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《实数指数幂和幂函数》教学设计 4.1.1有理数指数幂一.课程标准认识有理数指数幂mna 含义，掌握指数幂的运算性质.二.教学目标1.理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算性质；2.能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化.三、教学重点：根式的概念及n 次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化.四、教学难点：n 次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 五、教学过程一、创设情境，引入课题 1. 平方根和和立方根. 2.正整数指数幂的运算性质 二、归纳探索，形成概念 1. n 次方根若一个(实)数x 的n 次方,(2)n N n ∈≥等于a ，即n x a =，就说x 是a 的n 次方根。
那么如何表示n 次方根呢？我们分n 为奇数和n 为偶数两种情况来分别讨论n 次方根的表示方法。
例如，2=2=-；33x =-时，有x =若23x =，则x =43x =，则x =（1）当n 为奇数时，a ()a R ∈的n当a ＞00；当a ＝00；当a ＜00.（2）当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，即：其中正的n 0a <时, a 的n 次方根不存在。
（3）0的n 次方根为0=0. 2.根式,(2)n N n ∈≥，n 叫作根指数，a 叫作被开方数．a =，问题3：n 与aa =是否一直成立？你能举出那些例子？7...===-7...=== 由此我们可得到1。
当na =。
2。
当na =。
问题4：那么，n 又能化简成什么呢？一直成立吗？预案：n a =，根据定义易知成立。
3.分数指数幂问题5：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。
,,(,0)(),()m n m n mm n nm n mn m m ma a a a a m n a aa a ab a b +-==>≠== 在这里,m n 均为正整数。
有理数指数幂知识点一、有理数指数幂的概念。
1. 正整数指数幂。
- 定义：对于a∈ R，n∈ N^*，a^n=⏟a× a×·s× a_n个a。
例如2^3 = 2×2×2 = 8。
2. 零指数幂。
- 规定：a^0 = 1(a≠0)。
这是因为当a≠0时，a^m÷ a^m=a^m - m=a^0，而a^m÷a^m = 1。
3. 负整数指数幂。
- 定义：a^-n=(1)/(a^n)(a≠0,n∈ N^*)。
例如2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。
4. 分数指数幂。
- 正分数指数幂：a^(m)/(n)=sqrt[n]{a^m}(a≥slant0,m,n∈ N^*,n > 1)。
例如4^(3)/(2)=√(4^3)=√(64) = 8。
- 负分数指数幂：a^-(m)/(n)=(1)/(a^frac{m){n}}=(1)/(sqrt[n]{a^m)}(a > 0,m,n∈N^*,n > 1)。
例如8^-(2)/(3)=(1)/(8^frac{2){3}}=(1)/(sqrt[3]{8^2)}=(1)/(4)。
二、有理数指数幂的运算性质。
1. 同底数幂相乘。
- a^m· a^n=a^m + n(a>0,m,n∈ Q)。
例如2^(1)/(2)×2^(1)/(3)=2^(1)/(2)+(1)/(3)=2^(3 + 2)/(6)=2^(5)/(6)。
2. 同底数幂相除。
- a^m÷ a^n=a^m - n(a>0,m,n∈ Q)。
例如3^(3)/(2)÷3^(1)/(2)=3^(3)/(2)-(1)/(2)=3^1 = 3。
3. 幂的乘方。
- (a^m)^n=a^mn(a>0,m,n∈ Q)。
例如(2^(2)/(3))^3=2^(2)/(3)×3=2^2 = 4。
数学高一知识点有理数指幂在数学高中第一年的学习中，有理数指数幂是一个重要的知识点。
有理数指数幂的概念和性质在学习数学过程中起到了至关重要的作用。
下面将就有理数、指数和幂三者分别进行阐述，并进一步探讨有理数指数幂的性质和运算规律。
