厦门大学统计学考研868概率论与数理统计考试重难点名校真题答案与考试真题

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。

§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。

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概率论与数理统计期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷 闭卷A/B 卷A 课程编号2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分3命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 答：选D ，根据A B 的定义可知。

2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。

4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

《概率论与数理统计》试卷题 供参考1．计算机在进行加法运算时，有时要对每个加数取整（取最接近它的整数）。

设所有取整误差都是相互独立的，且都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布。

（1） 若进行1500个数的加法运算，问误差总和绝对值超过15的概率多大？ （2） 进行多少个数的加法运算，才能使得误差总和绝对值小于10的概论为0.9？ （已知 1.3420.91, 1.290.90 1.6450.95ΦΦΦ（）＝（）＝，（）＝）2.设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12...n X X X ，，为样本，221111,()1nniii i X XS X X nn ====--∑∑。

求：（1）()E X （2）2()E S (3)()D X (4)λ的矩估计量 3．(1)设样本12,,X X X来自同一总体X ， ()E X θ=，则121231231111 (), 3442X X X X X X θθ∧∧=++=++，① 证明它们是θ的无偏估计量 ② 12,θθ∧∧哪个更有效？（2）已知()X t n ,求证：2(1,)X F n 。

4．设总体2(0,)X N σ ，12X X ，是样本。

（1）证明12X X +和12X X -不相关。

由此说明它们是否独立？ （2）求212212()()X X Y X X +=+的分布5设总体X 的分布函数为11 1(,)0 1x F x xx ββ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩。

其中未知参数1,β>12...n X X X ，，为来自总体X 的简单随机样本。

求： （1）β的矩估计（2）β的极大似然估计量 6．(1)一批电子元件，随机取5只作寿命试验，测得寿命数据如下：21160,9950,x S ==若寿命服从正态分布，试求寿命均值的置信水平为0.95的单侧置信下限。

（已知0.051.6450.95(4) 2.1318t Φ=（）＝，）（2）设221122(,),(,)A B X N X N μσμσ 参数都未知，随机取容量25,15A B n n ==的两个独立样本，测得样本方差22B6.38, 5.15AS S ==，求二总体方差比2122σσ的置信水平为0.90的置信区间。

厦门大学网络教育 2013-2014学年第一学期《统计学原理》复习题、单选题1、统计调查方法体系中，作为“主体”的是（ A ）A .经常性抽样调查 B.必要的统计报表2、考虑全国的工业企业的情况时，以下标志中属于不变标志的有（A .产业分类 B.职工人数C.劳动生产率 3、某地区抽取3个大型钢铁企业对钢铁行业的经营状况进行调查，这种调查是4、下列这组数列15，17，17，18，22，24，50，62的中位数是（C ）。

现象之间的相关程度越低，贝刑关系数越（接近+1 B 接近-1接近08、假定其他变量不改变，研究一个变量和另一个变量间的相关关系的是（9、已知两个同类型企业职工平均工资的标准差分别为 8元，12元，则两个企业职工平均工资的代表性是（A ）10、（ C 。

是标志的承担者。

C.重点调查及估计推算D.周期性普查D.所有制A .普查B .典型调查 C.重点调查 D .抽样调查A.17B.18C.20 5、标志变异指标中最容易受极端值影响的是（A.极差B.平均差 &简单分组与复合分组的区别在于（ 总体的复杂程度不同 选择分组标志的性质不同 A.C.D.22C. B.D.标准差 D.标准差系数）组数多少不同选择的分组标志的数量不同7、 A.偏相关 B.正相关 C.完全相关 D.复相关A.甲大于乙B.乙大于甲C. 一样的D.无法判断11、 下列各项中属于数量标志的是（A ） A.年龄B.学历C.民族D.性别 12、 某商品价格上涨了 5%,销售额增加了 10%，则销售量增加了（ C ）A. 15%B. 5.2 %C. 4.8 %D. 2 %13、某变量数列末组为开口组，下限是 500;又知其邻组的组中值是 480,则该组 的组中值应为（D ）0B.时间和指标数值C.时间和次数20、现象总体中最普遍出现的标志值是（ A ）A.变量B.总体C.总体单位D.指标 A. 490 B. 500 C. 510 D. 52014、根据最小二乘法原理所配合的一元线性回归方程，是使（ B ）0 无（Y -Y?）2为最小 送（Y -Y?） = 0 A S （Y -Y ） = 0C 送（Y -Y ）为最小15、 以下不是统计量特点的是（A.不确定B.已知 16、 不属于专门调查的有（AA.统计年报B.抽样调查C.未知 C 普查 17、 今有N 辆汽车在同一距离的公路上行驶的速度资料,Z xf B. ----- Z f C 旦 C 7 x D.不唯一 D.典型调查m 表示路程，x 表示速度,） D.18、 抽样推断的特点有（B ）0A.事先人为确定好样本C.缺乏一定的科学性和可靠性19、 时间数列的构成要素是（ B.按随机原则抽取样本 D.事先无法计算和控制抽样误差A.变量和次数 D.主词和宾词 A.众数B.中位数C.平均数D.频数 21、定基发展速度等于相应的各环比发展速度（CA.之和B.之差C.之积D.之商 22、平均指标不包括（A ） 0 A.标准差B.调和平均数C.中位数D.众数23、 派氏指数公式的特点是同度量因素固定在（D ） A.基期B.初期C.末期D.报告期24、 某企业职工的工资水平比上年提高了 5%,职工人数增加了 2%,则该企业工 资总额增加（B ）A. 10%B. 7.1% 二、简答题1、什么是典型调查，它适用于什么场合 ？答：典型调查是一种专门组织的非全面调查。

统计学试卷Ｃ（含答案及评分标准）10分。

(请将唯一正确答案序号写在括号内)1．社会经济统计学的研究对象是（）A．社会经济现象的数量方面；B．统计工作；C．社会经济的内在规律；D．统计方法；2．要考察全国居民的人均住房面积，其统计总体是（）A．全国所有居民户；B．全国的住宅；B．各省市自治区；D．某一居民户；3.某市国内生产总值的平均增长速度：1999-2001年为13%，2002-2003年为9%，则这5年的平均增长速度为（）。

A.52309.013.0⨯ B. 109.013.0523-⨯C. 52309.113.1⨯ D. 109.113.1523-⨯4．总体中的组间方差表示（）A.组内各单位标志值的变异B.组与组之间平均值的变异C.总体各单位标志值的变异D.组内方差的平均值5．在其他条件相同的前提下：重复抽样误差（）A.大于不重复抽样误差；B.小于不重复抽样误差C. 等于不重复抽样误差；D.何者更大无法判定；6．所谓显著水平是指（）A.原假设为真时将其接受的概率；B. 原假设不真时将其舍弃的概率；C. 原假设为真时将其舍弃的概率；D. 原假设不真时将其接受的概率；7. 编制质量指标综合指数所采用的同度量因素是（）。

