研究生数理统计课外作业

学号 20110813121 姓名卢丽丽学院资环学院专业安全技术及工程成绩实验数据处理中一元线性回归的应用摘要：我们处理实验数据时数理统计方法往往能帮助我们很好的处理，并且能得到很好的结果，回归分析主要是从大量反映某些变量间关系的观测值出发，分析变量问相关程度及相关关系，并建立回归模型去拟合变量间的关系，从而达到对变量之间关系的认识的方法。

其中一元线性回归模型在很多实验中能很好的帮我们预测未来数据和预测数据范围。

本文运用一元线性回归模型对试验中电流与时间的关系进行了分析，发现，试验中电流随时间逐渐减小，并呈线性递减关系。

通过求得的模型，我们进行了预测。

一、问题提出，问题分析在现代社会，随着科技的发展，人们生活水平提高，可是污染也越来愈严重，特别是重金属的污染，同时治理污染的方法也在改善。

重金属污染修复技术也得到发展，我们在做重金属的电动修复实验过程中，对其修复区的电流进行了观测，有观测值我们作出散点图，发现电流与时间有明显线性关系，我们用一元线性回归的方法分析这组数据，并预测未来电流的变化，以更好的掌握实验条件，为实验数据提供合理的解释。

二、数据描述下面是随着时间电流的变化数据，表中时间是指通电时间。

表1 电流随时间变化表根据数据，我们利用Excel作出散点图，如图1图1 电流随时间变化的散点图由图中点的趋势我们可以看出，电流随时间基本呈线性关系，我们求出其相关系数如下表：表2 电流与时间相关系数表三、模型建立（1）提出假设条件，明确概念，引进参数根据上面分析，我们知道，电流随时间基本呈线性关系，我们假设电流与时间是线性的，我们用一元线性回归模型进行拟合，并用F 检验法和t 检验法进行模型检验，各函数符号代表含义如下：x ：电流； y ：实验时间i x ：各点电流值 i y ：各点实验时间α：显著性水平，设α=0.05 （2）模型构建我们假定这组数据满足一元线性回归模型： 一元线性模型：⎩⎨⎧++=),0(~210σεεββN x y （3）模型求解先用最小二乘估计方法求出模型如下： 计算基本数据，如下表：表3 基本数据表6010600==x 49.49109.494==y 4.1002549.4960106.1966810101-=⨯⨯-=⋅-=∑=y x y x l i i i xy1188060104788010221012=⨯-=-=∑=x x l i i xx189.888149.491079.3337310221012=⨯-=-=∑=y y l i i yy8439.0118804.10025ˆ1-=-==xxxy l l β124.100ˆˆ10=-=x y ββ 6425.420ˆ21222=-=-=xx yy R T E l l S S S β 2512.786425.4202ˆ2==-=n S E σ回归直线为：x x y 8439.0124.100ˆˆˆ10-=+=ββ 该方程说明，在刚开始实验时，加的电流为100.124mA 。

NBA球员科比单场总得分与上场时间的线性回归分析摘要篮球运动中，球员的上场时间与球员的场上得分的数学关系将影响到教练对每位球员上场时间的把握，若能得到某位球员的上场时间与场上得分的数据关系，将能更好的把握该名球员的场上时间分配。

本次作业将针对现役NBA球员中影响力最大的球员科比布莱恩特进行研究，对其2012-2013年赛季常规赛的每场得分与出场时间进行线性回归，得到得分与出场时间的一元线性回归直线，并对显著性进行评估和进行区间预测。

正文一、问题描述随着2002年姚明加入NBA，越来越多的中国人开始关注篮球这一项体育运动，并使得篮球运动大范围的普及开来，尤其是青年学生。

本着学以致用的原则，希望将所学理论知识与现实生活与个人兴趣相结合，若能通过建立相应的数理统计模型来做相应的分析，并且从另外一个角度解析篮球，并用以指导篮球这一项运动的更好发展，这也将是一项不同寻常的探索。

篮球运动中，得分是取胜的决定因素，若要赢得比赛，必须将得分超出对手，而影响一位球员的得分的因素是多样的，例如：情绪，状态，体力，伤病，上场时间，防守队员等诸多因素，而上场时间作为最直接最关键的因素，其对球员总得分的影响方式有着重要的研究意义。

