22.3正方形的性质习题解答
一、选择题（共13小题）
1、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）
A、12
B、13
C、26
D、30
2、（2006?大兴安岭）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）
A、①②③
B、①②④
C、①③④
D、①②③④
4、一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）
A、4
B、6
C、10
D、12
5、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）
A、75°
B、60°
C、54°
D、67.5°
6、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是
（）
A、13
B、21
C、17
D、25
7、在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）
A、4条
B、8条
C、12条
D、16条
8、如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（）
A、B、
C、D、
9、搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（）
A、96cm2
B、48cm2
C、24cm2
D、以上都不对
10、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（）
A、1
B、
C、D、1+
11、顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是（）
A、25
B、36
C、49
D、30
12、ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（）
A、B、
C、D、
13、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（）
A、4
B、2
C、2
D、2
二、填空题（共8小题）
14、如图，所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是_________cm2．
15、如图，若正方体的边长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为_________．
16、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为_________．
17、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为_________，线段O1O2的长为_________．
18、已知正方形纸片ABCD的面积为2007cm2．现将该纸片沿一条线段折叠（如图），使点D落在边BC上的点D′处，点A落在点A′处，A′D′与AB交于点E．则△BD′E的周长等于_________cm．
19、已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为_________和_________．（只写一组）
20、如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有_________个．
21、已知正方形内接于圆心角为90°，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为_________．
三、解答填空题（共6小题）
22、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，则BD的长为_________．
23、（2005?扬州）（1）计算：=_________；
（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．
24、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=_________
度．
25、如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．
（1）求证：DF+BE=EF；
（2）则∠EFC的度数为_________度；
（3）则△AEF的面积为_________．
26、已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，则四边形CEGF的面积为_________cm2．
27、（2007?江苏）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．
（1）以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；
（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，则旋转的角度n=_________度．
答案与评分标准
一、选择题（共13小题）
1、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）
A、12
B、13
C、26
D、30
考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质。
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．
解答：解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；
斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；
斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；
共计26对．
故选C．
点评：本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏．
2、（2006?大兴安岭）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
考点：正方形的性质。
分析：根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD
∵CE=DF
∴DE=AF
∴△ADE≌△BAF
∴①AE=BF，S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA
∴④S△AOB=S四边形DEOF
∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°
∴∠AFB+∠EAF=90°
∴②AE⊥BF一定成立．
错误的结论是：③AO=OE．
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质．
3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）
A、①②③
B、①②④
C、①③④
D、①②③④
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：动点型。
分析：（1）作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；
（2）由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；
（3）作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA=GF，故可证BD=2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI=IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值．
解答：解：（1）连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDF=45°．
∵AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°．
