【附20套高考模拟试题】2020届山西省晋中市平遥二中高考数学模拟试卷含答案

山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题1．设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8}，则集合A∩B中的元素共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）3．在复平面内复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A．61 B．13 C．20 D．104．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．5．如图是将二进制111111化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）（2）A．i≤6 B．i＞6 C．i≤5 D．i＞56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱C．钱D．钱7．若圆C1：x2+y2+ax=0与圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，则sinθcosθ=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣8．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2 B．3C．4D．69．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．B．C．D．10．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g （x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠011．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．12．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f （x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3二、填空题13．已知实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最大值是______．14．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，其中A=120°，b=1，△ABC的面积S=，则=______．15．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC﹣ABC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的半径为______．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1）给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e x（1﹣x）②函数f（x）有2个零点③f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2其中正确的命题是______．三、解答题17．已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和S n．18．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点M是棱CC1的中点．（1）在棱AB上是否存在一点N，使MN∥平面AB1C1？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由；（2）当△ABC是等边三角形，且AC=CC1=2时，求点M到平面AB1C1的距离．20．已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．21．已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）[选修4-1：几何证明选讲]22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8}，则集合A∩B中的元素共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8}，∴A∩B={4，7}，则集合A∩B中的元素共有2个，故选：B．2．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得2x﹣2=0，解可得x的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则有1•x=2•（﹣2），即x=﹣4，即=（﹣4，﹣2），则+=（﹣2，﹣1），故选A．3．在复平面内复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，若复数z对应的点C为线段AB的中点，则的值为（）A．61 B．13 C．20 D．10【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据z是A、B的中点，由复平面内的中点坐标公式求出z，则可求，代入可求的值．【解答】解：因为复数6+5i、﹣2+3i对应的点分别为A、B，且若复数z对应的点C为线段AB的中点，所以z=，所以，所以故选C．4．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选D．5．如图是将二进制111111化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）（2）A．i≤6 B．i＞6 C．i≤5 D．i＞5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图程序要要循环5次，根据循环变量的初值为1，步长为1，故循环变量的终值为5，由满足条件时退出循环，分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：由已知中程序的功能是将二进制数111111化为十进制数，（2）共有6位，结合循环体中S=1+2S，及二进制数111111（2）可得循环体要重复执行5次，又由于循环变量初值为1，步长为1，故循环终值为5，即i≤5时，继续循环，i＞5时，退出循环，故选：C．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱C．钱D．钱【考点】等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．7．若圆C1：x2+y2+ax=0与圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，则sinθcosθ=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心坐标，根据圆关于直线对称，得到圆心在直线上，得到tanθ=﹣2，利用1的代换进行求解即可．【解答】解：圆C1：x2+y2+ax=0的圆心坐标为（﹣，0），圆C2：x2+y2+2ax+ytanθ=0的圆心坐标为（﹣a，﹣），∵两圆都关于直线2x﹣y﹣1=0对称，∴圆心都在方程为2x﹣y﹣1=0的直线上，则﹣×2﹣1=0，得a=﹣1，﹣2a+﹣1=0，即2+﹣1=0则=﹣1，即tanθ=﹣2，则sinθcosθ=====﹣，故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A．2 B．3C．4D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原几何体是长方体的一个角，利用勾股定理，基本不等式，确定xy最大时AD的值，代入棱锥的体积公式计算可得．【解答】解：由三视图得几何体为三棱锥，其直观图如图：∴AD⊥BD，AD⊥CD，∴x2﹣7=25﹣y2，∴x2+y2=32，∵2xy≤x2+y2=32，∴xy≤16，当x=y=4时，取“=”，此时，AD=3，几何体的体积V=×3××4×=2．故选：A．9．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用等腰直角三角形求出A，由周期求出ω，由函数的奇偶性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用两角差的余弦公式，求得f（）的值．【解答】解：由题意可得•=KL=1，∴ω=π，KM==，∴A=，∴f（x）=sin（πx+φ）．再结合f（x）为偶函数，以及所给的图象，可得φ=，∴f（x）=cos（πx）．则f（）=cos（）=•cos（﹣）= [cos cos+sin sin]=•[+]=，故选：B．10．已知f（x）=e x﹣x，g（x）=lnx+x+1，命题p：∀x∈R，f（x）＞0，命题q：∃x0∈（0，+∞），使得g （x0）=0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．q是真命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0D．q是假命题，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e0﹣0=1﹣0=1＞0，∴∀x∈R，f（x）＞0成立，即p是真命题．g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，则：∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题．则￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0，￢q：∀x∈（0，+∞），g（x）≠0，综上只有C成立，故选：C11．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．12．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f （x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）==，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）﹣2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．二、填空题13．已知实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最大值是1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象知当直线y=x﹣z经过点A时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（2，0），此时z=×2﹣0=1，故答案为：1．14．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，其中A=120°，b=1，△ABC的面积S=，则=．【考点】正弦定理．【分析】由条件和三角形的面积公式列出方程求出c的值，由余弦定理求出a的值，由正弦定理和分式的性质求出的值．【解答】解：在△ABC中，∵A=120°，b=1，△ABC的面积S=，∴，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=21，则a=，∴由正弦定理得，===，故答案为：．=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC 15．已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的半径为2．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴V P ﹣ABC =V A ﹣PBC =×x=，∴x=2，∵PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴PC 的中点为球心，球的半径为2． 故答案为：2．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=e x （x +1）给出下列命题： ①当x ＞0时，f （x ）=e x （1﹣x ） ②函数f （x ）有2个零点③f （x ）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞） ④∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜2 其中正确的命题是 ③④ ． 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】通过函数的奇偶性的定义求出函数的解析式，判断①的正误；通过分析出函数的零点的个数判断②的正误；直接求解不等式的解集判断③的正误；求出函数的最值判断④的正误． 【解答】解：设x ＞0，则﹣x ＜0，故f （﹣x ）=e ﹣x （﹣x +1）=﹣f （x ）， ∴f （x ）=e ﹣x （x ﹣1），故①错； ∵f （x ）定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0，又x ＜0时，f （﹣1）=0，x ＞0时，f （1）=0，故f （x ）有3个零点，②错； 当x ＜0时，令f （x ）=e x （x +1）＞0，解得﹣1＜x ＜0， 当x ＞0时，令f （x ）=e ﹣x （x ﹣1）＞0．解得x ＞1，综上f （x ）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），③正确； 当x ＜0时，f ′（x ）=e x （x +2），f （x ）在x=﹣2处取最小值为， 当x ＞0时，f ′（x ）=e ﹣x （﹣x +2），f （x ）在x=2处取最大值为， 由此可知函数f （x ）在定义域上的最小值为，最大值为，而=＜2，∴∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜2，④正确． 故答案为：③④．三、解答题17．已知数列{a n }的首项a 1=，a n+1=，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等比关系的确定． 【分析】（Ⅰ）由a n+1=，可得，即可证明数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）分组，再利用错位相减法，即可求出数列{}的前n 项和S n ．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知﹣1=，即，∴．设…，①则…，②由①﹣②得…，∴．又1+2+3+…，∴数列的前n项和．18．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点M是棱CC1的中点．（1）在棱AB上是否存在一点N，使MN∥平面AB1C1？若存在，请确定点N的位置；若不存在，请说明理由；（2）当△ABC是等边三角形，且AC=CC1=2时，求点M到平面AB1C1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）在棱AB上在一点N，使MN∥平面AB1C1，点N为线段AB的中点．下面给出证明：分别取线段AB，AC的中点N，P．连接MP，PN，NM．利用三角形中位线定理可得：MP∥AC1，NP∥BC，又BC∥B1C1，可得NP∥B1C1．再利用线面面面平行的判定定理与性质定理即可证明．（2）先求点A到平面AB1C1的距离h，则点M到平面AB1C1的距离是．由△ABC是等边三角形，且AC=CC1=2，可得点A到平面BCC1B1的距离d=．利用=，即可得出．【解答】解：（1）在棱AB上在一点N，使MN∥平面AB1C1，点N为线段AB的中点．