{y =−x −1,y =−2x,{x =1,y =−2,C(1,−2)=|CA =10r 2|2C (x −1+(y +2=10)2)2(2)|MN|=2，=106–√r 2C l d ==2−(r 2|MN|2)2−−−−−−−−−−−√l l :y +1=k(x −3)kx −y −3k −1=0d ==2|−2k+1|+1k 2−−−−−√k =−34l :3x +4y −5=0l l :x =3d =2，此时，也符合要求.综上，可得直线的方程为或.20.【答案】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，易得，所以，所以在中，，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．l :x =3d =2l 3x +4y −5=0x =3(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =30∘Rt △BPE BE =3–√PE =3Rt △DPE DP =22–√E EA −→−x EB −→−y E −xyz P(−1,0,2)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,2)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +2z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(2,4,)m →6–√2–√3–√(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →4118−−−√59C −PE −D 4118−−−√59【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】【解答】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，易得，所以，所以在中，，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =30∘Rt △BPE BE =3–√PE =3Rt △DPE DP =22–√E EA −→−x EB −→−y E −xyz P(−1,0,2)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,2)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +2z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(2,4,)m →6–√2–√3–√(0,,0)−→−由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．21.【答案】解：依题知，，所以，且，解得 ，所以椭圆的方程为 . 设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立消得，有 . 取的中点为，则，那么 ，所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】（1）依题知，所以，(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →4118−−−√59C −PE −D 4118−−−√59(1)A (−a,0),(a,0)A 2B (0,b)=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2,C +=1x 28y 24(2)P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1,x 28y 24y =k(x −2),y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y P 2–√22–√2P [−,]2–√22–√2A (−a,0),(a,0),B (0,b)A 2=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4−→−−→−且，解得 . 所以椭圆的方程为 . （2）设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立，消得，有 . 取的中点为，则，那么 . 所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 【解答】解：依题知，，所以，且，解得 ，所以椭圆的方程为 . 设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立消得，有 . 取的中点为，则，那么 ，⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2C +=1x 28y 24P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1x 28y 248+=1y 24y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y 02–√22–√2P [−,]2–√22–√2(1)A (−a,0),(a,0)A 2B (0,b)=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2,C +=1x 28y 24(2)P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1,x 28y 24y =k(x −2),y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2+=−(x −)42所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y P 2–√22–√2P [−,]2–√22–√2(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

高二数学第一学期期末测试卷（理）（满分：120分，考试时间：100分钟）校区： _____________________ 学生姓名：___________________________、选择题（本大题共10小题, 每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线x2 8y的准线方程为（A. y 2B. xC.D. x 42.若命题"p q"和" p"都为假命题，则q为假命题 B. q为假命题 C. q为真命题 D.不能判断q的真假3.已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题:①若a b,b c,则a//c ；②若a // b, b c,则 a c ；③若a// ,b ,则a//b ；④若a与b异面，且a//,则b与相交;其中真命题的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.在正方体ABCD 中, 异面直线B"与CB i所成的角为（A. 30°B. 450C. 60°D.90°5.已知1,0,2 ),b (6,2 1,2）,若a//b,则与的值分别为（A. B. 5,2 D. 5,6.过点(2,2x-2）且与双曲线一21有相同渐近线的双曲线的方程是2A.1 42y- 122X- 122c.022 27.若过点（3,1）总可以作两条直线和圆（x 2k）（y k）范围是（k(k A(0, 2) B. (1, 2)8.已知双曲线2x_2aD.20）相切，则k的取值D. (0, 1) U (2 , +8石1（a °,b 0）的右焦点为F,若过F且倾斜角为-的直线始终保持MN //面DCC 1D 1,设BN x,MN y ,则函数y f x 的图象大致是（）一个交点，则cos RPF2 _______A. (1,2)B. [2,)C. （1,'迈）D. )9.直线1与椭圆2x2y 2 1交于不同的两点 P 1、 F 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线1的斜率为k 1（k 1 0), 直线OP 的斜率为k 2（O 点为坐标原点） ，则k 1 k 2的值为（）A.-2B. 1C. 2D.不能确定与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围( )10.正四棱柱 ABCD AiB i C i D i 中,AA 、 2, AB 1, M , N 分别在AD 1,BC 上移动，且 A.C.o'XB. LX上a r仁、填空题（本大题共 7小题，每小题4分，共28分） 11.经过原点且与直线 3x 4y 20平行的直线方程为 _________UJU r UULT 12. 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AB=a, AD r r r 贝 U a b c ____ .13. 已知某个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是 ________ .214. 已知动点P 在曲线2x y 0上移动，则点A （0, 1）与点P 连线的中点M 的轨迹方程是 ___________ . r uur rb,AA c ,15.若直线2ax by 20 (a 0,b 0)始终平分圆x 21 1则的最小值为 ___________a b2 216.椭圆—二25 91和双曲线2y 2x 4y 1 0的圆周,1有相同的焦点F 1 ,F 2 , P 是两条曲线的17.如图，在矩形ABCD中，AB=4, BC=3,E为DC边的中点，沿AE将ADE折起,使二面角D-AE-B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为_______________三、(本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)218.(本题8分)已知命题p: 4x 3 1,命题q:(x a)(x a 1) 0,若p是q的充分不必要条件。

