正方形的性质与判定例题精讲和练习题及答案---侯老师

正方形(1)练一练:1、已知：如图，正方形ABCD 中，CM=CD MN 丄AC,连结CN ,则/ DCN=/ B.2.在正方形ABCD 中, AB=12 cm ,对角线AC BD 相交于0,则^ ABO的周长是3、下面的命题是真命题的有A 、有一组邻边相等的平行四边形是正方形；B 、有一组邻边相等且有一角为直 角的四边形为正方形；C 、正方形是一组邻边相等的矩形；D 、正方形是有一个 角为直角的菱形。

精讲精练例1、在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点 E,使CE=CA 连接AE 交CD 于变式：1、已知如下图，正方形 ABCD 中，E 是CD 边上的一点，F 为BC 延长线上 一点，CE=CF ⑴求证：△ BEC^A DFC; (2)若/ BEC=60°，求/ EFD 的度数.()+12J2 +6^2+72 +6^2/ B,/ MND=F ,求AFD 的度数。

例2:如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分/ DCF,连结AE,并在CG上取一点G,使EGAE求证：AEX EG例3、P 为正方形ABCD内一点，PA=1, PB=2, PC=3,用中学1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE CE 与DB 相交于点F，AFD =求/APB的度数.则E32、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3, M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE 则BM的长为3.正方形的面积是3，则其对角线长是.为正方形ABCD内一点，且△ EBC是等边三角形，求/ EAD的度数.<31、已知RtVABC 中， 精讲精练C 90 , CD 平分 ACB ,交 AB 于 D , DFEF CD,EG AD, 边形ABCD 中, AC 、BD 相交于点 0, 能判别这个四边形是正方形的条件是（=0B=0C=0D , AC 丄 BD ； // BC, / A=/ C ； （上海市）如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC , BD 交于点0, E 是 BD 延长线上的点,且△ ACE 是等边三角形.（1） 求证：四边形ABCD 是菱形； （2） 若 AED 2 EAD ,求证：四边形 ABCD 是正方形.// CD, AC=BD ；=0C, 0B=0D , AB=BC 疋菱 正方形（2）练一练：1 .不能判定四边形是正方形的是（） A .对角线互相垂直且相等的四边形；B •对角线互相垂直的矩形；C •对角线相等的菱形；D .对角线互相垂直平分且相等的四边形。

第六章特殊平行四边形3 正方形的性质与判定第3课时正方形的性质与判定的综合应用基础闯关知识点一：在正方形中解决问题的一般思路思路1：寻找相等的边，利用等腰三角形的性质解决问题1.如图，以正方形ABCD的对角线AC为边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC 于点G,则∠FGC=( )A.67.5°B.45°C.60°D.75°2.如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE,AC与BE交于点F,则∠AFE=.思路2：先确定或构造正方形中的垂直关系，再解决问题3.如图，正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为( )4.如图，边长分别为4和2的两个正方形ABCD和CEFG 并排放在一起，连接EG并延长交BD于点N，交AD于点M,则线段MN的长是.知识点二：正方形性质的综合应用应用1：利用正方形的性质证明线段相等5.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为点M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.应用2：利用正方形的性质判定线段的数量与位置关系6.如图，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE 的垂直平分线上，PE交CD于点F.猜测PC和PE的数量及位置关系，并给出证明.能力提升素养提升【构造法在正方形中的应用】方法1：构造直角三角形斜边上的中线7.如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上,DE=2,作EF∥BC,分别交AC,AB于点G,F,M,N分别是AG,BE的中点,则MN的长是( )A.4B.5C.6D.7方法2：构造三角形的中位线8.如图，边长为1的正方形EFGH在边长为4的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB,CK=1.线段KG的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为( )【辅助线在正方形中的应用】方法1：连接法9.如图，把正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H.求证:HG=HB.方法2：作垂线法10.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上,点F在边CD上(点F与点C,D不重合),BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF=45°.求证:四边形ABCD是正方形.方法3：已知线段的和，用延长法11.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,连接AE,EF,AF,若DF+BE=EF,求∠EAF 的度数.方法4：求证线段的和，用截取法12.如图,正方形ABCD中,点F在CD的延长线上,点E在BC的延长线上,∠EAF=45°.求证:BE=EF+DF.培优创新【模型观念——正方形中的“对角互补”模型】13.(1)如图,在正方形ABCD中,点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM,ON分别交BC,CD 于点E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于点G.有下列结论：①△COE≌△DOF;②CF=BE;③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的④OF²+OE²=EF².其中正确的是( )A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④(2)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，直角∠MON的两边分别交AD,CD于点M,N.①若AM=5,CN=2,则正方形ABCD的面积为.②若四边形MOND的面积是1，则AB的长为.(3)如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A.nB.n-1(4)如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE,交CD于点H,连接GH,则GH的长为.参考答案1.A2.120°3.B[解析]∵BD和EG分别为正方形ABCD和CEFG的对角线,∴∠DGN=∠CGE=∠NDG=45°,∴∠DNG=90°,即DN⊥MG.又∵BD平分∠ADC,∴N为MG的中点.∵CD=4,CG=2,∴DG=2,∴DM=2,∴MG=5.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,∴∠MEA=∠AFO,∴△BOE≌△AOF(AAS),∴OE=OF.6.解:PC=PE,PC⊥PE.证明:由正方形的轴对称性质可得∠PAD=∠PCD,PA=PC.∵点P位于AE的垂直平分线上,∴PA=PE,∴PC=PE.∵PA=PE,∴∠PAD=∠E,∴∠PCD=∠E.∵∠PFC=∠DFE,∴∠CPF=∠FDE.∵∠ADC=90°,∴∠FDE=90°,∴∠CPF=90°,∴PC⊥PE.7.B [解析]如图,连接FM,FC.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=90°.∵EF∥BC,∴∠BFE+∠ABC=180°,∴∠BFE=90°,∴四边形BCEF为矩形.∵N是BE的中点,四边形BCEF为矩形,∴点N为FC的中点,BE=FC.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°.又∵∠AFG=90°,∴△AFG为等腰直角三角形.∵M是AG的中点,∴AM=MG,∴FM⊥AG,∴△FMC为直角三角形.∵点N为FC的中点，∵四边形ABCD是边长为8的正方形,DE=2,∴BC=CD=8,CE=6.在Rt△BCE中,由勾股定理得BE=10,∴FC=10,8.D [解析]如图，连接GN并延长，交CD的延长线于点P,连接KP.∵四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形,EF∥AB,∴∠C=90°,EF∥GH∥CD∥AB,∴∠HGN=∠DPN,且DN=NH,∠DNP=∠GNH,∴△DNP≌△HNG(AAS),∴DP=GH=1,PN=GN,∴CP=5.∴在Rt△CPK中,9.证明:如图,连接AH.由题意知∠B=∠G=90°,AG=AB.在Rt△AGH和Rt△ABH中,∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL),∴HG=HB.10.证明:如图,作EM⊥BC于点M.∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,∴EM∥AB,∴∠ABE=∠BEM,∠BAC=∠CEM.∵∠ABE+∠CEF=45°,∴∠BEM+∠CEF=45°.∵BE⊥EF,∴∠CEM=45°=∠BAC,∴∠BAC=∠ACB=45°,∴AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.11.解:如图,延长CB到点G,使BG=DF.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠D=∠ABE=90°,∴∠ABG=∠D=90°.在△ADF与△ABG中,∴△ADF≌△ABG(SAS),∴AG=AF,∠GAB=∠DAF.∵DF+BE=EF,EG=BG+BE=DF+BE,∴EG=EF.在△AGE与△AFE中,∴△AGE≌△AFE(SSS),∴∠GAE=∠EAF,∴∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠EAF.∵∠BAD=90°,∴∠EAF=45°.12.证明:如图,在BE上取一点G,使BG=DF.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠B=∠ADC=∠ADF=90°.在△ADF和△ABG中≌△ABG(SAS),∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.∵∠BAG+∠DAG=90°,∴∠DAF+∠DAG=90°,即∠FAG=90°.∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°,∴∠GAE=∠FAE.在△AFE和△AGE 中,∴EF=EG,∴EF+DF=EG+BG=BE,∴BE=EF+DF.13.(1)A (2)①49 ②2(3)B。

