理解分数指数幂的概念掌握有理数指数幂的运算性质掌握指

分数指数幂【学习目标】1. 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.2. 会用计算器计算分数指数幂. 【要点梳理】要点一、分数指数幂把指数的取值扩大到分数，我们规定()0m na a =≥，()0m naa -=>，其中m n 、为正整数，1n >. 上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 要点诠释：（1）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数.（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.要点二、有理数指数幂的运算性质设00a b p q >>，，、为有理数，那么 （1）pqp qp q p q a a a a a a +-=÷=，.（2）()qp pq aa =.（3）()pp pp p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.【典型例题】类型一、分数指数幂的运算1、 把下列方根化为幂的形式：（1 （2； （3（4【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题. 【答案与解析】解：（1135=；（2343 =；（3128-=；（41155122-⎛⎫==⎪⎝⎭.()0mna a=≥，其中m n、为正整数，1n>.举一反三：【变式】(2015.三台期末)a>，m n、为正整数，n＞1）用分数指数幂可表示为（）A.nma B.mna C.nma- D.mna-【答案】D；mna=，mna-=.2、口算：（1）1216；（2）1327；（3）12144；（4）14256.【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值.【答案与解析】解：（1）12164==；（2）13273==；（3）1214412==；（4）142564==.【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分数指数幂的值是一个正数.举一反三：【变式】口算：（1）1481-；（2）14116⎛⎫⎪⎝⎭；（3）1236.【答案】 解：（1）141813-==；（2）1411162⎛⎫==⎪⎝⎭；（3）12366==.3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数：（1）135；（2）3457⎛⎫⎪⎝⎭；（3）2310.【答案与解析】解：（1）135 1.710≈；（2）3450.7777⎛⎫≈⎪⎝⎭； （3）2310 4.642≈.【总结升华】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系.4、 计算： （1） ()13827⨯；（2）4112235⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）3422335⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（4）6113223⎛⎫÷ ⎪⎝⎭ 【答案与解析】解：（1） ()()1113333338272366⨯⨯=⨯==；（2） 41122223535925225⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（3）3422233353591251125⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（4）61111662333224 23232327⨯⨯⎛⎫÷=÷=÷=⎪⎝⎭.【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题.。

§2.7 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理 1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂：m n a－＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈Q )． 4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4(－4)4＝－4.( × )(2)2a ·2b ＝2ab .( × )(3)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x－1的值域是(0，＋∞)．( × ) (4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) 教材改编题1．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x＋b都是指数函数，则a ＋b 等于( )A ．不确定B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1， 由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.2．计算：()(222327130π－－＋－－________.答案 1 解析 原式＝2333⎛⎪⨯⎫⎝⎭－＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.3．若指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________.答案 2或12解析 若a >1，则f (x )max ＝f (1)＝a ＝2；若0<a <1，则f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝2，得a ＝12.题型一 指数幂的运算 例1 计算： (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93； (2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅(a >0，b >0)．解 (1)(－1.8)0＋⎝⎛⎭⎫32－2·3⎝⎛⎭⎫3382－10.01＋93 ＝1＋2233222710938⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫322－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19.(2)()3112123324140.1aba b----⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⋅＝331322223322240.1a b a b--⋅⨯⨯＝2×1100×8＝425.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1 计算： (1)933713332÷·aa a a -- ；(2)()13633470.001+16+238-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭.解 (1)因为a －3有意义，所以a >0，所以原式＝7139333322a a a a --⋅÷⋅＝3a 3÷a 2＝a ÷a ＝1.(2)原式＝()()61113343234101+2+23-⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭－＝10－1＋8＋23·32＝89. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)(多选)已知非零实数a ，b 满足3a ＝2b ，则下列不等关系中正确的是( ) A ．a <bB ．若a <0，则b <a <0C ．|a |<|b |D ．若0<a <log 32，则a b <b a 答案 BCD 解析 如图，由指数函数的图象可知，0<a <b 或者b <a <0，所以A 错误，B ，C 正确； D 选项中，0<a <log 32⇒0<a <b <1，则有a b <a a <b a ，所以D 正确．(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案BD解析由函数f(x)＝a x－b的图象可知，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，故B正确；分析可知，函数f(x)＝a x－b的图象是由y＝a x的图象向左平移所得，如图，∴－b>0，∴b<0，故D正确．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式大小例3设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则()A ．