下面给出证明：分别取线段AB，AC的中点N，P．连接MP，PN，NM．又点M是棱CC1的中点，由三角形中位线定理可得：MP∥AC1，NP∥BC，又BC∥B1C1，可得NP∥B1C1．又MP⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，∴MP∥平面AB1C1，同理可证PN∥平面AB1C1，又PN∩PM=P．∴MN∥平面AB1C1．（2）先求点A到平面AB1C1的距离h，则点M到平面AB1C1的距离是．∵△ABC是等边三角形，且AC=CC1=2，∴点A到平面BCC1B1的距离d=.==2．AC1=AB1==2．∴==．∵=，∴=，∴h==．∴=．∴点M到平面AB1C1的距离为．20．已知两点A（﹣2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，过点P且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线C于Q，R，求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设点M（x，y），通过K AM•K BM=﹣，即可求出所在的曲线C的方程．（2）求出，设直线PQ的方程，与椭圆方程联立消去y，通过x=1是方程的一个解，求出方程的另一解，求出直线RQ的斜率，把直线RQ的方程代入椭圆方程，求出|PQ原点O到直线RQ的距离，表示出面积S△OQR，求解最值．【解答】解：（1）设点M（x，y），∵K AM•K BM=﹣，∴，整理得点所在的曲线C的方程：．（2）由题意可得点，直线PQ与直线PR的斜率互为相反数，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2+3）x2+（12k﹣8k2）x+（4k2﹣12k﹣3）=0，由于x=1是方程的一个解，所以方程的另一解为，同理，故直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得x2+bx+b2﹣3=0，所以|PQ|==原点O到直线RQ的距离为，S△OQR==≤=．21．已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）在其定义域上为增函数⇔f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．通过分离参数a，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）当a=1时，g（x）=.．由于函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，可知：方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．再利用导数研究其单调性、函数的零点即可．【解答】解：（1）：函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=lnx+x2+ax，∴．∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．∴对x∈（0，+∞）都成立．当x＞0时，，当且仅当，即时，取等号．∴，即．∴a的取值范围为．（2）当a=1时，．．∵函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．令（x＞0），由于x＞0，则，∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递减．∵，，∴函数φ（x）的零点x0∈（3，4）．∵方程φ（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，t∈N*∴t≤3．∵t∈N*，∴t的最大值为3．[选修4-1：几何证明选讲]22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据AC⊥OB，及AD是圆O的直径，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，从而得到，又GC=AG，所以，从而得到证明；（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG，再根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可．【解答】（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）所以Rt△AGB和Rt△DCA相似所以又因为OG⊥AC，所以GC=AG所以，即BA•DC=GC•AD（2）解：因为AC=12，所以AG=6，因为AB=10，所以由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以所以AD=15，即圆的直径2r=15又因为AB2=BM•（BM+2r），即BM2+15BM﹣100=0解得BM=5．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；伸缩变换．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．【解答】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y﹣2﹣1=0曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；…（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，则点M参数方程为，代入x+y得，x+y=•2cosθ+=2sin=4sin（）∈[﹣4，4]∴x+y的取值范围是[﹣4，4]…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式；对数函数图象与性质的综合应用；绝对值不等式的解法．【分析】对于（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域．根据m=5和对数函数定义域的求法可得到：|x+1|+|x ﹣2|＞5，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．对于（2）由关于x的不等式f（x）≥1，得到|x+1|+|x﹣2|＞m+2．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+2＜3，求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥1．即|x+1|+|x﹣2|≥m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．。

2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（A 卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合2{|20}A x x x =+-…，{|B x y ==，则()(R A B =I ð ) A ．[0，1) B ．(1,)+∞C ．[0，2)D ．(2,1)-2．（5分）若复数1(2aii i-+为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为( ) A ．1B ．0C ．1D ．23．（5分）若||2a =r ，||1b =r ，且(4)a a b ⊥-r r r ，则向量a r，b r 的夹角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．（5分）若x y >，则下列不等式恒成立的是( ) A ．11x y<B ．tan tan x y >C ．()0ln x y ->D ．1133x y >5．（5分）给定下列四个命题，其中真命题是( ) A ．垂直于同一直线的两条直线相互平行B ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C ．垂直于同一平面的两个平面相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 6．（5分）已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点0(P x ，2)，若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则||OP 等于( )A ．B ．C ．4D ．7．（5分）已知函数21()sin (0)2f x x ωω=->的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移(0)a a >个单位，所得图象关于3x π=对称，则实数a 的最小值为( )A ．4π B ．3π C ．34π D ．π8．（5分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20，80)mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过( )A ．2小时B ．4小时C ．6小时D ．8小时9．（5分）已知a 为正整数，tan 11ga α=+，tan 1ga β=，且4παβ=+，则当函数()sin 3cos ([0,])f x a θθθπ=-∈取得最大值时，(θ= )A ．2πB ．23π C ．56π D ．43π 10．（5分）某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12．若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是( )A ．12B ．14C ．16D ．1811．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆222:O x y b +=相交于A ，B ，C ，D四点，如图所示，点F 是双曲线C 的左焦点，且||3||AF CF =，则双曲线C 的离心率为()A 2B 3C ．2D 512．（5分）函数()21f x x =-，2()24g x x x =-+，若存在1x ，2x ，⋯⋯，[1n x ∈，5)，其中*n N ∈且2n …，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋯⋯++=++⋯⋯++，则n 的最大值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X 表示投进的次数，则()E X = ．14．（5分）已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1(1)(0a f x og x a =->且1)a ≠-，且0.5(116)2f og =-，则a = ．15．（5分）现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB 重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ；该三棱锥体积的最大值为 ．16．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且sin2sin 0a B b A +=，若ABC ∆的面积3S b ，则ABC ∆面积的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学 不喜欢国学合计 男生 20 50 女生 10 合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X ，。

2020年山西省高考数学（理科）模拟试卷（1）•选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）(5 分)已知集合 A = {0 , 1, 2, 3}，集合 B = {x|X S 2}，贝U A n B =(OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（A .充分不必要条件B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件2. 3. A . {0 , 3} （5分）若复数 骨（5分）如图, 中点，在M , B • {0 , 1, 2} C . {1 , 2}{0 , 1 , 2, 3}z 满足z （1 - i ） 2= i （i 是虚数单位），则|z|为 B .寺 在圆心角为直角半径为 2的扇形OAB 区域中, M , N 分别为OA , OB 的N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA , OB 为直径4. 兀B .--1 22（5分）“三个实数a , b , c 成等差数列”是“ 2b = a+c “的（ 5. (5 分)函数 f(x) =—|31的图象大致为（1.的圆，在扇形 C .充要条件6. （ 5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等•如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a , b 分别为5, 2,则输出的n =（& （ 5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）D. 7.8展开式中x 3的系数为（C . 3A . - 122B . 28C . 56D . 112?x €值范围是（A . 36+12 nB .36+167tC . 40+12 nD . 40+16 n9. （5分）已知点 M 的坐标（x , y ） 满足不等式组 2x+y-4^0r-y-2^0y-3<0,N 为直线y =- 2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（B.' C . 1D.'5521 （a > b >0）的左顶点、上顶点和左焦点分别为A ,B , F ,中心为O ,其离心率为 ，贝V ABF : BFO =(A . 1: 1B . 1: 2C .D .一11. (5 分)已知向量：'=(x 2, 1 - 2ax ), ,]=( a , 1）,函数g （x ）=p 蔦在区间［2 , 3］上有最大值为4,f (x )= ，不等式 f （2x -k?2x > 0在x€［2 , 3］上恒成立，则 k 的取A . (-a,0]B . (-a，亍］C . (-a, 1]D . (-a,g1612. （ 5分）设奇函数f （x ）的定义域为（- 一〒，—），且f （X ）的图象是连续不间断,2）A .10. （ 5分）已知椭圆（-今，0），有f'( x) cosx+f (x) sinx> 0, 茎 f (m)v f ( ) cos (- m),的取值范围是（?x€MN 折起得到四棱锥 A - MNCB •点P 为四棱锥A - MNCB 的外接球球面上任意一点，当 四棱锥A - MNCB 的体积最大时，F 到平面MNCB 距离的最大值为16. （5分）《聊斋志异》中有这样一首诗： "挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无兀 兀、f / c 兀、—,-一）B.（o )C.(-(共4小题，满分 20分，每小题 5分）A，_)D J —,一13. (5 分) 1（a >0,点，P 是双曲线上一点, |PO|= c , △ FOF 的面积为,则该双曲线的离心率为 14. (5 分)若函数 f (x )= 2sin ( w x+ $)(5 >Q,| Q | V —)的部分图象如图所示，则 ,M ，N 分别为AB , AC 的中点，将△ AMN 沿三.解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17. （12分）已知△ ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 满足:二二---- "I:二in . （1 ）若b 2= ac ,试判断△ ABC 的形状，并说明理由; （2）若衬』，求厶ABC 周长I 的取值范围.18. （12分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是梯形,=—BC = 2, PB 丄AC .2AD // BC , AB = AD = DC（1）证明：平面 FAB 丄平面ABCD ; （2）若已知双曲线A .