倘若知道了其分布规律，则可从数量上掌握得分与上场时间复杂关系的大趋势，就可以利用这种趋势研究球员效率最优化与上场时间的控制问题。

因此，本文针对湖人当家球星科比布莱恩特在2012-2013年赛季常规赛的每场得分与上场时间进行线性回归分析，并对显著性进行评估，以巩固所学知识，并发现自己的不足。

二、数据描述抽出科比布莱恩特2012-2013年常规赛所有82场的数据记录（原始数据见附录），剔除掉其中没有上场的部分数据，得到有参考实用价值的数据如表2.1所示：以上数据由腾讯篮球中心提供，特此说明。

三、模型建立（1）假设条件假定球员每场的发挥均为独立同分布事件， （2）模型构建以上场时间为自变量Xi ，单场得分为应变量Yi ，建立正态线性模型式：()012,1,2,,;0,,,,,i i i ii i i Y x i n N ββεεσεεε=++=⎧⎪⎨⎪⎩且相互独立 其中β0、β1为模型参数。

学号姓名学院专业成绩典型燃煤中汞的赋存规律摘要：近年来，燃煤引起的汞污染越来越受到人们关注。

中国能源结构以燃煤为主，但由于中国煤质地区差异较大，造成现有烟气脱汞技术对煤质适应性较差，因此针对中国典型煤种中汞的赋存规律进行研究，对促进烟气脱汞技术的发展和环境保护具有重要意义。

论文针对烟煤和无烟煤，通过总汞测定、X射线荧光光谱分析等手段，对15个典型煤样中汞的赋存状态和规律进行了实验研究。

随着煤炭变质程度的增高，煤中总汞含量有增高趋势，各地区煤总汞含量差别较大，在本实验范围内，汞含量大致呈现北低南高的特征。

α= 0. 05时，煤样中的总汞含量与硅含量、硫含量、氯含量的相关性系数分别为0.509、0.600和0.682，具有较好的相关性。

关键词：CO2；赋存规律；相关性1提出问题并分析问题大气中的汞有两种不同类型的排放源：天然源和人类源。

主要还是以人类活动排放为主。

在自然界中汞以各种形式存在，例如以硫化汞的形式存在于岩石中。

这些汞经过一系列的自然过程进入大气。

天然源释放到大气中的主要是Hg0，还有一些二甲基汞、挥发性无机汞化合物等。

煤中汞的赋存形式是影响汞排放的一个重要因素。

有学者提出煤中存在与有机煤岩组分结合的有机汞化合物，但主要还是以与无机物结合形式存在[1]。

对于煤中汞的存在形式，许多学者都进行了研究。

Finkelman在煤中发现了含汞的硫化物和硒化物，Cahill和Shiley发现煤中的方铅矿含汞，Dvornikov还提出煤中的汞主要以辰砂、金属汞和有机汞化合物的形式存在[1]。

煤在地质化学中被归为亲硫元素，因而，煤中的汞主要存在于黄铁矿（FeS2）和朱砂（HgS）中[2]。

文献[1]的研究证实了煤中大多数汞以固溶物形式分布于黄铁矿中,特别是后期成因的黄铁矿。

与煤中汞的含量分布研究相比，我国对煤中汞的赋存状态研究相对薄弱。

目前对煤中汞赋存状态的研究，采集的样品大多为我国西南地区的高硫煤或某些高汞煤，主要讨论煤中的汞与黄铁矿或硫分之间关系。

硕⼠⽣《数理统计》例题及答案《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试⽤矩法和极⼤似然法估计其中的未知参数β。

解：（1）矩法由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(222222222=+-=-=-+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2=（2）极⼤似然法∑===-=-∏ni i i x nni x e21111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122?β2. 设总体X 的概率密度函数为：<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;(其中β>0，现从总体X 中抽取⼀组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。

试分别⽤矩法和极⼤似然法估计其未知参数βα和。

解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβαααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-??x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1 )()(222][)(1222222βαβαβαβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+??EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令==2S DX X EX 即==+22SXββα故063.0?,116.2?===-=S S X βα（2）极⼤似然法 )(111),;(αββ===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=??>=??X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，⼜12,,,n X X X α≥L所以05.2?)1(==X α令0ln =??βL 得126.0?)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）⽤矩法估计其未知参数θ；（2）⽤极⼤似然法估计其未知参数θ。

一、问题提出和问题分析今天的重庆，肩负着中央赋予的历史重任——着力打造西部地区的重要增长极、长江上游地区的经济中心、成为统筹城乡发展的试验者、在西部地区率先实现全面建设小康社会的目标。

