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新人教A 版数学高三单元测试18【双曲线】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ ） A. 35 B. 34 C. 45 D. 23 2. 双曲线12222=-by a x 的离心率为3，则它的渐近线方程是（ ） A ．x y 2±= B ．x y 22±= C ．x y 2±= D ．x y 21±=3. 双曲线1:22221=-by a x C 的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的准线为l ，焦点为2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，线段2PF 的中点为M ，O 是坐标原点，则=-211PF OM PF OFA ．1-B ．1C ．21-D ．214. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，若过点且斜率为33的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是 （ ）A ．332B ．3C ．2D ．325. 已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于）A ．225514y x -=B ．22154x y -= C ．22154y x -= D ．224515y x -= 6. 已知F 1、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的则三边长成等差数列，则双曲线的离心率是A ．2B ． 3C ． 4D ． 57. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线2y x =无交点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．D ．8. 设O 为坐标原点，F 1、F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=〉〉的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260,||F PF OP ∠==，则该双曲线渐近线方程为（ ）A. 0x = 0y ±= C. 0x = 0y ±= 9. 若双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是A ．122=-y xB ．222=-x yC ．222=-y xD ．122=-x y10. 已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是4y x =±,则该双曲线的离心率是( )A B C D 二、填空题 (共4小题，每小题4分)11. 以F 1（-3，0）、F 2（3，0）为焦点，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程是12. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点Ｆ和虚轴端点Ｂ作一条直线，若右顶点Ａ到，则双曲线的离心率e = 13. 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线与其右准线交于B A ,，右焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围是14. 双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是__________．三、解答题 (共44分，写出必要的步骤)15. （本小题满分10分） 设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （Ⅰ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（Ⅱ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（Ⅲ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0=⋅OQ OP .若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.16. （本小题满分10分）设点P 在以1F 、2F 为左、右焦点的双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 上，x PF ⊥2轴，32=PF ，点D 为其右顶点，且213DF D F =. （Ⅰ）求双曲线C 方程；（Ⅱ）设过点)0,2(M 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且满足222OA OB AB +>, (其中O 为原点)，求直线l 的斜率的取值范围.17. （本小题满分12分）设点P 在以1F 、2F 为左、右焦点的双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 上，x PF ⊥2轴，32=PF ，点D 为其右顶点，且213DF D F =. （Ⅰ）求双曲线C 方程；（Ⅱ）设过点)0,2(M 的直线l 与交于双曲线C 不同的两点A 、B ，且满足222OA OB AB +>, (其中O 为原点)，求直线l 的斜率的取值范围.18. （本小题满分12分）已知双曲线C 的渐近线方程为y =，右焦点(,0)F c 到渐近线（1）求双曲线C 的方程；（2）过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ， 求证：||||AB FD 为定值.答案一、选择题1. A2. A3. C4. A依题意，应有b a =33，又b a ＝e2－1，∴e2－1=，解得5. A6. D7. D8. D9. B10. A二、填空题 11. 16322=-y x 12. 213. )2,1(14. －2 三、解答题15. 解：（Ⅰ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，， ∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 （Ⅱ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ， [] 2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆。
2013年全国高考试题独家解析(新课标卷Ⅰ)文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）{}14， （B ）{}23，（C ）{}916，（D ）{}12，（2）212(1)ii +=-（ ） （A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14（D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =± （5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝ （6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =-（C ）43n n S a =-（D ）32n nS a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F为抛物线2:C y =的焦点，P 为C上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ ） （A ）2（B） （C） （D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）A B C D（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。