(- 二.填空题，则按照以上规律，若 41具有穿墙术，则n =所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”19. (12分)对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到•已知学校要求每天早晨7：15之前到校，7：15之后到校记为迟到•小明每天6: 15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6: 45小明就可以出门去上学•从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X (分钟)表示步行到校的时间，可以认为X〜N (22 , 4).若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y (分钟)描述骑车到校的时间，可以认为丫〜N (16, 16).若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z (分钟)描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z〜N (10, 64).(1)若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6: 40 了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6: 50.请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？(2)已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量E表示这五天小明上学骑车的费用，求E的期望与方差(此小题结果均保留三位有效数字)已知若随机变量n 〜N( 0, 1)，贝y P (- 1< n< 1) = 68.26%, P (- 2 < n< 2)= 95.44%,P (- 3< n< 3 )= 99.74%.20. (12分)已知椭圆一+一 .. = 1 (a > b>0)的右焦点F的坐标为(1, 0),离心率e=(I)求椭圆的方程；(n)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF丄QF , C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点.(i)求证：A为BC的中点；2 x21. (12 分)已知函数f (x)= x2-ae x- 1.(1 )若f (x)有两个不同的极值点x i, x2,求实数a的取值范围;(2 )在(1 )的条件下，求证：』1 +』匸＞_.SL四•解答题(共1小题，满分10分，每小题10分)22. (10分)直角坐标系xOy中直线I: y=- x,圆C的参数方程为参数).(1)求C的普通方程，写出I的极坐标方程；(H)直线I与圆C交于A, B, O为坐标原点，求I；-,.五•解答题(共1小题)x x+123. 已知函数f (x)= 4 - a?2 +a+1(1 )若a = 2,求不等式f (x)v 0的解集；(2)求函数f (x)在区间［1 , 2］上的最小值h (a).es ：（。

2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，，则A. B. C. D.2.若复数为虚数单位，则的值为A. B. C. D.3.若，，且，则向量，的夹角为A. B. C. D.4.若，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.5.给定下列四个命题，其中真命题是A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为3，则等于A. B. C. 4 D.7.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，则该同学10次测评的平均成绩为A. 12B.C.D. 118.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为A. B. C. D.9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过A. 2小时B. 4小时C. 6小时D. 8小时10.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，A. B. C. D.11.已知双曲线，点F是双曲线C的左焦点，过原点的直线交双曲线C于A，B两点，且，，如图所示，则双曲线C的离心率为A.B.C. 2D.12.函数，若存在正实数，，，，其中且，使得，则n的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种900株花卉，如图所示，则阴影部分能栽种的株数为______．14.已知函数是奇函数，当时，且，且，则______．15.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若的面积，则面积的最小值为______．16.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，则三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面ABC，且，且，D为PA的中点．求证：直线平面ABC；求多面体的体积．18.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系？针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，求选出的两人均为女生的概率．参考数据：，．19.已知等差数列前n项和为，，．求数列的通项公式及前n项和；设，求前2n项和．20.设椭圆E：长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．求椭圆E的方程；设过原点O的直线交椭圆于A，B两点B不在坐标轴上，连接AF并延长交椭圆于点C，若，求四边形ABCD面积的最大值．21.已知函数．讨论的单调性；当时，证明：；证明：．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和的直角坐标方程；已知曲线的极坐标方程为，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A，B均异于极点O，求的值．23.已知关于x的函数．若存在x使得不等式成立，求实数a的取值范围；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为集合，集合，所以．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：若，，且，设向量，的夹角为，，则，求得，，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4.答案：D解析：解：由幂函数的性质可知，函数在R上单调递增，又，，故选：D．利用幂函数的性质可知选项D正确．本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．5.答案：D解析：解：如图所示，在长方体中：，，但是与不平行，所以A错；平面与平面相交，但是内平行于的直线都平行于，所以B错；平面平面，平面平面，但是这两个平面不平行，所以C错；故选：D．画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．6.答案：B解析：解：设抛物线的方程为，由抛物线定义知，，，抛物线方程为，点在抛物线上，，．故选：B．先由抛物线的定义建立关于p的方程，解之可得p的值以及抛物线的方程，再把点P的坐标代入可求得，最后利用两点间距离公式即可得解．本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：因为中位数为12，所以，．所以该组数据的平均数为：，故选：B．由中位数求出，整体代换求平均值．本题考查中位数、平均数的求法，属于基础题．8.答案：B解析：解：函数，整理得，由于函数的最小正周期为，所以，故．将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象，由于函数的图象关于对称，所以，解得，当时，．故选：B．直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.答案：C解析：解：，则n小时后的血液中酒精含量为，由，解得，故选：C．先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．10.答案：C解析：解：已知，所以，所以，解得或舍去．则，由于，所以．则当，即时，函数取得最大值．故选：C．首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：设双曲线的右焦点为，根据对称性知是平行四边形，所以有，又点A在双曲线上，所以，因为，所以，即，而在三角形OFB中，，，，，在三角形AFB中，，，，，所以，即，所以双曲线的离心率，故选：B．由双曲线的对称性，连接A，B与右焦点的连线，可得是平行四边形，对应边平行且相等，，所以，即，在直角三角形OBF中可得，再在三角形ABF中可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出离心率．本题考查双曲线的性质及直角三角形的性质，属于中档题．12.答案：C解析：解：，当时，，，，，即，所以，，由知，集合，因为且，所以，，所以，即，又，所以n的最大值为8，故选：C．用均值不等式求出函数的值域8】，则8】与需有公共元素，进而可求n的范围．本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．13.答案：300解析：解析：由题意可得阴影部分面积占正六边形面积的，设阴影部分能栽种x株，则有，解得．故答案为：300．由题意得阴影部分与正六边形的面积比等于阴影部分栽种的花卉株数与总的花卉株数之比，即可得答案．本题考查几何概型的计算以及应用，关键是掌握概率的性质，属于基础题．14.答案：解析：解：根据题意，函数是奇函数，且，又由，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：根据题意，由对数的性质可得，结合函数的奇偶性可得，结合函数的解析式可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．15.答案：解析：解：，，，，，即．，的面积，解得．则面积的最小值为当且仅当，时取等号．故答案为：．，利用正弦定理、倍角公式可得，化简可得利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得，利用的面积，进而得出结论．本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：由题意，，又，，，，，．，三棱锥的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，且点C到平面ABD的距离，．故答案为：；．由题意，，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC的长度，结合，可知三棱锥的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C 到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，求出点C 到平面ABD的距离，可得三棱锥体积的最大值．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．17.答案：解：设AB的中点为G，连接DG，CG，则，，又且，所以且，所以四边形DGCE为平行四边形，所以，又因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．取BC中点F，连接因为，所以PBCE在同一平面上，所以多面体ABCEP是四棱锥，因为平面ABC，平面ABC，所以，又为等腰直角三角形，，F是BC的中点，所以，所以平面PBCE，即AF是四棱锥的高，已知，所以，，，所以．解析：设AB的中点为G，连接DG，CG，说明，证明四边形DGCE为平行四边形，得到，然后证明平面ABC．取BC中点F，连接说明多面体ABCEP是四棱锥，推出AF是四棱锥的高，通过等体积法求解即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100计算得的观测值为，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系；喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，设抽取的男生为，，女生为，，，，选出的两人均为女生为事件A，则基本事件空间，，，．事件，，，故选出的两人均为女生的概率为．解析：根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；分别计算抽取的6人中男生的人数和女生的人数，列出所有基本事件，再利用古典概型的概率公式即可算出结果．本题考查了独立性检验的应用问题，以及古典概型的概率公式，考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：解：由题意，设等差数列的公差为d，则，整理，得，解得，，，．由知，设．．解析：本题第题先设等差数列的公差为d，然后根据，列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可得到等差数列的通项公式及前n项和；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用分组求和法计算出前2n项和．本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及运用分组求和法求和问题．考查转化与化归思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20.答案：解：由题得，，所以，则，故椭圆E的方程为：；根据条件可得，设直线AC的方程为，联立，整理得，设，，则，，则，令，则，在上单调递减，所以当，即时，面积最大，最大值为．解析：有条件得到，，求出b，即可得椭圆方程，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到，利用换元思想及不等式即可求出其最值．本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：，令，时，，在上单调递增；时，时，，单调递增；时，，单调递减．，时，，单调递减；时，，单调递增．综上，时，在上单调递增；时，在上调递增，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增．时，，所以，令，则，时，，单调递增；时，，单调递减．，即，即．时，，．由知，即．令得，即，所以，．．解析：，令，对a分类讨论即可得出单调性．时，，，令，利用导数研究其单调性即可证明结论．时，，由知，即令得，即，可得，利用累加求和方法、放缩法即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、分类讨论方法、等价转化方法累加求和方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：曲线的参数方程为，为参数转换为和直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．根据题意建立，解得，同理，解得，故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用建立方程组，进一步求出的值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：对，，当且仅当时，等号成立，故原条件等价于，即，解得，故实数a的取值范围为；当时，，，即，则，又的解集包含，在恒成立，当时，，又，，即实数a的取值范围为．解析：由绝对值不等式的性质可得，解出即可；依题意，在恒成立，则，，由此即可求得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．。