2010年初，又一重要规划将重庆发展提升到国家战略——重庆被确定为国家五大中心城市之一，是中西部地区唯一入选的城市。

这说明，重庆未来的发展不可限量。

自1997年直辖以来，重庆市的经济社会发展极为迅猛。

全市的GDP由1997年的1360.24亿元增长至2010年的7894.2亿元，而整个社会的发展进步也有目共睹。

在重庆过去、现在和未来的发展进程中，在重庆的各种发展规划的要求下，建设必将成为山城的另一个符号。

过去十多年中的大规模、大范围的建设成就了现在的重庆，而重庆未来的发展将需要更多的建设。

作为重庆建设中最重要的一环，建筑业在重庆显然有着重要的地位。

建筑业这种专门从事土木工程、房屋建设和设备安装以及工程勘察设计工作的生产部门，为重庆的发展建设提供着众多的基础设施，满足着居住、工业、商业、办公等各种城市需求。

数据显示，在过去的数年中，重庆市建筑业的总产值占全市GDP的7%-8%，是名副其实的支柱产业。

因此建筑业的发展情况，可以从侧面反映出整个重庆社会经济的发展情况，对重庆建筑业的研究就有了很大的现实意义。

建筑企业是建筑业的主体。

众多的建筑企业的良好发展构成了建筑业的良好发展。

对于建筑企业来说，要实现企业的良好经营和发展，必须要有良好的收入来支撑。

在建筑企业收入的众多影响因素中，企业的劳动生产率无疑是值得关注的一个。

企业都在致力于提高自身的劳动生产效率，而不断提高的劳动生产率，可使得企业的生产经营行为更具效率，因而获得更多的收入，实现更好的发展。

所以，研究重庆市建筑企业劳动生产率与企业收入的关系，可从一个角度来了解重庆市建筑企业的发展情况，从而了解到了重庆建筑业的发展以至于重庆市的经济发展情况。

为了找出二者之间的关系或者规律性，本文采用2001-2010这十年中重庆建筑企业劳动生产率和企业平均收入的数据，通过数学分析，找出二者关系。

《概率论与数理统计》作业（参考答案）班级 学号 姓名 得分 注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.1. 设1021,,,X X X 是来自总体)3.0,0(2N 的样本，求统计量∑=10129100i i X 的分布（需说明理由）.解：因)1,0(~3.0/N X i ，)1(~)3.0(22χi X ，由可加性)10(~910010122=∑χi i X 2. 设总体),3(~2σN X ，有n=9的样本，样本方差42=s ，求统计量2/)93(-X 的分布（需说明理由）.)8(~293t X - 3. 设总体)9,(~,)4,(~μμN Y N X ，有16,1121==n n 的两个独立样本，求统计量222149S S 的分布（需说明理由）. )1510~492221，F （S S 4. 4. 设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<+=其他,010,)1(),;(x x x f θθθ，),,,(21n X X X 是来自该总体的一个样本，),,,(21n x x x 是相应的样本值，求（1）未知参数θ的矩估计量；（2）最大似然估计量.（（1）XX --=∧112θ;(2) 1ln 1--=∑=∧ni iXnθ班级 学号 姓名 得分 注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.5. 设),,(321X X X 是来自总体X 的样本，（1）证明：3211213161X X X ++=μ；3212525251X X X ++=μ；3213313131X X X ++=μ 是总体均值μ的无偏估计量；（2）说明哪一个估计较有效？（需说明理由）提示：（1）求)(1μE =++=)213161(321X X X E μ=++)(21)(31)(61321X E X E X E同理求另外两个……………………….. （2）求)(1μD =++=)213161(321X X X D )(187)(41)(91)(361321X D X D X D X D =++ 同理求另外两个的方差，比较大小，小的较有效6. 设有一批胡椒粉，每袋净重X （单位：g ）服从正态分布，从中任取9袋，计算得样本均值21.12=x ，样本方差09.02=s ，求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间.(306.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ) 参考答案（)44.12,98.11())1(2/=-±n t ns x α7. 设高速公路上汽车的速度服从正态分布，现对汽车的速度独立地做了6次测试，求得这6次测试的方差22)/(08.0s m s=，求汽车速度的方差2σ的置信度为0.9的置信区间.（488.9)5(205.0=χ，145.1)5(295.0=χ）参考答案（)3493.0,0422.0())1()1(,)1()1(22/1222/2≈-----n s n n s n ααχχ班级 学号 姓名 得分 注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.8. 甲、乙两位化验员各自独立地用相同的方法对某种聚合物的含氯量各作了10次测量，分别求得测定值的样本方差为6065.0,5419.02221==s s ，设测定值总体服从正态分布),(,),(222211σμσμN N ，试求方差比2221σσ的置信度为0.95的置信区间.（03.4)9,9(025.0=F ）参考答案（)6007.3,2217.0())1,1(,)1(1122/222112/2221≈---n n F s s n F s s αα9. 某糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为50公斤，每天开工后需检验一次打包机是否正常工作，某日开工后，测得9包重量，计算得样本均值82.49=x，样本方差44.12=s ，假设每包的重量服从正态分布.在显著性水平为05.0=α下，打包机工作是否正常？ （即检验假设：50:,50:10≠=μμH H ，306.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t )解：由题意，需检验假设：50:,50:10≠=μμH H ；9=n拒绝域为：)1(/2/0->-n t ns x αμ；计算：)8(306.245.03/2.15082.49/025.00t ns x t =<=-=-=μ，不在拒绝域内，即可以认为打包机工作是正常的。