A.质量指标； B．数量指标； C．综合指标； D．相对指标；8．以下最适合用来反映多元线形回归模型拟合程度的指标是（）A.相关系数； B．决定系数；C．修正自由度的决定系数； D．复相关系数；9．以下方法属于综合评价中的客观赋权法（）。

A.最大组中值法； B．统计平均法；C．层次分析法； D．变异系数法；10．以下方法适合用来计算间隔相等的时点数列的序时平均数（）A. 移动平均； B．算术平均；C．几何平均； D．首尾折半法；二、多项选择题每小题2分共10分（正确答案包含1至5项，请将正确答案的序号写在1.下列指标中属于时期指标的是（）。

A.国内生产总值；B.商品库存额；C.人口数；D.出生人数；E.投资额；2．.四分位差和标准差的计量单位是（）。

2021 年厦门大学 868 概率论与数理统计考研精编资料一、厦门大学 868 概率论与数理统计考研真题汇编及考研大纲1 ．厦门大学 868 概率论与数理统计（回忆版） 2014 年考研真题，暂无答案。

2. 厦门大学 868概率论与数理统计考研大纲①2018年厦门大学868概率论与数理统计考研大纲。

二、 2021 年厦门大学 868 概率论与数理统计考研资料3 ．茆诗松《概率论与数理统计教程》考研相关资料（ 1 ）茆诗松《概率论与数理统计教程》 [ 笔记 + 课件 + 提纲 ]①厦门大学 868 概率论与数理统计之茆诗松《概率论与数理统计教程》考研复习笔记。

②厦门大学 868 概率论与数理统计之茆诗松《概率论与数理统计教程》本科生课件。

③厦门大学 868 概率论与数理统计之茆诗松《概率论与数理统计教程》复习提纲。

（ 2 ）茆诗松《概率论与数理统计教程》考研核心题库（含答案）①厦门大学 868 概率论与数理统计考研核心题库之综合题精编。

（ 3 ）茆诗松《概率论与数理统计教程》考研模拟题 [ 仿真 + 强化 + 冲刺 ]① 2021 年厦门大学 868 概率论与数理统计考研专业课六套仿真模拟题。

② 2021 年厦门大学 868 概率论与数理统计考研强化六套模拟题及详细答案解析。

③ 2021 年厦门大学 868 概率论与数理统计考研冲刺六套模拟题及详细答案解析。

三、V资料X获取：ky21985四、 2021 年研究生入学考试指定 / 推荐参考书目（资料不包括教材）5 ．厦门大学 868 概率论与数理统计考研初试参考书茆诗松《概率论与数理统计教程》五、 2021 年研究生入学考试招生专业目录6 ．厦门大学 868 概率论与数理统计考研招生专业目录院系所专业学制（年）学习方式研究方向考试科目备注022统计系 071400统计学3 (1)全日制01数理统计① 101思想政治理论②201英语一③301数学一④868概率论与数理统计本专业授予理学学位。

厦门理工学院-概率论与数理统计参考答案概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为[C]（A）不可能事件（B）必然事件（C）随机事件（D）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有[B]（A）A1{抽到的三个产品全是合格品}A2{抽到的三个产品全是废品}（B）B1{抽到的三个产品全是合格品}B2{抽到的三个产品中至少有一个废品}（C）C1{抽到的三个产品中合格品不少于2个}C2{抽到的三个产品中废品不多于2个}（D）D1{抽到的三个产品中有2个合格品}D2{抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件AB不等价的是[C]（A）AAB （B）(AB)B（C）AB（D）AB4．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则AB表示[C]（A）二人都没射中（B）二人都射中（C）二人没有都射着（D）至少一个射中5．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为.[D]（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”；（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{某|某},A{某|0某2},B{某|1某3}，则AB表示[A]（A）{某|0某1}（B）{某|0某1}（C）{某|1某2}（D）{某|某0}{某|1某}7．在事件A，B，C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为[A]（A）ACBC；（B）ABC；（C）ABCABCABC；（D）ABC.8、设随机事件A,B满足P(AB)0，则[D]（A）A,B互为对立事件(B)A,B互不相容(C)AB一定为不可能事件(D)AB不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A，B满足AB，则称A与B互不相容或互斥2．“A，B，C 三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为ABCABCABCABC或ABACBC三、简答题：1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果；（2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；（3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。

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适用院系：统计系：071400统计学（理学）王亚南经济研究院：统计学（理学）适用科目：868概率论与数理统计内容详情本书包括以下几个部分内容：Part 1 - 考试重难点与笔记：通过总结和梳理《概率论与数理统计教程》（茆诗松第二版）各章节复习和考试的重难点，建构教材宏观思维及核心知识框架，浓缩精华内容，令考生对各章节内容考察情况一目了然，从而明确复习方向，提高复习效率。

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Part 3 - 名校考研真题详解汇编：根据教材内容和考试重难点，精选本专业课考试科目相关的名校考研真题，通过研读参考配套详细答案检测自身水平，加深知识点的理解深度，并更好地掌握考试基本规律，全面了解考试题型及难度。

__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯注意：以下是本次考试可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值：⋯t0.025(15)t 0.05 (15)t0. 025 (24)t0.05 (24)(2)(0.8)(1)⋯⋯ 2.1315 1.7531 2.0639 1.71090.97720.78810.8413⋯⋯⋯一、选择填空题（共 80 分 , 其中第 1-25 小题每题 2 分 ,第 26-35⋯小题每题 3 分）得分:⋯业⋯ 1. A 、B 是两个随机事件， P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且 A 与 B 相互独立，则专⋯P( AU B) = B;级⋯年⋯(A) 0.7(B) 0.58(C) 0.82(D) 0.12⋯⋯⋯ 2. A 、B 是两个随机事件， P( A ) = 0.3 ，P( B ) = 0.4 ，且 A 与 B 互不相容 ,则⋯P( A U B)D;⋯⋯⋯(A) 0(B)0.42(C)0.88(D)1⋯:⋯ 3.已知 B,C 是两个随机事件 ,P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4,则 P( C ) = C ;别)⋯系封(A) 0.4(B)0.5(C)0.8(D)0.9⋯答⋯ 4.袋中有 6 只白球 ,4 只红球 ,从中抽取两只 ,如果作不放回抽样 ,则抽得的两个球不⋯颜色不同的概率为 : A;内⋯⋯⋯84126封⋯(A) 15(B)15(C)25(D)25密⋯(⋯⋯ 5. 袋中有 6 只白球 ,4 只红球 ,从中抽取两只 ,如果作放回抽样 ,则抽得的两个球颜:⋯色不同的概率为 :C;⋯号⋯学84126⋯(C)(D)⋯(A)(B)15152525⋯⋯1⋯的概率为C;则这两个数之和小于密6.在区间 [0,1] 上任取两个数 ,2⋯:⋯(A) 1/ 2(B) 1/ 4(C)1/ 8(D)1/16⋯名⋯姓7.在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.⋯⋯假设矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2，通过第二个通道逃生成功的⋯⋯可能性为 1/3，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃⋯生的可能性是C.(A) 1(B) 1/ 2(C) 1/ 3(D) 1/ 68.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。