2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(A卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}2.i是虚数单位，若1+7i2−i=z，则z−等于()A. 3i−1B. 3i+1C. 1−3iD. −1−3i3.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=4，且a⃗⋅b⃗ =−2，则a⃗与b⃗ 所成的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64.设y1=0.423，y2=0.523，y3=0.623，则()A. y3<y2<y1B. y1<y2<y3C. y2<y3<y1D. y1<y3<y25.下列命题错误的是()A. 命题“若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线平行于该平面；”的逆否命题为假命题B. “x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件C. 已知直线l1：ax+3y−1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是ab=−3D. 若p∧q为假命题，则p与q中至少有一个为假命题6.已知抛物线C的顶点在坐标原点焦点F在x轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，则抛物线C的标准方程是()A. y2=8xB. y2=4xC. y2=2xD. y2=x7.佳佳同学在8次测试中，数学成绩的茎叶图如图，则这8次成绩的中位数是()A. 86B. 87C. 87.5D. 88.58.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，将其图象向右平移π3个单位后所得图象对应的解析式为()A. y=sin(2x−π6) B. y=−cos2xC. y=sin x2D. y=cos2x9.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不得超过0.1%.若初始含杂质1%，每过滤一次可使杂质含量减少13.为了达到市场要求，至少过滤的次数为()A. 5B. 6C. 7D. 810.函数y=2sin(π3−x)−cos(x+π6)(x∈R)的最小值为()A. −3B. −2C. −1D. −√511.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=()A. √2+1B. 2√2+1C. √5+2√2D. √5−2√212.已知实数x、y满足xy=1，则x2+y2的最小值为()A. 1B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图是我国三国时期著名数学家赵爽弦图，图中大正方形的面积是34，四个全等直角三角形组成的一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，现向大正方形内随机抛一粒绿豆，则绿豆落在小正方形的概率为______．14.若函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+x，则f(−3)的值为__________．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2=ac，a2+bc=c2+ac，则cbsinB的值为__________．16.已知三棱锥P−ABC的体积为4√33，，，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点(1)求证：DE//平面ABC；(2)求三棱锥E−BCD的体积．18.为了调查喜欢看书是否与性别有关，某校调查小组就“是否喜欢看书”这个问题，在全校随机调研了100名学生．(1)完成下列2×2列联表：(2)能否在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”．其中n=a+b+c+d附：(参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且 S 4=−62，S 6=−75，求：(1){a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|.20. 已知F 1,F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，上顶点为M ，且ΔF 1MF 2的周长为4+2√3，且长轴长为4． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知P(0,3)，若直线y =2x −2与椭圆C 交于A,B 两点，求PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 已知函数f(x)=lnx −(1+a)x 2−x ．(1)讨论函数f(x)的单调性．(2)当a<1时，证明：对任意的x∈(0,+∞)，有f(x)<−lnxx−(1+a)x2−a+1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|3x+1|−|3x−4|.(Ⅰ)求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：D解析：解：由1+7i2−i=z，得z=1+7i2−i =(1+7i)(2+i) (2−i)(2+i)=−5+15i5=−1+3i，∴z−=−1−3i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数，是基础题．3.答案：C解析：解：设a⃗与b⃗ 所成的夹角为θ，θ∈[0,π]，则由cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=−21×4=−12，可得θ=2π3，故选：C．设a⃗与b⃗ 所成的夹角为θ，θ∈[0,π]，则由cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|的值，求得θ的值．本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查比较大小，幂函数的单调性等，属于基础题．根据幂函数y=x23在R上为增函数，利用函数的单调性进行比较即可．解：因为y=x23在R上为增函数，且0.4<0.5<0.6，所以y1<y2<y3.故选：B．5.答案：C解析：解：对于A，∵平面外两点到平面的距离相等，过这两点的直线平行于该平面或与平面相交，∴命题“若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线平行于该平面；”是假命题，它的逆否命题也是假命题；∴A正确．对于B，当x=1时，x2−3x+2=1−3+2=0，充分性成立，当x2−3x+2=0时，x=1或x=2，∴必要性不成立；∴“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件；∴B正确．对于C，∵直线l1：ax+3y−1=0，l2：x+by+1=0；当l1⊥l2时，a+3b=0，即a=−3b，b∈R；∴l1⊥l2的充要条件是a=−3b；∴C错误．对于D，当p∧q为假命题时，p是假命题，或q是假命题，或p、q都是假命题，∴p与q中至少有一个为假命题；∴D正确．所以，以上命题错误的是C．故答案为：C．A中，由平面外两点到平面的距离相等，得出过这两点的直线平行于该平面或与平面相交，能判定它的逆否命题是假命题；B中，由x=1时，得出x2−3x+2=0，判定充分性成立，x2−3x+2=0时，x=1或x=2，判定必要性不成立；C中，直线l1：ax+3y−1=0，l2：x+by+1=0垂直的充要条件是a+3b=0，判定命题C是否正确；D中，p∧q为假命题时，有p是假命题，或q是假命题，或p、q都是假命题，判定命题D是否正确．本题通过命题真假的判定，考查了空间中直线与平面的位置关系，充分与必要条件，以及复合命题真假的判定问题，解题时应对每一个选项仔细分析，以便选出正确的答案．6.答案：B解析：解：由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，可得抛物线的准线方程为x=−p，2由抛物线的定义可得抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，=5，即为4+p2解得p=2，则抛物线的方程为y2=4x．故选：B．由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，求得准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，解方程即可得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意定义法的运用，以及待定系数法，考查运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由茎叶图得到8个数的大小顺序依次是78，79，83，85，87，88，89，96，中间的两个=86；数为85，87，所以中位数为85+872故选A．根据中位数的定义，8个数则是中间两个数的平均数．本题考查了中位数；明确中位数的定义是解答关键．8.答案：B解析：本题考查三角恒等变换及诱导公式，过程简单，属于基础题．根据f(x)的最小正周期为π，求得ω，将x 代换成x −π3，利用诱导公式化简得到答案． 解：由T =2πω=π，ω=2，f(x)=sin(2x +π6)，将其图象向右平移π3个单位后，f(x)=sin[2(x −π3)+π6]=sin(2x −π2)， ∴f(x)=−cos2x ， 故选B ．9.答案：B解析：本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件合理建立方程．设过滤n 次，则1100(23)n≤11000，由此能求出至少要过滤6次才能达到市场要求．解：设过滤n 次，则1100(23)n≤11000， 即 (23)n≤110，∴n ≥lg110lg 23=−1lg2−lg3≈5.68．又∵n ∈N ，∴n ≥6．即至少要过滤6次才能达到市场要求． 故选：B ．10.答案：C解析：本题考查诱导公式及正弦函数的图象与性质，根据题意可得cos (x +π6)=sin (π3−x)，进而利用正弦函数的性质即可求得结果． 解：cos (x +π6)=sin (π3−x)，因此y =2sin (π3−x)−cos (x +π6)=2sin (π3−x)−sin (π3−x)=sin (π3−x)=−sin (x −π3)，所以函数的最小值为−1．故选C．11.答案：D解析：【试题解析】解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c，，由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2−2×4a×2a×√22∴e=√5−2√2．故选：D．由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c，由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2−2×4a×2a×√2，即可求出双曲线的离心率．2本题考查双曲线的离心率，考查余弦定理的运用，属于中档题．12.答案：B解析：【试题解析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．由已知结合基本不等式即可直接求解．解：∵x、y满足xy=1，则x2+y2≥2xy=2，当且仅当x=y=1或x=y=−1时取等号，故选：B．13.答案：217解析：解：根据题意，大正方形的面积是34，则大正方形的边长是√34，又直角三角形的较短边长为3，得出四个全等的直角三角直角边分别是√34−9=5和3，则小正方形的边长为2，面积为4；又∵大正方形的面积为34；故绿豆在小正方形内的概率为434=217，故答案为：217．根据几何概型概率的求法，绿豆在小正方形内的概率为小正方形内与大正方形的面积比，根据题意，可得小正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；难点是得到正方形的边长．属于基础题．14.答案：−12解析：函数f(x)为奇函数，∴f(−3)=−f(3)=−(32+3)=−12．15.答案：2√33解析：本题考查余弦定理和正弦定理的应用，属于中档题．直接利用余弦定理求出A=60°，再利用正弦定理求出结果．解：由b2=ac及a2+bc=c2+ac，得b2+c2−a2=bc．在△ABC中，cos A=b2+c2−a22bc =12．∵0°<A<180°，∴A=60°．在△ABC中，由正弦定理得sin B=bsin Aa．又∵b2=ac，A=60°，∴cbsinB =acb sinA=1sin60°=2√33．故答案为2√33．16.答案：解析：本题主要考查了三棱锥P−ABC外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键，属于中档题．利用等体积转换，设PC=2a，求出a，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，可得球的半径，即可求出三棱锥P−ABC外接球的表面积．解：设PC=2a，因为，，所以△APC为等腰直角三角形，PC边上的高为a，作AD⊥PC，垂足为D，因为平面平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AD⊂平面PAC，所以AD⊥平面PBC，所以点A到平面PBC的距离为a，因为，，所以PB=a，BC=√3a，S△PBC=12a⋅√3a=√32a2，所以V P−ABC=V A−PBC=13×√32a2⋅a=4√33，解得a=2，因为，，所以PC的中点为外接球的球心，外接球的半径为2，所以三棱锥P−ABC外接球的表面积为4π×22=16π．故答案为．17.答案：解：(1)证明：取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG//BB1，且EG=12BB1．由直棱柱知，AA1//BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，所以EG//AD，EG=AD所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED//AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC所以DE //平面ABC.(2)解：因为AD //BB 1，所以AD //平面BCE ， 所以V E−BCD =V D−BCE =V A−BCE =V E−ABC ， 由(1)知，DE //平面ABC ，所以V E−ABC =V D−ABC =13AD ⋅12BC ⋅AG =16×3×6×4=12．解析： 解析：本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力． (1)取BC 中点G ，连接AG ，EG ，通过证明四边形EGAD 是平行四边形，推出ED //AG ，然后证明DE//平面ABC ．(2)证明AD //平面BCE ，利用V E−BCD =V D−BCE =V A−BCE =V E−ABC ，然后求解几何体的体积．18.