有理数指数幂的运算性质 高中数学必修一 总复习课件

( )




1 −3
3
(3)
=
=

=
(4)


2
125 −3
64
(4)
(2)

−


−

=
−



=
−


=
=
−

−
=


( )
=


=


巩固练习
例三、用分数指数幂表示下列格式（a>0)
a2
3
(1)a ∙ a
4
a∙ 3 a
∙ a3




n
a<0
−8 = −2 ； 3 = −3 =
3
−3
新课讲授
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中
正的n次方根叫作算数根，记作 。
n
当a>0时，如x = a，则 = ± ; x 2 = 3

x=± 3

再规定 = 负数没有偶次方根。

n ∈ N, n ≥ 2 叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数。


(3)
3



−

−
= =






= −

3
课堂小结
[1]若一个实数x的n次方 n ∈ N, n ≥ 2 等于a，即 = ，则称x是a的n次方根。
(1)当n是奇数的时，数a的n次方根记作 .
(2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中正的n次方

4.1
指数

1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,
课标定位
素养阐释
且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质.
2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的
互化.
3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性
质.
4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运
算素养.
自主预习·新知导学
式.

【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.

解析:(1) (-) =-2;
(2)因为
(-)( -)
=

(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
- ≤ ,

(-) =3.
4.根式的性质

根据 n 次方根的意义,可得( )n=a.

(1)当 n 为奇数时, = a ;
,
≥
,

(2)当 n 为偶数时, =|a|=
-, < .
5.下列说法正确的有

① -=3;

③ =±3;
.(只填序号)
②64 的 6 次方根是±2;
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质
成立的条件.


正解: ( + ) +

(- )=1+ +|1- |=1+ + -1=2 .

(D)a∈R且a≠2
∴a-2≥0,即a≥2.
2.化简 25 的结果是( (A)5 (B)15
3 2 3 2 2
3 2
) (C)25 (D)125
【解析】选D. 25 =(5 ) =53 =125.
【解析】
4.化简 [(- 2)2 ] =______. 【解析】[(- 2) ] =2 = 2 .
的近似值 9.518 269 694
5
2
2 的不足近似值
1.4
9.672 9.735 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738 9.738
669 171 305 461 508 516 517 517 …
973 039 174 907 928 765 705 736
1.41 1.414 1.414 2 1.414 21 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562 …
a a a
(a 0, m, n Z);
（2）
(am )n amn (a 0, m, n Z);
（3）
（ab)m ambm (a 0, m, n Ζ)
2.根式的运算性质
如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
n
a n a (n为奇数）
n
如果n为偶数，
an 表示an的正的n次方根，所以当 a 0
1.结合具体例子体会分数指数幂的过程，体会引入数学概念的过程； 2.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数 指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂； 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
复习回 顾
1.正数指数幂的运算性质： m n m n （1）

(1)利用分数指数幂求值时，要注意数的特征，在化简之前，
应先把小数化成分数，假分数化成带分数. (2)利用分数指数幂求值时，要正确运用分数指数幂的运算法
则，带根式的进行运算时，要化成指数幂，再利用运算性质进
行运算. (3)条件求值一般要结合条件先化简再求值，另外要特别注意 条件的应用，如隐含条件，整体代入等.
m n m n
(3)角度三：运算性质 分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一 样.记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，
幂相乘.
2.关于指数运算性质的几点说明 (1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广.
(2)运算性质的形式要掌握，它是化简的基础.
(3)运算性质可以逆用.如amn=(am)n=(an)m. (4)要会用文字语言来叙述运算性质.
2
2
______ .
3 3
a0 1 ；
24 16.
答案：(1)1
(2)16
1.“三角度”理解分数指数幂 (1)角度一：与根式的关系
分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互
转化. (2)角度二：底数的取值范围 由分数指数幂的定义知a≤0，a 可能会有意义.当 a 有意义时 可借助定义将底数化为正数，再进行运算.
根式与分数指数幂的互化
【技法点拨】
根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母，
化为 被开方数(式)的指数 分数指数的分子. 化为
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然
后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【典例训练】 1.用根式表示下列各式(式中a均为正数)： (1)
a

根式运算是一件比较复杂的事，例如，常常要先把根式化为同次根式再按运
算法则进行运算，而引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算.