习题一1. 解 (1) 设学生数为n ，则{0/,1/,2/,,100/}n n n n n Ω=(2) 枚骰子点数之和为 {3,4,5,,18}Ω=(3) 三只求放入三只不同A ，B ，C 盒子，每只盒子中有一个球的情况有 {(,,),(,,),(,,),(,,,),(,,),(,,)}a b c a c b b a c b c a c b a c a b Ω=其中(,,)a b c 表示A 盒子放入的球为a ，B 盒子放入的球为b ，C 盒子放入的球为c ，其余类似．(4) 三只求放入三只不同A ，B ，C 盒子情况有{(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0),,(,,)}abc abc abc ab c c a b Ω= 其中(0,,0)abc 表示A 盒子没有放入球，B 盒子放入的球为,,a b c ，C 盒子没有放入球，其余类似，共3||327Ω==个样本点．(5) 汽车通过某一定点的速度设为v {|0}v v Ω=>．(6) 将一尺长的棍折成三段，各段的长度为,,x y z{(,,)|0,0,0,1}x y z x y z x y z Ω=>>>++=．(7) 对产品检验四个产品，连续检验到两个产品为不合格品是，需停止检验，检验的 结果为{(0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0),(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1),(1,1,0,1)}Ω=其中(0,1,0,0)表示第一次取到不合格品，第二次取到合格品，第三次取到不合格品，第四次取到不合格品，其余类似．2. 解 (1) 一只口袋中装有编号为1，2，3，4，5的五只球，任取三只，最小的号码为1的样本点有{(123),(134),(135)}A = 其中(123)表示取出的球为编号为1，2，3的球(无顺序)． (2) 抛一枚硬币两次，A =“第一次出现正面”的样本点有{(10),(11)}A =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．B =“两次出现不同的面”的样本点有{(10),(01)}B =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．C =“至少出现一次正面”的样本点有{(10),(0,1),(11)}C =，其中(10)表示第一次掷出正面，得如此为反面，其余类似．(3) 检验一只灯泡的寿命，其寿命为t 不小于500小时，A =“灯泡寿命不小于500小时”的样本点有{|500}A t t =≥． (4) 某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数不大于10， A =“某电话交换台在一分钟内接到的呼唤次数不大于10”的样本点有{|0,1,2,,10}A n n ==．(5) 重复抛掷一枚硬币，当出现正面时停止， A =“抛了偶数次时首次出现正面”的样本点有{(0,1),(0,0,0,1),(0,0,0,0,0,1),}A =，其中(0,1)表示第一次出现反面，第二次出现正面．3. 解 (1) ABC AB C =-;(2) AB C ;(3) AB AC BC ;(4) AB AC BC ;(5) ABC ABC ABC ; (6) ABCABCABC .4. 解 (1) 选到的是1980年或1980年以前出版的中文版数学书；(2) 该馆中凡是1980年或1980年以前出版的书都是中文版的； (3) 馆中所有数学书都是1980年以后出版的中文版书； (4) 是．5. 解 包含事件,A B 的最小事件域是{,,,,,,,,,,,,,}F A B A B A B A B AB AB A B A B ABAB A B A B =Ω∅6. 证明 (1) 对任意的,A ω∈即,A ω∉，等价于A ω∈，即A A ⊂；对任意的A ω∈即,A ω∉，等价于A ω∈，即A A ⊃； 即 A A =．(2) 对任意的,A B ω∈-即,,A B ωω∈∉，等价于AB ω∈，即A B A B -⊂；对任意的A B ω∈即,,A B ωω∈∉，等价于A B ω∈-，即A B A B -⊃； 即 A B A B -=．(3) 由于C B ⊂，所以AC AB ⊂=∅，所以AC =∅．(4) 对任意的1,n n A ω∞=∈即存在00,n n A ω∈，等价于0n A ω∉，即：1n n A ω∞=∈，即11,n n n n A A ∞∞==⊂； 对任意的1n n A ω∞=∈即1n n A ω∞=∉存在00,n n A ω∉，等价于0n A ω∈，即：1n n A ω∞=∈，即11n n n n A A ∞∞==⊃；即11n n n n A A ∞∞===．(5) 与(4)证明相似．(6) 显然,,A B B A AB --互不相容 显然A B B A AB A B --⊂；对任意的,A B ω∈即A ω∈或者,B ω∈，分为(a)AB ω∈，显然成立；(b)A B ω∈-, 显然成立；(c) B A ω∈-,显然成立.7. 解 (1) 设 11(),1,2,,k k k i i B A A k n -==-=，其中0A =∅，显然,1,2,,k B k n =互不相容．(2) 两个事件互不相容是指,AB =∅，而相互对立是指,AB A B =∅=Ω，所以互不相容并不一定相互对立；反过来两个事件相互对立一定能够说明互不相容．(3) 对任意的1,n k k B ω=∈即存在000001,k k k k n k B A A A A ω-∈=-⊂⊂，所以1nk n k B A =⊂；反之对任意的n A ω∈即存在00,,k n k A A ω∈⊂，且0001k k k A A B ω-∈-=所以1nk n k B A =⊃；即1nk n k B A ==．对于无穷的形式类似可得．8. 解 设抽出的三球顺序为黑白黑为A ，(1) 放回抽样Ω中的元素个数为311n Ω=，A 中的元素个数为656A n =⋅⋅，所以3656()0.135211A n P A n Ω⋅⋅=== ； (2) 不放回抽样Ω中的元素个数为311n A Ω=，A 中的元素个数为656A n =⋅⋅，所以311655()0.1515A n P A n A Ω⋅⋅=== ．9. 解 设其中相互指定的三本书放在一起A ，Ω中的元素个数为310n A Ω=，A 中的元素个数为183!A n A =，所以 183103!1()15A n A P A n A Ω===10. 解 设其中两名种子选手被分在不同队为A ，Ω中的元素个数为1020n C Ω=，A 中的元素个数为91182A n C C =，所以 91182102010()19A n C C P A n C Ω===．11. 解 设四张A 全部集中在一个人手中为A ，Ω中的元素个数为1352n C Ω=，A 中的元素个数为91484A n C C =，所以 914841352()0.0106A n C C P A n C Ω==≈．12. 解 设6双首套中选择4只恰有一双配对为A ，Ω中的元素个数为412n C Ω=，A 中的元素个数为32623A n C =⋅⋅，所以 3264122316()33A n C P A n C Ω⋅⋅===．13. 解 设这n 个人任何两个人的生日都不在同一天为A(1) Ω中的元素个数为365n n Ω=，A 中的元素个数为365365!n nA n C n A =⋅=，所以 365()365nA nn A P A n Ω== ； (2) 30n =时302936536521229()(1)(1)(1)0.3037365365365365nA nn A P A e n ⋅-⋅Ω===---≈=14. 解 (1) 设选出的号码为严格上升为A ，Ω中的元素个数为n n N Ω=，A 中的元素个数为nA N n C =，所以 ()nA Nnn C P A n N Ω==； (2) 设选出的号码为单调升为A ，Ω中的元素个数为n n N Ω=，A 中的元素个数为1nA Nn n C +-=，所以 1()nA N n nn C P A n N+-Ω== ．15. 证明 原式等价于()()(1)()(1)211(1)(1)(2)(1)(2)(1)n n N n n N n N n n N n N n N N N N N N N N N n n-------⋅++++=-----+ 构造概率模型： 一口袋中中有n 个红球，N n -个黑球，k A 为第k 次首次抽到红球，则11()()1nnk k k k P A P A ====∑其中 ()(1)(2)()(1)(2)(2)k n N n N n N n k P A N N N N k n-----+=---+即()()(1)()(1)211(1)(1)(2)(1)(2)(1)n n N n n N n N n n N n N n N N N N N N N N N n n-------⋅++++=-----+16. 