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC．
∴FH=AF．
（2）∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°．
（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，
∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG．
（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．
∴△CEM的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选D．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．
4、一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）
A、4
B、6
C、10
D、12
考点：正方形的性质。
专题：作图题。
分析：要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．
解答：解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜＜3，
且小方格的对角线长＜1.5．
故该卡片可以按照如图所示放置：
图示为n取最大值的时候，n=12．
故选D．
点评：本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键．
5、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）
A、75°
B、60°
C、54°
D、67.5°
考点：正方形的性质。
专题：几何综合题；转化思想。
分析：连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．
解答：解：如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°﹣∠BCE）=15°
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°
故选B．
点评：本题考查的正方形的对角垂直平分的性质，根据垂直平分线的性质可以求得∠AMD=∠AMB，确定AC和BD垂直平分是解题的关键．
6、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）
A、13
B、21
C、17
D、25
考点：正方形的性质；坐标与图形性质。
专题：计算题。
分析：根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．
解答：解：正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；
在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、
（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．
故选D．
点评：本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键．
7、在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）
A、4条
B、8条
C、12条
D、16条
考点：正方形的性质；点到直线的距离。
分析：根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，
①该直线切割正方形，确定直线的位置；
②该直线在正方形外，确定直线的位置．
解答：解：符合题目要求的一共16条直线，
下图虚线所示直线均符合题目要求．
点评：本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键．
8、如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（）
A、B、
C、D、
考点：正方形的性质；三角形的面积。
专题：计算题；转化思想。
分析：图中，F为BP的中点，所以S△BDP=2S△BDF，所以要求F到BD的距离，求出P到BD的距离即可．
解答：解：连接DP，
S△BDP=S△BDC﹣S△DPC﹣S△BPC
=﹣×1×﹣×1×
=，
∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．
∴S△BDP=2S△BDF，
∴S△BDF=，
设F到BD的距离为h，
根据三角形面积计算公式，S△BDF=×BD×h=，
计算得：h==．
故选D．
点评：本题考查的是转化思想，先求三角形的面积，再根据三角形面积计算公式，计算三角形的高，即F到BD的距离．
9、搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（）
A、96cm2
B、48cm2
C、24cm2
D、以上都不对
考点：正方形的性质；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的．
解答：解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴==，
同理可证：==，
故DK=KO=OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为正方形ABCD的面积，
∵CN=NB=AM=BM，
∴△OCN的面积为△BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为=48cm2，
故选B．
点评：本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO=BD，△OCN 的面积为△BOC和△BOA的面积和．
10、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（）
A、1
B、
C、D、1+
考点：正方形的性质。
专题：计算题；转化思想。
分析：连接BP，PM、PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，因此根据面积计算方法可以求PM+PN．
解答：解：连接BP，作EH⊥BC，则PM、PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，
S△BCE=1﹣﹣S△CDE，
∵DE=BD﹣BE=，△CDE中CD边上的高为（），
∵S△CDE=CD×（）=﹣；
S△BCE=1﹣﹣S△CDE=；
又∵S△BCE=S△BPE+S△BPC=?BC?（PM+PN）
∴PM+PN==．
故选C．
点评：本题考查的用求三角形面积的方法求三角形的高的转化思想，考查正方形对角线互相垂直且对角线即角平分线的性质，面积转换思想是解决本题的关键．
11、顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是（）
A、25
B、36
C、49
D、30
考点：正方形的性质；坐标与图形性质。
分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．
解答：解：连接OA，
过A、D两点的直线方程是=，即y=﹣x+16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x=7.8，
同理求得过A、B两点的直线方程是y=﹣x+4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y=4.2，
∴S△AOE==23.4，
S△AFO==12.6，
∴S△AOE+S△AFO=23.4+12.6=36，即顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是36．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E、F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．12、ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（）