b <c <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c答案 D解析 b ＝2－0.4<20＝1，c ＝90.4＝30.8>30.7＝a >30＝1， 所以b <a <c .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 (2023·青岛模拟)已知y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]，则x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0) C ．(0,1)∪[2,4] D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 ∵y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x －3·2x ＋3≤7. ∴－1≤2x ≤1或2≤2x ≤4. ∴x ≤0或1≤x ≤2.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝8x ＋a ·2x a ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )，且f (x )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2], 都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝1a ×2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，所以1a ×12x ＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1a ×2x ＋12x ， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ＝0， 即1a ＋1＝0，解得a ＝－1. (2)因为f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥m ⎝⎛⎭⎫12x －2x ，所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案 AC解析 对于A 中，由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，函数f (x )的图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 错误；对于C 中，设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋yy －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1,1)，所以C 正确；对于D 中，对∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，可得函数f (x )为减函数，而f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．(2)已知函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋，若f (x )有最大值3，则a 的值为________．答案 1解析 令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )， ∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，则⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1.课时精练1．若m ＝5(π－3)5，n ＝4(π－4)4，则m ＋n 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．1 D ．7 答案 C解析 m ＋n ＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1.2．已知指数函数f (x )＝(2a 2－5a ＋3)a x 在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析 由题意得2a 2－5a ＋3＝1，∴2a 2－5a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝12.当a ＝2时，f (x )＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a ＝12时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． ∴a ＝2.3．函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 当a >1时，0<1a <1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a个单位长度可得，故A ，B 错误；当0<a <1时，1a >1，函数y ＝a x 的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度可得，故D 正确，C 错误．4．已知1122x x－＋＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27 答案 B 解析 因为1122x x－＋＝5，所以21122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝52，即x ＋x －1＋2＝25，所以x ＋x －1＝23，所以x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝23.5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．2a ＋2b >2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0 答案 CD解析 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错，C 对． 由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错，D 对．6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a >1，函数y ＝(a －1)x －1＋1的图象必过定点A (m ，n )，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x 的定义域为[0,2]，g (x )＝f (2x )＋f (x )，则g (x )的值域为( ) A ．(0,6] B ．(0,20] C ．[2,6] D ．[2,20]答案 C解析 令x －1＝0得x ＝1，y ＝2，即函数图象必过定点(1,2)， 所以m ＝1，n ＝2，f (x )＝⎝⎛⎭⎫n m x＝2x，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤2x ≤2，解得x ∈[0,1]，g (x )＝f (2x )＋f (x )＝22x ＋2x ，令t ＝2x ， 则y ＝t 2＋t ，t ∈[1,2]， 所以g (x )的值域为[2,6]． 7．计算化简： (1)()1123232770.02721259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝________；(2)2312a ---⎛÷＝________.答案 (1)0.09 (2)1566a b -解析 (1)112323277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.232a --÷＝2211333212113332a bb a a ba b ---⨯＝2112112132332333·ab＋－－－－－＝1566.a b －8．已知函数f (x )＝3x ＋1－4x －5，则不等式f (x )<0的解集是________． 答案 (－1,1)解析 因为函数f (x )＝3x ＋1－4x －5， 所以不等式f (x )<0即为3x ＋1<4x ＋5，在同一平面直角坐标系中作出y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象，如图所示，因为y ＝3x ＋1，y ＝4x ＋5的图象都经过A (1,9)，B (－1,1)，所以f (x )<0，即y ＝3x ＋1的图象在y ＝4x ＋5图象的下方，所以由图象知，不等式f (x )<0的解集是(－1,1)．9．