解 解法不对，由于每一个样本点等可能发生实际是指每一枚骰子出现任何一种可能是等可能的，而不是和出现的结果是等可能的．正确解法为 设为点数和为6为A ，(,)m n 为第一枚骰子出现点数为m ，第二枚骰子点数为n ，则{(,)|,1,2,,6}m n m n Ω==，{(,)|6}A m n m n =+=Ω中的元素个数为36n Ω=，A 中的元素个数为5A n =，所以5()36A n P A n Ω==．17. 解 设平行弦距圆心的距离为x ，设弦长度大于R 为A ，则{|0}x x R Ω=<<，{|0}A x x =<<2()A R L P A L R Ω===．18. 解 设正常信号到达时间为为x ，干扰信号到达时间为y ，设系统受到干扰为A ，则{(,)|0,60}x y x y Ω=<<，{(,)|010600560}A x y x y x y x y =<<<+<<<<+<或1160605555505022()0.23266060A S P A S Ω⋅-⋅-⋅===⋅．19. 解 设甲船到达时间为为x ，乙船到达时间为y ，设有一船要在码头外等到为A ，则{(,)|0,24}x y x y Ω=<<，{(,)|0203}A x y x y x y x y =<<<<<<+或112424(21212222)22()0.19702424A S P A S Ω⋅-⋅+⋅===⋅．20．解 设切取的第一段长度为x ，切取的第二段长度为y ，切取的第三段长度为x ，设三段能够形成以一个三角形为A ，则{(,,)|1,,,0}x y z x y z x y z Ω=++=>，{(,,)|,,,1,,,0}A x y z x y z x z y y z x x y z x y z =+>+>+>++=>，则 1/4()0.251A L P A L Ω===．21. 解 设硬币的圆心落在某一个正方形中，以正方形的中心建立直角坐标系，由于是对称的，硬币的圆心不妨设落在第一象限内；设正方形的边长为a ，设硬币与正方形不相交为A ，则{(,)|0,}x y x y a Ω=<<，1{(,)|0,}22a A x y x y =<<-， 则22(1)/4()0.1/4A S a P A S a Ω-==≥， 解得109a ≤．22. 证明 (1) 由棣莫根定理有： 1212n n A A A A AA =, 121212()1()1()n n n P A A A P A A A P A A A =-=-; (2) 由于12121312121()(())()n n n A A A A A A A A A A A A A -=--- 11121,(),2,,k k k B A B A A A A k n -==-=, 显然k B 两两互不相容， 12121312121()()()(())(())n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=+-+-++-12121312121()()()()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=++++；(3) 显然有 1212()()()P A A P A P A≤+ 不妨设当k n =时成立有 12123()()()()()n n P A A A P A P A P A P A ≤++++，当1k n =+时成立有 121121()()()n n n n P A A A A P A A A P A ++≤+1231()()()()()n n P A P A P A P A P A +≤+++++．24. 解 (1) 由于 12,A A A ⊂所以有 12()()P A A P A ≤,121212()()()()P A A P A P A P A A =+-,121212()()()()P A A P A P A P A A =+-, 1212()()()()1P A P A A P A P A ≥≥+-, 即 12()()()1P A P A P A ≥+-；由于 123,A A A A ⊂所以有123,A A A A ⊃,123()(),P A A A P A ≥,()123123()(),P A A A P A A A P A =≥,()123123()()()P A A A P A P A P A ≤++,()123123()()()()P A A A A P A P A P A ≤≤++,由于()1()P A P A =-即 123()()()()2P A P A P A P A ≥++-； (2) 由于()()()()P AB P A P B P AB =+-,， ()()()()P AB P A P B P A B =+-， ()P AB p q r =+-；()()()P AB P B P AB r p =-=-； ()()()P AB P A P AB r q =-=-；()1()1P AB P A B r =-=-．25. 解 设订购报纸分别A,B,C 为事件,,A B C(P 只订购A)(())()()()()P A B C P A P AB P AC P ABC =-=--+0.450.10.050.030.3=--+=; (P 只订购AB)()()()P AB C P AB P ABC =-=-0.10.030.07=-=;(P 只订购B)(())()()()()P B A C P B P AB P BC P ABC =-=--+ 0.350.10.050.030.23=--+=;(P 只订购C)(())()()()()P C A B P C P AC P BC P ABC =-=--+ 0.30.080.050.030.2=--+=;(P 只订购一种报纸的）=(P 只订购A)+(P 只订购B)+(P 只订购C) 0.30.230.20.73=++=；(P 恰好订购两种报纸的）=(P 只订购AB)+(P 只订购BC)+(P 只订购AC) ()()()3()P AB P AC P BC P ABC =++- 0.10.080.0530.030.14=++-⋅=;(P 至少订阅一种）=(P 只订购一种)+(P 只订购两种)+(P 只订购三种) 0.730.140.030.9=++=．26. 解 设A 为任何一人都为拿到自己原来的卡片；设k A 为第k 个人拿到自己原来的卡片，1,2,,k n =，由于1nk k A A ==，且1()k P A n=，1,2,,k n =；1()(1)k j P A A n n =-，,1,2,,,k j n j n =<；1()(1)(2)k j l P A A A n n n =--，,,1,2,,,k j l n l j n =<<；所以1()1()1()nk k P A P A P A ==-=-11111()()()(1)()nnnk j k l j k k k j k nl j k nk P A P A A P A A A P A =≤<≤≤<<≤==-+-++-∑∑∑∏11111(1)2!3!!n n =-++-+- 1e -≈（由x e 的幂级数的展开式得到）．27. 解 设每分钟到达的呼叫次数为X ，则X 服从参数为4λ=的泊松分布844(8)0.0297718!P X e -===；4114(10)0.00284!k k P X e k +∞-=>==∑．28. 解 由于 ()()0.21(|),()()(|)0.42P A B P A B P A B P B P B P A B ====，()()()()0.30.50.20.6P A B P A P B P AB =+-=+-=．29. 解 设三个孩子的家庭有一个女孩为B ， 至少有一个男孩为A ,7()8P B =, 6()8P AB =，所以6()68(|)7()78P AB P A B P B ===．30. 解 设k A 表示第k 次取到合格品，1,2,3k =，(P 第三次才取到合格平123121312)()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A ==109901009998=⋅⋅.31. 解 设i A 表示第i 次打开房门，1,2,,i k =(P 第k 次才取到合格平12121121)()()(|)(|)k k k P A A A P A P A A P A A A A -==2322()11(1)n n n k n n n k n n ---=⋅=--+-．32. 