4.1 有理数指数幂

第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数4.1.1 有理数指数幂 4.1.2 无理数指数幂必备知识基础练1.(天津滨海新区高一期中)下列运算正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(3a)3=9a 3 C.√a 88=aD.(-2a 2)3=-8a 62.若a<0,则化简a √-1a得( ) A.-√-a B.√-a C.-√aD.√a3.(福建福州三中高一期中)已知x 2+x -2=3,则x+x -1的值为( ) A.√5B.1C.±√5D.±14.(112)0-(1-0.5-2)÷(278)23的值为( )A.-13B.13C.43D.735.若√4a 2-4a +1=1-2a,则a 的取值范围是 .关键能力提升练6.(河北张家口张垣联盟高一联考)将根式√a √a √aa(a>0)化简为指数式是( ) A.a -18B.a 18C.a -78D.a -347.已知x 2+x -2=2√2,且x>1,则x 2-x -2的值为( ) A.2或-2 B.-2 C.√6D.28.(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12B.√y 26=y 12(y<0)C.x-13=√x3(x≠0)D.[√(-x )23]34=x 12(x>0)9.若a>0,b>0,则化简√b 3a√a2b6的结果为 .10.化简:(2-a)[(a-2)-2(-a )12]12= . 11.化简求值:(1)0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6;(2)(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1.学科素养创新练12.(黑龙江大庆实验中学高一期末)已知实数x 满足3×16x +2×81x =5×36x ,则x 的值为 . 答案：1.D a 2·a 3=a 5,故A 错误;(3a)3=27a 3,故B 错误;√a 88=|a|={a ,a ≥0,-a ,a <0,故C错误;(-2a 2)3=-8a 6,故D 正确.故选D.2.A ∵a<0,∴a √-1a=-√a 2×√-1a=-√a 2(-1a)=-√-a .故选A.3.C 由(x+x -1)2=x 2+x -2+2=5,可得x+x -1=±√5.故选C.4.D 原式=1-(1-22)÷(32)2=1-(-3)×49=73.故选D.5.(-∞,12] ∵√4a 2-4a +1=√(2a -1)2=|2a-1|=1-2a,∴2a-1≤0,即a≤12.6.A√a √a √aa=a 12+14+18-1=a -18,故选A.7.D (方法1)∵x>1,∴x 2>1. 由x -2+x 2=2√2,可得x 2=√2+1, ∴x 2-x -2=√2+1-√2+1=√2+1-(√2-1)=2.(方法2)令x 2-x -2=t,① ∵x -2+x 2=2√2,②∴由①2-②2,得t 2=4.∵x>1,∴x 2>x -2, ∴t>0,于是t=2,即x 2-x -2=2,故选D. 8.CD 对于选项A,因为-√x =-x 12(x≥0), 而(-x )12=√-x (x≤0),所以A 错误;对于选项B,因为√y 26=-y 13(y<0),所以B 错误; 对于选项C,x-13=√x3(x≠0),所以C 正确;对于选项D,[√(-x )23]34=x 2×13×34=x 12(x>0),所以D 正确.9.1 √b 3a√a 2b 6=√b 3a(a 2b 6)12=√b 3a ab 3=1. 10.(-a )14由已知条件知a≤0, 则(a-2)-2=(2-a)-2,所以原式=(2-a)[(2-a)-2·(-a )12]12=(2-a)(2-a)-1(-a )14=(-a )14.11.解(1)根据指数幂与根式的运算,化简可得0.125-13−(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6=[(2)-3]-13−(98)0+(22)32+(212×313)6=2-1+8+(212)6(313)6=2-1+8+8×9 =81.(2)由分数指数幂及根式的运算,化简可得(5116)0.5+√(-10)2-2√3×√276-4π0÷(34)-1=[(32)4]0.5+10-2√3×(33)16-4×34=94+10-2√3×√3-3 =94+10-6-3=134.12.0或12因为3×16x +2×81x =5×36x ,所以3×24x +2×34x =5×(2×3)2x ,则3×24x +2×34x =5×22x ×32x ,所以3×24x +2×34x -5×22x ×32x =0,即(3×22x -2×32x )(22x -32x )=0,所以3×22x -2×32x =0,或22x -32x =0,解得x=12或x=0.。

《实数指数幂和幂函数》教学设计 4.1.1有理数指数幂一.课程标准认识有理数指数幂mna 含义，掌握指数幂的运算性质.二.教学目标1.理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算性质；2.能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化.三、教学重点：根式的概念及n 次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化.四、教学难点：n 次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 五、教学过程一、创设情境，引入课题 1. 平方根和和立方根. 2.正整数指数幂的运算性质 二、归纳探索，形成概念 1. n 次方根若一个(实)数x 的n 次方,(2)n N n ∈≥等于a ，即n x a =，就说x 是a 的n 次方根。

