高中数学双曲线的第二定义

第三讲 双曲线的第二定义知识梳理（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e  到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x a2 的距离 cc (e>1) a定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。

（二）焦点三角形的面积公式。

S1  r1r2 sin   b 2 tan 2 23.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程x2 y 2   1(a  0.b  0) a 2 b2b x a a2 x c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0  a yy 2 x2   1(a  0.b  0) a 2 b2a x b a2 y c y准线方程半径公式r右 =|MF2 |=ex 0  a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 a r右 =|MF2 |=-ex 0  a典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线x2 y 2   1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12x2 y 2   1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x  2 y  0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y  16 13 ，求双曲线的标准方程。

133 x 21所以双曲线方程为x2 y 2    （   0 ）在分   0 时   4 和   0 时。

。

。

4 9题型二：双曲线第二定义及其运用 例 2：设一动点到 F(1,0)和直线 x=5 的距离之比为 3 。

求动点的轨迹方程。

练习：已知双曲线x2 y 2   1(a  0, b  0) 的左右焦点分别为 F1F2 ，点 P 是左支上的一点，P 到左准线的 a 2 b2距离为 d ，若 y  3x 是已知双曲线的一条渐进线，则是否存在这样的 P 点使得 d , | PF1 |,| PF2 | 成为等比 数列？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。

2019-2020年高二数学双曲线的第二定义的应用教学目的要求；1.求双曲线的标准方程.２.双曲线的准线及其方程.教学重点；双曲线性质的应用教学难点：性质的应用教学方法：学导式学法指导：1、渗透数形结合思想；2.、提高学生解题能力。

3、与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律教具准备：投影片教学过程练习：1、过双曲线的右焦点作一条长为的弦AB（AB均在右支上），则A，B两点互右准线的距离和（）A 8BC D2、双曲线上一点P到一个焦点的距离为4，则P到较远的距离为（）A、 B、或 C、 D、或例１：已知双曲线右支上一点,F1、F2分别为左、右焦点，若，试求P坐标例2：已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，双曲线左支上有一点P，设点P到左准线的距离为d，且d，，恰好成等比数列。

试求点P的坐标变：例3、P为双曲线左支上一点，P到左准线的距离为分别为左右焦点，且成等比数列。

（1）当满足条件的点P存在时，求离心率的取值范围；（2）若C的一条渐近线是，问满足条件的点P是否存在，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由。

投影幕例题练习2019-2020年高二数学双曲线的简单几何性质一教学目的要求；1．掌握双曲线的基本性质2．会求解有关的性质；教学重点；双曲线的基本性质教学难点：双曲线基本性质的应用教学方法：学导式学法指导：1、渗透数形结合思想；2.、提高学生解题能力。

3、与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律教具准备：投影片教学过程一、复习旧知：１、椭圆的简单性质：范围、对称性、顶点、离心率，二、讲授新课对双曲线１、范围，|x|≥a,即x≥a,x≤-a２、对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.（同椭圆）３、顶点：（±a,0）.线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上。

圆锥曲线复习（二)---—双曲线一.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y图形性质 焦点F 1（-)0,c ，F 2()0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 ｜ F 1F 2|=2c222c b a =+范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称 顶点 (-a ，0）。

（a ，0） （0，—a ）（0，a ） 轴 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率)1(>=e ac e 准线 c a x 2±=ca y 2±= 渐近线0=±bya x 0=±ayb x 到焦点的,c a =-最近距最远距无b Rt ∆焦渐距，第二个二、常见的结论：（1）与双曲线22221x y a b -=共同的焦点的双曲线22221x y a k b k-=-+(2）与双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0),有共同渐近线的双曲线系方程为λ=-2222by a x (a 〉0，b>0，λ≠0）, 当 λ>0 时，所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 当 λ〈0 时,所求双曲线的焦点与已知的在同一坐标轴上 (3）等轴双曲线的性质：离心率为2，渐近线方程为y=±x 等轴双曲线可以设为x 2-y 2=λ≠0（4）双曲线形状与e 的关系：b k a ===，e 越大,即渐开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。