=!A乙£ P=旷S奚報洱封去、09乙x9乙+ 0Lx9+ O^xC+ 8x U ——= L刊U]xu Z-= X 诲切去尅去：搦2A S 0 = x s乙乙乙(A-尸！U心Z~ =U K(A-尸！UAo+e =尸！u!A Z- +e = f十u(Ao- 尸！U(Ao 一8一=F!U广尸！U'Ao eu -= 、/丿L□ u(!Ao+e) m =U KI U!x 7 - = x；・-尸！U忆=001=9901+ 901+ CO 1+ >6+26T ! U=z Z/= x u i —i^ 童#说圧最新精品文档，知识共享 1!1-1 /6 1 -303 1 0 30 4 24 20 £ 09 1 85 20 3 1 0yy i 9n y=240.4441 2 2 _61 -240.444「吃—303-240.4441030-240.44492 2 2424 —240.444］亠［20 — 240.444］亠〔909 — 240.444 222 n(—185—240.444)+(20—240.444)+(310—240.444) = 197032.247利用3题的结果可知x 二 2000 y = 2240.444 s" =s y =197032.247i123 4 5678910 11 1213X79. 80. 80. 80. 80. 80. 80. 79. 80. 80. 80. 80. 80.09804 02 04 03 03 04 97 05 03 02 00 2 y-2424334-35322i1 2 3 4 5 6 7 8 9 X i193 169303242202 290 181 202 2397 0 49510 y i-30103 42-1831-6134209095204.解：变换y 二 N -2000i^ 盍#说曲'韓爼習黯堆窖g 乙 0"=920^ =[g9J + t^)+ 乙(9J + 乙 Jxt7+』9J+6—)>;£+ ^9L + 9S-)x2^ —=(H989乙二比+下=19'V- =「 OL (K + ^X 3L + C X 6-乙 x9£—)— = k尸！U!A !LU kP£ 乙 tuZV 6- 9£- !A17'0£乙8乙I/9乙9£2k*(z 乙-Moi 竭靠：搦-g0000 LAs =乙00 L乙 008= 08+ —圧巨畜彩轴雷£宙吐OOZ —乙)x£+ ( 00 3-3-)1 —= 乙 _ lx亍！U(A- !A)右=$ 乙— U L00乙= SL尸！U:<z(A-z —口U!A y !LU M _ = :S(HX ZZ0£'9 =00x乙ZZ0£'9 =最新精品文档，知识共享 1!2Ix 丄Fjxn i 41 156 10 160 14 164 26 172 12 168 28 176 8 180 2 100-166i二1' m i X j -xn i 11帀0 汉(156 —166 $ 2 2 214 160-16626 164-16628 168-1661002 2 2 112 172 -166 8 176 -166 2180 -166= 33.448解：将子样值重新排列（由小到大） -4, -2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2, 3.21 M^Xm =X 7 =0R = X n - X 1 - 3.21 - _4 - 7.21 M e =XX (8 厂1*2n i 9 解:1 11n x i n 2X j一n2 j mn 2最新精品文档，知识共享 1!n £2x 2 _x 2n i亠口 2 i 丄环数 109 87 6 54 频数2 30 942试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形 解: 环数 10 9 8 7 6 5 4 频数 2 3 0 9 4 0 2 频率0.10.150.450.20.10.14^xc60.3 6兰xv7F20（X ）=* 0.75 7 兰 x£9 0.99 兰 xv10Jx^10区间划分频数频率密度估计值154口158100.10.025ni n2X i --二’Xj i Aj 1n i X i亠 n 2 X 2n n 2m 亠n^i亠2222 比 s }亠x_, ［亠n 2 s2）$ n i X i + n2 X 2|'u U 匸！