答案：解：(1)由题意填写2×2列联表如下；(2)根据列联表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(35×25−25×15)250×50×60×40≈4.167<5.024，对照临界值知，不能在犯错率不超过0.025的前提下认为“喜欢看书与性别有关”．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． (1)由题意填写列联表即可；(2)根据列联表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．19.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75， 解得a 1=−20，得d =3.∴a n =−20+(n −1)×3=3n −23； S n =(−20+3n−23)n2=32n 2−432n.(2)∵a n =3n −23， ∴由a n <0得n <8，∴|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=−a 1−a 2−⋯−a 7+a 8+⋯+a 14 =S 14−2S 7=32×142−432×14−2(32×72−432×7)=7×(42−43−21+43) =7 ×21 =147．解析：(1)由S 4=−62，S 6=−75，可得到等差数列{a n }的首项a 1与公差d 的方程组，解之即可求得{a n }的通项公式a n 及前n 项的和S n ；(2)由(1)可知a n ，由a n <0得n <8，从而|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯+|a 14|=S 14−2S 7，计算即可． 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查解方程组的能力，求得a n 是关键，属于中档题．20.答案：解：(1)由题可知，2a +2c =4+2√3，2a =4，得a =2,c =√3，又a 2=b 2+c 2，解得b =1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)由{y =2x −2x 24+y 2=1，得17x 2−32x +12=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=3217，x 1x 2=1217，∵P(0,3)，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−3)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(y 1−3)(y 2−3)=x 1x 2+(2x 1−5)(2x 2−5)=5x 1x 2−10(x 1+x 2)+25． 将x 1+x 2=3217，x 1x 2=1217代入，得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5×1217−10×3217+25=16517．解析：(1)由已知可得a 与c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)联立直线方程与椭圆方程，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用根与系数的关系及数量积公式可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．21.答案：解：(1)由题意得f ′(x)=−2(1+a)x 2−x+1x(x >0)，①当a =−1时，，当x >1时，当0<x <1时，，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；②当a ≠−1时，由f′(x)=0得：2(1+a)x 2+x −1=0，且Δ=9+8a ， 当Δ>0，即a >−98时，有x 1=−1−√9+8a 4(1+a)，x 2=−1+√9+8a 4(1+a)，当a >−1时，f(x)在(0,x 2)上单调递增，在(x 2,+∞)上单调递减； 当a ≤−98时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当−98<a <−1时，f(x)在(0,x 2)和(x 1,+∞)上单调递增，在(x 2,x 1)上单调递减； (2)当a <1时，要证f(x)<−lnx x−(1+a)x 2−a +1在(0,+∞)上恒成立，只需证lnx −x <−lnx x−a +1在(0,+∞)上恒成立， 令F(x)=lnx −x ，g(x)=−lnx x −a +1，因为F ′(x)=1x −1，易得F(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 故F (x)≤F(1)=−1， 由g(x)=−lnx x−a +1，得g ′(x)=−1−lnx x 2=lnx−1x 2(x >0)，当0<x <e 时，g′(x)<0；当x >e 时，g′(x)>0， 所以g(x)≥g(e)=−1e +1−a ，又a <1，所以−1e +1−a >−1e >−1，即F(x)max <g(x)min ， 所以lnx −x <−lnx x−a +1在(0,+∞)上恒成立，故当a <1时，对任意的x ∈(0,+∞)，f(x)<−lnx x−(1+a)x 2−a +1恒成立．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查分类讨论的数学思想，有一定难度 ． (1)由题意得f ′(x)=−2(1+a)x 2−x+1x(x >0)，就a 的取值分类讨论研究函数的单调性．(2)当a <1时，要证f(x)<−lnx x−(1+a)x 2−a +1在(0,+∞)上恒成立，只需证lnx −x <−lnx x−a +1在(0,+∞)上恒成立，令F(x)=lnx −x ，g(x)=−lnx x−a +1，证明F(x)max <g(x)min ，从而完成证明．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)，消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0．所以C 的极坐标方程为ρ2=√32ρsinθ+12ρcosθ，即ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6).(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=(√32sinθ+12cosθ)cosθ =√32sinθcosθ+12cos 2θ=√34sin2θ+1+cos2θ4=12sin(2θ+π6)+14．当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f (x )=|3x +1|−|3x −4|={−5,x ≤−136x −3,−13<x <435,x ≥43当x ⩽−13时，f(x)≤3恒成立，当−13<x<43时，解6x−3≤3，得−13<x≤1，∴f(x)≤3的解集为{x|x≤1}；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|(3x−4)−(3x+a)|=|−4−a|，得：|−4−a|≥4，解得：a≥0或a≤−8，故实数a的取值范围为(−∞,−8]∪[0,+∞)．解析：本题考查了绝对值的意义及绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属中档题．(Ⅰ)不等式即为f(x)≤3，通过讨论x的范围，从而求得不等式的解集；(Ⅱ)f(x)≤|3x+1|+|3x+a|−4恒成立，等价于|3x−4|+|3x+a|≥4恒成立，由|3x−4|+|3x+a|≥|−4−a|，得|−4−a|≥4，求a的范围即可．。

2020年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，，则A. B. C. D.2.若复数为虚数单位是纯虚数，则a的值为A. 1B. 0C. 1D. 23.若，，且，则向量，的夹角为A. B. C. D.4.若，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.5.给定下列四个命题，其中真命题是A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直6.已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为3，则等于A. B. C. 4 D.7.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数a的最小值为A. B. C. D.8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过A. 2小时B. 4小时C. 6小时D. 8小时9.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，A. B. C. D.10.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为若要使该总体的标准差最小，则的值是A. 12B. 14C. 16D. 1811.已知双曲线与圆O：相交于A，B，C，D四点，如图所示，点F是双曲线C的左焦点，且，则双曲线C的离心率为A.B.C. 2D.12.函数，，若存在，，，，其中且，使得，则n的最大值为A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某篮球运动员罚篮命中率为，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______．14.已知函数是奇函数，当时，且，且，则______．15.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，则三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为______．16.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若的面积，则面积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系？针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：，．18.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面ABC，且，且，D，F分别为PA，BC的中点．求证：直线平面ABC；求锐二面角的余弦值．19.已知等差数列前n项和为，，．求数列的通项公式及前n项和；设，求前n项和．20.设椭圆E：长轴长为4，右焦点F到左顶点的距离为3．求椭圆E的方程；设过原点O的直线交椭圆于A，B两点B不在坐标轴上，连接AF并延长交椭圆于点C，若，求四边形ABCD面积的最大值．21.已知函数．求在点处的切线方程；若恒成立，求a的取值范围；当时，证明．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和的直角坐标方程；已知曲线的极坐标方程为，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A，B均异于极点O，求的值．23.已知关于x的函数．若存在x使得不等式成立，求实数a的取值范围；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：或，，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：是纯虚数，，解得．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：若，，且，设向量，的夹角为，，则，求得，，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量，的夹角．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4.答案：D解析：解：由幂函数的性质可知，函数在R上单调递增，又，，故选：D．利用幂函数的性质可知选项D正确．本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．5.答案：D解析：解：如图所示，在长方体中：，，但是与不平行，所以A错；平面与平面相交，但是内平行于的直线都平行于，所以B错；平面平面，平面平面，但是这两个平面不平行，所以C错；故选：D．画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．6.答案：B解析：解：设抛物线的方程为，由抛物线定义知，，，抛物线方程为，点在抛物线上，，．故选：B．先由抛物线的定义建立关于p的方程，解之可得p的值以及抛物线的方程，再把点P的坐标代入可求得，最后利用两点间距离公式即可得解．本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：函数，整理得，由于函数的最小正周期为，所以，故．将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象，由于函数的图象关于对称，所以，解得，当时，．故选：B．直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：C解析：解：，则n小时后的血液中酒精含量为，由，解得，故选：C．先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．9.答案：C解析：解：已知，所以，所以，解得或舍去．则，由于，所以．则当，即时，函数取得最大值．故选：C．首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：由题，因为中位数为12，所以，，；要使该总体的标准最小，即方差最小，所以：，当且紧当，取等号，即体标准差最小此时故选：A．由题，中位数为12，求得，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x，y 的值，即可求得．本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型．11.答案：B解析：解：双曲线的右焦点为，根据对称性可知是平行四边形，所以，又点A在双曲线上，所以，因为，所以，所以，在三角形OFC中，，，，可得三角形OFC是直角三角形，C为直角，在三角形AFC中，，，，，所以，即：，所以双曲线的离心率为：．故选：B．画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．12.答案：C解析：解：令，，，，，，，，，，，，集合，，，且，，，，即，又，的最大值为10．故选：C．令，由，得，由，，，，得，从而，，进而集合，，，，，由此能求出n的最大值．本题考查实数的取大值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：解析：解：由题意知，随机变量，计算，故答案为：．根据题意知随机变量，计算即可．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、方差的计算问题，是基础题．14.答案：解析：解：根据题意，函数是奇函数，且，又由，则，又由当时，，则，解可得；故答案为：根据题意，由对数的性质可得，结合函数的奇偶性可得，结合函数的解析式可得，解可得a的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．15.答案：解析：解：由题意，，又，，，，，．，三棱锥的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，且点C到平面ABD的距离，．故答案为：；．由题意，，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC的长度，结合，可知三棱锥的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C 到平面ABD的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时平面平面ABD，求出点C到平面ABD的距离，可得三棱锥体积的最大值．