正方形
定理：有一个角是直角的菱形是正方形
判别正方形的方法：定义法
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形
判别正方形的方法：对角线法
对角线互相平分
对角线垂直且相等
判定：对角线垂直的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形 对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形
课前复习： 正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形（spuare）。
平行四边形，矩 形，菱形，正方 形之间有什么关 系？ ④ 分别代表什么图 形？
平行四边形
矩形
正
方 菱形
形④
正方形既是矩形，又是菱形，也是平行四边形， 它具有平行四边形，矩形和菱形的所有性质。
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
因为正方形既是矩形，又是菱形， 也是平行四边形，所以判定正方形 既需要矩形的条件，又需要菱形的 条件，还需要平行四边形的条件
判断对错
1. 四边相等的四边形是正方形 2．四角相等的四边形是正方形 3．对角线垂直的平行四边形是正方形 4．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正 方形 5．四条边相等且有一个角是直角的四边形是 正方形
理由
（１） ＡＢ＝ＡＤ
A
D
（２） ＡＣ＝ＢＤ
（３） ∠ＢＡＤ＝９０
O
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
C
小组合作探究：
回忆：任意画一个四边形，以四边中点为顶点 可以组成一个什么四边形？说说你的理由？
H A
E
B F

正方形的性质和判定练习题1、下列命题中正确的是（）A、对角线相等的四边形是矩形B、对角线互相垂直的四边形是棱形C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（）A、平行四边形B、矩形C、棱形D、正方形3、下列说法不正确的是（）A、四条边相等的四边形是正方形B、有一个角是直角的棱形是正方形C、对角线互相垂直的矩形是正方形D、有一组邻边相等的矩形是正方形4、正方形具有而矩形不具有的性质是（）A、对角线相等B、每一条对角线平分一组对角C、对角线互相平分D、对角线的平方等于一组邻边的平方和5、矩形、棱形和正方形都具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相平分C、对角线平分一组对角D、对角线互相垂直6、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A、AC=BD AB∥CD AB=CDB、AD∥BC ∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO AC⊥BDD、AO=CO BO=D0 AB=BC7、已知四边形ABCD是平行四边形，再从：①AB=BC ②∠ABC=90°③AC=BD ④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有四种选项，其中错误的是（）A、①②B、②③C、①③D、②④8、已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，就可退出四边形是正方形的是（）A、∠D=90°B、AB=CDC、AD=BCD、BC=CD9、棱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：______，使得该棱形是正方形。

10、如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形DEBF是正方形11、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，且AE=BF，求证：CE=DF12、如图所示，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形。