3.3抛物线 期末复习拔高卷一、单选题 1．抛物线214x y =的焦点到准线的距离为 A ．18B ．12C ．2D ．82．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭3．已知抛物线28y x =的焦点为,F P 为该抛物线上的一动点，()6,3A 为平面上的一定点，则PA PF +的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．144．试在抛物线24y x =-上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()2,1A -的距离之和最小，则最小值为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．5．点P 到点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭、(),2B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点P 恰好只有一个，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．1±C ．12D ．12±6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是( ) A ．QA QB ⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为C ．112||||AF BF += D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为527．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①平面内到定点A （1，0）和定直线l ：2x =的距离之比为12的点的轨迹方程是22143x y +=； ①点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是()3,6A ，则PA PM +的最小值是6；①平面内到两定点距离之比等于常数λ（0λ>）的点的轨迹是圆；①若动点(),M x y 24x y =--，则动点M 的轨迹是双曲线；①若过点()1,1C 的直线l 交椭圆22143x y +=于不同的两点A ，B ，且C 是AB 的中点，则直线l 的方程是3470x y +-=．其中真命题个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（ ） A ．63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,21-C ．63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]3,27二、多选题9．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，下列说法正确的是（ ） A ．C 的准线方程为116y =-B ．直线1y x =-与C 相切C ．若()0,4M ，则PM 的最小值为D ．若()3,5M ，则PMF △的周长的最小值为1110．与直线0x y +仅有一个公共点的曲线是 A ．221x y += B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =11．（多选）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P ，Q 在l 上的射影为1P ，1Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．若()0,1M ，则12PM PP +≥D ．1190PFQ ∠=︒12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：=1x -是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 三、填空题13．设抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，点A 为抛物线C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B 、D 两点，若120BFD ∠=，ABD ∆的面积为p =_______.14．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 向y 轴正方向发出的两条光线a ，b 分别经抛物线上的A ，B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60°，且323FA FB +=，则p =______．15．若过抛物线2y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角π4θ≥，点A 在x 轴上方，则FA 的取值范围是______．16．给定曲线族()()24sin 2cos 68sin cos 10x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是_____四、解答题17．求满足下列条件的曲线的标准方程：(1)长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23的椭圆的标准方程； (2)准线方程为=2y -的抛物线的标准方程；(3)焦点()12,0F -，()22,0F ，一个顶点为()1,0的双曲线的标准方程. 18．动圆P 与定圆A ：2221x y 外切，且与直线l ：1x =相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．19．已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点在x 轴上，且抛物线上的点(4)M m ，到焦点的距离是5.(1)求该抛物线的标准方程和m 的值；(2)若过点(20)，的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，求证：OA OB ⋅为定值. 20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点()4,4M 在C 上.(1)求以MF 为直径的圆E 的方程：(2)若直线l 交抛物线C 于异于M 的P ，Q 两点，且直线MP 和直线MQ 关于直线4x =对称，直线PQ 被圆E 所截得的弦长为PQ 的方程.22．已知抛物线()2:20C y px p =>上的任意一点到焦点的距离比到y 轴的距离大12.(1)求抛物线C 的方程；(2)过抛物线外一点(),P m n 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，若三角形ABP 的重心G 在定直线3:2l y x=上，求三角形ABP 面积的最大值。

全新人教高二数学（理）上学期期末试卷含答案
一、单选题
1．已知双曲线与双曲线，给出下列说法，其中错误的是（）A．它们的焦距相等B．它们的焦点在同一个圆上
C．它们的渐近线方程相同D．它们的离心率相等
2．两圆与在交点处的切线互相垂直，则R=（）A．5B．4C．3D．
3．在平面直角坐标系中,直线的倾斜角大小为( ) A．B．C．D．
4．某单位在1至4月份用电量（单位：千度）的数据如下表：
已知用电量与月份之间有线性相关关系，其回归方程，由此可预测5月份用电量（单位：千度）约为（）
A．1.9B．1.8C．1.75D．
5．已知椭圆则
A．与顶点相同.B．与长轴长相同.
