正方形判定练习题及答案
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正方形的判定
一.选择题(共8小题)
1.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是()
A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④
2.下列说法中,正确的是()
A.相等的角一定是对顶角
B.四个角都相等的四边形一定是正方形
C.平行四边形的对角线互相平分
D.矩形的对角线一定垂直
3.下列命题中是假命题的是()
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
4.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的有()
①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时,它是正方形.
A.1组B.2组C.3组D.4组
5.四边形ABCD的对角线AC=BD,AC⊥BD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线,所成的四边形EFMN是()
A.正方形B.菱形C.矩形D.任意四边形
6.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明()
A.AB=AD且AC⊥BD B.AB=AD且AC=BD C.∠A=∠B且AC=BD D.AC和BD互相垂直平分
7.下列命题中,真命题是()
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是()
A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF
二.填空题(共6小题)
9.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_________(填上一个符合题目要求的条件即可).
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10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AC,DF⊥BC,当△ABC满足条件_________时,四边形DECF是正方形.
(要求:①不再添加任何辅助线,②只需填一个符合要求的条件)
11.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件:_________,使得该菱形为正方形.
12.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是_________.
13.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是_________.
14.要使一个菱形成为正方形,需添加一个条件为_________.
三.解答题(共8小题)
15.已知:如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.
16.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.
17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
18.如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.
(1)求证:四边形ADCF是平行四边形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是正方形?请说明理由.
19.如图,分别以线段AB的两个端点为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于M、N两点,连接MN,交AB 于点D、C是直线MN上任意一点,连接CA、CB,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证:△AED≌△BFD;
(2)若AB=2,当CD的值为_________时,四边形DECF是正方形.
20.如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作ME⊥A C,MF⊥AD,垂足分别为E、F.
(1)求证:∠CAB=∠DAB;
(2)若∠CAD=90°,求证:四边形AEMF是正方形.
21.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.
(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点O运动到何处时,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE_________是菱形吗?(填“可能”或“不可能”)
22.已知:如图,△ABC中,点O是AC上的一动点,过点O作直线MN∥AC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F,连接AE、AF.
(1)求证:∠ECF=90°;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,△ABC应该满足条件:_________,就能使矩形AECF变为正方形.(直接添加条件,无需证明)