那么如何表示n 次方根呢？我们分n 为奇数和n 为偶数两种情况来分别讨论n 次方根的表示方法。

例如，2=2=-；33x =-时，有x =若23x =，则x =43x =，则x =（1）当n 为奇数时，a ()a R ∈的n当a ＞00；当a ＝00；当a ＜00.（2）当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，即：其中正的n 0a <时, a 的n 次方根不存在。

（3）0的n 次方根为0=0. 2.根式,(2)n N n ∈≥，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．a =，问题3：n 与aa =是否一直成立？你能举出那些例子？7...===-7...=== 由此我们可得到1。

当na =。

2。

当na =。

问题4：那么，n 又能化简成什么呢？一直成立吗？预案：n a =，根据定义易知成立。

3.分数指数幂问题5：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。

,,(,0)(),()m n m n mm n nm n mn m m ma a a a a m n a aa a ab a b +-==>≠== 在这里,m n 均为正整数。

4.1有理数指数幂（2）——实数指数幂【教学目标】知识目标：1、掌握实数指数幂的运算法则；2、通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点。

能力目标：1、正确进行实数指数幂的运算；2、培养学生的计算技能；3、通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力。

【教学重点】实数指数幂的运算法则，有理数指数幂的运算。

【教学难点】有理数指数幂的运算。

【教学设计】1、在复习整数指数幂的运算中，学习实数指数幂的运算；2、通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；3、通过“描点法”作图认识幂函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律；4、通过知识应用巩固有理数指数幂的概念。

【课时安排】2课时。

(90分钟)【教学过程】一、实数指数幂 1、复习导入整数指数幂，当*n ∈N 时，na = ； 规定当0a ≠时，0a = ； n a -= ； 分数指数幂：mna = ；0a ≠时，m na-= 。

其中*m n n ∈N 、且＞1。

当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，0a。

例1、将下列各根式写成分数指数幂：（2．例2、将下列各分数指数幂写成根式：(1)3465-；（2）232.3（）2、扩展：整数指数幂的运算法则为： (1) m n a a ⋅= ； (2) ()nm a= ；(3) ()nab = 。

其中()m n ∈Ζ、运算法则同样适用于有理数指数幂的情况3、概念当p 、q 为有理数时，有p q p q a a a +⋅=； ()qp pq a a =； ()pp p ab a b =⋅运算法则成立的条件是，出现的每个有理数指数幂都有意义。

说明：可以证明，当p 、q 为实数时，上述指数幂运算法则也成立。

4、典型例题例1、计算下列各式的值：（1）130.125； （2分析 （1）题中的底为小数，需要首先将其化为分数，有利于运算法则的利用；（2）题中，首先要把根式化成分数指数幂，然后再进行化简与计算。

有理数指数幂教案一、条件分析1．学情分析在上个单元中，学生学习了函数的概念、表示方法、单调性、奇偶性，对函数有了初步的认识，但是还远远不够，函数是个大家庭，需要我们继续深入学习已到达实际运用的目的。

对于这个章节的内容，学生在初中已经学过，加之初数内容的补充，学生对这方面的知识掌握起来比较容易，难点在于对八个公式的记忆可能混淆，因此在学习本章节的内容时应多做练习巩固所学知识。

2.教材分析本节内容由整数指数幂、n次根式、分数指数幂构成，这三个内容环环相扣，层层递进，所以，在学习这个章节的内容时，应注意知识的内在联系。

二、三维目标知识与技能目标A层：1. 理解有理数指数幂的概念；2. 识记正整数指数幂的运算法则；3. 识记分数指数幂的运算法则；4. 理解n次方根、n次算术根的概念。

B层：1. 理解有理数指数幂的概念；2. 识记正整数指数幂的运算法则；3. 识记分数指数幂的运算法则。

C层：1. 识记正整数指数幂的运算法则；2. 识记分数指数幂的运算法则。

过程与方法目标讲授法、练习法、游戏法。

在学习有理数指数运算时通过竞答游戏激发学生学习兴趣，通过练习加深学生对所学知识的巩固。

情感态度和价值观目标通过对有理数指数幂的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过学习有理数指数幂的知识，让学生明白，对于问题的解决，我们可以采用多种方法，其中有效的方法是转化，把不熟悉的问题转化成我们所熟悉的问题就能轻松解决。

三、教学重点有理数指数幂的运算法则四、教学难点n次方根与n次算术根的区别和联系五、主要参考资料：中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。

六、教学进程：故事导入：谣言的力量某人听到一则谣言后一小时内传给两人，以后他没有再传给别人．而那两人同样在一小时内每人又分别传给另外的两人。

如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？能？还是不能？请注意，一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜只有24小时，一个千万人口的大城市能传遍吗？只凭直觉，是很难正确判断的。

4.1有理数指数幂(1)——分数指数幂【教学目标】知识目标：1、复习整数指数幂的知识；2、 了解n 次根式的概念；3、理解分数指数幂的定义。

能力目标：1、掌握根式与分数指数幂之间的转化；2、会利用计算器求根式和分数指数幂的值；3、培养学生观察、分析问题的能力；培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