C．与短轴长相同.D．与焦距相等.
6．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上有一点，过点作，垂足为，且，若的面积为，则等于（）
A．B．C．D．
7．已知点，直线与直线垂直，则的值为（）
A．2B．1C．0D．
8．下列说法错误
．．的是( )
A．在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
9．已知圆，圆，，分别是圆，上的动点.若动点在直线上，则的最小值为（）
A．3B．C．D．
10．已知点，，若直线过原点，且、两点到直线的距离相等，则直线的方程为( )
A．或B．或
C．或D．或
11．已知向量，，，则为（）A．B．C．D．
12．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )
A．115B．116C．357D．358
第II卷（非选择题）。

（人教版A 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷三（附答案）第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（ ）A .AB =B .A B ⊆C .B A ⊆D .A B =∅∩2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（ ）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，则()2f 的值等于（ ）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（ ）A .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()01x f x +=定义域为M ，则M =R ð（ ）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（ ）A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪， D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（ ）A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ð；（2）若()U A B B =∩ð，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. （1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C .2.【答案】B【解析】Q 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩Q ，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x Q 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1ð.故选C . 8.【答案】C【解析】Q 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x Q 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x Q 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-=Q ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+=Q ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤.11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =--Q ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B . 12.【答案】D【解析】()4y f x =+Q 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56Q ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D . 二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =-Q ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意.14.【答案】()()2131x x -+≥【解析】由题设1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥. 15.【答案】[]19，【解析】Q函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++≥恒成立. 当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，≤，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪， 【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f =Q ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称. 又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭Q ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x =Q ≤≤，{}|13U A xx x ∴=＜或＞ð，(){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ð.（2）若()U A B B =∩ð，则U B A ⊆ð. ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -=Q ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤，1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜ （2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x Q 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--≤或222k--≥，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜， 得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=-Q ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x Q 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==， 所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-.（2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =， 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上所述，()()2min521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤，，＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（ ） A .()lg lg lg xy x y =+B .222m n m n ++=C .222m n m n +⋅=D .2ln 2ln x x =2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（ ）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A .y x x =B .x y e =C .1y x=-D .2log y x =4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+∞，C .()3-∞，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0∞，+的是（ ） A .22xy -= B.y C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）ABCD7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（ ） A .c b a ＜＜B .c a b ＜＜C .a b c ＜＜D .a c b ＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2-∞，B .138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C .()02，D .1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（ ） A .12ln 22- B .12ln 22+ C .22ln2-D .22ln2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（ ） A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（ ） A .0a b ＜＜ B .0a b ＜＜ C .0b a ＜＜D .a b =12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .114⎛⎫ ⎪⎝⎭，D .112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -⎛⎫⎪⎝⎭＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算⊗：当m n ≥时，m n m ⊗=；当m n ＜时，m n n ⊗=.