A、B、
C、D、
考点：正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质。
专题：计算题；转化思想。
分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解．
解答：解：△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积
因此本题求解△BCP、△CDP面积和△BCD的面积即可，
S△BCP==，
S△CDP==，
S△BCD=×1×1=，
∴S△BPD=+﹣=．
故选B．
点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的等腰直角三角形．解决本题的关键是找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系．
13、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（）
A、4
B、2
C、2
D、2
考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：根据正方形的性质，推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可．，
解答：解：
∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，
∴C、A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
连接AE交BD于P，
则此时EP+CP的值最小，
∵C、A关于BD对称，
∴CP=AP，
∴EP+CP=AE，
∵等边三角形ABE，
∴EP+CP=AE=AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∴EP+CP=4，
故选A．
点评：本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P 的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共8小题）
14、如图，所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、
如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是cm2．
考点：正方形的性质。
专题：计算题。
分析：求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，由此便可求解．
解答：解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的，
即×1×1=，
当有三个三角形时，其面积为=
当有四个时，其面积为=
所以当n个三角形时，其面积为．
故答案为．
点评：熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的计算问题．
15、如图，若正方体的边长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为a2．
考点：正方形的性质；三角形的面积。
分析：AC，DM交于点O，连接BO，可以证明△OAD≌△OAB，又∵△OAD和△OCM面积相等，∴图中阴影部分面积可以转化为△OAD和△OAB的面积．
解答：解：找到CD的中点N，连接BN．
正方形ABCD中，AC为BD的垂直平分线，∴OB=OD，
∵在△OAD和△OAB中，AB=AD，OA=OA
∴△OAD≌△OAB，
又∵，
所以阴影部分面积为△OAD和△OAB的面积和．
根据中位线定理M、N分别为AB、CD的中点，
∴CE=EO=OA，∴O到AD的距离为CD长度的．
∴S△ADO+S△ABO=2S△ADO=2××a×=．
故答案为．
点评：本题考查中位线定理的灵活应用，以及正方形对角线垂直平分，本题证明CE=EO=OA是解题的关键．
16、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为（0，4），（0，0）．
考点：正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质。
专题：几何图形问题。
分析：连接EF，CF=BE=1，若EF=FP，显然Rt△FCP≌Rt△FBE，由此确定CP的长．
解答：解：连接EF，∵OA=3，OC=2，∴AB=2，
∵点E是AB的中点，∴BE=1，
∵BF=AB，∴CF=BE=1，
∵FE=FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，
∴PC=BF=2，
∴P点坐标为（0，4）或（0，0），
即图中的点P和点P′．
故答案为：（0，4），（0，0）
点评：本题考查了三角形翻折前后的不变量，利用三角形的全等解决问题．
17、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则
阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．
考点：正方形的性质。
专题：计算题；转化思想。
分析：阴影部分的面积可以看成两个三角形面积之和，所以求2个三角形面积即可；线段O1O2的长根据勾股定理求解．
解答：解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，
（1）BP=，
又∵O2H⊥HO1，
∴KP∥HO2，
∴△PKO1∽△HO2O1，
∴==，
KP==，
阴影部分的面积=×BK×（）=×[+]×
==；
（2）HO1=，HO2=，
根据勾股定理O1O2=
=
=．
故答案为：；．
点评：本题考查的相似三角形的证明即对应边比例相等的性质，三角形面积的计算，考查了根据勾股定理计算直角三角形斜边的应用，解决本题的关键是构建直角三角形HO1O2．
18、已知正方形纸片ABCD的面积为2007cm2．现将该纸片沿一条线段折叠（如图），使点D落在边BC上的点D′处，点A落在点A′处，A′D′与AB交于点E．则△BD′E的周长等于6cm．
考点：正方形的性质；翻折变换（折叠问题）。
专题：计算题。
分析：设正方形边长a=，∠D′DC=α．则∠BD′E=2α，CD′=atanα，BD′=a（1﹣tanα），故，△BD′E的周长为a （1﹣tanα）（1+tan 2α+sec 2α），化简可得△BD′E的周长为2a．
解答：解：设正方形边长a=，∠D′DC=α．则∠BD′E=2α，CD′=atanα，BD′=a（1﹣tanα）．
所以，△BD′E的周长为a（1﹣tanα）（1+tan 2α+sec 2α）
=
=
=2a
=6cm．
故答案为6．
点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了整式的化简，本题中正确化简△BD′E的周长=a（1﹣tanα）（1+tan 2α+sec 2α）是解题的关键．
19、已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为（1，0）和（1，1）．（只写一组）
考点：正方形的性质；坐标与图形性质。
专题：开放型。
分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．
解答：解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），
∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，
分别为：C（1，0），D（1，1）．
故答案为：（1，0），（1，1）．
点评：本题主要考查了正方形的性质与坐标内图形的性质，确定已知点的坐标，从而根据正方形的性质，确定其它顶点的坐标是解决问题的关键．
20、如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有5个．
考点：正方形的性质；三角形的面积。
专题：计算题；作图题。
分析：要使得△ABC的面积为2，即S=ah，则使得a=2、h=2或者a=4、b=1即可，在图示方格纸中找出C点即可．解答：解：图中标出的5个点均为符合题意的点．
故答案为5．
