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对课本一道例题的课后反思做为一名教师，常做课后教学反思，会有意想不到的收获。
在教学中学习和积累，形成经验，变成独到，步向学者专家。
而学会教学是反思教学的直接目的，教会学生学习是终极目的。
教师需要从学生学会学习的角度去思考，最终实现“两个学会”的统一。
课后反思作为五课活动的一个重要环节,在教师的教学中起着极为重要的作用。
所以我们教师应该经常反思自己的课堂教学,从反思中获得感悟,从反思中得到提高和升华。
下面是本人对《数学必修2》中《 4.2直线与圆的位置关系》例2的课后反思. 。
例2：已知过点M （-3，-3）的直线L 被圆021422=-++y y x 所截得的弦长为54 求直线L 的方程。
在讲授本例题时，我按照教材的解法进行讲解的，过程如下： 解：将圆的方程写成标准形式得：25)2(22=++y x 所以，圆心的坐标是O （0，-2）半径r=5，所以弦心距为：L 的距离为：5，又因为L 过点M （-3，-3）所以可设直线L 的方程为：)3(3+=+x k y 即033=-+-k y kx ，由点到直线的距离得圆心到直线的距离： d=13322+-+k k ，即 513322=+-+k k 得 02322=--k k解得，k=21- 或 k=2所以直线有两条，它们的方程分别为：092=++y x 或032=+-y x在讲解本例题时，本人用课本介绍的方法给学生进行了讲解。
但课后才发现，这种解法有点欠妥，如果在本题中把弦长改为8。
然后按在课堂上讲授的思路进行解题，过程如下： 解：弦心距为3)28(522=- 又因为L 过点M （-3，-3）所以可设直线L 的方程为)3(3+=+x k y 即 033=-+-k y kx 所以圆心到直线的距离为:13322+-+=k k d 因此 313322=+-+k k 即解得 34-=k所以所求直线方程为： 02134=++y x这样得到过点M （-3，-3）弦长为8的直线有一条。
评价研究2014-03对课本一道例题解法的反思文/李国强在数学必修4第一章1.4.2节中求三角函数周期的例题2（课本34页）中，开始时总觉得学生有点难理解，当时问了旁边的学生，学生确实同感。
后来必修4学完后，经过反思，我对三角函数求周期的问题也有了进一步的了解与认识。
现在和大家一起分享我的反思过程。
学习三角函数的图象后，不难发现三角函数值及其图象具有“周而复始”的变化规律，如下图所示的正弦函数和余弦函数的图象y通过函数图象我们可以观察到每隔2k π（k ∈Z）个单位，函数图象以及函数值都会重复出现，根据周期函数的定义知：而对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定定义域内的每一个值时，都有f （x+T ）=f （x ），那么f （x ）就是周期函数，而T 就是这个函数的周期，所以正弦函数和余弦函数也是周期函数.三角函数的周期性是三角函数最基本、最重要的性质之一。
在必修4第一章1.4.2节中的例题2中就是有关求三角函数周期的例题。
下面是摘自课本原题的一个小题。
课本（必修4）第34页求下列函数的周期。
例2（2）y =sin2x ，x ∈R ，解：∵sin2（x +π）=sin （2x +2π）=sin2x ，∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为π对于以上例题所用的解法，看似简单但对学生来说，却不太容易理解。
很多学生都会提出质疑：例2的小题是类似f （x ）=sin x 的正弦函数，但它们都不是正弦（或余弦）函数。
所以没办法直接用我们学习正弦函数的周期2k π直接带入，此时也并不懂得如何去求类似正弦函数的周期函数的周期。
而课本在解答时为何直接在函数的变量后加一个π呢？如sin2x =sin2（x +π），正弦函数的周期不是2k π吗？为何此函数不直接写成sin2x =sin2（x +2k π），抑或为什么不在x 后加上2π，3π，4π…n π呢？同样的道理为什么2sin （12x -π6）=2sin ［12（x +4π）-π6］？为什么要加上4π，就不加2π，5π，…n π呢？这些问题令很多学生迷惑不解.后来经过仔细阅读，我发现每道题的解答后都有一句话:“由周期函数的定义可知……”但是仅凭周期函数的定义就可以直接这样判断出函数的周期，这样的说法对刚接触周期函数的高一学生来说难度有点大。
一道课本例题的解法思考时逢数学课程改革, 我们在概率的教学过程中遇到了一个例题, 从而引发了备课组内的一场争论, 进而引起我们对以前同类型的概率问题的反思。