设函数()()()2221log 2xx f x x ⎡⎤⊗-⊗⋅⎣⎦，则函数()f x 在()02，上的值域为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值： （1）7015log 243210.06470.250.58--⎛⎫--++⨯ ⎪⎝⎭；（2）()2235lg5lg2lg5lg20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -⋅+≤，函数()2log 2xf x =⋅. （1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x ∈-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52. （1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x ∈，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ∈R ，()10.x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212xx D x x f x D x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭＞，且≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x ∈-∞，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C . 2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-. 3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-∞，和()0+∞，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+∞，上为增函数，无奇偶性.故选A . 4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-x 满足条件30240x x -⎧⎨-⎩＞，≥，解得32x x ⎧⎨⎩＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A . 5.【答案】A【解析】对于A，222xxy -⎛== ⎝⎭的值域为()0+∞，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y (]0-∞，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y 的值域是[)01，；对于C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；对于D ，因为()()1001x ∈-∞+∞+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+∞，∪，. 6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+∞，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ⋅＜可排除A ，故选C . 7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======∴Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C . 8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -⎧⎪⎨⎛⎫--⨯⎪⎪⎝⎭⎩＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e ∴-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-⋅+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x xx e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=≤⎨⎪⎩，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，∴要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-∞，【解析】由题可得，321144x --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，＞，即68.a a -⎧⎨-⎩≤，＞故(]86a ∈--，. 15.【答案】1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，2122A x ⎛== ⎝⎭.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x ⊗=；当22x ＜，即1x ＜时，222x ⊗=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x ⊗=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x ⊗=. ()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ⎧⎪⎪∴=-⎨⎪-⋅⎪⎩，＜＜，，≤≤，，＞ ∴①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x ∴＜＜； ②当12x ≤＜，()221122224xxx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1222 4.x x ∴Q ≤＜，≤＜()221111242424f x ⎛⎫⎛⎫∴---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，. 三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--⎛⎫⎛⎫--++⨯=-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+⨯++⨯⨯=++++⨯⨯11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --∴-=-. 又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，()23x xf x -∴=+. 综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -⎧-⎪⎪==⎨⎪⎪+⎩，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x ∴在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜. ()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t ∴--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t ∴--＞， 即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，4120k ∴∆=+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 19.【答案】解（1）由9123270x x -⋅+≤，得()23123270xx -⋅+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x＞0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =； 当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x ∴的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a ∴=或12a =. （2）1a Q ＞，2a ∴=.()2222x x h x m m =+-⋅，即()()2222xx h x m m =-⋅+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =. []01x ∈Q ，，[]12t ∴∈，，∴当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+； 当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==； 当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==. 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22xx x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，为有理数，，为无理数.即当x ∈R 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+∞，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t af t a a a -∴=--. ()()()21x x af x a a x a -∴=-∈-R .()()()()2211x x x x a af x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x ∴为奇函数.当1a ＞时，xy a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -＞，()f x ∴为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x ∴为增函数.()f x ∴在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x ∴=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-∞，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤. 