§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为 __________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1题号 1 2 3 4 5 6 答案7．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以 x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.① 由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。
课时作业 (五十一 )B[第 51讲双曲线 ][时间： 35 分钟分值： 80 分 ]基础热身1．以下双曲线中，离心率为6的是()x 2 y 2x 2 y 22A.2－3＝1B. 3 －6 ＝1 22 2 2x ＋ y＝ 1 D ．－ x ＋ y ＝ 1C ．－ 24 x 2 － y 22 62．＝ 1 的一个焦点是 (0,2)，则实数 m 的值是 ( )双曲线 m 3m10 10A ．1B ．－ 1C ．－ 5 D. 5x 2－ y 2 ＝ 1 表示双曲线”的 ( )3．若 k ∈ R ，则 “k>5”是“方程 k － 5 k ＋ 2 A ．充足不用要条件 B ．必需不充足条件 C ．充要条件 D ．既不充足也不用要条件 2 24．若椭圆 C 的焦点和极点分别是双曲线x－ y＝ 1 的极点和焦点，则椭圆C 的方程5 4是________．能力提高25． 与椭圆 x＋ y 2＝ 1共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是 ()4x 2 2 x 22 A. 4 －y ＝1 B. 2 － y ＝1C.x 2 － y 2 ＝ 1 D ．x 2－y 2＝1 3 3 2 6． 设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ，假如直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B.3 3＋ 1 5＋ 1C. 2D. 2y 27． 2的左极点为 A 1，右焦点为 F 2， P 为双曲线右支上一点，则已知双曲线 x － ＝ 1 3→ → ) PA 1·PF 2的最小值为 (81A ．－ 2B ．－ 16C ．1D ．08． 双曲线 x 2 － y 2＝1 上到定点 (5,0)的距离是 9 的点的个数是 ( )16 9 A ．0 B ．2 C ．3 D ． 49． 双曲线 2x 2－ 3y 2＝1 的渐近线方程是 ________ ． 10． 在平面直角坐标系中，双曲线 Γ 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 (5,0)， e 1＝(2,1) 、e 2＝ (2，－ 1)分别是两条渐近线的方向向量． 任取双曲线 Γ上的点 →P ，若 OP ＝ a e 1＋ b e 2(a 、 b ∈ R )，则 a 、 b 知足的一个等式是 ________．11．双曲线的渐近线为 4y ＝ ± x ，则双曲线的离心率为 ________．3 9512． (13 分)点 M(x ，y)到定点 F(5,0)距离和它到定直线 l ： x ＝5的距离的比是3.(1)求点 M 的轨迹方程； (2)设 (1) 中所求方程为 C ，在 C 上求点 P ，使 |OP|＝ 34(O 为坐标系原点 )．难点打破13． (12 分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－ 2,0)．(1)求双曲线方程；→→(2)设 Q 是双曲线上一点，且过点 F 、 Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M，若 |MQ|＝ 2|QF|，求直线 l 的方程．课时作业 (五十一 )B【基础热身】1． C [分析 ] 计算知，选项C 正确，应选 C.y 21 2．B[分析 ] 由焦点坐标知，焦点在 y 轴上， m<0，∴双曲线的标准方程为－－ 3m － m＝1，∴－ m － 3m ＝ 4，∴ m ＝－ 1.3．A [分析 ] 当 k>5 时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有 k>5 或 k<－2.应选 A. y 2 x 2 y 2x 2 [分析 ] 由题意可知，双曲线4. ＋＝ 1 － ＝1 的一个焦点和一个极点的坐标分别 9 4 2 25 4 为(3,0) 、( 5，0)．设椭圆 C 的方程是 x2 y 25，b ＝ 2，因此椭圆 2 2a ＋b ＝ 1(a>b>0) ，则 a ＝ 3，c ＝ C 的方程为 x ＋ y＝ 1.9 4【能力提高】x225．B [分析 ] 椭圆的焦点坐标为( ± 3，0)，四个选项中， 只有 2 － y ＝1 的焦点为 ( ± 3，0)，且经过点 P(2,1)．应选 B.x2y2b6．D[分析 ] 设双曲线的方程为2 2，a －b ＝ 1，设 F(c,0)，B(0，b)，直线 FB 的斜率为－ c与其垂直的渐近线的斜率为 b ，因此有－ b 2 222a ＝－ 1，即b ＝ac ，因此 c－ a ＝ac ，两边同时除ac2 21＋ 5 以 a 可得 e － e －1＝ 0，解得 e ＝ 2 .7．A[分析 ]→ →由已知可得 A 1(－ 1,0)，F 2(2,0)，设点 P 的坐标为 (x ，y)，则 PA 1·PF 2＝ (－2－ x － 2＋ y 2，由于2→ →1－ x ，－ y) ·(2－ x ，－ y)＝ xx 2－ y ＝ 1(x ≥ 1)，因此 PA1·PF 2＝ 4x 2－ x － 5，3→ →当 x ＝ 1 时， PA 1·PF 2有最小值－ 2.应选 A.8．C [ 分析 ] (5,0) 是双曲线的右焦点，它到双曲线左极点的距离为 9，因此以 (5,0)为圆心，以 9 为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，因此共有3 个这样的点． 9． y ＝ ± 6 [分析 ] 双曲线 22 的渐近线方程为 2x ± 3y ＝ 0，即 y ＝ ± 6 x.3 x 2x － 3y ＝ 1 3210． 4ab ＝ 1 [分析 ]易知双曲线 Γ的方程为 x－ y 2＝ 1，设 P(x 0， y 0)，又 e 1＝ (2,1) ， e 24→＝(2 ，－ 1)，由 OP ＝a e 1＋b e 2，得 (x 0，y 0)＝a(2， 1)＋ b(2，－ 1)，即 (x 0， y 0)＝ (2a ＋ 2b ， a － b)， ∴ x 0＝ 2a ＋2b ， y 0＝ a － b ，代入 x 2－ y 2＝ 1 整理得 4ab ＝ 1.45 5 ] 当焦点在 y 轴上时， a 4 ，即 9a 2 2225 11. 或 [ 分析 ＝＝ 16b ＝ 16(c－ a )，解得 e ＝ ；当3 4 b 4 b 3 54焦点在 x 轴上时， ，即 16a 2 2 22a ＝ ＝ 9b ＝ 9(c －a )，解得 e ＝ .3312． [解答 ] (1)| MF |＝ x － 5 2＋ y 2，点 M 到直线 l 的距离 d ＝ x －9 ，x － 5 2＋ y25依题意，有9＝ 5，3x － 5去分母，得 3x － 5 2 ＋y 2＝|5x － 9|，22xy平方整理得－＝1，即为点 M 的轨迹方程．(2)设点 P 坐标为 P(x ，y) ，由 |OP|＝ 34得 x 2＋ y 2＝ 34，22x－ y＝ 1，x ＝3 2，x ＝－ 3 2，或x ＝－ 3 2， 解方程组 916 得或或x 2＋ y 2＝ 34，y ＝ 4y ＝－ 4y ＝4x ＝ 3 2，y ＝－ 4，∴点 P 为 (3 2， 4)或 (－ 3 2，－ 4)或(－ 3 2，4)或 (3 2，－ 4)．