现将我们争论的问题作一归纳, 并给出我个人的理解和解决的办法和同行们交流题目某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，质检出不合格产品的概率有多大？(人教A版数学必修3第129页例5)解法1 (教材解法)用1,2,3,4分别表示合格的4听饮料,不合格的2听分别记作,a b，只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品.依次不放回从箱中取出2听饮料,得到的两个标记分别记为x,y,则(x,y)表示一次抽取的结果,即基本事件.由于是随机抽取,所以抽到任何基本事件的概率相等.用A表示抽出的2听饮料中有不合格产品0,A1表示/仅第一次抽出的是不合格产品0,A2表示/仅第二次抽出的是不合格产品0,A12表示/二次抽出的都是不合格产品0,则A1,A2和A12是互斥事件,且A=A1GA2GA12,从而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12).所以P(A)=830+830+230=016.解法2 (来自学生的解法)用1,2,3,4分别表示合格的4听饮料,不合格的2听分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品.一次从箱中取出2听饮料,我们列出试验的所有结果是{1,2},{1,3},{1,4},{1,a},{1,b},{2,3},{2,4},{2,a},{2,b},{3,4},{3,a},{3,b}, {4,a},{4,b},{a,b},共15个基本事件.由于是随机抽取,所以抽到任何基本事件的概率相等.用A 表示/抽出的2听饮料中有不合格产品0,则事件A中包含的基本事件是{1,a},{1, b},{2,a},{2, b},{3,a},{3,b},{4,a},{4,b},{a,b},共9个.所以P(a)=915=0.6.上述两种解法虽然得到了相同的答案，但思路却不同，解法1采用逐次不放回的抽取，即抽法是有次序的，而解法2采用了一次抽取，抽法是无次序的。
由一道课本例题带来的日常教学思考对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思.一、课本上的一道例题：浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处.⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？问题解决——谜底：二、例题教学后的反思：对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。
从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。
当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。
在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。
三、题目变式教学题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。
在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。
．变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。
粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。
此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。
变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。
用数学的魅力来吸引学生——一道练习题的教学过程与反思【背景与理念】在小学数学课堂上,许多教师为了能让学生积极主动地参与学习,经常采用一些物质奖励或设计一些有趣的教学活动等方法来吸引学生。
刚开始使用这些方法时相似非常有效,但过一段时间后学生就感到厌烦了。
许多教师就因此非常困惑,不知拿什么来吸引学生。
记得这么一句话：“当学生的注意力分散时，高明的老师会用数学知识的魅力来吸引学生，激发学生对知识产生好奇、期盼与等待，让他们无拘无束。
”确实，靠外在的形式激发的兴趣，这种兴趣不在数学本身上，所以它的功效会很短暂，对今后的数学学习也起不了多大的作用。
只有让学生对数学本身产生兴趣了，这种兴趣才会成为学生学习数学的动力，并会受益终身。
于是我在平时的课堂教学中，把更多的心思放在挖掘数学自身的魅力上，用它来吸引学生，从而培养学生喜欢数学、乐于探究的良好品质。
以下的教学过程就是在这样的理念指导下设计并进行教学的。
【过程描述】出示题目：你能在下图中围出几种周长是24厘米的长方形或正方形？（此题在人教版教材第五册第48页，下图是边长为1厘米的格子图）学生独立思考后汇报：生1：边长是6厘米的正方形。
生2：长是8厘米、宽是4厘米的长方形。
生3：长是9厘米、宽是3厘米的长方形。
师：还有吗？（没有学生举手，学生的脸上都毫无表情）教师板书：长宽周长6厘米 6厘米 24厘米8厘米 4厘米 24厘米9厘米 3厘米 24厘米师：请同学们观察这些长方形的长与宽，你发现了什么？（一会儿，有好几个学生开始露出了激动的笑脸，并举起了手）生1：它们相加都等于12厘米。
生2：长是10厘米、宽是2厘米也行。
（下面很多学生开始叫：“还有、还有……”）师：请你们把周长是24厘米的长方形的长和宽都写出来好吗？学生写完后汇报：生1：长是11厘米、宽是1厘米的长方形。
生2：长是7厘米、宽是5厘米的长方形。
师：还有吗？（学生思考片刻后有5位学生举手，其他学生好象还在寻找符合条件的长方形）生1：没有了，因为长是5厘米，宽是7厘米的长方形跟长是7厘米、宽是5厘米的长方形是一样的。