422141a a a a-∴⋅-≤，214a a ∴+≤，2410a a ∴-+≤，22a ∴≤.又1a Q ≠，a ∴的取值范围为)(21,2⎡⎣.第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ） A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（ ）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（ ） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程x 的一个根所在的区间为（ ）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（ ）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（ ）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（ ） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（ ）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（ ） A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________. 16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f Q ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】Q 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】αQ ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -Q ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+-Q 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t -+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B . 12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B .二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-； 当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，； 函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，. ③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解； 当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --， 即()()e 1e 3=0x x+-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A Q ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C Q ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标； 在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标， 时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x xf x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x .所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x xa a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a 的取值范围为(13--，.第四章综合测试一、单项选择题1.式子 ）ABC .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（ ） A .12aa b -+ B .12aa b-+ C .12aa b++ D .12aa b++ 4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A .a b c ＜＜B .b c a ＜＜C .c a b ＜＜D .a cb ＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-≠＞的图象可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+∞D .[2,)+∞8.已知函数()|lg |f x x =。

人教A版高二上学期数学期末试卷一、选择题1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．65．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．26．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．37．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣88．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．411．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．312．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题（本题包括4小题）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围．14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+215．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l 的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．参考答案一、选择题（本题包括12小题）1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题真假性进行判断即可．解：命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，故A错误；命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0，故B、C错误；因为命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，所以p的逆否命题也是真命题，D正确．故选：D．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2＝2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．解：∵抛物线，即x2＝2y中，p＝1，＝，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝1，，可得q2＝．即可得出a5＝．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝1，，∴q2＝．则a5＝＝1×＝．故选：D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．6【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值．解：∵，A＝45°，B＝60°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝4．故选：C．5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【分析】先确定抛物线与椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，可建立方程，从而可求m的值解：抛物线的焦点坐标为椭圆，∵a2＝7，b2＝3，∴c2＝a2﹣b2＝4，∴椭圆的左焦点坐标为（﹣2，0）∵抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，∴∴故选：A．6．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合空间向量的数量积坐标计算公式可得•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，计算可得x的值，即可得答案．解：根据题意，，，若，则有•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，解可得x＝6，故选：A．7．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣8【分析】求出AB所在直线的斜率，然后利用过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直求得m的值．解：∵A（﹣2，m），B（m，4），∴，直线2x+y﹣1＝0的斜率为﹣2，由过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，得，解得：m＝2．故选：A．8．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2＝a2+b2以及离心率然，求出a2，写出双曲线的标准方程．