正方形的性质与判定经典例题练习
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正方形第一课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的性质。
2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。
合作探究
【探究一】正方形的定义
1、正方形的定义:
2、正方形与矩形和菱形的关系是
【探究二】正方形的性质
1、归纳正方形的性质:边
角
对角线
对称性
2、用几何语言叙述正方形的性质:
【探究三】正方形的周长与面积
边讲边练:
①正方形与等腰三角形(等边三角形)结合
1. 如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,则∠ACE=°
2. 如图,四边形ABCD是正方形,延长CD到E,使CE=CB,则∠DBE=°.
3. 如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE平分∠DAC,则下列结论:
(1)∠E=°;(2) ∠AFC=°;(3) ∠ACE=135°;(4)AC=CE;(5) AD∶CE=1∶ 2.
其中正确的有()
A.5个个个个
4. 如图,等边△EDC在正方形ABCD内,连结EA、EB,则∠AEB=°;∠ACE=°.
5.已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是°.
②正方形与旋转结合
1. 如图1,四边形ABCD 是正方形,E 是边CD 上一点,若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合,则θ的取值可能为 ( )
° ° ° °
2. 已知正方形ABCD 中,点E 在边DC 上,DE = 2,EC = 1(如图2所示) 把线段AE 绕点A 旋转,使点E 落在直线BC 上的点F 处,则F 、C 两点的距离为___________.
3. 如图3,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别为DC ,BC 边上的点,且满足∠EAF =45°,连接EF ,求证:DE +BF =EF .
③正方形对角线的对称性
1. 如图:正方形ABCD 中,AC =10,P 是AB 上任意一点,PE ⊥AC 于E ,PF ⊥BD
于F ,则PE +PF = .可以用一句话概括:正方形边上的任意一点到两
对角线的距离之和等于
.
思考:如若P 在AB 的延长线时,上述结论是否成立?若不成立,请写出
你的结论,并加以说明.
2.如图,点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点,PE ⊥BC 于点E ,PF ⊥CD 于点F ,连接EF 给出下列五个结论:①AP =EF ;②AP ⊥EF ;③△APD 一定是等腰三角形;
④∠PFE =∠BAP ;⑤PD = 2EC .其中正确结论的序号是 .
思考:当点P 在DB 的长延长线上时,请将备用图补充完整,并思考(1)正确结论是否依旧成立?若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.
④正方形的折叠
1.如图1,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN
的长是 .
2.如图2
,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B'处,点A对应点为A',且C
B'=3,则AM的长是 .
3如图3,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;
④S△FGC=3.其中正确结论的个数是 .
课后练习
1、已知:如图,正方形ABCD中,CM=CD,MN⊥AC,连结CN,则∠DCN=_____=____∠B,∠
MND=_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD中,AB=12 cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是()+122 +62 +2 +62
3.正方形的面积是
3
1
,则其对角线长是________.
4. 如图,在正方形ABCD中,△PBC、△QCD是两个等边三角形,PB与DQ交于M,BP与CQ 交于E,CP与DQ交于F.求证:PM = QM.
P
5. 如图4,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合,A′B′交BC于点E,A′D′交CD于点F,若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后,OE=OF吗?两正方形重合部分的面积怎样变化?为什么?
6.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.试判断PE与PB的关系.
7. 如图,正方形ABCD的面积为12,△ADE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PB+PE的和最小,则这个最小值为 .
8.如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠
(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的
点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接
EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长=_____cm;
②求证:EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.
正方形第二课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的判定方法。
2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题的能力。
二、合作学习
合作探究
根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形?
练一练:
1、判断:
(1)四条边都相等的四边形是正方形。()
(2)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。()
(3)两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。()
(4)两条对角线互相垂直的矩形是正方形。()
2.不能判定四边形是正方形的是()
A.对角线互相垂直且相等的四边形 B.对角线互相垂直的矩形
C.对角线相等的菱形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形
3、四边形ABCD的对角线相交于点O,能判定它是正方形的条件是()
A.AB=BC=CD=DA B.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD
C.AC=BD,AC⊥BD且AC、BD互相平分 D.AB=BC,CD=DA
4、如图,已知四边形ABCD是菱形,则只须补充条件:(用字母表示)就可以判定四边形ABCD是正方形.