【难点打破】x 2y 213． [解答 ] (1) 由题意可设所求的双曲线方程为a 2 －b 2＝ 1(a>0 ， b>0) ，则有 e ＝ c＝ 2， c ＝2，因此 a ＝ 1，则 b ＝3，ay 22因此所求的双曲线方程为 x － 3＝1. (2)由于直线 l 与 y 轴订交于 M 且过焦点 F(－ 2,0)， 因此 l 的斜率必定存在，设为 k ，则 l ： y ＝ k(x ＋ 2)， 令 x ＝ 0，得 M(0,2k)，→ →由于 |MQ |＝ 2|QF |且 M 、 Q 、 F 共线于 l ，→ → → →因此 MQ ＝ 2QF 或MQ ＝－ 2QF.→ → 4 ，y Q ＝ 2 k ， 当 MQ ＝ 2QF 时， x Q ＝－ 3 3因此 Q 的坐标为－ 4， 2k ，3 y 2 32由于 Q 在双曲线 x － 3＝1 上，16 4k 221因此 9－ 27 ＝ 1，因此 k ＝ ± 2 ，± 21因此直线 l 的方程为 y ＝ 2 (x ＋ 2)，→ →当 MQ ＝－ 2QF 时，同理求得 Q(－4，－ 2k)代入双曲线方程得，4k 2 3 5，16－ 3 ＝ 1，因此 k ＝± 23 5因此直线 l 的方程为 y ＝ ± 2 (x ＋ 2)． 综上：所求的直线l 的方程为 y ＝ ±213 52 (x ＋ 2)或 y ＝ ± 2 (x ＋ 2)．。
2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题、每小题5分，共60分、在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项、1、（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A、{1，4}B、{2，3}C、{9，16}D、{1，2}2、（5分）=（）A、﹣1﹣iB、﹣1+iC、1+iD、1﹣i3、（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A、B、C、D、4、（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A、y=B、y=C、y=±xD、y=5、（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A、p∧qB、￢p∧qC、p∧￢qD、￢p∧￢q6、（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A、S n=2a n﹣1B、S n=3a n﹣2C、S n=4﹣3a nD、S n=3﹣2a n7、（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A、[﹣3，4]B、[﹣5，2]C、[﹣4，3]D、[﹣2，5]8、（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A、2B、2C、2D、49、（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A、B、C、D、10、（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A、10B、9C、8D、511、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、16+8πB、8+8πC、16+16πD、8+16π12、（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A、（﹣∞，0]B、（﹣∞，1]C、[﹣2，1]D、[﹣2，0]二、填空题：本大题共四小题，每小题5分、13、（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）、若•=0，则t=、14、（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为、15、（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为、16、（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=、三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、17、（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5、（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和、18、（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19、（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积、20、（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4、（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值、21、（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C、（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则MN =（ ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以MN {2,1,0}=--，选C.2、21i=+（ ） （A） （B ）2 （C（D ）1 【答案】C 【解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以21i =+ C. 3、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。
作出可行域如图,平移直线233zy x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A）2 （B1 （C）2 （D1 【答案】B 【解析】因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得c =117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为72231s i n s i n (()12342222πππ=++，所以11sin ()12222bc A =+=，选B. 5、设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） （A（B ）13 （C ）12（D【答案】D【解析】因为21212,30P F F F P F F ⊥∠=,所以2122tan 30,PF c PF ===。
课时作业(五十一)B [第51讲 双曲线][时间：35分钟 分值：80分] 基础热身1．下列双曲线中，离心率为62嘚是( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 26＝1 C ．－x 22＋y 24＝1 D ．－x 22＋y 26＝12． 双曲线x 2m －y 23m ＝1嘚一个焦点是(0,2)，则实数m 嘚值是( )A ．1B ．－1C ．－105 D.1053．若k ∈R ，则“k>5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”嘚( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4． 若椭圆C 嘚焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 24＝1嘚顶点和焦点，则椭圆C 嘚方程是________．能力提升5． 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P(2,1)嘚双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 6． 