解：根据题意可知2b＝12，解得b＝6 ①又因为离心率e＝＝②根据双曲线的性质可得a2＝c2﹣b2 ③由①②③得，a2＝64双所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选：D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当x＝﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立，即充分性不成立，若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，故“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，故选：C．10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】根据抛物线定义，把|AB|转化为点A、B到准线的距离之和，由梯形的中位线性质可求．解：由抛物线定义知，|FB|＝|BB′|，|AA′|＝|AF|，准线x＝﹣1，设M为AB中点，M（3，y），MN⊥A′B′，垂足为N点，如图所示：则|AB|＝（|AF|+|BF|）＝（|AA′|+|BB′|）＝2|MN|＝2[3﹣（﹣1）]＝8，故选：B．11．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．3【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y＝x+m 求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k＝，而y2﹣y1＝2（x22﹣x12）①，得x2+x1＝﹣②，且（，）在直线y＝x+m 上，即＝+m，即y2+y1＝x2+x1+2m③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y＝2x2上，所以有2（x22+x12）＝x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]＝x2+x1+2m④，把①②代入④整理得2m＝3，解得m＝故选：A．12．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．由此能求出结果．解：∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，∴y＝f（x）关于y轴对称，∴函数y＝xf（x）为奇函数．∵[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x），∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数y＝xf（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．∵，，，，∴a＞b＞c．故选：A．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围（，1）．【分析】直接利用圆锥曲线的定义的应用和不等式的应用求出结果．解：设点P（x0，y0），M（x M，y M），由于满足＝2，PO⊥F2M，所以．整理得，故：，即．联立消去y0，得到．解得或，由于﹣a＜x0＜a，所以，所以0＜a2﹣ac＜ac，解得e，故椭圆的离心率为（）．故答案为：（）14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2【分析】根据题意，对函数y＝e x f（x）求导，分析可得若函数f（x）具有M性质，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数，验证f （x）+f′（x）＞0是否成立，综合即可得答案．解：根据题意，y＝e x f（x），其导数y′＝（e x）′f（x）+e x f′（x）＝e x[f（x）+f′（x）]，若函数f（x）具有M性质，必有y′≥0在函数f（x）的定义域上恒成立，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数：对于①，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln2×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln2×＝（1﹣ln2）＞0，具有M性质，符合题意；对于②，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln3×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln3×＝（1﹣ln3）＜0，不具有M性质，不符合题意；对于③，f（x）＝x3，其导数f′（x）＝3x2，此时f（x）+f′（x）＝x3+3x2＝x2（x+3），不能满足f（x）+f′（x）＞0在f（x）在R上恒成立，不具有M性质，不符合题意；对于④，f（x）＝x2+2，其导数f′（x）＝2x，此时f（x）+f′（x）＝x2+2+2x＝（x+1）2+1＞0，具有M性质，符合题意；综合可得：具有M性质的函数为：①④；故答案为：①④．15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．【分析】直接利用椭圆的定义的应用求出结果．解：根据椭圆的定义，知：|PF1|+|PF2|＝10，由于PF1⊥PF2，所以，故|PF1|•|PF2|＝42，所以，所以，解得d＝，故答案为：16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．解：对于①，∵＝（1，﹣1，2），＝（2，1，﹣），∴•＝1×2﹣1×1+2×（﹣）＝0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，﹣1），∴•＝0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵＝（0，1，3），＝（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，1，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．三、解答题（10+12+12+12+12+12＝70分）17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【分析】（1）利用已知条件化简双曲线方程，然后求解即可．（2）利用双曲线的定义，结合已知条件，通过余弦定理转化求解即可．解：（1）由题知：，a＝3，b＝4，则长轴长为6，渐近线方程是y＝x．（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，且|PF1|•|PF2|＝32，则cos∠F1PF2＝＝＝0．故∠F1PF2＝90°18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（Ⅲ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62＝15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A ）＝＝；（Ⅱ）由数据求得＝11，＝24，由公式求得＝＝＝，再由＝﹣b，求得＝﹣，∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣，（Ⅲ）当x＝10时，＝，|﹣22|＝＜2，当x＝6时，＝，|﹣12|＝＜2，∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．【分析】（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|＝x1+x2+p即可得到k．解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．由，，可得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴4k l＝4，解得k l＝1．由y2＝4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y＝x﹣1．（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，∴．∵|AB|＝x1+x2+p＝，解得k＝．∴直线l的方程为．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，应有5﹣m＞0．（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4＝0 的距离为，∵，有，∴，解得m＝4．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则＝（﹣2，0，m﹣2），＝（1，﹣1，﹣2），∵B1M⊥C1E，∴＝﹣2﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝1，∴M（0，0，1），＝（1，1，﹣1），＝（0，2，1），设平面MEC1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝﹣1，得＝（3，﹣1，2），∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0），∴cos＜＞＝＝﹣，∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM，推导出DM⊥PA，BM⊥PA，从而PA⊥平面BDM，由此能证明BD⊥PA．（Ⅱ）过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H，推导出PO⊥平面ABCD，从而PO⊥BD，进而BD⊥平面PAO，以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM．由AD＝PD，得DM⊥PA，由PB＝AB，得BM⊥PA，∵DM∩BM＝M．∴PA⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴BD⊥PA．解：（Ⅱ）在平面PDC中，过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H．∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴PO⊥平面ABCD．∴PO⊥BD．由（1）及PA∩PO＝P，∴BD⊥平面PAO，∵AO⊂平面PAO，∴BD⊥AO在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，即∠ADB＝60°．∴AH＝PH＝AD•sin60°＝3，DH＝AD cos60°＝．在Rt△DHO中，HO＝DH tan30°＝1，DO＝2．∴PO＝＝2．以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），P（0，2，2），B（2，6，0），C（0，6，0）．＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣4，2）．设平面PBC的法向量是＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，）．设直线AP与平面PBC所成角为θ，又＝（2，﹣2，﹣2），则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．。