点评：本题考查了正方形各边长相等的性质，考查了三角形面积的计算公式，本题中正确地找全C点是解题的关键，考生容易漏掉一个或者几个答案．
21、已知正方形内接于圆心角为90°，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为5或2．
考点：垂径定理；勾股定理；正方形的性质。
专题：分类讨论。
分析：根据题意画出图形，由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．
解答：解：如图1所示：
连接OD，设正方形OCDE的边长为x，
则在Rt△OCD中，
OD2=OC2+CD2，即102=x2+x2，
解得x=5；
如图2所示，
过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OD，
设FH=x，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CF，
∴FH=CH=x，
∵∠AOC=90°，
∴CH=OH，
∴OG=3x，
在Rt△ODG中，
OD2=GD2+OG2，即102=x2+（3x）2，
解得x=，
∴CF=2x=2．
故答案为：5或2．
第二章流体输送机械 一、名词解释（每题2分） 1、泵流量 泵单位时间输送液体体积量 2、压头 流体输送设备为单位重量流体所提供的能量 3、效率 有效功率与轴功率的比值 4、轴功率 电机为泵轴所提供的功率 5、理论压头 具有无限多叶片的离心泵为单位重量理想流体所提供的能量 6、气缚现象 因为泵中存在气体而导致吸不上液体的现象 7、离心泵特性曲线 在一定转速下，离心泵主要性能参数与流量关系的曲线 8、最佳工作点 效率最高时所对应的工作点 9、气蚀现象 泵入口的压力低于所输送液体同温度的饱和蒸汽压力，液体汽化，产生对泵损害或吸不上液体 10、安装高度 泵正常工作时，泵入口到液面的垂直距离 11、允许吸上真空度 泵吸入口允许的最低真空度 12、气蚀余量 泵入口的动压头和静压头高于液体饱和蒸汽压头的数值 13、泵的工作点 管路特性曲线与泵的特性曲线的交点 14、风压 风机为单位体积的流体所提供的能量 15、风量 风机单位时间所输送的气体量，并以进口状态计 二、单选择题（每题2分） 1、用离心泵将水池的水抽吸到水塔中，若离心泵在正常操作范围内工作，开大出口阀门将导致（） Ａ送水量增加，整个管路阻力损失减少
Ｂ送水量增加，整个管路阻力损失增大 Ｃ送水量增加，泵的轴功率不变 Ｄ送水量增加，泵的轴功率下降 A 2、以下不是离心式通风机的性能参数( ) Ａ风量Ｂ扬程Ｃ效率Ｄ静风压 B 3、往复泵适用于( ) Ａ大流量且流量要求特别均匀的场合 Ｂ介质腐蚀性特别强的场合 Ｃ流量较小，扬程较高的场合 Ｄ投资较小的场合 C 4、离心通风机的全风压等于 ( ) Ａ静风压加通风机出口的动压 Ｂ离心通风机出口与进口间的压差 Ｃ离心通风机出口的压力 Ｄ动风压加静风压 D 5、以下型号的泵不是水泵 ( ) ＡＢ型ＢＤ型 ＣＦ型Ｄｓｈ型 C 6、离心泵的调节阀 ( ) Ａ只能安在进口管路上 Ｂ只能安在出口管路上 Ｃ安装在进口管路和出口管路上均可 Ｄ只能安在旁路上 B 7、离心泵的扬程，是指单位重量流体经过泵后以下能量的增加值 ( ) Ａ包括内能在内的总能量Ｂ机械能 Ｃ压能Ｄ位能（即实际的升扬高度） B 8、流体经过泵后，压力增大?p N/m2，则单位重量流体压能的增加为 ( ) A ?p B ?p/ρ C ?p/ρg D ?p/2g C 9、离心泵的下列部件是用来将动能转变为压能 ( ) A 泵壳和叶轮 B 叶轮 C 泵壳 D 叶轮和导轮 C 10、离心泵停车时要 ( ) Ａ先关出口阀后断电 Ｂ先断电后关出口阀 Ｃ先关出口阀先断电均可 Ｄ单级式的先断电，多级式的先关出口阀 A 11、离心通风机的铭牌上标明的全风压为100mmH2O意思是 ( ) A 输任何条件的气体介质全风压都达100mmH2O B 输送空气时不论流量多少，全风压都可达100mmH2O C 输送任何气体介质当效率最高时，全风压为100mmH2O D 输送20℃，101325Pa空气，在效率最高时，全风压为100mmH2O D 12、离心泵的允许吸上真空高度与以下因素无关 ( ) Ａ当地大气压力Ｂ输送液体的温度
F E D C B A 第三讲 正方形的性质与判定 一、知识要点 1．正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： 1 边的性质：对边平行，四条边都相等． 2角的性质：四个角都是直角． 3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角． 4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定 1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形 3：四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的矩形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 二、典型例题 例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F ．试说明AP ＝EF ． 分析：由PE ⊥BC ，PF ⊥CD 知，四边形PECF 为矩形，故有EF ＝PC ，这时只需证AP ＝CP ，由正方形对角线互相垂直平分知AP ＝CP ． 解：连结AC 、PC ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴BD 垂直平分AC ， ∴AP ＝CP ． 正 方形 菱形 矩形平行四边形
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∴AP＝EF． 注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等． ②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中． 思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF． 提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN． 又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE， 而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF． 例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形． 解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC， ∴DE∥AB，同理，DF∥BC， ∴BEDF是平行四边形． ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF． 又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是正方形． 思考：还有没有其他方法？ 提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得) 注意：灵活选择正方形的识别方法． 例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．
正方形测试练习题
第 2 页 共 18 页 B C D E F A A B C D E M G H A B C D 正方形练习题 一、耐心填一填！ 1、正方形的对称轴有＿＿＿条，它的对称中心是＿＿＿。 2、正方形的边长为4cm ，则周长为＿＿，面积为＿＿＿。 3、正方形的对角线与一边的夹角为＿＿。 4、已知：如图所示，E 为正方形ABCD 外一点，AE ＝AD ，∠ADE ＝75°，则∠AEB ＝＿＿＿。 5、菱形的周长为20cm ，相邻内角度数之比为2∶1，则菱形较短的对角线长为＿＿cm 。 7、以正方形ABCD 的对角线AC 为一边作菱形AEFC ，则∠FAB ＝＿＿＿。 8、一个正方形的对角线长3cm ，则它的面积为＿ ＿＿。 10、正方形ABCD 中，对角线的长是10cm ，点P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和是＿＿＿。