U 口U-=^-= !xa m—!x Zr a=xaY "fU u L u L —u F ! U 芳！ U7= =^<3 7 = 7 3= X30 / ? L - 飞=々］7 = !X3 ( ?)d q !x最新精品文档，知识共享 1!3.313•解：Xi L U a,b EXiDX i12i =12 ,n在此题中x 丄 U -1,11 Dx i3— 1 EX 二 E —'n i 4 _ 1n 丄Exn i £. 1 DX 二 D x i 八 Dx i~n i 二14.解：因为XiL N *2所以由2分布定义可知丫二'i -1X ii£I a所以 Y L 2 n15.解: 因为XiL N 0,1E X 1 X 2 X 3=°.3所以X1X2X 3L N0」.3iX +X 2 +X 3£V3.丿同理X 4 X 5 X 6b 2(1)由于2分布的可加性，故1YX 1 X 2 X 3 =I ----------- = -------可知16•解:（1）因为XiL N OF 2辿 N 0,1CT=3nE Xi —=0i =12 ,n服从2分布,12 ,n D X 1 X 2 X 3D X^.1X 1 X 2 X 3L N 0,3=1+ ['X4+X 5 + X 6j 2口i =1,2, ,n所以F”)”讣P弄韶y—JZx d xfY iy二 f y =因为所以(2)因为所以y2n /"2 "fY (y )=<2Z r '-L_ ye^2(3)因为x 0x _0x丄N 0,；「2i =1,辿N 0,1CT飞工L 2.i ■■-F Y2 y P nY2% y卡 2 y…学芈n2 2 _nx____ 戸nXjL N 0,二2y 0y乞02,…,nnyF.f 2 x dxy 0y乞01,2,…,n故17•解：因为所以故(4)因为所以21X亠一；F Y 3 y = p 沁匸罕二fY 3y=F Y 3y二x 0 x _ 0y 0 y _oX i L N Of 2i =1,2, ,n£ 非L N （o,1）i =1 •、n ；・yF Y 4 y =P 「Y 4 冷乞吕「f 21 xdx'f y ） 1 f 2 y二 F Y 4 y =f 217 77存在相互独立的u , VU L N 0,1VL 2 nUy 乞0xLt n19•解：用公式计算富01 (90)=90 +J2P0U 0.01查表得U 0.01 =2.33代入上式计算可得 鼻爲(90 ) = 90 + 31.26 = 121.2620.解：因为 XL 2 nE 2 = nD 2 由2分布的性质3可知则由定义可知 18解：因为所以(2)因为所以u 2L 21 u 221V n2L F 1,n、n X i i \ n ”_' XiL N 0—i =12 ,nL N 0,1V]2u i :n 1；-n\ m l ： X ii 4Y = r . _____ 1n ： D m丘「人2F i =n 1J Xi牙Lt mX^L N 0,1zf X .lL ；「m卷 2Li”二i =1,2, , n mnm l X i 2 Y 2 -n imn' x ：i -1• j Xi_i.工n{ CT 丿n m z i士 1mL F n,m=2n最新精品文档，知识共享1!X -n |X - n c - nPXx ；=P —-lx/2n V2n Jc _nt2l n m[ V2n ^2^ J VV2n JP^X <c)1.x) x)0, x+□0f:::0 0 _OCixe -■x +□0+x)1xdx-，x d-xe从而有2. 1).E(x)i+oOoO、k(1、k -1p)p' k(1 -、k丄x =1P _1 一1 一p 令P= XL(P)汕(1-P)"p=p n(1-p)u nX i -n最新精品文档，知识共享 1!X解之得解：因为总体X 服从U( a , b )所以_a b D( X )( a-b )2 n!2 12 r ! (n _r ] X ) =X D ( X ) =S 2,n 2解之得:nnIn x i i 4nnIn x ii -1(2)母体X 的期望而样本均值为:-1 nX =—区 X in y令E(x)二X 得1 - X5•。