解 设种子等级为i 等分别为,1,2,3,4i A i =；种子能够长成优良小麦为B ，由全概率公式得到41()()(|)i i i P B P A P B A ==∑(10.020.0150.01)0.50.020.150.010.10.010.05=---⋅+⋅+⋅+⋅ 0.4825=．33. 解 设第一次取出没有用过的球数为i 为i B ，0,1,2,3i =；第二次取出的三个全为没有用过的球为A ，由全概率公式得到3()()(|)iii P A P B P A B ==∑33213123033393983973963333333312121212121212120.146C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=．34. 解 设第一次从甲口袋中取出的白球数为i 为i B ，0,1,2i =；第二次取出的两个球为白球为A ，由全概率公式得到2()()(|)i i i P A P B P A B ==∑221121212222222222b a b a a b a b a b C C C C C C C C C C C C C ααααβαβαβ+++++++++++=⋅+⋅+⋅．35．解 设任取的一个产品为不合格品为D ，产品是来自于机器生产的A,B,C 分别为,,A B C ，由全概率公式有()()(|)()(|)()(|)P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.350.040.40.02=⋅+⋅+⋅= 由贝叶斯公式得到()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.250.050.36230.0345⋅==； ()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P B P D B P B D P A P D A P B P D B P C P D C =++ 0.350.040.40580.0345⋅==； ()(|)(|)()(|)()(|)()(|)P C P D C P C D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.40.020.23190.0345⋅==； 本题的结果可以发现由于已经知道产生的是不合格品在分担责任时，由于各个机器产生不合格品的概率不同，生产的产量不同均会影响各个机器的不合格品的概率不同．36．解 设接收的信号为“．”为A ，发出的信号为“．”为B ，()0.6,(|)0.7,P B P A B ==()0.4,(|)0.02P B P A B ==由贝叶斯公式得到()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+0.60.70.99810.60.70.40.02⋅==⋅+⋅； 其余类似．37. 证明 (1) 由于 (|)(|)P A B P A B =，所以 ()()()()P AB P AB P B P B =()()()()1()P AB P A P AB P B P B -=- ()()(1())()()()P AB P B P A P AB P B -=- ()()()P AB P A P B =.(2) 由于,,A B C 相互独立，所以(())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ==+-()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+- ()(()()())P C P A P B P AB =+- ()()P C P A B =；(())()()()()()()P AB C P ABC P A P B P C P AB P C ===； (())()()()P A B C P AC BC P AC P ABC -=-=-(()())()()()P A P AB P C P A B P C =-=-；(3) 对任意的事件B 有()()0P AB P A ≤=，所以()()()P AB P A P B =； (4) 对任意的事件B 有()0P A =,由 (3)知A 与任何B 相互独立，所以A 与任何B 相互独立． (5) 12121212()()()()m m m n m m m n P AB P A A A A A A P A A A P A A A ++++==．38. 证明 (1) 不妨设,A B 相互独立，则有()()()P AB P A P B =，但()0,()()0P AB P A P B =≠矛盾．所以,A B 不相互独立.(2) 原命题与逆否命题等价，所以显然．39. 解 设i A 为第i 台机器不需要工人照看，1,2,3i =；B 为最多有一台机器需要照看，123123123123()()()()()P B P A A A P A A A P A A A P A A A =+++0.90.80.70.10.80.70.90.20.7=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 0.902=.40. 解 设i A 为甲、乙、丙三人击中飞机，1,2,3i =；B 为飞机击落，123123123123123123123()0.2(()()())0.6(()()())1()P B P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A =++++++⋅0.2(0.40.50.30.60.50.30.60.50.7)0.6(0.40.50.30.40.50.70.60.50.7)0.40.50.7 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.458=.41. 解 设i A 为从100件中有4件音色不纯的乐器中取到3件音色不纯件数,0,1,2,3i =，为乐器通过测试为B ，00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++321123322396964964433331001001001000.9930.990.0530.990.050.05C C C C C C C C C C =+⋅⋅+⋅⋅+ 0.8625≈．42. 解 设i A 为第i 续电器节点闭合，1,,6i =；B 为为L 与R 是通路，1323564()()B A A A A A A A =1323564()(()())P B P A A A A A A A = 1323564123135613423562345641235612342345612456123456()()()()(()()()()()())(()()()())()P A A P A A P A A P A P A A A P A A A A P A A A P A A A A P A A A P A A A P A A A A A P A A A A P A A A A A P A A A A A P A A A A A A =+++-+++++++++-23456343p p p p p p =+--+-．43. 解 (1) 四次试验中至少发生一次事件A 为B ，480()1()1(1)81P B P B p =-=--=， 解得 23p =； (2) n 次试验中至少发生一次事件A 为B ，()1()1(10.2)0.9n P B P B =-=--≥，解得ln 0.1(10,2)0.1,,10.3189,11ln 0.8nn n n -≤≥≥≥ 同理()1()1(10.2)0.99n P B P B =-=--≥解得ln 0.01,20.6377,21ln 0.8n n n ≥≥≥．44. 解 设k A 为4次中A 发生的次数为 ,1,2,3,4k k =1314()0.30.7P A C =⋅，4132344()10.70.30.7P A A A C =--⋅， 1234()()0.6()P B P A P A A A =⋅+13413440.30.70.610.70.30.7C C =⋅⋅+--⋅ 0.595=．45. 解 设甲投中的球数为X ，乙投中的球数为Y ，()(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== (0)(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)P X P Y P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==+==33112222223333330.30.40.70.30.60.40.70.30.60.40.70.6C C C C =+⋅⋅⋅+⋅⋅+ 0.3208=；()(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2) P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+==+==+==123132330.70.30.40.70.60.40.436C C =⋅⋅++=.46.