当 > 0，, ∈ 且 ≥ 2时，规定 = ，
这样就有
24
4
2
= 2 = 4， 6
1
33
=3
3
−6
=3
1
2
−
=
1
3
=
1

=

−
.
3
，方便多了.
1
−2
= 5，求下列各式的值：
(1) + −1 ；(2)2 + −2 ；(2)
1
2
解：将 +
1
−2
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
.
= 5两边同时平方，得： + −1 + 2 = 5.
(1) + −1 = 5 − 2 = 3；
(2)将 + −1 两边同时平方，得：2 + −2 + 2 = 9.∴2 + −2 = 7.
∙ = + ，( ) = ，() = .
下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂.
新知探索——根式
若一个(实)数的次方( ∈ ， ≥ 2)等于，即 = ，则称是的次
方根.
当是奇数时，数的次方根记作 .
当 > 0时， > 0；当 = 0时， = 0；当 < 0时， < 0.
1
−2
1 −3
125 −2
；(3)( ) ；(4)( ) 3 .

1
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,



则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1

(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,


算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个

1．用分数指数幂表示下列各式： (1) a4a(a>0)； (2) m＋n5(m＋n>0)；
(3)
3 x
x(x≥0)；
(4) ab3 ab5(a≥0，b≥0)．
解：(1) a4a＝a4·a－12
7
＝a2
.
5
(2) m＋n5＝(m＋n) 2 .
11
11
31
1
(3)原式＝(x·x2 )3 ＝(x1＋2 )3 ＝(x2 )3 ＝x2 .
第二章 基本初等函数 第2课时 指数幂及运算
• 1．理解分数指数幂的含义．(难点) • 2．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点) • 3．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)
1．分数指数幂的意义
m
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a n
＝_n__a_m_ (a＞0，
m、n∈N*，且 n＞1)．
只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数
幂与根式可以相互转化．
(2) 通 常 规 定 分 数 指 数 幂 的 底 数 a ＞ 0 ， 但 要 注 意 在 像
(－a)
1 4
＝4
－a中的 a，则需要 a≤0.
2．有理指数幂的运算性质的理解与巧记
(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推
它的实质又是什么呢？
3
提示：22
显然不能认为是32个 2 相乘，它的实质是根式
23的
又一种表示形式．
3
(2)(－2)2 ＝ －23正确吗？
提示：不正确．
4
1
(3)a8 ＝a2 成立吗？
4
1
4
提示：不一定．当 a≥0 时，a8 ＝a2 成立；当 a<0 时，a8 有

例 2 求值：
（1）16
3 4
；（2）
25
1 2
；（3）
1 3
3
；（4） 125 64
3 2
解： 3
（1）164
3
24 4
43
24
23
8；
1
（2） 25 2
1
52 2
21
52
51 1 5
（3） 1 3 3
3 1 3 33 27
2
（4） 125 3 64
2
53 3
43
32 1
53
32
43
52 1 16
4.1.1 有理数指数幂
湘教版（2019）必修第一册
学习目标
1.了解根式及其性质. 2.了解分数指数幂的意义 3.能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算.
学习重点
根式的概念, 分式指数冥的概念及运算法则
学习难点
根式概念和分式指数幂的理解，根式与分式指数幂的互化， 根式、分数指数幂及其运算法则的综合应用.
解析：对于
A，原式
1
(3a)3 3
0.3a1
3a 10 3
a
10a2
(a
0) ，故
A
正确；
1 2 1 2 1 1 1 1
对于
B，原式
a3
1
b3
1
a3
b3
1
a3
1
b3
1
a3
1
b3
(a, b
0)
，故
B
正确；
a3 b3
a3 b3
对于 C，原式
1
1
1
(2 2 3)2 (3 2 2)2 2 [(2 2 3)2 ]2 (3 2 2)2 2 (2 2 3)(3 2 2) 1 ，故 C

含有负指数.
3. 运算策略：化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为
分数运算，同Leabharlann 还要注意运算顺序.典例精讲：题型二：有理指数幂运算求值
[例2]计算：
[思路分析]
典例精讲：题型二：有理指数幂运算求值
[例2]计算：
[解析]
典例精讲：题型二：有理指数幂运算求值
[例2]计算：
典例精讲：题型二：有理指数幂运算求值
[例2]计算：
典例精讲：题型三：条件求值问题
[解析]
典例精讲：题型三：条件求值问题
题后反思
方法总结：对于条件求值问题，往往根据式子结构，利用“整体思
想”求解.在解题过程中要注意以下技巧： 平方差公式
立方和、 立方差 公式
课堂练习
答案：
D
[解析]
课堂练习
3．下列各式中正确的是( )
答案：
D
归纳小结
合作探究 探究点2 无理指数幂
51.4
51.41 51.414 51.41425
2
51.4143 51.415 51.42 51.5
结论：一般来说，无理数指数幂ap(a>0，p是一个无理数)是一个确
定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
典例精讲：题型一：根式与分数指数幂相互转化
11.18033989
9.829635328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.738517752
1.5 1.42 14.15 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563 …