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，，，即．，的面积，解得．则面积的最小值为当且仅当，时取等号．故答案为：．，利用正弦定理、倍角公式可得，化简可得利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得，利用的面积，进而得出结论．本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100，在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系．喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：X 0 1 2P．解析：补充完整的列联表，求出，从而在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢国学与性别有关系．喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：证明：设AB的中点为G，连结DG，CG，则，，又，且，，且，四边形DGCE为平行四边形，，平面ABC，平面ABC，直线平面ABC．解：如图，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，4，，2，，0，，0，，0，，2，，，2，，，，，，，平面AEF，平面AEF的一个法向量2，，设平面PAE的一个法向量y，，4，，0，，则，取，得1，，设锐二面角的平面角为，则，锐二面角的余弦值为．解析：设AB的中点为G，连结DG，CG，推导出四边形DGCE为平行四边形，从而，由此能证明直线平面ABC．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由题意，，即，设等差数列的公差为d，则，，．则，．由知，，当n为偶数时，为奇数，，当n为奇数时，为偶数，，综上所述，可得．解析：本题第题根据等差数列的求和公式和等差中项的性质计算可得，然后根据即可计算出公差d，则可得到等差数列的通项公式及前n项和；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后分n为偶数和n为奇数两种情况分别求和，运用分组求和法及等差数列的求和公式进行计算，最后综合两种情况可得前n项和．本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及正负交错类型数列的求和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论数学，方程思想，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．20.答案：解：由题得，，所以，则，故椭圆E的方程为：；根据条件可得，设直线AC的方程为，联立，整理得，设，，则，，则，令，则，在上单调递减，所以当，即时，面积最大，最大值为．解析：有条件得到，，求出b，即可得椭圆方程，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到，利用换元思想及不等式即可求出其最值．本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：确定椭圆的标准方程，关键是确定，的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“”运用．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21.答案：解：解：由题知，，，，在点处的切线方程为，即；解：恒成立，所以恒成立．令，则，，当时，，故满足；当时，，故在上单调递减，时，，所以不满足；当时，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，，解得；综合知a的取值范围为；证明：当时，，由知：，即，．令，得，即，所以，．解析：先利用导数的几何意义求切线的斜率，进而求切线方程；先把恒成立转化为恒成立，再对a进行讨论，求出取值范围；先由中结论证出，进而有，再利用放缩法与裂项相消法证明即可．本题主要考查切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道难题．22.答案：解：曲线的参数方程为，为参数转换为和直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．根据题意建立，解得，同理，解得，故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用建立方程组，进一步求出的值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：对，，当且仅当时，等号成立，故原条件等价于，即，解得，故实数a的取值范围为；当时，，，即，则，又的解集包含，在恒成立，当时，，又，，即实数a的取值范围为．解析：由绝对值不等式的性质可得，解出即可；依题意，在恒成立，则，，由此即可求得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（A 卷）一、选择题（共12小题）1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣2≥0}，B ＝{x |y =√x }，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．[0，1） B ．（1，+∞） C ．[0，2） D ．（﹣2，1）2．若复数1−ai 2+i（i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．1D ．23．若|a →|＝2，|b →|＝1，且a →⊥（a →−4b →），则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．若x ＞y ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1x＜1yB ．tan x ＞tan yC ．ln （x ﹣y ）＞0D ．x 13＞y 135．给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A ．垂直于同一直线的两条直线相互平行B ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C ．垂直于同一平面的两个平面相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直6．已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点P （x 0，2），若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则|OP |等于（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．2√57．已知函数f(x)=sin 2ωx −12(ω＞0)的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a （a ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL 血液中酒精含量达到[20，80）mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg /mL ，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（ ） A ．2小时B ．4小时C ．6小时D ．8小时9．已知a为正整数，tanα＝1+1ga，tanβ＝1ga，且α＝β+π4，则当函数f(x)=asinθ−√3cosθ（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（）A．π2B．2π3C．5π6D．4π310．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12．若要使该总体的标准差最小，则4x+2y的值是（）A．12B．14C．16D．1811．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)与圆O：x2+y2＝b2相交于A，B，C，D四点，如图所示，点F是双曲线C的左焦点，且|AF|＝3|CF|，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√512．函数f（x）＝2x﹣1，g（x）＝x2﹣2x+4，若存在x1，x2，……，x n∈[1，5），其中n∈N*且n≥2，使得f（x1）+f（x2）+……+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+……+g（x n ﹣1）+f（x n），则n的最大值为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则E（X）＝．14．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝1og a（x﹣1）（a＞0且a≠﹣1），且f（1og0.516）＝﹣2，则a＝．15．现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知∠DAB=π6，∠BAC=π4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为；该三棱锥体积的最大值为．16．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a sin2B+b sin A＝0，若△ABC的面积S=√3b，则△ABC面积的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：P（K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ． 18．已知三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，PB ⊥平面ABC ，且PB ＝AB ，EC ∥PB 且EC =12PB ，D ，F 分别为PA ，BC 的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC ； （2）求锐二面角P ﹣AE ﹣F 的余弦值．19．已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）设b n ＝（﹣1）n S n ，求{b n }前n 项和T n ． 20．设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)长轴长为4，右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过原点O 的直线交椭圆于A ，B 两点（A ，B 不在坐标轴上），连接AF 并延长交椭圆于点C ，若OD →=OA →+OC →，求四边形ABCD 面积的最大值． 21．已知函数f(x)=alnx+a−1x． （1）求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）（i ）若xf （x ）≤x ﹣1恒成立，求a 的取值范围； （ii ）当a ＝1时，证明f(2)2+f(3)3+⋯+f(n)n＜n 2+12n+2−34．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosφy =2+2sinφ，（φ为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θ=π6． （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为ρ＝4cos θ，点A 是曲线C 2与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于极点O ，求|AB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）若存在x使得不等式f（x）≤3a﹣1成立，求实数a的取值范围；（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含[−12，2]，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣2≥0}，B ＝{x |y =√x }，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．[0，1）B ．（1，+∞）C ．[0，2）D ．（﹣2，1）【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集和交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥1}，B ＝{x |x ≥0}， ∴∁R A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，（∁R A ）∩B ＝[0，1）． 故选：A ．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．若复数1−ai 2+i（i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．1D ．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解． 解：∵1−ai 2+i=(1−ai)(2−i)(2+i)(2−i)=2−a 5−2a+15i 是纯虚数，∴{2−a5=0−2a+15≠0，解得a ＝2． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．若|a →|＝2，|b →|＝1，且a →⊥（a →−4b →），则向量a →，b →的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量a →，b →的夹角．解：若|a →|＝2，|b →|＝1，且a →⊥（a →−4b →），设向量a →，b →的夹角为θ，θ∈[0°，180°]，则a →•（a →−4b →）=a →2−4a →⋅b →=4﹣4•2•1•cos θ＝0， 求得cos θ=12，θ＝60°，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．若x＞y，则下列不等式恒成立的是（）A．1x＜1yB．tan x＞tan y C．ln（x﹣y）＞0D．x13＞y13【分析】利用幂函数的性质可知选项D正确．解：由幂函数的性质可知，函数f(x)=x13在R上单调递增，又x＞y，∴x13＞y13，故选：D．【点评】本题考查实数的大小比较，考查幂函数性质的运用，属于基础题．5．给定下列四个命题，其中真命题是（）A．垂直于同一直线的两条直线相互平行B．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C．垂直于同一平面的两个平面相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直【分析】画出一个长方体，举例可以排除ABC，从而得到答案解：如图所示，在长方体中：CC1⊥B1C1，CC1⊥D1C1，但是B1C1与D1C1不平行，所以A错；平面BC1与平面DC1相交，但是BC1内平行于BB1的直线都平行于DC1，所以B错；平面BC1⊥平面A1C1，平面DC1⊥平面A1C1，但是这两个平面不平行，所以C错；故选：D．【点评】本题考查了命题以及立体几何，一般采用举反例方法排除选项，从而得到正确答案．考查了学生的直观想象能力．属于基础题．6．