解 设单片元件毁坏的数目为X 服从二项分布(10000,0.0005)b ，由泊松定理有X 近似服从泊松分布(),5P λλ=，所以51(0)0.00670!P X e -===．47．解 设指定的一页上错字数为X ，则X 服从二项分布(200,0.025)b ，由泊松定理有X 近似服从泊松分布(),0.5P λλ=，所以0.530.5(3)0.0144!k k P X e k +∞-=≥==∑．48. 解 设产出的卵数为X ，孵出的有幼虫数为Y ，对任意的0,1,k =有()(,)n k P Y k P X n Y k +∞=====∑()(|)n k P X n P Y k X n +∞=====∑(1)!nk kn k n n k e C p p n λλ+∞--==-∑!(1)!!()!nk n k n k n e p p n k n k λλ+∞---==--∑0(1)!()!k k n k n k n k p e p k n k λλλ-+∞---==--∑(1)!k k p p e e k λλλ--=()!k p p e k λλ-=即孵出的幼虫数服从参数为p λ的泊松分布．习题二1. 解 22351(3)10C P X C ===,23353(4)10C P X C ===,24356(5)10C P X C ===,分布列为分布函数为0,1/10,34,()4/10,45,1, 5.x F x x x ⎧⎪ ≤<⎪=⎨ ≤<⎪⎪ ≥⎩．书签2. 解 分布列分别为分布函数为0,20,()1/2,2040,1,.x F x x x <⎧⎪= ≤<⎨⎪ ≥40⎩ 0,10,()1/2,1030,1,.y F y x x <⎧⎪= ≤<⎨⎪ ≥30⎩．3．解 定义0,5,1,5,2, 5.X ωωω <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩（注意可以定义不同的随机变量取值，分布函数不同）分布函数为 0,5/10,01,()6/10,12,1, 2.x F x x x ⎧⎪ ≤<⎪=⎨ ≤<⎪⎪ ≥⎩．4. 解 1）不放回抽取383107(0)0.466715C P X C ====,21823107(1)0.466715C C P X C ====,12823101(2) 0.066715C C P X C ====．2）放回抽取3(0)0.8 0.5120P X ===，1133(1)0.20.80.3840P X C === 2213(2)0.20.80.0960P X C ===，3(3)(0.2)0.0080P X ===．5. 解 由于跳跃点的概率 000()()(0)P X x Fx F x ==-- (5)(5)(50)1/5,P X F F =-=----=同理得到(2)1/10,P X =-=，(0)2/10,P X ==(2)1/2.P X ==6．解 1）有概率分布列的规范性得到1/431/21a a +++= 解得1/16a =．2）21Y X =-的分布列为7. 解 (3)(2)(0)(2)1(5)P X P x P x P x P x >-==-+=+==-=-=，(||3)1(5)0.8P X P X <-=-=-=,(|1|2)(5)(2)0.7P X P X P X +>==-+==.8. 解 由于分布函数是右连续的, 1lim ()(1)x F x F +→=.所以211,1A A =⋅= {0.50.8}(0.8)(0.5)0.3900P X F F <≤=-=．(本题也可以利用分布密度函数的规范性的条件得到)9. 解 由规范性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，10210|110a a adx x x +∞+∞=-==⎰ ， 解得 10a =，分布函数10,()0x F x <=，1021010101010,()|1x x x F x dt t t x≥==-=-⎰，101,10,()0,10.x F x xx ⎧- ≥⎪=⎨⎪ <⎩ 由()1/2,F k = 解得20k =.10. 解 由规范性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，0||xxx x x axe dx axdeaxe ae dxae a +∞+∞+∞---+∞--+∞=-=-+ ==⎰⎰⎰得到 1a =. 0,()0,x F x <=000,()||1,xxxt t t xt xt xx xx F x te dt tde te e dtxe e xe e --------≥==-=-+ =--=--⎰⎰⎰0,0,()1,0.x xx F x xe e x -- ≤⎧=⎨-- >⎩.11. 解 1) 不能,由于不是单调不减；2) 不能,由于不是单调不减；3) 能,其他场合定义()1,0F x x =>．12. 解 1) 是连续型随机变量，2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他2) 不是，由于连续型随机变量取值与一点的概率为0，而(1)1/2P X ==．13. 解 由规范性得到()1f x dx +∞-∞=⎰，||0022|2x x x ae dx ade ae a +∞+∞---+∞-∞=-==⎰⎰ ,得到 12a =. 110,(),22xt x x F x e dt e ---∞<==⎰00011110,()|1,2222x t t xx x F x exdx e dt e e ----∞≥=+=-=-⎰⎰1,0,2()11,0.2xx e x F x e x --⎧ ≤⎪⎪=⎨⎪- >⎪⎩.14. 解 由方程 24420x x ξξ+++=有实根得到21616(2)0ξξ∆=-+≥， 解得 21or ξξ≥ ≤-,由于(0,5)U ξ ，所以(2)3/5P ξ≥=．15. 解 设Y 为四次取值大于发生a 的次数，则(4,)Yb p ，其中()1,(01)p P X a a a =>=-<<又 (1)1(0)0.9P Y P Y ≥=-==，4(0)0.1P Y a ===解得 0.5623a =.16. 解 1) 55()()0.922X a P X a P --<=<=,查标准正态分布表得到 1(0.9) 1.2816-Φ=,解得a = 7.5631.2) |5|(|5|)()0.0122X aP X a P -->=>=, |5|()2()0.01222X a a P ->=-Φ=,得到()2a Φ=0.995查标准正态分布表得到1(0.995)-Φ=2.5758,a = 5.1517.17. 解 设优秀的最低分为a ,数学成绩为X ,根据条件得到()0.05P X a >=,7070()0.951010X a P -->= 查标准正态分布表得到1(0.95) 1.645-Φ=,解得 86.45a =.18. 解19. 证明 当a y b αβαβ+<<+时()()()()y F y P Y y P X y P X βαβα-=≤=+≤=≤11()y ay y a dx a b a b a b a βαββαααα----==-=---⎰, 1(),p y a y b b a αβαβαα=+<<+-,其他 ()0p y = 1,,()0,.a yb p y b a αβαβαα⎧ +<<+⎪=-⎨⎪ ⎩其他 即Y 服从[,]a b αβαβ++的均匀分布,20. 解 1) 当0y >时133()()()()F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤11331,y x y e dx e--==-⎰21331(),03y p y y e y --=>,其他 ()0p y =21331,0,()30,.y y e y p y --⎧ >⎪=⎨⎪ ⎩其他,131,0,()0,.y e y F y -⎧⎪- >=⎨⎪ ⎩其他2) 当01y <<时()()()(ln )XF y P Y y P ey P X y -=≤=≤=≥-ln x ye dx y +∞--==⎰,(),01p y y y =<<, 其他 ()0p y =.,1,()0,.y y p y 0<<⎧=⎨⎩其他 0,0,(),1,1,1y F y y y y≤⎧⎪= 0<<⎨⎪ ≥⎩21. 