第 3 页 共 18 页 H E A B C D G 11、在正方形ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是＿＿＿形。 12、如图所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 上一点，连结AM ，作AM 的垂直平分线GH 交AB 于G ，交CD 于H ，若AM ＝10cm ，则GH ＝＿＿。 二、精心选一选！ 1、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是＿＿。 A 、AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CD B 、AD ∥BC ，∠A ＝∠C C 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 2、如图所示，在正方形ABCD 中，H 是BC 延长线上一点，使CE ＝CH ，连结DH ，延长BE 交DH 于G ，则下面结论错误的是＿＿＿＿。 A 、BE ＝DH B 、∠H ＋∠BE C ＝90° C 、BG ⊥DH D 、∠HDC ＋∠AB E ＝90°
第2章符号运算 习题2及解答 1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度” 对象，还是“符号”符号对象 3/7+; sym(3/7+; sym('3/7+'); vpa(sym(3/7+) 〖目的〗 不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。 〖解答〗 c1=3/7+ c2=sym(3/7+ c3=sym('3/7+') c4=vpa(sym(3/7+) Cs1=class(c1) Cs2=class(c2) Cs3=class(c3) Cs4=class(c4) c1 = c2 = 37/70 c3 = c4 = Cs1 = double Cs2 = sym Cs3 = sym Cs4 = sym 2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认 为是自由符号变量. sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)') 〖目的〗 理解自由符号变量的确认规则。 〖解答〗 symvar(sym('sin(w*t)'),1) ans = w symvar(sym('a*exp(-X)'),1)
ans = a symvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z 5求符号矩阵???? ??????=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a A 的行列式值和逆，所得结果应采用“子表达式置换”简洁化。 〖目的〗 理解subexpr 指令。 〖解答〗 A=sym('[a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33]') DA=det(A) IA=inv(A); [IAs,d]=subexpr(IA,d) A = [ a11, a12, a13] [ a21, a22, a23] [ a31, a32, a33] DA = a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 IAs = [ d*(a22*a33 - a23*a32), -d*(a12*a33 - a13*a32), d*(a12*a23 - a13*a22)] [ -d*(a21*a33 - a23*a31), d*(a11*a33 - a13*a31), -d*(a11*a23 - a13*a21)] [ d*(a21*a32 - a22*a31), -d*(a11*a32 - a12*a31), d*(a11*a22 - a12*a21)] d = 1/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31) 8（1）通过符号计算求t t y sin )(=的导数 dt dy 。（2）然后根据此结果，求- =0t dt dy 和2 π = t dt dy 。 〖目的〗 diff, limit 指令的应用。 如何理解运行结果。 〖解答〗 syms t
正方形第一课时 一、自主学习 ●目标导学 1、理解并掌握正方形的性质。 2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 ●合作探究 【探究一】正方形的定义 1、正方形的定义： 2、正方形与矩形和菱形的关系是 【探究二】正方形的性质 1、归纳正方形的性质：边 角 对角线 对称性 2、用几何语言叙述正方形的性质： 【探究三】正方形的周长与面积 边讲边练： ①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合 1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝° 2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°. 3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论： （1）∠E=22.5°；(2) ∠AFC=112.5°；(3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有（） A．5个 B.4个 C.3个 D.2个 4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°. 5.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.
②正方形与旋转结合 1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为 （ ） A.90° B.60° C.45° D.30° 2. 已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________. 3. 如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ． ③正方形对角线的对称性 1. 如图：正方形ABCD 中，AC =10，P 是AB 上任意一点，PE ⊥AC 于E ， PF ⊥BD 于F ，则PE +PF = .可以用一句话概括：正方形边上的任意 一点到两对角线的距离之和等于 . 思考：如若P 在AB 的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出 你的结论，并加以说明. 2.如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形； ④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是 ． 思考：当点P 在DB 的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.
2-1 试用网孔电流法求图题2-1所示电路中电流i 和电压ab u 。 图题2-1 解：设网孔电流为123,,i i i ，列网孔方程： 1231231 2332783923512i i i i i i i i i --=??-+-=??--+=?解得123211i i i =??=??=-?，故133i i i A =-=，233()93ab u i i V =--=-。 2-2 图题2-2所示电路中若123121,3,4,0,8,24s s S R R R i i A u V =Ω=Ω=Ω=== 试求各网孔电流。 解：由于10s i =，故网孔电流M20i =。可列出网孔电流方程： M1M1M3M13M3M1M331 247244A (34)4A 88M M M i u i i i i u i i i i i =-?+==-???+=?????=-+=???-=? 2-6电路图如图题2-4所示，用网孔分析求1u 。已知：124535,1,2,2S u V R R R R R μ=====Ω=Ω=。 解：列网孔方程如下： 123123212 342022245i i i i i i u i i i --=??-+-=-??--+=-?，