三、求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或定义法(强调取一支还是两支）。

高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

双曲线第二定义公式
双曲线第二定义公式表示沿着曲面上某点处的法线与X轴和Y轴
的叉乘量等于特定常数。

双曲线二，也称为拉氏双曲线，是几何图形
中常见的一种几何体。

它由若干曲线部分构成，具有两个端点，双曲
线的弧线可以总结为共轭的线段，这意味着沿着环的每一条边可以构
成一个共轭的线段。

双曲线有两种类型，具有不同的几何形状，它们被称为双曲线第
一和双曲线第二。

双曲线第一称为抛物线，它的形状为一个开口的椭圆，该椭圆使得它的X轴坐标比它的Y轴坐标要更大，X轴坐标会比它的Y轴坐标更长。

双曲线第二称为交叉双曲线，它的形状为一个一半
打开的对称椭圆，它的X轴坐标和Y轴坐标等长。

双曲线第二定义公式反映了双曲线第二几何图形的特点，它指出，沿双曲线曲线上某点处的法线与X轴和Y轴的叉乘量等于特定的常数。

这就是说当沿着双曲线第二的一条线上的一个特定点处进行一次偏移时，它会在X轴和Y轴上产生不同的变化，使得它们的叉乘量都等于
常数K。

双曲线第二定义公式可以用来计算任何椭圆形图形和双曲线第二
几何图形的变换参数，这样就可以用来研究特定图形的变形特性。

该
定义公式也可以用来定义一条双曲线曲线的开口角度。

由此可见，双
曲线第二定义公式对于理解和研究双曲线第二几何图形的性质和特征
非常重要。

课题：双曲线的第二定义【学习目标】1、掌握双曲线的第二定义；2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；一、双曲线中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义： a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： )0(,222>>=+=a c ac e b a c （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．双曲线的第二定义的推导例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭|，c a =．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设222c a b -=，就可化为22221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以双曲线有两条准线． 例2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的12，求这个动点的轨迹方程． 解：由题设知离心率2e =，又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，所以2c a =，21a c c -=，解得2433a c ==，． 所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 又243b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=． 评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是()0,26±，渐近线方程是x y 23±=，则它的两条准线间的距离是___________； 2、若双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为8，则点p 到右准线的距离为___________； 3、设双曲线1242522=-y x 上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________； 4、已知双曲线1366422=-y x 上点p 到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________； 5．双曲线16x 2―9y 2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）（A ）4, 3, 417 （B ）8, 6, 417 （C ）8, 6, 45 （D ）4, 3, 45 6．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8， e =45的双曲线的标准方程为（A ） （A ）221169x y -= （B ）2211625x y -= （C ）221916x y -= （D ）2212516x y -= 7．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（A ） （A ）767 （B ）737 （C ）185 （D ）1658．若双曲线2216436y x -=上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是（D ）（A ）10 （B ）7 （C ）27 （D ）3259．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）（A ）y 2―x 2=8 （B ）x 2―y 2=±8 （C ）x 2―y 2=4 （D ）x 2―y 2=810．以y =±32x 为渐近线的双曲线的方程是（D ） （A ）3y 2―2x 2=6 （B ）9y 2―8x 2=1 （C ）3y 2―2x 2=1 （D ）9y 2―4x 2=3611．等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 （090,2）12．从双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离是 .(b) 13．与2214924x y +=有公共焦点，且离心率e =45的双曲线方程是 (191622=-y x ) 14．以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 . (15322=-y x )15．已知双曲线1366422=-x y 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：596） 四、课后作业1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B ）（A ）23x ―y 2=1与y 2―23x =1 （B ）23x ―y 2=1与22193x y -= （C ）y 2―23x =1与x 2―23y （D ）23x ―y 2=1与22139y x -= 2．若共轭双曲线的离心率分别为e 1和e 2，则必有（D ）（A ）e 1= e 2 （B ）e 1 e 2=1 （C ）1211e e +=1 （D ）221211e e +=1 3．若双曲线经过点(6, 3)，且渐近线方程是y =±31x ，则这条双曲线的方程是（C ） （A ）221369x y -= （B ）221819x y -= （C ）2219x y -= （D ）221183x y -= 4．双曲线的渐近线为y =±43x ，则双曲线的离心率为（C ） （A ）45 （B ）2 （C ）45或35 （D ）215或35．如果双曲线221169x y -=右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则P 到左准线的距离为（C ） （A ）245 （B ）6910（C ）8 （D ）10 6．已知双曲线4222=-ky kx 的一条准线是y =1，则实数k 的值是（B ）（A ）32 （B ）―32 （C ）1 （D ）―1 7．双曲线2214x y k+=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 .)0,12(- 8．若双曲线221169x y -=上的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离是 .(889) 9．双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 .(1:3)10．在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点A (x 1, y 1), B, 6), C (x 3, y 3)与焦点F 间的距离成等差数列，则y 1+y 3等于 .(12)。