解 1) 当1y e <<时，()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤ln 0ydx =⎰,1(),1p y y e y=<<, 其他 ()0p y =1,1,()0,.y e yp y ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其他 2) 当0y ≤<+∞时 2()()(2ln )()y F y P Y y P X y P X e -=≤=≤=≥21.y edx -=⎰,21(),02yp y e y -=≤<+∞,其他 ()0p y =.21,0,()20,.ye y p y -⎧ ≤<+∞⎪=⎨⎪ ⎩其他 3) 当1y ≤<+∞时11()()()()F y P Y y P y P X X y =≤=≤=≥11.ydx =⎰,21(),1p y y y=≤<+∞, 其他 ()0p y =21,1,()0,.y yp y ⎧ ≤<+∞⎪=⎨⎪ ⎩其他22. 解 1) 当0y >时()()()(ln )X F y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤2ln 2.x ydx --∞=⎰, 2ln 2(),0y p y y -=>,其他()0p y=2ln2,0,()0,.yyp y-⎧>=⎩其他.2) 当0y>时()()()(ln)XF y P Y y P e y P X y-=≤=≤=≥-22ln.xdx+∞--=⎰,2ln2(),0yp y y-=>,其他()0p y=2ln2,0,()0,.yyp y-⎧>=⎩其他.3) 当0y>时()()(||)()F y P Y y P X y P y X y=≤=≤=-≤≤22.xydx--=⎰,22(),0yp y y-=>,其他()0p y=22,0,()0,.yyp y-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他.23. 证明不妨设0a>()()()()y bF y P Y y P aX b y P Xa-=≤=+≤=≤()y baXf x dx--∞=⎰1()()Xy bf y fa a-=,同理可得0a<的情形.24. 解由上题的结论可得yβ>时,()yf y eβλαλα--=,()0y f yβ≤=分布密度函数为,,()0,.ye yf yyβλλβαβ--⎧>⎪=⎨⎪ ≤⎩25. 解设年化收益率为r,0ln ln lnXr X XX==-2222215,()(1)4EX eD X e e σμμσσ++===-=解得22444(1),ln(1) =0.0176225225225e σσ=+=+≈, 2.6992μ=, ln X 服从4( 2.6992,)225N ，年化收益r 服从44( 2.6992-ln10,)( 0.3966,)225225N N =.26. 解 1) 有规范性得到1()22x f x dx Ae dx A +∞+∞--∞===⎰⎰得到 1/2A =;2)1101/21/2(1)x e dx e --=-⎰;3)当 0x <,()1/21/2xt x F x e dt e -∞==⎰,当0x ≥,()1/21/211/2xt t x F x e dt e dt e ---∞=+=-⎰⎰,分布函数为1/2,0,()11/2,0.x xe x F x e x -⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩.27. 解 由2(1)(2),1!2!P X P X ee λλλλ--====解得1λ=,221,()1,()()2EX D X EX D X EX λλ== == =+=,11(3)3!P X e -==.28. 解 设Y 为3人中等车时间不超过2分钟的人数，X 为等车时间.(3,),Y b p 其中(2)2/5p P X =<=，223333(2)(2/5)(3/5)(2/5) 0.3520P Y C C ≥=+=.29． 解 设X 为800个保单发生理赔的次数，利润为Y ．(800,0.05)X b ， 8005002000Y X =⋅-⋅40000020008000.05320000EY =-⋅⋅=．30. 解 当0x >时，00()|1,xt x xx F x e dt e e λλλλ---==-=-⎰当0x ≤时，()0F x =1,0,()0,0.x e x F x x λ-⎧- >=⎨≤⎩ 00011x x x EX xe dx xe dx xde λλλλ+∞+∞+∞---===-⎰⎰⎰001111||x x x xee dx e λλλλ+∞-+∞--+∞=-+==⎰.,222222011x x x EX x e dx x e dx x de λλλλ+∞+∞+∞---===-⎰⎰⎰20222112|2x x x exe dx λλλ+∞-+∞-=-+=⎰2221()()D X EX EX λ=-=.31. 解 设电子元件的寿命为1()1000XExp ， Y 为3个电子元件在1000小时内坏掉的个数 (3,)Yb p ，其中1000100010111000xp e dx e --==-⎰,系统寿命超过1000小时的概率为01013111123323(1)(0)(1)(1)()(1)()32P Y P Y P Y C e e C e e e e --------≤==+= =-+- =-.32. 解 20.400.320.30EX =-⋅+⋅+⋅=- 2222(2)0.400.320.3 2.8,EX =-⋅+⋅+⋅=22()() 2.80.04 2.76D X EX EX =-=-= 22(35)3513.4E X EX +=+=，5)10()27.6D D X -==.33. 解 设Y 为抽取10产品中的次品个数 (10,0.1)Yb ,1010102(1)0.10.90.2639kk k k p P Y C -==>==∑.(4,)X b p ,4 1.0556EX p ==.34. 解1/10(1051) 2.7EX =+++= .35. 解001(1)()()()()()x xEX x e dx x e dx ααβαβαααααβαβαβαβ+∞+∞--Γ+Γ=====ΓΓΓΓ⎰⎰,2112001(2)(1)()(1)()()()()x xEX x e dx x e dx ααβαβαααααααβαβαβαβ+∞+∞+-+-Γ++Γ+=====ΓΓΓΓ⎰⎰ 222()()Var X EX EX αβ=-=.36. 解 ||102x EX x e dx +∞--∞==⎰, 22||201(3)22x x EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===Γ=⎰⎰,22()()2D X EX EX =-=,||01||||(2)12x x E X x e dx xe dx +∞+∞---∞===Γ=⎰⎰.37. 解 预期收益记为X ，510(1)X R =+(0.010.10.020.10.030.20.040.30.050.20.060.1)0.037ER =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=,2222222(0.010.10.020.10.030.20.040.30.050.20.060.1)0.0016ER =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 222()()0.00160.037 2.0100e -004D R E R E R =-=-=, 510(1)10370EX E R =⋅+=, 106()10() 2.0110D X D R ==⋅.38. 解222222222222200x x x x xE X x ed x x de x e e σσσσσ----+∞+∞+∞+∞==-=-+=⎰⎰⎰,222222222222222222202222220222x x x x x xEX x e dx x de x exe dx x edσσσσσσσσσ----+∞+∞+∞-+∞+∞==-=-+ ==⎰⎰⎰⎰,2222()()22Var X EX EX πσσ=-=-,22222242()x x xP X EX edx ee πσσσ--+∞->==-=.39. 解 设这张债券价值为X ,则5%2EK =,1100(1)X K =+ ，解得1073.2EX =.习题三1.解 无放回2. 解3. 解 设X 为白色粉笔数，Y 为黄色粉笔数3126!(3,1)0.60.250.153!1!2!P X Y ===（多项分布的分布列）． 4. 解131102001194173(1,3)(6)(6)()882828P X Y dx x y dy x dx x dx -<<=--=--=-=⎰⎰⎰⎰ 14110200119415(1)(6)(122)(62)88288P X dx x y dyx dx x dx -<=--=--=-=⎰⎰⎰⎰5. 