再加上2132()u i i =-。解得：11113.75, 3.75i A u R i V =-=-= 2-12 电路如图题2-10所示，试用节点分析求各支路电流。 解：标出节点编号，列出节点方程 121111()27212211120()422227a a b a b b u V u u u u u V ??=++-=?????????-++=-=???? ，用欧姆定律即可求得各节点电流。 2-17电路如图题2-14所示，试用节点分析求12,i i 。 解：把受控电流源暂作为独立电流源，列出节点方程 12121 (11)4(11)2u u u u i +-=??-++=-? 控制量与节点电压关系为：111u i =Ω ，代入上式，解得 111222 1.61.610.80.81u i A u V u V u i A ?==?=??Ω???=-??==-??Ω 2-19 试列出为求解图题2-16所示电路中0u 所需的节点方程。
第二章习题及解答 1. 简述网络信息资源的特点。 （1）分散性分布； （2）共享性与开放性； （3）数字化存储； （4）网络化传输。 2. 试比较全文搜索引擎、分类检索、元搜索引擎三种搜索引擎的不同之处。 全文搜索引擎是目前主流的搜索引擎，有计算机索引程序在互联网上自动检索网站网页，建立起数据库，收录网页较多，用户按搜索词进行检索，返回排序的结果。以谷歌、百度、必应等为代表。 分类检索，将人工搜集或用户提交的网站网页内容，将其网址分配到相关分类主题目录，形成分类树形结构索引。用户不需用关键词检索，只要根据网站提供的主题分类目录，层层点击进入，便可查到所需的网络信息资源。典型代表有Yahoo、新浪分类目录搜索、淘宝网的类目等。分类检索用于目标模糊、主题较宽泛、某专业网站或网页的查找，要求查准时选用； 元搜索引擎不是一种独立的搜索引擎，没有自己的计算机索引程序和索引数据库，是架构在许多其他搜索引擎之上的搜索引擎。在接受用户查询请求时，可以同时在其他多个搜索引擎中进行搜索，并将其他搜索引擎的检索结果经过处理后返回给用户。 3. 简述搜索引擎的工作原理。 搜索引擎的基本工作原理包括如下三个过程：首先，抓取，在互联网中发现、搜集网页信息；第二，建立索引，对信息进行提取和组织建立索引库；第三，搜索词处理和排序，由检索器根据用户输入的查询关键字，在索引库中快速检出文档，进行文档与查询的相关度评价，对将要输出的结果进行排序，并将查询结果返回给用户。 4．简述常用的关键词高级检索功能。 常用的关键词高级检索功能应用包括：使用检索表达式搜索、使用高级搜索页、元词搜索。 使用检索表达式搜索分别有空格、双引号、使用加号、通配符、使用布尔检索等。 有时我们为了限制搜索范围、搜索时间、过滤关键字等，需要用到高级搜索页。 大多数搜索引擎都支持“元词”（metawords）功能。依据这类功能，用户把元词放在
A B C D O E F 12 《正方形》习题 1.如图，正方形ABCD 的三边中点E 、F 、G ．连ED 交AF 于M ，GC 交DE 于N ，下列结论 ①GM ⊥CM ②CD =CM ③四边形MFCG 为等腰梯形．④∠CMD =∠AGM ．其中正确结论的个数是() G N M F E D C B A A 、①②③ B 、①②④ C 、①③④ D 、①②③④ 2．(1)在正方形ABCD 中，∠1=∠2．求证：BE OF 21= (2)在正方形ABCD 中，∠1=∠2．AE ⊥DF ，求证：CE OG 2 1= 3．如图正方形ABCD 中，E 为AD 边上的中点，过A 作AF ⊥BE ，交CD 边于F ，M 是AD 边上一点，且有BM ＝DM ＋CD ． A B C D F O E G H 12
M F E C D B A (1)求证：点F 是CD 边的中点； (2)求证：∠MBC ＝2∠ABE ． 4．已知在正方形ABCD 中． (1)如图1，如果M 是BC 上一点，AN 平分∠DAM 交CD 于N ，那么AM =BM +DN ； (2)如图2如果M 在BC 的延长线上，AN 平分∠DAM 交CD 于N ，那么线段AM 、BM 、DN 的长度关系是_________________________． (3)如图3如果M 在BC 的延长线上，AN 平分∠DAM 交CD 于N ，那么线段AM 、BM 、DN 的长度关系是__________．(写出结论并证明) 5．如图，P 为正方形ABCD 边BC 上的一点，BP 的垂直平分线MN 交AC 于点N ，M 为垂足． (1)求证：ND =NP ； (2)延长DN 交AB 于点E ，求证：AE +CP =EP ； (3)若正方形ABCD 的边长为2，P 为BC 的中点，请直接写出线段AN 的长为 D A P B C N E 图1N C M 图2B P A D 6、如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ， 求证：EF ∥DC ． A B D C A C B D M N
第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A 组 1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω= 以X 表示两个产品中的合格品数. (1) 写出X 与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→； (2) 1 2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-. 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) 021()2021 x F x x x <-??? =-≤
求常数A 及(13)p X <≤？ 解：由()1F +∞=和lim (1)x x A e A -→+∞ -=得 1A =； (13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-. 4、设随机变量X 的分布函数为 2 00()0111 x F x Ax x x ≤??=<≤??>? 求常数A 及(0.50.8)p X <≤？ 解：由(10)(1)F F +=得 1A =； (0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=. 5、设随机变量X 的分布列为 ()a p X k N == (1,2,,)k N =L 求常数a ？ 解：由 1 1i i p +∞ ==∑得 1 1N k a N ==∑ 1a ?=. 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、 5，且 0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090 5100 (3)C C p X C ==、 4110905100(4)C C p X C ==、50 1090 5100 (5)C C p X C == 于是X 的分布列为
正方形专题训练（含答案）一．选择题（共11小题） 1．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐 标为（1， ），则点C 的坐标为 （） 2．）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2 3．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF 的度数是（） A．45°B．50°C．60°D．不确定4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直 C ．对角线相等D．对角线互相垂直且相等5．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（）6．（2014?福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（） A．45°B．55°C．60°D．75°7．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列说法中，正确的是（） A．相等的角一定是对顶角 B．四个角都相等的四边形一定是正方形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．矩形的对角线一定垂直 9．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC， ②∠ABC=90°，③AC=BD， ④AC⊥BD四个条件中，选两个作为 补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（） A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④10．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（） A．45°B．50°C．55°D．60°
