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B A 第三讲 正方形的性质与判定
一、知识要点
1．正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： 1 边的性质：对边平行，四条边都相等．
2角的性质：四个角都是直角．
3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．
4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
3．正方形的判定
1：对角线相等的菱形是正方形
2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形
3：四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形
4：一组邻边相等的矩形是正方形
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
二、典型例题
例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F ．试说明AP ＝EF ．
正方形菱形矩形平行四边形
分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．
解：连结AC、PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD垂直平分AC，
∴AP＝CP．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴AP＝EF．
注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．
②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．
思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．
提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．
又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，
而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．
例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．
解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AB，同理，DF∥BC，
∴BEDF是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF．
又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是正方形．
思考：还有没有其他方法？
提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得)
注意：灵活选择正方形的识别方法．
例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．
分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC＝150°．
解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．
(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．
【中考考点】
会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．
【命题方向】
本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．
正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．
【常见错误分析】
已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．
错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．
∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°．
在△ABC和△SDB中，
∵∠ACB＝∠SBD＝90°，
BC＝BD，
∠2＝90°－∠4＝∠5
∴△ABC与△SDB重合，
∴AB＝SD＝SK＋DK，
即AB＝HM＋DK．
分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．
正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．
在△ACB和△SBD中，
∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，
又∠2＝∠3＝∠5，
∴△ACB与△SBD重合，
∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．
在△BKS和△AMH中，
∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，
∴△BKS与△AMH重合，
∴KS＝HM，
∴AB＝DK＋HM．
【学习方法指导】
正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定