解 21120111()236x G xS dx dy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰， 26,01,,(,)0,.x x y x f x y ⎧ <<<<=⎨⎩其他， 当01,x <<22()66()xX x f x dy x x ==-⎰， 其他 ()0X f x =，26(),01,()0X x x x f x ⎧- <<=⎨⎩，其他. 当01,y <<())Y yf y dx y ==，其他，()0Y f y =，),01,()0Y y y f y ⎧ <<⎪=⎨ ⎪⎩，其他.6. 解 1,01,01,(,)0,.x y f x y <<<<⎧=⎨ ⎩其他当01,x <<1()11X f x dy ==⎰，其他，()0X f x =，1,01,()0X x f x <<⎧=⎨⎩，其他. 224202022011(4)4(4)(6)(66)(2)8821182(64)(128).82863xx P X Y dx x y dy x x dxx x dx ---+≤=--=--- =-+=-+=⎰⎰⎰⎰当01,y <<1()11Y f y dx ==⎰，其他，()0Y f y =1,01,()0Y y f y <<⎧=⎨⎩，其他.． 2222{(1/2)(1/2)1/4}1{(1/2)(1/2)1/4}P X Y P X Y -+-≥=--+-<116π=-.7. 解 2222(,)16(1)(1())23F x y x yx y π∂=∂∂⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222211()6(1())(1())2(1())232X f x dy x y x ππ+∞-∞==+++⎰， 222211()6(1())(1())3(1())233Y f y dx x y y ππ+∞-∞==+++⎰．8. 解 设Y 为五次到达银行未等到服务的次数 ,(5,)Yb p ,其中25101{10}5x p P X e dx e +∞--=>==⎰，2255{}(1),0,1,,5k kk P Y k C e e k ---==- =，25{1}1{0}(1).P Y P Y e -≥=-==-9. 解 设圆周分为面积大小相同的两块半圆,以1Y =表示表明刻度为1的半圆, 以0Y =表示表明刻度有[0,1]的半圆.当0x <时,()0F x ξ=，当01x ≤<时,1()2F x x ξ=， 当1x ≥时,11()122F x ξ=+=.故分布函数为0,0,1(),01,21, 1.x F x x x x ξ <⎧⎪⎪= ≤<⎨⎪ ≥⎪⎩.10. 解 电子元件损坏为A ,由全概率公式得到{}{,200}{,200240}{,240}P A P A X P A X P A X =<+≤≤+>2002202402202002200.1()0.001(()())2525252402200.2(1())0.06425---=Φ+Φ-Φ+- -Φ=,{200240,}{200240|}{}P X A P X A P A <<<<=0.009= .11. 解 1,,,()()(,)0,.a x b c y d b a d c f x y ⎧<<<<⎪--=⎨⎪ ⎩其他当,a x b <<11()()()d X c f x dy b a d c b a==---⎰, 其他，()0X f x =,1,,()0X a x b f x b a⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩，其他. 当,c y d <<11()()()bY af y dx b a d c d c==---⎰,其他，()0Y f y =,1,,()0Y c y d f y d c⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩，其他.. 由于 (,)()()X Y f x y f x f y = ,所以,X Y 相互独立.12. 解 由分布密度函数的规范性得到222(1x y R c R dxdy +≤=⎰⎰，320()2()13RRc R c Rd d c R d ππρρρθπρρρ-=-==⎰⎰⎰,解得 33c R π=.同理得到222233336(()23x y r Rr r R dxdy R R π+≤=-⎰⎰．13. 解 由分布密度函数的规范性得到222arctan |arctan |1(1)(1)c dxdy c x y c x y π+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞===++⎰⎰， 解得 21c π=.111100222200111arctan |arctan |(1)(1)16dxdy x y x y ππ==++⎰⎰，由于2211(),()(1)(1)X Y f x f y x y ππ==++，(,)()()X Y f x y f x f y =， 所以,X Y 相互独立.14． 解 由分布密度函数的规范性得到2222200sin()sin()(cos sin )21A x y dxdy dx A x y dy A x x dx A πππππ+=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰,解得 12A =, 分布密度函数为1sin(),0,0(,)2220x y x y f x y ππ⎧+ <<<<⎪=⎨⎪ ⎩，其他..15. 解 由于(,)X Y 服从2222()()r x a y b R ≤-+-≤上的均与分布，面积为22()R r π-，所以密度寒素为2222221 ,()(),()(,)0r x a y b R R r f x y π⎧≤-+-≤⎪-=⎨⎪ ⎩，其他..16. 解 221 ,1,(,)0x y f x y π⎧ +≤⎪=⎨⎪ ⎩，其他. ,边缘密度函数为 ,01,()0X x f x <<=⎪ ⎩，其他., ,01,()0Y y f y <<=⎪ ⎩，其他., 当01y <<时，| ,(,)(|)()0X Y Y x f x y f x y f y <<== ⎩，其他..17. 解 1400(7.14)(6.86){}{,}!()!m n mnnm m e P X n P X n Y m m n m --=======-∑∑140!(7.14)(6.86)!!()!n m n m m e n n m n m --==-∑ 140(7.14)(6.86)!n m m n m n m e C n --==∑1414!n e n -=，0,1,2,n =， 14(7.14)(6.86){}{,}!()!m n mn m n me P Y m P X n Y m m n m --+∞+∞=======-∑∑14 6.86 6.860(7.14)(6.86)!()!m n m n m e e e m n m --+∞--==-∑ 7.14(7.14),0,1,2,!me m m -==， {,}{|}{}P X n Y m P X n Y m P Y m ======147.14(7.14)(6.86)!()!(7.14)!m n mm e m n m e m ----= 6.86(6.86),0,1,2,,,0,1,2,,()!n m e n m n n m --===-,{,}{|}{}P X n Y m P Y m X n P X n ======1414(7.14)(6.86)!()!(14)!m n mne m n m e n ----=!7.14 6.86()(),0,1,2,,,0,1,2,,!()!1414m n mn n m n m n m -===-.18. 解22112222211221()()()()(,)[2]}2(1)x x y y f x y μμμμρρσσσσ----=--+-2222()()}2y f y μσ-=-, 2112|2211222222222(,)1()()()(|)[2()2(1)()()]}2X Y Y f x y x x y f x y f y y y μμμρρσσσμμσσ---==--+---+222112222211221()()()()[2]}2(1)2x x y y μμμρμρρσσσσ----=--+-22221212112221221()()[()2()]}2(1)2y y x x σμρσμμρμρσσσ--=----+-212122121()[]}2(1)y x σμμρρσσ-=----, 所以 2212112()|(,(1))y X Y yN σμμρσρσ-=+-.。