一、填空题 1、如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，则∠ACE＝°. 2、如图，四边形ABDC 是正方形，延长CD 到点E ，使CE=CB ，则∠AEC＝°. 3、如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论： ①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE ；⑤AD∶CE=1∶.其中正确的有个. 4、如图，等边△EDC 在正方形ABCD 内，连结EA 、EB ，则∠AEB＝°；∠ACE＝°. 5、已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是°. 6、如图，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED 重合，则θ值为°. 第6题图第7题图第8题图第9题图 7、已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE=2，EC=1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________. 8、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为. 9、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则CN=；AM 的长是. 10、正方形的面积是31，则其对角线长是________. 11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴 影部分的面积是. 12、如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方 形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为. 第12题图第13题图 13、边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一 个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是. 14、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC 交于点O ，则四边形AB′OD 的周长是. 15、如右图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC ；③AG∥CF；④S △FGC ＝3．其中正确的结论是.（填序号） 16、如右图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边△ABE，CE 与DB 相交于点F ，则AFD ∠=。 二、解答题 1、如图1：正方形ABCD 中，AC=10，P 是AB 上任意一点，PE⊥AC 于E ， PF⊥BD 于F ，则PE+PF=.可以用一句话概括： 正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于. 思考：如若P 在AB 的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请在图2中画出图 形，写出你的结论，并加以说明. 图2 第1题图第2题图第3题图第4题图 O 2O 1
第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =
第二章习题 1. 描述以下三个概念的区别：头指针，头结点，首元素结点。 2. 填空： （1）在顺序表中插入或删除一个元素，需要平均移动元素，具体移动的元素个数与有关。 （2）在顺序表中，逻辑上相邻的元素，其物理位置相邻。在单链表中，逻辑上相邻的元素，其物理位置相邻。 （3）在带头结点的非空单链表中，头结点的存储位置由指示，首元素结点的存储位置由指示，除首元素结点外，其它任一元素结点的存储位置由指示。3．已知L是无表头结点的单链表，且P结点既不是首元素结点，也不是尾元素结点。按要求从下列语句中选择合适的语句序列。 a. 在P结点后插入S结点的语句序列是：。 b. 在P结点前插入S结点的语句序列是：。 c. 在表首插入S结点的语句序列是：。 d. 在表尾插入S结点的语句序列是：。 供选择的语句有： （1）P->next=S; （2）P->next= P->next->next; （3）P->next= S->next; （4）S->next= P->next; （5）S->next= L; （6）S->next= NULL; （7）Q= P; （8）while(P->next!=Q) P=P->next; （9）while(P->next!=NULL) P=P->next; （10）P= Q; （11）P= L; （12）L= S; （13）L= P; 4. 设线性表存于a(1:arrsize)的前elenum个分量中且递增有序。试写一算法，将X插入到线性表的适当位置上，以保持线性表的有序性。 5. 写一算法，从顺序表中删除自第i个元素开始的k个元素。 6. 已知线性表中的元素（整数）以值递增有序排列，并以单链表作存储结构。试写一高效算法，删除表中所有大于mink且小于maxk的元素（若表中存在这样的元素），分析你的算法的时间复杂度（注意：mink和maxk是给定的两个参变量，它们的值为任意的整数）。 7. 试分别以不同的存储结构实现线性表的就地逆置算法，即在原表的存储空间将线性表（a1, a2..., an）逆置为（an, an-1,..., a1）。 （1）以一维数组作存储结构，设线性表存于a(1:arrsize)的前elenum个分量中。 （2）以单链表作存储结构。 8. 假设两个按元素值递增有序排列的线性表A和B，均以单链表作为存储结构，请编写算法，将A表和B表归并成一个按元素值递减有序排列的线性表C，并要求利用原表（即A 表和B表的）结点空间存放表C。
由莲山课件提供https://www.doczj.com/doc/4c18698408.html,/ 资源全部免费 正方形的判定 一．选择题（共8小题） 1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（） A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④ 2．下列说法中，正确的是（） A．相等的角一定是对顶角 B．四个角都相等的四边形一定是正方形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．矩形的对角线一定垂直 3．下列命题中是假命题的是（） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（） ①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形． A．1组B．2组C．3组D．4组 5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（） A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形 6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（） A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分 7．下列命题中，真命题是（） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（） A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF 二．填空题（共6小题） 9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_________（填上一个符合题目要求的条件即可）． 由莲山课件提供https://www.doczj.com/doc/4c18698408.html,/ 资源全部免费