2019-2020学年高二第一学期（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．若命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x﹣x＜0 B．∀x∈R，2x﹣x≤0C．D．2．贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，为进行体质监测，现按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，已知样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为（）A．850 B．950 C．1050 D．11003．把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（）A．3 B．2 C．1 D．04．抛物线y＝3x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），则平面α与平面β的位置关系是（）A．垂直B．平行C．既不平行也不垂直D．不确定6．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．7．在某校举行的校园十佳歌手大赛中，五位评委给一位歌手给出的评分分别为x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9，运行程序框图，其中是这五个数据的平均值，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝0.02，即5个数据的标准差为0.02B．S＝0.02，即5个数据的方差为0.02C．S＝9.7，即5个数据的标准差为9.7D．S＝9.7，即5个数据的方差为9.78．已知关于变量x，y的线性回归方程为，且x，y的一些相关数据如表所示，则表格中m的值为（）x 1 2 3 4y0.8 m 1.4 1.5A．1 B．1.05 C．1.2 D．29．有下列三个命题：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．那么￢p真命题；②在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x＞1，则|x|≤1”．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．010．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c．若直线与椭圆的一个交点M满足∠MF2F1＝2∠MF1F2，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．二．填空题（每题4分，共20分）11．84和126的最大公约数为．12．已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是双曲线C的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为．13．如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数和平均数都相等，则x+y的值为．14．如图，在三棱锥S﹣ABC中，已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AC＝AB，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为．15．设P为方程表示的曲线上的点，M、N分别为圆（x+4）2+y2＝4和圆（x﹣4）2+y2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为．三．解答题（每题8分，共32分）16．设命题p：方程表示双曲线；命题q：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”．（1）若p和q均为真命题，求m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．17．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率第1组[160，165）0.05第2组[165，170）0.35第3组[170，175）①第4组[175，180）0.20第5组[180，185] 0.10（1）求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；（2）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数（结果都保留两位小数）．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b．（1）若a，b∈N*，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率；（2）若a，b∈R，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率．四．阅读与探究（本题8分）20．阅读以下材料，然后回答（1）、（2）两个问题：例3如图1，设点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM的斜率之积是，求点M的轨迹方程．分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含x，y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是，因此可以建立x，y之间的关系式，得出点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（﹣5，0），所以，直线AMD的斜率同理，直线BM的斜率由已知有：化简，得点M的轨迹方程为：．（1）如图2，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状；（2）结合阅读材料及（1）的结果，你有什么发现？请写出你的结论（不需证明）．以下第（3）问是附加题，考生可选做，做对的2分，不做不扣分．（3）仿照材料中例3和问题（1），请你提出一个变式问题，不需解答．参考答案一、选择题（每题4分，共40分）1．若命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x﹣x＜0 B．∀x∈R，2x﹣x≤0C．D．解：命题为全称命题，则命题p：∀x∈R，2x﹣x＞0，则￢p是．故选：D．2．贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，为进行体质监测，现按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，已知样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为（）A．850 B．950 C．1050 D．1100解：贵阳市某中学高二年级共有学生1800人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为36的样本，样本中共有女生17人，则高二年级的男生人数约为：1800×＝950．故选：B．3．把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是（）A．3 B．2 C．1 D．0解：19÷3＝6 (1)6÷3＝2 02÷3＝0 (2)故19（10）＝201（3），可得把十进制数19转化为三进制数时，其末位数字是1，故选：C．4．抛物线y＝3x2的准线方程为（）A．B．C．D．解：抛物线y＝3x2的标准方程为：x2＝y，所以抛物线的标准方程为：y＝﹣．故选：D．5．平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），则平面α与平面β的位置关系是（）A．垂直B．平行C．既不平行也不垂直D．不确定解：∵平面α的一个法向量是＝（4，1，﹣），平面β的一个法向量是＝（，﹣1，3），＝4×+1×（﹣1）+（﹣）×3＝0，∴平面α与平面β的位置关系是垂直．故选：A．6．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C．D．解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin＝；则所求的概率为P＝＝．故选：B．7．在某校举行的校园十佳歌手大赛中，五位评委给一位歌手给出的评分分别为x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9，运行程序框图，其中是这五个数据的平均值，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝0.02，即5个数据的标准差为0.02B．S＝0.02，即5个数据的方差为0.02C．S＝9.7，即5个数据的标准差为9.7D．S＝9.7，即5个数据的方差为9.7解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝，由x1＝9.5，x2＝9.6，x3＝9.7，x4＝9.8，x5＝9.9的平均数为9.7，故S表示5个数据的方差，代入计算可得：S＝0.02，故选：B．8．