已知定义域为R 的函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a >0，且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)<0，判断函数f (x )的单调性，若f (m 2－2)＋f (m )>0，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，∴k ＝2，经检验k ＝2符合题意，∴k ＝2.(2)f (x )＝a x －a －x (a >0，且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1， ∴0<a <1，从而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故由单调性的性质可判断f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减，不等式f (m 2－2)＋f (m )>0可化为f (m 2－2)>f (－m )，∴m 2－2<－m ，即m 2＋m －2<0，解得－2<m <1，∴实数m 的取值范围是(－2,1)．10．(2023·武汉模拟)函数f (x )＝a 2x ＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a 的值．解 由f (x )＝a 2x ＋a x ＋1，令a x ＝t ，则t >0，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 其对称轴为t ＝－12. 该二次函数在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增． ①若a >1，由x ∈[－1,1]，得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋a ＋1＝13，解得a ＝3或a ＝－4(舍去)．②若0<a <1，由x ∈[－1,1]，可得t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a ＋1＝13.解得a ＝13或a ＝－14(舍去)． 综上可得，a ＝3或13.11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0,2)答案 ABD解析 ∵函数f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |＋b 的图象过原点， ∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，f (x )＝a ·⎝⎛⎭⎫12|x |－a ，且f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2，故A 正确； 由于f (x )为偶函数，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于在(－∞，0)上，f (x )＝2－2·2x 单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；∵⎝⎛⎭⎫12|x |∈(0,1]，∴f (x )＝－2·⎝⎛⎭⎫12|x |＋2∈[0,2)，故D 正确． 12．(2022·长沙模拟)若e x －e y ＝e ，x ，y ∈R ，则2x －y 的最小值为________．答案 1＋2ln 2解析 依题意，e x ＝e y ＋e ，e y >0，则e 2x －y ＝e 2x e y ＝(e y ＋e )2e y ＝e y ＋e 2e y ＋2e ≥2e y·e 2e y ＋2e ＝4e ， 当且仅当e y＝e 2e y ，即y ＝1时取“＝”， 此时，(2x －y )min ＝1＋2ln 2，所以当x ＝1＋ln 2，y ＝1时，2x －y 取最小值1＋2ln 2.13．(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系为( )A ．f (c x )≥f (b x )B ．f (c x )≤f (b x )C ．f (c x )>f (b x )D ．f (c x )＝f (b x )答案 A解析 根据题意，函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，则有b 2＝1，即b ＝2， 又由f (0)＝3，得c ＝3，所以b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x <0，则有c x <b x <1，而f (x )在(－∞，1)上单调递减，此时有f (b x )<f (c x )，若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f (b x )＝f (c x )，若x >0，则有1<b x <c x ，而f (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时有f (b x )<f (c x )，综上可得f (b x )≤f (c x )．14．(2023·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－23，0 解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝－03x －m ＋1，∴2m ＝－03x -－03x ＋2，构造函数y ＝－03x -－03x＋2， x 0∈[－1,1]， 令t ＝03x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增， 在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时， 函数取得最小值－43，∴y ∈⎣⎡⎦⎤－43，0， 又∵m ≠0，∴－43≤2m <0， ∴－23≤m <0.。

思源个性化学习讲义【知识精要】1．分数指数幂的意义： 一般地,我们规定 n m nm a a = ()1,0>≥n n m a 为正整数，、 ,这就是正数a 的正分数指数幂的意义. 规定nm n maa-=1()1,0>>n n m a 为正整数，、其中的nm nm a a -、叫做分数指数幂，a 是底数整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.注：（1）0的正分数指数幂为0, 0的负分数指数幂无意义. （2）若无特殊说明，底数中的字母均为正数。

2. 当a >0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r ,s ,均有下面的运算性质：设q p b a 、,0,0>>为有理数（1）q p q p qp q p a a a a a a -+=÷=⋅，（2）()pq qpa a =（3）()p p pp p pb a b a b a ab =⎪⎭⎫ ⎝⎛=，【热身练习】1. 把下列方根化为分数指数幂的形式（1）310 （2）32101（3）3100 （4）41002. 求值(1)21169 (2)3264 (3) 239- (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-43256（ ）A.3B.3-C.3±D.81 4．当a _________时，式子23a 有意义 5. 若0>a ，则43a 和53-a 用根式形式表示分别为 和6.56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和【精解名题】 1. （1）23425-⎪⎭⎫⎝⎛= ；（2） 63125.132⨯⨯= ________2. 计算：631010⨯=__________________3.3151写成幂的形式______________4.化为分数指数幂的形式为 ___________________5. 583221)22(--化为分数指数幂得 _________________________6.式子 （ ）7. 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。