已知抛物线的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点O ，且经过点P （x 0，2），若点P 到该抛物线焦点的距离为3，则|OP |等于（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．2√5【分析】先由抛物线的定义建立关于p 的方程，解之可得p 的值以及抛物线的方程，再把点P 的坐标代入可求得x 02，最后利用两点间距离公式即可得解． 解：设抛物线的方程为x 2＝2py （p ＞0），由抛物线定义知，p2+2=3，∴p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y ，∵点P （x 0，2）在抛物线上，∴x 02=4×2=8， ∴|OP |=√x 02+4=√12=2√3． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线定义的应用、标准方程的求法，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．已知函数f(x)=sin 2ωx −12(ω＞0)的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a（a ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数a 的最小值为（ ） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π【分析】直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． 解：函数f(x)=sin 2ωx −12(ω＞0)，整理得f （x ）=−12cos 2ωx ，由于函数的最小正周期为π， 所以ω＝1，故f （x ）=−12cos2x ．将其图象沿x 轴向右平移a （a ＞0）个单位，所得g （x ）=−12cos(2x −2a)图象， 由于函数的图象关于x =π3对称， 所以2π3−2a =kπ，解得a =π3−kπ2（k ∈Z ）， 当k ＝0时，a =π3． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：100mL血液中酒精含量达到[20，80）mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.6mg/mL，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（）A．2小时B．4小时C．6小时D．8小时【分析】先计算出某驾驶员每100mL血液中酒精含量，再计算n小时后的血液中酒精含量，然后解不等式求出结果．解：1.6×100＝160mg，则n小时后的血液中酒精含量为160×（1﹣30%）n＝160×0.7n，由160×0.7n＜20，解得n≥6，故选：C．【点评】本题主要考查解不等式的内容，属于基础题．9．已知a为正整数，tanα＝1+1ga，tanβ＝1ga，且α＝β+π4，则当函数f(x)=asinθ−√3cosθ（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（）A．π2B．2π3C．5π6D．4π3【分析】首先利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出a的值，进一步利用三角函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：已知α＝β+π4，所以α−β=π4，所以tan（α﹣β）＝1=tanα−tanβ1+tanαtanβ=1+lga−lga1+(1+lga)lga=1，解得a＝1或a=110（舍去）．则f（x）＝sinθ−√3cosθ=2sin(θ−π3 )，由于θ∈[0，π]，所以θ−π3∈[−π3，2π3]．则当θ−π3=π2，即θ=5π6时，函数f（x）取得最大值．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：对数的关系式的运算的应用，三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12．若要使该总体的标准差最小，则4x +2y 的值是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【分析】由题，中位数为12，求得x +y ＝4，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x ，y 的值，即可求得． 解：由题，因为中位数为12，所以，x+y 2，x +y ＝4110（2+2+3+4+x +y +20+19+19+20+21）＝11.4；要使该总体的标准最小，即方差最小，所以：（10+x ﹣11.4）2+（10+y ﹣11.4）2＝（x ﹣1.4）2+（y ﹣1.4）2≥2（x+y−2⋅82）2＝0.72，当且紧当x ﹣1.4＝y ﹣1.4，取等号，即x ＝y ＝2 体标准差最小 此时4x +2y ＝12 故选：A ．【点评】本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型．11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)与圆O ：x 2+y 2＝b 2相交于A ，B ，C ，D 四点，如图所示，点F 是双曲线C 的左焦点，且|AF |＝3|CF |，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．解：双曲线的右焦点为F2，根据对称性可知AFCF2是平行四边形，所以|AF2|＝|CF|，又点A在双曲线上，所以|AF|﹣|AF2|＝2a，因为|AF|＝3|CF|，所以|AF|﹣|AF2|＝3|CF|﹣|CF|＝2a，所以|CF|＝A，在三角形OFC中，|FC|＝a，|OC＝b，|OF＝c，可得三角形OFC是直角三角形，C为直角，在三角形AFC中，AF＝﹣3a，CF＝a，AC＝2b，∠ACF＝90°，所以9a2＝a2+4b2，即：2a2＝b2，所以双曲线的离心率为：e=√1+b 2a2=√3．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．12．函数f（x）＝2x﹣1，g（x）＝x2﹣2x+4，若存在x1，x2，……，x n∈[1，5），其中n∈N*且n≥2，使得f（x1）+f（x2）+……+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+……+g（x n ﹣1）+f（x n），则n的最大值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x2﹣4x+5，由g（x n）﹣f（x n）＝[g（x1）﹣f（x1）]+[g （x2）﹣f（x2）]+…+[g（x n﹣1）﹣f（x n﹣1）]，得h（x n）＝h（x1）+h（x2）+…+h（x n ﹣1），由x1，x2，…，x n∈[1，5]，得h（x）∈[1，10），从而1≤h（x n）＜10，n﹣1≤h （x1）+h（x2）+…+h（x n﹣1）＜10（n﹣1），进而集合[1，10）∩[n﹣1，10（n﹣1））≠∅，n﹣1≥1，10（n﹣1）≥10，2≤n＜11，由此能求出n的最大值．解：令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x2﹣4x+5，∵f（x1）+f（x2）+……+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+……+g（x n﹣1）+f（x n），∴g（x n）﹣f（x n）＝[g（x1）﹣f（x1）]+[g（x2）﹣f（x2）]+…+[g（x n﹣1）﹣f（x n﹣1）]，∴h（x n）＝h（x1）+h（x2）+…+h（x n﹣1），∵x1，x2，…，x n∈[1，5]，∴h（x）∈[1，10），∴1≤h（x n）＜10，∴n﹣1≤h（x1）+h（x2）+…+h（x n﹣1）＜10（n﹣1），∵h（x n）＝h（x1）+h（x2）+…+h（x n﹣1），∴集合[1，10）∩[n﹣1，10（n﹣1））≠∅，∵n∈N*，且n≥2，∴n﹣1≥1，10（n﹣1）≥10，∴1≤n﹣1＜10，即2≤n＜11，又n∈N*，∴n的最大值为10．故选：C．【点评】本题考查实数的取大值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则E（X）＝37.5．【分析】根据题意知随机变量X～B（50，0.75），计算E（X）即可．解：由题意知，随机变量X～B（50，0.75），计算E（X）＝50×0.75＝37.5，故答案为：37.5．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、方差的计算问题，是基础题．14．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝1og a（x﹣1）（a＞0且a≠﹣1），且f（1og0.516）＝﹣2，则a＝√3．【分析】根据题意，由对数的性质可得1og0.516＝﹣1og216＝﹣4，结合函数的奇偶性可得f（4）＝﹣f（﹣4）＝2，结合函数的解析式可得f（4）＝1og a3＝2，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）是奇函数，且f（1og0.516）＝﹣2，又由1og0.516＝﹣1og216＝﹣4，则f（4）＝﹣f（﹣4）＝2，又由当x＞0时，f（x）＝1og a（x﹣1），则f（4）＝1og a3＝2，解可得a=√3；故答案为：√3【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数值的计算以及对数的运算性质，属于基础题．15．现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知∠DAB=π6，∠BAC=π4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为100π；该三棱锥体积的最大值为√36．【分析】由题意，∠ADB＝∠ACB＝90°，再由已知求解三角形可得AD，BD，AC，BC 的长度，结合∠ADB＝∠ACB＝90°，可知三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AB，则球的表面积可求；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，求出点C到平面ABD的距离d＝5，可得三棱锥体积的最大值．解：由题意，∠ADB＝∠ACB＝90°，又∠DAB=π6，∠BAC=π4，AB＝10，∴AD=5√3，BD＝5，AC＝BC=5√2．∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为S＝4π×52＝100π；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离d＝5，∴V A−BCD=V C−ABD=13S△ABD⋅d=13×12×5√3×5×5=125√36．故答案为：100π；125√36．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a sin2B+b sin A＝0，若△ABC的面积S=√3b，则△ABC面积的最小值为12√3．【分析】a sin2B+b sin A＝0，利用正弦定理、倍角公式可得2sin A sin B cos B+sin A sin B＝0，化简可得cos B=−12．利用余弦定理再结合基本不等式的性质可得b2≥3ac，利用△ABC的面积S=√3b=12ac sin B，进而得出结论．解：∵a sin2B+b sin A＝0，∴2sin A sin B cos B+sin A sin B＝0，∵sin A，sin B≠0，∴2cos B＝﹣1，即cos B=−1 2．∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B≥2ac+ac＝3ac，△ABC的面积S=√3b=12ac sin B≤12×b23×√32，解得b≥12．则△ABC面积的最小值为12√3．当且仅当a＝c＝4√3，b＝12时取等号．故答案为：12√3．【点评】本题考查了倍角公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：P（K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．【分析】（1）补充完整的列联表，求出K2≈16.67＞10.828，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为110，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．解：（1）补充完整的列联表如下：喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6040100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×10−40×30)260×40×50×50≈16.67＞10.828，∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为1 10，从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）=C22C62=115，P（X＝1）=C41C21C62=815，P（X＝2）=C42C62=25，∴X的分布列为：X012P11581525E（X）=0×115+1×815+2×25=43．【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18．已知三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，PB ⊥平面ABC ，且PB ＝AB ，EC ∥PB 且EC =12PB ，D ，F 分别为PA ，BC 的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC ； （2）求锐二面角P ﹣AE ﹣F 的余弦值．【分析】（1）设AB 的中点为G ，连结DG ，CG ，推导出四边形DGCE 为平行四边形，从而DE ∥GC ，由此能证明直线DE ∥平面ABC ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角P ﹣AE ﹣F 的余弦值．解：（1）证明：设AB 的中点为G ，连结DG ，CG ，则DG ∥PB ，DG =12PB ， 又EC ∥PB ，且EC =12PB ， ∴EC ∥DG ，且EC ＝DG ，∴四边形DGCE 为平行四边形，∴DE ∥GC ， ∵DE ⊄平面ABC ，GC ⊂平面ABC ， ∴直线DE ∥平面ABC ．（2）解：如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴， 过点A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （0，4，2），F （2，2，0），B （4，0，0），P （4，0，4），D （2，0，2），PF →=（﹣2，2，﹣4），EF →=（2，﹣2，﹣2），AF →=（2，2，0）， ∴PF →⋅EF →=0，PF →⋅AF →=0，∴PF ⊥EF ，PF ⊥AF ， ∵AF ∩EF ＝F ，∴PF ⊥平面AEF ，∴平面AEF 的一个法向量m →=PF →=（﹣2，2，﹣4），设平面PAE 的一个法向量n →=（x ，y ，z ）， AE →=（0，4，2），AP →=（4，0，4），则{n →⋅AE →=4y +2z =0n →⋅AP →=4x +4z =0，取x ＝2，得n →=（2，1，﹣2）， 设锐二面角P ﹣AE ﹣F 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||n →|⋅|m →|=√66，∴锐二面角P ﹣AE ﹣F 的余弦值为√66．