已知关于变量x，y的线性回归方程为，且x，y的一些相关数据如表所示，则表格中m的值为（）x 1 2 3 4y0.8 m 1.4 1.5A．1 B．1.05 C．1.2 D．2解：，，样本点的中心为（2.5，），代入线性回归方程为，得，解得：m＝1．故选：A．9．有下列三个命题：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．那么￢p真命题；②在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x＞1，则|x|≤1”．其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0解：①设命题p：若m是质数，则m一定是奇数．例如2是质数，但是偶数，所以命题是假命题，那么￢p真命题；所以①正确；②在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B，故有cos A＝cos B，反之成立，故在△ABC中，“sin A＝sin B”是“cos A＝cos B”的充要条件；②正确；③“若x＞1，则|x|＞1”的否命题是“若x≤1，则|x|≤1”．所以③不正确；故选：B．10．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c．若直线与椭圆的一个交点M满足∠MF2F1＝2∠MF1F2，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．解：因为直线过椭圆左焦点，且斜率为，所以∠MF1F2＝30°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF2F1＝20°，∠F1MF2＝90°，故|MF1|＝c，|MF2|＝c，由点M在椭圆上知，c+c＝2a．故离心率e＝＝＝．故选：D．二．填空题（每题4分，共20分）11．84和126的最大公约数为42 ．解：126＝84+42，84＝42×2．∴84和126的最大公约数为42．故答案为：42．12．已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是双曲线C的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为．解：由题意，c＝3，双曲线的焦点坐标在x轴上，直线是该双曲线的一条渐近线，所以＝，a2+b2＝9，∴b＝，a＝2，∴双曲线C的标准方程为：；故答案为：；13．如图茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件），若这两组数据的中位数和平均数都相等，则x+y的值为12 ．解：由已知中甲组数据：43，51，56，64，60+x；的中位数为56，故乙组数据：45，53，50+y，59，67；的中位数也为65，即y＝6，将y＝6，代入乙组可得乙组数据的平均数为：56，这两组数据的平均值也相等，故x＝6，所以：x+y＝6+6＝12；故答案为：12．14．如图，在三棱锥S﹣ABC中，已知SA⊥平面ABC，AB⊥AC，SA＝AC＝AB，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为．解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥AC，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，设SA＝AC＝AB＝3，∵点E、F分别在SC和BC上，且，，∴E（0，2，1），F（2，1，0），A（0，0，0），C（0，3，0），＝（2，﹣1，﹣1），＝（0，3，0），设直线EF与直线AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴直线EF与直线AC所成角的余弦值为．故答案为：．15．设P为方程表示的曲线上的点，M、N分别为圆（x+4）2+y2＝4和圆（x﹣4）2+y2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为9 ．解：∵P为方程表示的曲线上的点，∴P是椭圆方程为上任意一点，∴其焦点坐标为F1（﹣4，0），F2（4，0），∴两圆：（x+4）2+y2＝4和（x﹣4）2+y2＝1的圆心分别为F1（﹣4，0），F2（4，0），又点P为椭圆为上任意一点，∴|PF1|+|PF2|＝12，由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|﹣3＝9；故答案为：9．三．解答题（每题8分，共32分）16．设命题p：方程表示双曲线；命题q：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”．（1）若p和q均为真命题，求m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．解：（1）若p为真命题，则（1﹣m）（m+2）＜0，得m＞1，或m＜﹣2，若q为真命题，则m2＞2m＞0，得m＞2，故p和q均为真命题时，取交集得，m的取值范围为：m＞2．（2）因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，当p真q假时，，解得m＜﹣2，或1＜m≤2，当p假q真时，，无解综上，实数m的取值范围为m＜﹣2或1＜m≤2．17．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表：组号分组频率第1组[160，165）0.05第2组[165，170）0.35第3组[170，175）①第4组[175，180）0.20第5组[180，185] 0.10（1）求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；（2）根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数（结果都保留两位小数）．解：（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：1﹣（0.05+0.35+0.20+0.10）＝0.30．完成频率分布直方图如下：（2）平均数为：0.05×162.5+0.35×167.5+0.3×172.5+0.2×177.5+0.1×182.5＝172.25．∵0.05+0.35+x＝0.5，解得x＝0.1，∴中位数为：170+0.1＝170.10．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面△ADP为等腰直角三角形，PA＝PD，AB＝PB＝2，点E为棱AD的中点．∴PE⊥AD，PE＝1，BE⊥AD，BE＝＝，∴PE2+BE2＝PB2，∴PE⊥BE，∵AD∩BE＝E，∴PE⊥平面ABCD．（2）解：以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1），C（﹣2，，0），＝（1，﹣，0），＝（0，，﹣1），＝（﹣2，，﹣1），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，），设直线AB与平面PBC所成角为θ，∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．19．在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b．（1）若a，b∈N*，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率；（2）若a，b∈R，求直线ax﹣by＝1的斜率为的概率．解：（1）∵在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b，a，b∈N*，∴a＝1，2，3，4，5，6，n＝1，2，3，4，5．∴基本事件总数N＝6×5＝30，直线ax﹣by＝1的斜率为，即，也就是2a≤b，满足条件的基本事件（a，b）有6个，分别是：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），∴直线ax﹣by＝1的斜率为的概率P＝；（2））∵在区间[1，6]上任取一个数记为a，在区间[1，5]上任取一个数记为b，a，b ∈R，∴有序实数对（a，b）满足，而满足直线ax﹣by＝1的斜率为，即，如图：S ABCD＝5×4＝20，．∴直线ax﹣by＝1的斜率为的概率P＝．四．阅读与探究（本题8分）20．阅读以下材料，然后回答（1）、（2）两个问题：例3如图1，设点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM的斜率之积是，求点M的轨迹方程．分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可以用含x，y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是，因此可以建立x，y之间的关系式，得出点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（﹣5，0），所以，直线AMD的斜率同理，直线BM的斜率由已知有：化简，得点M的轨迹方程为：．（1）如图2，点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状；（2）结合阅读材料及（1）的结果，你有什么发现？请写出你的结论（不需证明）．以下第（3）问是附加题，考生可选做，做对的2分，不做不扣分．（3）仿照材料中例3和问题（1），请你提出一个变式问题，不需解答．解：（1）设M（x，y），则AM斜率k1＝，BM斜率k2＝．∴k1k2＝•＝（y≠0），整理得，4x2﹣9y2＝100（y≠0），即（y≠0）；（2）点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且他们的斜率之积是k时，①当k＜0（k≠﹣1）时，M的轨迹为焦点在x轴或y轴的椭圆（不含与x轴的交点或y ≠0）；②当k＞0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）；（3）设点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（5，0），直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为﹣1时．求点M的轨迹方程．。