【教学重点】分数指数幂的定义及运算性质，运用有理数指数幂性质 进行化简、求值。

【教学难点】对分数指数幂概念的理解，根式和分数指数幂的互化。

【教学设计】1、通过复习二次根式而拓展到n 次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；2、复习整数指数幂知识以做好衔接；3、利用课件介绍分数指数幂的概念，字母动感闪耀强化位置关系；4、加大学生动手计算的练习，巩固知识；5、小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能。

【课时安排】2课时。

(90分钟)【教学过程】一、根式1、在初中时，我们已经把指数幂推广到了零指数和负整数指数幂，大家来回忆一下： a 0= (a ≠0),a -n= (a ≠0,n ∈N) 并且满足如下运算法则：(1) ),,0(Z n Z m a a a a n m n m ∈∈≠=⋅+ (2) ()()Z n Z m a a a mn nm ∈∈≠=,,0(3) ()()Z n b a b a ab n n n∈≠≠=,0,0例如：（师生共同完成）（1） 10001.011.011.022===- （2） a 3a -2=a 3-2=a （3）（2a -2）-3=2-3a（-2）（-3）=681a2．我们学习了n 次根式，知道当n a 有意义时，有下列性质：（1）a a nn =)(（2）⎩⎨⎧=)(|,|)(,为偶数；为奇数n a n a a n n利用这个运算性质，引导学生得出下列各式： （1）362=332)2(=22=362， （2）5103=552)3(=32=5103，（3）32a =3332)(a =32a由此，可得出式子：362=362，5103=5103，32a =32a 。

课时跟踪检测(二十二) 有理数指数幂[A 级 根底稳固]1．假设4a －2＋(a －4)0有意义，那么a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2，4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)解析：选B 由题意可知，a －2≥0且a －4≠0，∴a 的取值范围是a ≥2且a ≠4，应选B.2．化简4m 6(m <0)的结果为( )A ．m mB ．m －mC ．－m mD ．－m －m解析：选D ∵m <0，∴4m 6＝－m 3＝－m －m .应选D.3．假设(1－2x )－34有意义，那么x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：选D ∵(1－2x )－34＝14〔1－2x 〕3，∴1－2x >0，得x <12. 4．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( )A ．－32b 2 B ．32b 2 C ．－32b 73 D ．32b 73 解析：选A 原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2. 5．(多项选择)以下各式中一定成立的有( )A.⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7m 17B.12〔－3〕4＝33 C.4x 3＋y 4＝(x ＋y )34 D.39＝33解析：选BDA 中应为⎝⎛⎭⎫n m 7＝n 7m －7；12〔－3〕4＝1234＝33，B 正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 正确．应选B 、D.6．有以下说法： ①3－125＝5；②16的4次方根是±2； ③481＝±3；④〔x ＋y 〕2＝|x ＋y |.其中，正确的有________．(填序号)解析：n 为奇数时，负数的n 次方根是一个负数，3－125＝－5，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；481＝3，故③错误；〔x ＋y 〕2是正数，故〔x ＋y 〕2＝|x ＋y |，故④正确．答案：②④7．假设〔2a －1〕2＝3〔1－2a 〕3，那么实数a 的取值范围为________． 解析：〔2a －1〕2＝|2a －1|，3〔1－2a 〕3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 8．a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是________． 解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76. 答案：a 769．求以下各式的值：(1) 3＋22＋3－22；(2) 5＋26－ 6－42＋ 7－4 3.解：(1)法一：原式＝〔2〕2＋22＋1＋〔2〕2－22＋1＝〔2＋1〕2＋〔2－1〕2＝2＋1＋2－1＝2 2. 法二：令x ＝3＋22＋ 3－22，两边平方得x 2＝6＋29－8x >0，所以x ＝2 2. (2)原式＝〔3＋2〕2－ 〔2－2〕2＋〔2－3〕2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2. 10．计算：(1)⎝⎛⎭⎫－127－13＋－12－10(5－2)－1＋π0； (2)823－⎝⎛⎭⎫12－2＋⎝⎛⎭⎫1681－34－(2－1)0. 解：(1)⎝⎛⎭⎫－127－13－12－10(5－2)－1＋π0＝－3＋105－105－20＋1＝－22.(2)根据分数指数幂的定义，得823＝(23)23＝22＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝22＝4，⎝⎛⎭⎫1681－34＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278.从而原式＝4－4＋278－1＝198. [B 级 综合运用]11．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝________． 解析：a ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b a 17n －3＝3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫384317n －3 ＝3[(128)17]n －3＝3×2n －3.答案：3×2n －3 12．化简以下各式： (1)3xy 26x 5·4y 3(x >0，y >0)；(2)(x 23·y 14·z －1)·(x －1·y34·z 3)－13 (x >0，y >0，z >0)． 解：(1)原式＝x 13y 23x 56y 34＝x 13－56y 23－34＝x －12y －112.(2)原式＝(x 23y 14z －1)·(x 13y －14z －1)＝x 23＋13·y 14－14·z －1－1＝xz －2.。