设双曲线嘚一个焦点为F ，虚轴嘚一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线嘚一条渐近线垂直，那么此双曲线嘚离心率为( )A.2 B.3 C.3＋12D.5＋127． 已知双曲线x 2－y 23＝1嘚左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→嘚最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．08． 双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)嘚距离是9嘚点嘚个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．49． 双曲线2x 2－3y 2＝1嘚渐近线方程是________．10． 在平面直角坐标系中，双曲线Γ嘚中心在原点，它嘚一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线嘚方向向量．任取双曲线Γ上嘚点P ，若OP →＝ae 1＋be 2(a 、b ∈R)，则a 、b 满足嘚一个等式是________．11．双曲线嘚渐近线为y ＝±43x ，则双曲线嘚离心率为________．12．(13分)点M(x ，y)到定点F(5,0)距离和它到定直线l ：x ＝95嘚距离嘚比是53.(1)求点M 嘚轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP|＝34(O 为坐标系原点)．难点突破13．(12分)已知双曲线嘚中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)． (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 嘚直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 嘚方程．课时作业(五十一)B 【基础热身】1．C [解析] 计算知，选项C 正确，故选C.2．B [解析] 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，m<0，∴双曲线嘚标准方程为y 2－3m －1－m ＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.3．A [解析] 当k>5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k>5或k<－2.故选A.4.x 29＋y 24＝1 [解析] 由题意可知，双曲线x 25－y 24＝1嘚一个焦点和一个顶点嘚坐标分别为(3,0)、(5，0)．设椭圆C 嘚方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭圆C 嘚方程为x 29＋y 24＝1.【能力提升】5．B [解析] 椭圆嘚焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1嘚焦点为(±3，0)，且经过点P(2,1)．故选B.6．D [解析] 设双曲线嘚方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F(c,0)，B(0，b)，直线FB 嘚斜率为－bc ，与其垂直嘚渐近线嘚斜率为b a ，所以有－b 2ac ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52.7．A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 嘚坐标为(x ，y)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x 2－x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选A.8．C [解析] (5,0)是双曲线嘚右焦点，它到双曲线左顶点嘚距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线嘚右支有两个交点，所以共有3个这样嘚点．9．y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1嘚渐近线方程为2x±3y ＝0，即y ＝±63x.10．4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ嘚方程为x 24－y 2＝1，设P(x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝ae 1＋be 2，得(x 0，y 0)＝a(2，1)＋b(2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b)， ∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ，代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1.11.53或54 [解析] 当焦点在y 轴上时，a b ＝43，即9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，解得e ＝54；当焦点在x 轴上时，b a ＝43，即16a 2＝9b 2＝9(c 2－a 2)，解得e ＝53.12．[解答] (1)|MF|＝x －52＋y 2，点M 到直线l 嘚距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95，依题意，有x －52＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95＝53， 去分母，得3x －52＋y 2＝|5x －9|，平方整理得x 29－y 216＝1，即为点M 嘚轨迹方程．(2)设点P 坐标为P(x ，y)， 由|OP|＝34得x 2＋y 2＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1，x 2＋y 2＝34，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－4，∴点P 为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4)．【难点突破】13．[解答] (1)由题意可设所求嘚双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，则有e ＝ca ＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3，所以所求嘚双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F(－2,0)， 所以l 嘚斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k(x ＋2)， 令x ＝0，得M(0,2k)，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →. 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 嘚坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23k ，因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 嘚方程为y ＝±212(x ＋2)，当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 嘚方程为y ＝±352(x ＋2)．综上：所求嘚直线l 嘚方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。