2. 1.1第二课时分数指数幂教案【教学目标】1. 通过与初中所学知识进行类比, 理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.2. 掌握分数指数幂和根式的互化, 掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力3. 能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值, 培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 【教学重难点】 教学重点：（1）分数指数幂概念的理解.（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.教学难点：（1）分数指数幂概念的理解（2）有理数指数幂性质的灵活应用.【教学过程】1、导入新课同学们, 我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质, 那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容, 教师板书本节课题—分数指数幂2、新知探究 提出问题（1） 整数指数幂的运算性质是什么？（2） 观察以下式子, 并总结出规律：0a >①1051025525()aa a a ===；②884242()a a a a ===；③1212344434()aa a a ===；④1010522252()a a a a ===.（3） 利用（2）的规律, 你能表示下列式子吗？435,57a ,nm x *(0,,,x m n N >∈且n>1)(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质, 仔细观察, 特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系, 教师引导学生体会方根的意义, 用方根的意义加以解释, 指点启发学生类比（2）的规律表示, 借鉴（2）（3）, 我们把具体推广到一般, 对写正确的同学及时表扬, 其他同学鼓励提示.讨论结果：形式变了, 本质没变, 方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义, 教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是*(0,,,1)n n m maa a m n N n =>∈>.提出问题（1） 负整数指数幂的意义是怎么规定的？ （2） 你能得出负分数指数幂的意义吗？（3） 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？ （4） 综合上述, 如何规定分数指数幂的意义？（5） 分数指数幂的意义中, 为什么规定0a >, 去掉这个规定会产生什么样的后果？（6） 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数, 那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回顾初中学习的情形, 结合自己的学习体会回答, 根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比, 把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来, 与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质, 教师在黑板上板书, 学生合作交流, 以具体的实例说明0a >的必要性, 教师及时作出评价.讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质： ①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、应用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--点评：本题主要考察幂值运算, 要按规定来解.要转化为指数运算而不是转化为根式. 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.33223;;(0)a a a a a a a ••>点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时, 其顺序是先把根式化为分数指数幂, 再由幂的运算性质来运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.变式训练求值：（1）363333； （2346627()125m n4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a a a a a a a a-----++-点评:：对“条件求值”问题, 一定要弄清已知与未知的联系, 然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值5、课堂小结（1） 分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是*(0,,,1)n n m ma a a m n N n =>∈>, 正数的负分数指数幂的意义是*11(0,,,1),n mn nmmaa m n N n a a-==>∈>零的正分数次幂等于零, 零的负分数指数幂没有意义.（2） 规定了分数指数幂的意义后, 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. （3） 有理数指数幂的运算性质： ①(0,,)rsr sa aa a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r ra b a b a b r Q •=>>∈ 【板书设计】 一、分数指数幂 二、例题 例1 变式1 例2 变式2【作业布置】课本习题2.1A 组 2、4.2.1.1-2分数指数幂课前预习学案一． 预习目标1. 通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念2. 能简单理解分数指数幂的性质及运算 二． 预习内容１．正整数指数幂：一个非零实数的零次幂的意义是： ． 负整数指数幂的意义是： ．２．分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是： ． 正数的负分数指数幂的意义是： ． ０的正分数指数幂的意义是： ．０的负分数指数幂的意义是： ． ３．有理指数幂的运算性质：如果ａ＞０, ｂ＞０, ｒ, ｓ∈Ｑ, 那么rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ．４．根式的运算, 可以先把根式化成分数指数幂, 然后利用的运算性质进行运算．三． 提出疑惑通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上课内探究学案一． 学习目标1. 理解分数指数幂的概念2. 掌握有理数指数幂的运算性质, 并能初步运用性质进行化简或求值 学习重点：（1）分数指数幂概念的理解.（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.学习难点：（1）分数指数幂概念的理解（2）有理数指数幂性质的灵活应用.二． 学习过程 探究一１．若0a >, 且,m n 为整数, 则下列各式中正确的是 （ ）A 、mm nna a a ÷= B 、m n m na a a =g g C 、()nm m n aa += D 、01n n a a -÷=２．c ＜0, 下列不等式中正确的是（ ）A c 2B cC 2D 2c cc cc c．≥．＞．＜．＞()()()121212３．若)2143(x --有意义, 则ｘ的取值范围是（ ）Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________． 探究二例１：化简下列各式：（1）()()()2233111a a a -+-+-；（２）)3324()3(5621121231b a baba-÷---例２：求值：（１）已知a xx =+-22（常数）求88xx -+的值；（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２, ｘｙ＝９ｘ, 且ｘ＜ｙ, 求yxy x 21212121++的值例３：已知ax212+=, 求aa aaxxx x --++33的值．三． 当堂检测１．下列各式中正确的是（ ）Ａ．1)1(0-=- Ｂ．1)1(1-=-- Ｃ．a a 22313=- Ｄ．x x x 235)()(=--2.44等于（ ） A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a３．下列互化中正确的是（ ） Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y yyＣ．)0,((4343)()≠=-y x xy yxＤ．331x x -=４．若1,0a b ><,且22bba a -+=,则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、2５．使)23(243x x ---有意义的ｘ的取值范围是（ ）Ａ．Ｒ Ｂ．1≠x 且3≠x Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１课后练习与提高 １．已知ａ＞０, ｂ＞０, 且b aab=, ｂ＝９ａ, 则ａ等于（ ）Ａ．43 Ｂ．９ Ｃ．91Ｄ．39 ２．2222=+-x x且ｘ＞１, 则x x 22--的值（ ）Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２３．=⨯⨯61125.1323 ． ４．已知N n +∈则)1](1[812)1(---n n ＝ ．５．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-n n a a x a 1121,0,求()n x x 21++的值．。