把指数的取值范 围从整数推广到有理 数，我们学习了分数 指数幂。
如果指数是无理 数时，会有什么结论 呢?
观察下面的表，你能发现 5 的2 大小是如何确定的吗？
2 的过剩近似值 5 2 的近似值
5 2 的近似值 2 的不足近似值
1.5 1.42
11.18033989 9.518269694 1.4 9.829635328 9.672669973 1.41
当n是偶数时，n an
| a |
a，a 0 a，a<0
复习回顾
6、分数指数幂： (1)规定正分数指数幂的意义是
m
a n n am (a 0，m, n N *，n 1)
(2)规定负分数指数幂的意义是
m
a n
1
(a 0，m, n N *，n 1)
n am
(3)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义.
(4) (ab)r __a_r__b__r_ 乘积的幂，等于幂的乘积
(5) ( a )r __a_r_____(其中b 0) 商的幂，等于幂的商
b
br
(6) ar 1 ar
辨识训练
练1、下列说法正确的有 ___(_2___)_(3)(4)
(1) 81 的4次方根是3； (2)4 81 3；
9.735171039 1.414
9.735305174 1.4142 9.738461907 1.41421 9.738508928 1.414213 9.738516765 1.4142135
9.738517705 1.41421356 9.738517736 1.414213562
……
……
5 2 就是一串有理数指数幂和另一串有理 数指数幂按照规律变化的结果。这个过程可以

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3
归纳探索
由此我们可得到
当n为奇数时，n an a； 当n为偶数时，n an a
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3
归纳探索
问题4：( n a )n又能化简成什么呢？一直成立吗？
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3
归纳探索
3.分数指数幂
问题5：am 表示什么含义（当 m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数
的运算都有哪些运算性质？
被开方数的指数
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成 a 根指数 的
形式。
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3
归纳探索
问题7：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，即 3 a2 , 4 a5 , a 如何表示？
2
5
1
3 a2 a3 , 4 a5 a4 , a a2
m
结论：规定 a n n a m (a 0, m, n N * , n 1)
其中正的n次方根叫作算术根，记作n a。 当a 0时, a的n次方根不存在。
（3）0的n次方根为0，记作：n 0 0.
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3
归纳探索
2.根式
式子n a叫作根式(n N , n 2)，n叫作根指数，a叫作被开方数．
一般地 ， n an a
返 回 目 录
3
归纳探索
问题3： 注意n an中n与a的取值，n an a是否一直成立？ 你能举出那些例子？
解：
（1）a
3
a
a
1
a3
1 1
a 3
4
a3
（2）a2
4 a3
a2
3
a4
2 3
a 4
11

根式与分数指数幂的互化
[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 ( )
1
A．－ x＝(－x) 2 (x>0)
6 B.
1
y2＝y 3
(y<0)
C．x
-
3 4
＝
4
1x3(x>0)
D．x
-
1 3
＝－3
x(x≠0)
(2)用分数指数幂的形式表示下列各式：
①a2· a(a>0)；
② a a(a>0)；
3 4
＝(5
2 3
)
3 4
＝5
1 2
＝
5.
答案：B
解析：原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a
1 3
b
-3 4
)·(a3·b－2)÷(a
2 3
b
-1 4
)＝
2 3
a
1 3
+
3-
2 3
·b
-
3 4
-2-(-
1 4
)
＝23a
8 3
b
-
2 5
，注意符号不能弄错．
答案：A
5．计算(或化简)下列各式：
4.含附加条件的幂的求值问题
1
1
[典例] (12 分)已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x<y，求：(1)x 2 ＋yx－y.
[解题流程]
[随堂即时演练]
1．化简3
－52
3 4
的结果为
A．5
B. 5
C．－ 5
D．－5
()
解析：3
－52
3 4
＝3
52
④
y2 x