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）设b n ＝（﹣1）n S n ，求{b n }前n 项和T n ．【分析】本题第（1）题根据等差数列的求和公式和等差中项的性质计算S 5＝25可得a 3＝5，然后根据a 5＝9即可计算出公差d ，则可得到等差数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后分n 为偶数和n 为奇数两种情况分别求和，运用分组求和法及等差数列的求和公式进行计算，最后综合两种情况可得前n 项和T n ． 解：（1）由题意，S 5=5(a 1+a 5)2=5⋅2a 32=5a 3＝25，即a 3＝5， 设等差数列{a n }的公差为d ，则 d =a 5−a 35−3=9−52=2， ∴a n ＝a 3+（n ﹣3）•d ＝5+2（n ﹣3）＝2n ﹣1，n ∈N*．则a 1＝2×1﹣1＝1， ∴S n =n⋅[1+(2n−1)]2=n 2．（2）由（1）知，b n ＝（﹣1）n S n ＝（﹣1）n n 2， ①当n 为偶数时，n ﹣1为奇数， T n ＝b 1+b 2+…+b n＝﹣12+22﹣32+42﹣…﹣（n ﹣1）2+n 2 ＝（22﹣12）+（42﹣32）+…+[n 2﹣（n ﹣1）2]＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+…+[n +（n ﹣1）][n ﹣（n ﹣1）] ＝1+2+3+4+…+（n ﹣1）+n =n(n+1)2， ②当n 为奇数时，n ﹣1为偶数， T n ＝b 1+b 2+…+b n＝﹣12+22﹣32+42﹣…﹣（n ﹣2）2+（n ﹣1）2﹣n 2 ＝（22﹣12）+（42﹣32）+…+[（n ﹣1）2﹣（n ﹣2）2]﹣n 2＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+…+[（n ﹣1）+（n ﹣2）][（n ﹣1）﹣（n ﹣2）]﹣n 2＝1+2+3+4+…+（n ﹣2）+（n ﹣1）﹣n 2 =n(n+1)2−n 2 =−n(n+1)2， 综上所述，可得T n ＝（﹣1）n n(n+1)2．【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及正负交错类型数列的求和问题．考查了转化与化归思想，分类讨论数学，方程思想，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 20．设椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)长轴长为4，右焦点F 到左顶点的距离为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过原点O 的直线交椭圆于A ，B 两点（A ，B 不在坐标轴上），连接AF 并延长交椭圆于点C ，若OD →=OA →+OC →，求四边形ABCD 面积的最大值．【分析】（1）有条件得到a ＝2，c ＝1，求出b ，即可得椭圆方程，（2）设直线方程为x ＝my +1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合图象得到S ABCD ＝3S △AOC =18√m 2+12，利用换元思想及不等式即可求出其最值．解：（1）由题得a ＝2，a +c ＝3，所以c ＝1，则b 2＝a 2﹣c 2＝3， 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1；（2）根据条件可得F （1，0），设直线AC 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，整理得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 则S ABCD ＝3S △AOC ＝3×12×|OF |×|y 1﹣y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=18√m 2+13m 2+4，令t =√m 2+1≥1，则S ABCD =18t3t 2+1=183t+1t，在t ∈（1，+∞）上单调递减， 所以当t ＝1，即m ＝0时，S ABCD 面积最大，最大值为92．【点评】本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a 2，b 2的值，若引入c ，则需建立关于a ，b ，c 的三个独立的方程，注意隐含条件“a 2＝b 2+c 2”运用．2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值． 21．已知函数f(x)=alnx+a−1x． （1）求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）（i ）若xf （x ）≤x ﹣1恒成立，求a 的取值范围； （ii ）当a ＝1时，证明f(2)2+f(3)3+⋯+f(n)n＜n 2+12n+2−34．【分析】（1）先利用导数的几何意义求切线的斜率，进而求切线方程；（2）（i ）先把xf （x ）≤x ﹣1恒成立转化为alnx ﹣x +a ≤0恒成立，再对a 进行讨论，求出取值范围；（ii ）先由（i ）中结论证出lnx ≤x ﹣1，进而有lnn 2n 2≤1−1n 2，再利用放缩法与裂项相消法证明即可．解：（1）解：由题知f ′（x ）=a−alnx−a+12=1−alnx2，x ＞0，f （1）＝a ﹣1，f ′（1）＝1，∴f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣（a ﹣1）＝x ﹣1，即y ＝x +a ﹣2； （2）（i ）解：∵xf （x ）＝alnx +a ﹣1≤x ﹣1恒成立，所以alnx ﹣x +a ≤0恒成立． 令h （x ）＝alnx ﹣x +a ，则h ′（x ）=a−xx ，x ＞0， ①当a ＝0时，h （x ）＝﹣x ＜0，故a ＝0满足；②当a ＜0时，h ′（x ）＜0，故h （x ）在（0，+∞）上单调递减，∵x →0时，h （x ）→+∞，所以a ＜0不满足；③当a ＞0时，x ∈（0，a ）时，h ′（x ）＞0，h （x ）在（0，a ）上单调递增； x ∈（a ，+∞）时，h ′（x ）＜0，h （x ）在（a ，+∞）上单调递减，h （x ）max ＝h （a ）＝alna ≤0，解得0＜a ≤1；综合①②③知a 的取值范围为[0，1]；（ii ）证明：当a ＝1时，f （x ）=lnxx，∴f(n)n =lnn n ．由（i ）知：xf （x ）≤x ﹣1，即lnx ≤x ﹣1，∴lnx x≤1−1x．令x ＝n 2，得lnn 2n 2≤1−1n 2，即2lnn n ≤1−1n 2，所以lnn n ≤12（1−1n 2）， ∴f(2)2+f(3)3+⋯+f(n)n =ln222+ln332+⋯+lnn n 2≤12（1−122+1−132+⋯+1−1n 2）=12[（n ﹣1）﹣（122+132+⋯+1n 2）]＜12[（n ﹣1）﹣（12×3+13×4+⋯+1n(n+1)]=12[（n ﹣1）﹣（12−13+13−14+⋯+1n−1n+1）]=12（n −32+1n+1）=12n +12n+2−34． 【点评】本题主要考查切线方程的求法及导数的综合应用，属于一道难题． 一、选择题22．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosφy =2+2sinφ，（φ为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θ=π6．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为ρ＝4cos θ，点A 是曲线C 2与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于极点O ，求|AB |的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立方程组，进一步求出|AB |的值．解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =2cosφy =2+2sinφ，（φ为参数）．转换为和直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4．曲线C 2的极坐标方程为θ=π6．转换为直角坐标方程为y =√33x ． （2）根据题意建立{ρ=4cosθθ=π6，解得ρ1=2√3， 同理{ρ=4sinθθ=π6，解得ρ2＝2，故|AB |＝|ρ1−ρ2|=2√3−2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的函数f （x ）＝|x +1|+|x ﹣a |．（1）若存在x 使得不等式f （x ）≤3a ﹣1成立，求实数a 的取值范围；（2）若f （x ）≤|x +3|的解集包含[−12，2]，求a 的取值范围．【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得|1+a |≤3a ﹣1，解出即可；（2）依题意，f （x ））≤|x +3|在[−12，2]恒成立，则（x ﹣2）max ≤a ≤（x +2）min ，x ∈[−12，2]，由此即可求得a 的取值范围．解：（1）对x ∈R ，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣a |≥|（x +1）﹣（x ﹣a ）|＝|1+a |，当且仅当（x +1）（x ﹣a ）≤0时，等号成立，故原条件等价于|1+a |≤3a ﹣1，即﹣3a +1≤1+a ≤3a ﹣1.3a ﹣1≥0，解得a ≥1， 故实数a 的取值范围为[1，+∞）；（2）当x ∈[−12，2]时，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣a |＝x +1+|x ﹣a |≤|x +3|＝x +3，∴|x﹣a|≤2，即﹣2≤x﹣a≤2，则x﹣2≤a≤x+2，又f（x）≤|x+3|的解集包含[−12，2]，∴f（x））≤|x+3|在[−12，2]恒成立，∴当x∈[−12，2]时，（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，又(x−2)max=0，(x+2)min=32，∴0≤a≤32，即实数a的取值范围为[0，32]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，考查转化转化思想及运算求解能力，属于基础题．。

2020年山西省晋中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足1+z=i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图（如图所示），据此估计此次考试成绩的众数是（）A．100 B．110 C．115 D．1203．“|m|＜2”是“m≤2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．实数x，y满足，则的最小值是（）A．﹣5 B．﹣C．D．55．公差不为零的等差数列{a n}中，a7=2a5，则数列{a n}中与4a5的值相等的项是（）A．a11B．a12C．a13D．a146．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2面积的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．17．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，点D在边AC上，且2=，则•的值是（）A．48 B．24 C．12 D．68．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，），x1≠x2时，f（x1）=（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．19．过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A，B两个不同的点，当|AB|=6时，△OAB （O为坐标原点）的面积是（）A． B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（）A．i＞6 B．i＞7 C．i＞8 D．i＞911．在四棱锥P﹣ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．B．C．D．π12．已知f（x）=则方程f[f（x）]=3的根的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B⊆∁U A，则集合B的个数是．14．设四个函数：①y=x；②y=21﹣x；③y=ln（x+1）；④y=|1﹣x|．其中在区间（0，1）内单调递减的函数的序号是．15．某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值时，该几何体的体积是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=3（2n﹣1），数列{b n}的通项公式为b n=5n﹣2．数列{a n}和{b n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}．若数列{c n}的第n项恰为数列{a n}第k n项，则数列{k n}的前32项的和是．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）当△ABC的面积等于4时，求a的最小值．19．某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只侧不合格项目），求补测项目种类不超过3项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向90°，在车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等．若CA=BD=0.3m，AB=2.4m，汽车宽度为1.8m，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．20．已知几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，FB=，M，N分别为EF，AB的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面FCB；（Ⅱ）若FC=1，求点A到平面MCB的距离．21．已知直线y=x+1与函数f（x）=ae x+b的图象相切，且f′（1）=e．（I）求实数a，b的值；（Ⅱ）若存在x∈（0，），使得2mf（x﹣1）+nf（x）=mx（m≠0）成立，求的取值范围．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），A为椭圆E的右顶点，B，C分别为椭圆E的上、下顶点．（I）若N为AC的中点，△BAN的面积为，椭圆的离心率为．求椭圆E的方程；（Ⅱ）F为椭圆E的右焦点，线段CF的延长线与线段AB交于点M，与椭圆E交于点P，求的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]23．如图，已知A，B，C，D四点共圆，BA，DC的延长线交于点M，CA，DB的延长线交于点F，连接FM，且FM⊥MD．过点B作FD的垂线，交FM于点E（Ⅰ）证明：△FAB∽△FDC（Ⅱ）证明：MA•MB=ME•MF．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．[选修4-5：不等式选讲]25．设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）＜0（Ⅱ）若a＞0，且对于任意的实数x，都有f（x）≤3，求a的取值范围．2020年山西省晋中市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。