学科：数学 教学内容：正方形 【学习目标】 1．掌握正方形的定义、性质和判定方法． 2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明． 【主体知识归纳】 1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定 （1）根据正方形的定义； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 【基础知识精讲】 1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： 正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行? ??)()2()()1( 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质可归纳如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容． 【例题精讲】 ［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ． 求证：矩形ABCD 是正方形．
范文 范例 指导 参考 § 1.1 微分方程：某些物理过程的数 学模型 § 1.2 基本概念 习题 1.2 1 ．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： 1) dy 4x 2 y ； dx 22 2) d 22 y dy 12xy 0； dx 2 dx 2 3) dy x dy 3y 2 0； dx dx 4) x d 2y 5 dy 3xy sin x ； dx 2 dx 5) dy cosy 2x 0 ； dx 解 （ 1）一阶线性微分方程； （ 2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （ 4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 1） y cos x ； 2 ） y C 1cos x （C 1是任意常数 ）； 3 ） y sin x ； 4） y C 2 sin x （C 2是任意常数 ） ； 5） y C 1cos x C 2 sin x (C 1, C 2是任意常 数 6） y Asin( x B) (A,B 是任意常数 )． 第一章 绪 论 6） sin d 2 y dx 2 e y x ． 2．试验证下面函数均为方程 d 2y dx 2 2 2 y 0 的解，这里 0是常数．
cos x 为方程的解． C 1 cos x 为方程的解． sin x 为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： sin x 1) y x ， xy y cosx ； 2) y 2 C 1 x 2 ， (1 x 2)y xy 2x (C 是任意常数) 3) y Ce x ，y 2y y 0( C 是任意常数) ； 4) y xx e ， y e 2 y x 2 x 2 ye 1 e ； 5) y sin x ， y 2 y 2 2 y sin x sin x cos x 0 ； 6) y 12 ， x y x 2 x 2 y xy 1 ； 7) y x 2 1， y 2 y (x 2 1)y 2x ； 解 ( 1) dy dx sin x , d 2 y dx 2 2 co 2 2 y ，所以 d dx 22y 0， 2 ) y C 1 sin x, C 1 2 cos 2 2 y 所以 d dx 2 2y 3) d d y x cos x , d 2 y dx 2 sin 所以 d 2 2y dx C 2 cos x C 2 2 si 2 2 y 所以 d 2 2y dx 2 C 2 sin x 为方程的解． 5) C 1 sin x C 2 cos C 1 2 cos C 2 2 sin 2 y ， d 2y 所以 d 2y dx 2 0 ，故 y C 1 cos x C 2 sin x 为方程的解． 6) cos( x B) , y A 2 sin( x B) 2 y ， 故 d dx 22y 0， 因此 y A sin( x B) 为方程的解．
正方形 知识点一：正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 知识点二：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等； 2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。 知识点三：正方形的判定方法：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.有一组邻边相等的矩形是正方形； 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 练习题： 1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ C ） A ．对角线相等且互相平分 B ．对角线相等且互相垂直平分 C ．对角线互相平分 D ．四条边相等，四个角相等 2.如图, E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④AOB DEOF S S ?=四边形中，错误的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 为等边三角形，那么∠DCE= 15 度． 4.如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE=AC ，AE 交CD 于点F ，则∠E= 22.5 度． 5.如图，若P 是边长1的正方形ABCD 内一点且S △ABP =0.4，则S △DCP = 0.1 ． 分析：过P 作EF ，使EF ∥BC ，则EF ⊥CD ，EF ⊥AB ，∴S △ABP =错误！未找到引用源。AB?EP ，S △CDP =错误！未找到引用源。CD?PF ，根据S △ABP +S △CDP =错误！未找到引用源。 6.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 的度数= 60 度． 7.如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形 DEFG ，点 G 在边CD 上，则DG 的长为 5－1 8.如图，E F G H ，，，分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且13 AE BF CG DH AB ==== ，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为 2/5 9.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 周长为 33 10.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 22.5度 ． 11.已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则 DE ＝ 2－ 1 . 11.如图，点E 是正方形 ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点 F ．求证： D E D =． 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900又∵DF ⊥DE ， ∴∠1+∠3=∠2+∠3∴∠1=∠2在Rt △DAE 和Rt △DCE 中，∠1=∠2，AD=CD ，∠A=∠DCF ∴Rt △DAE ?Rt △DCE (ASA) ∴DE=DF ． 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题