2
平方根
若x2=a， 则 x 叫做 a 的平方根（a≥0 )
立方根
若x3=a， 则 x 叫做
a 的立方根.
平方根
－9 无
－4 无
0
0
4 ±2
9 ±3
立方根
－8 －2 ( 2)3 8
－1 －1 ( 1)3 1
0
0 03 0
8
2 23 8
27 3 33 27
思考：①已知(±2)4=16，如何描述±2与16的关系？ ②已知(－2)5= －32，如何描述－2与－32的关系？
一、n次方根、根式的概念
若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*
(1)25的平方根是___±__5__; (2)27的三次方根是___3__; (3)-32的五次方根是_-__2_; (4)16的四次方根是_±___2_; (5)a6的三次方根是___a_2_; (6)0的七次方根是___0___.
0的负分数指数幂无意义.
（3）运算性质仍然适用
例题分析
例3 .根式与分数指数幂的互化
1
3
a 2 a a 4 4 a3
4
5
3 a4 a 3 6 a5 a 6
21 a 3 3 a2
3
a3 a 2
a3 a ?
课堂小结
1、两个定义: n次方根，根式
2、两个公式： ① ② 当n为奇数时,
当n为偶数时,
3、根式和分数指数幂的互化
a, a 0
例题分析
例3. 求下列各式的值
(1) 3 ( 8)3
(2)
(38
(2) ( 10)2 | 10 | 10
( 10)2 (a b)2
(3) 4 (3 )4 | 3 | 3

(1)n为奇数时，a的n次方根用符号n a 表示
正数的n次方根为一个正数 负数的n次方根为一个负数
如：
3
8 2,
3
8 2
(2)n为偶数时，
正数a的n次方根有两个，正的n次方根用 n a 表示， n 负的n次方根用 a表示， 负数没有偶次方根 规定：零的任何次方根都是0.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
指数与指数幂运算
骨干教师：代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
知识要点：
1:根式的概念: n n次方根：一般地，若 x (其中n ＞1，且n∈Ｎ*) a的n次方根用符号
a ,则x叫做a的n次方根，
n
a
表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
r
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
典型例题：
例1：化简： （1 ）
3 2 2 3 2 2
(1 2) 2 (1 2) 2
(1 2) ( 2 1) 2
（2）a
a
a a 1
3 2 1 a2
(((a 2 ) a) )
(a ) a
1 a
变式：
2 x a , b 已知 是方程 6 x 4 0的两个根，且 a b 0
求：
a b a b
的值。
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
(3) a a a a

运算方法
计算方法
有理数指数幂的计算方法包括直接计算、利用运算性质化简和利用对数进行计 算等。
注意事项
在计算有理数指数幂时，需要注意运算顺序和运算性质的正确应用，以及处理 负指数和分数指数的方法。
01
有理数指数幂的运 算性质
运算性质
幂的乘法性质
$a^{m^n} = a^{m times n}$
幂的乘方性质
运算方法
有理数指数幂可以通过乘方、开方、分数的指数幂等运算 方法进行计算，掌握这些方法对于解决实际问题非常重要 。
应用
有理数指数幂在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应 用，如计算复利、求解微分方程、计算物理量等。
回顾学习目标
掌握有理数指数幂的定义、性质和运 算方法。
能够运用有理数指数幂的性质进行计 算和推理。
有理数指数幂ppt课 件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 引言 • 有理数指数幂的定义 • 有理数指数幂的运算性质 • 有理数指数幂的运算方法 • 有理数指数幂的应用 • 总结与回顾
01
引言
主题介绍
有理数指数幂
有理数指数幂是数学中的一个重 要概念，它涉及到数的乘方运算 和根式运算。
$(a^m)^n = a^{m times n}$
幂的除法性质
$a^{m/n} = sqrt[n]{a^m}$
幂的指数为负数的性质
$a^{-m} = frac{1}{a^m}$
运算方法
直接计算法
适用于底数和指数都比 较简单的情况，直接套 用运算性质进行计算。
公式法
利用幂的运算性质，将 复杂的运算化简为简单

数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，
则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表
示．
跟踪训练3
3 −2
0
(1)计算：(－1.8) ＋( ) ·
3
2
3 2
1
(3 ) －
＋
8
0.01
93 ；
式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
特别提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂
写出．
跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
1
2
B． 2 ＝ (y＜0)
A．－ ＝(−) (x＞0)
3 4
−
4＝
C．

1
3
6
1 3
( ) (x＞0)

1
−3
D． ＝－ 3 (x≠0)
3 )÷ ( 6 6 )；
②( ) ；
3
4
2
3
③( － )÷ 2 .
3
(2)求值：
1
3 0
1
−
①(2 ) ＋2－2×(2 ) 2 －0.010.5；
5
4
1
4
7 0
−
−
②0.064 3 －(− ) ＋[(−2)3 ] 3 ＋16－0.75＋
8
−0.01
1
2
1
4 1
1 1
1
1
16
1
2
2
4
2．已知m＜ ，则化简
3
(3 − 2)2 的结果为(
A． 3 − 2 B．－ 3 − 2