疱丁巧解牛知识·巧学双曲线1 .第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.双曲线第二定义：平面内到一定点F 与定直线l ，(F 不在l 上)的距离之比为e ，当e ＞1时动点轨迹叫双曲线.①若|MF 1|-|MF 2|=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线;②若|MF 1|-|MF 2|=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线;③若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线; ④若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.深化升华 当题目中出现双曲线上的点到焦点的距离，常用椭圆的第二定义转化为点到准线的距离来研究.①定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为双曲线；另一方面，双曲线上点有定义中条件的性质.②两个定义的综合运用是解决有些双曲线问题的捷径.2．双曲线的方程（1）双曲线的标准方程（a>b>0）①焦点在x 轴上：2222by a x -=1（a>0,b>0）; ②焦点在y 轴上：2222bx a y -=1（a>0,b>0）. 由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，其步骤是：定型，定量 .涉及几个独立的参变量，那么需要列出与参数变量个数相同的独立等式转化为解方程组来解决.当焦点位置不确定时，方程可以有两种形式，应防止遗漏.（2）中心在（x 0,y 0）的双曲线方程①焦点在直线y=y 0上：220220)()(b y y a x x ---=1; ②焦点在直线x=x 0上：220220)()(bx x a y y ---=1. （3）双曲线的参数方程x=⎩⎨⎧==ααtan ,sec b y a x (α为参数). 方法点拨 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上.注意区分和椭圆相似相近的地方，两种曲线有许多共同点，但是也有许多不同点要注意比较两种曲线的定义.问题·探究问题1 学习双曲线的许多问题都要化做标准方程，在学习标准方程时要注意些什么？探究:（1）把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来.如果双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么这个位置是标准位置.若使方程的右边为1，则左边两项中含x 2的项为正且分母为a 2，含y 2的项为负且分母为b 2，所以方程为2222b y a x -=1. （2）“定量”和“定位”.要求出双曲线的标准方程，就要求出a 2，b 2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a 2，b 2的方程组，解得a 2，b 2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程.因此“定量”是指a,b,c 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a 2,b 2在方程中的位置.问题 2 有些天体运动的轨迹是圆，有些天体运动的轨迹是椭圆，天体运动的轨迹有没有可能是双曲线？运动的轨迹是有什么决定的？探究:物理学中，每一个公式都有其各自的物理涵义.这就是数学和物理的区别.至于列F=ma 解出一个椭圆，不难.但要有微积分的知识，尤其是微分方程.可以简单讲讲过程，其实都是数学的问题：1.建坐标系，分别在三个方向(就是x,y,z)列出万有引力公式（要知道速度是位移的导数，加速度是速度的导数，这就得到三个微分方程）2.化简，得到轨道是一个平面.再变换几下，分别得到能量守恒与动量守恒.3.转换成极坐标系，再解方程，得到ρ=ep （1-ecosθ）（就是解析几何中那个圆锥曲线的统一表达式）,天体运行的轨道可以是椭圆、抛物线或双曲线（取决于初始能量和初始动量）. 有些知识对我们来说还是很陌生的，但是在以后的更深层次的学习中会逐步学习到. 典题·热题例1 讨论ky k x -+-92522=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 思路分析：由于k≠9，k≠25，则k 的取值范围为k<9，9<k<25，k<25，分别进行讨论． 解：（1）当k<9时，25-k>0,9-k>0，所给方程表示椭圆，此时a 2=25-k,b 2=9-k,c 2=a 2-b 2=16,这些椭圆有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（2）当9<k<25时，25-k>0,9-k<0，所给方程表示双曲线，此时，a 2=25-k ，b 2=k-9,c 2=a 2+b 2=16，这些双曲线也有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（3）k<25,k=9,k=25时，所给方程没有轨迹．深化升华 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．例2 在周长为48的直角三角形MPN 中，∠MPN=90°，tanPMN=43，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．思路分析：首先应建立适当的坐标系．由于M,N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a ，|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN 的边长是关键．解：∵△MPN 的周长为48，且tanPMN=43, ∴设|PN|=3k ，|PM|=4k ，则|MN|=5k ．由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系.设所求双曲线方程为2222by a x +=1（a>0,b>0）． 由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a 2=4．由|MN|=20，得2c=20,c=10．由b 2=c 2-a 2=96，得所求双曲线方程为96422y x -=1． 方法归纳 坐标系的选取不同，则曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．例3 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0)、A 1（1,0）的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，讨论点P 的轨迹．思路分析：本题的关键在于讨论a ．因|AA 1|=2，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：a=0,a ∈（0,2）,a=2,a>2．解：|AA 1|=2．(1)当a=0时，轨迹是线段AA 1的垂直平分线，即y 轴，方程为x=0．(2)当0<a<2时，轨迹是以A 、A 1为焦点的双曲线，其方程为4142222a y a x --=1. (3)当a=2时，轨迹是两条射线y=0（x≥1）或y=0（x≤-1）．(4)当a>2时无轨迹．误区警示 (1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．例4 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东6千米处，C 在B 正北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．思路分析：点P 到B 、C 距离相等，因此点P 在线段BC 的垂直平分线上．又|PB|-|PA|=4，因此P 在以B 、A 为焦点的双曲线的右支上．由交轨法可求点P 的坐标，进而求炮击的方位角．解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B （-3,0）、A （3,0）、C （-5,32）.因为|PB|=|PC|，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上．因为k BC =3-,BC 中点D （-4，3），所以直线PD ：313=-y （x+4） ①又|PB|-|PA|=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．设P （x,y ），则双曲线方程为5422y x -=1（x≥0） ② 联立①②式，得x=8,y=35,所以P （8,35）．因此k PA =33835=-． 故炮击的方位角为北偏东30°.方法归纳 空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定．这是解析几何的一个重要应用．。

双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）； 对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。

3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。

设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e ca x MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ 其中12F F 、分别是双曲线的下、上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。