1. 有理数：有理数指的是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
有理数可以用分数或小数形式表示，并且符合加法、减法、乘法和除法等运算规律。
例如，2、-5、0.25和-3/4都属于有理数。
2. 指数：指数是用来表示重复乘法的运算符号。
当指数为正整数时，表示将底数重复相乘；当指数为负整数时，表示将底数的倒数重复相乘。
指数还可以为零，此时结果为1。
例如，2³表示将2重复相乘3次，即2³=2×2×2=8；4⁻²表示将4的倒数重复相乘2次，即4⁻²=(1/4)×(1/4)=1/16。
3. 幂：幂是由底数和指数两个部分构成的数学运算。
底数表示被乘方的数，指数表示乘方的次数。
当指数为正整数时，幂表示底数连乘的结果；当指数为负整数时，幂表示底数连除的结果。
例如，2²表示将2连乘2次，即2²=2×2=4；3⁻³表示将3连除3次，即3⁻³=1/(3×3×3)=1/27。
4. 有理数指数幂的性质：- 有理数的任何正整数次幂都是正数，任何负整数次幂都是它的倒数。
- 有理数的零次幂为1，除零外的任何有理数的零次幂都等于1。
- 有理数的指数幂满足幂的运算规律，即底数相同时，指数幂相加得到幂的乘积，指数幂相减得到幂的除法，不同底数的指数幂相乘得到幂的乘积。
5. 有理数指数幂的运算规律：- 相同底数的指数幂相乘时，可以将指数相加，即aⁿ × aᵐ =aⁿ⁺ᵐ。
- 相同底数的指数幂相除时，可以将指数相减，即aⁿ ÷ aᵐ =aⁿ⁻ᵐ。
高一有理数指数幂知识点有理数是指整数、分数和小数（有限小数和无限循环小数）。
而指数幂是数学中的一个重要概念，用于表示重复乘方的运算。
在高一的数学学习中，我们需要掌握有理数指数幂的基本概念、性质以及运算规则。
下面我们来逐一介绍。
一、有理数指数的概念和性质有理数指数表示以一个有理数作为底数，另一个有理数作为指数进行运算。
例如，a^b表示a的b次幂，其中a是底数，b是指数。
指数可以是正数、负数或零。
有理数指数的性质如下：1. 任何非零有理数的指数为零的幂等于1，即a^0 = 1（其中a≠0）。
2. 任何非零有理数的指数为正整数的幂等于自身乘以自身指数减一次方，即a^m = a^(m-1) * a（其中a≠0，m为正整数）。
3. 任何非零有理数的指数为负整数的幂等于其倒数的指数为相反数的幂，即a^(-n) = 1 / a^n（其中a≠0，n为正整数）。
4. 任何非零有理数的指数为两个正整数的比的幂等于底数的分子为该指数的幂，底数的分母为该指数的根，即a^(m/n) =(a^m)^(1/n) = (n√a)^m（其中a≠0，m、n为正整数且n ≠ 0）。
二、有理数指数幂的运算规则在进行有理数指数幂的运算时，需要掌握以下基本规则：1. 同底相乘：对于相同底数的有理数指数幂，底数不变，指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 同底相除：对于相同底数的有理数指数幂，底数不变，指数相减，即a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 指数相乘：对于有理数指数幂的指数相乘，底数不变，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
4. 幂的乘方：对于幂的幂，指数相乘，即(a^m)^n = a^(m*n)。
5. 分式指数幂：对于分式指数幂，可以将指数分解成整数的形式，然后利用前面的运算规则进行计算。
需要注意的是，在进行有理数指数幂的运算时，如果底数为负数，指数为分数，需要考虑奇偶性和复数运算等特殊情况，具体应根据题目中的要求进行判断和计算。
有理数指数幂的运算有理数指数幂是数学中的一个重要概念，它涉及到数的运算、指数、幂等基本概念。
在本文中，我们将讨论有理数指数幂的基本运算法则以及一些应用。
定义：有理数指数幂是指一个有理数作为底数，一个有理数作为指数，两者运算所得的结果。
有理数指数幂的基本运算法则如下：1. 同底数幂相乘，指数相加对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相加得到新的指数，即 am × an = am+n。
2. 同底数幂相除，指数相减对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相减得到新的指数，即 am ÷ an = am-n。
3. 幂的幂，指数相乘对于同一有理数a的幂am，当将其作为指数时，指数相乘得到新的指数，即 (am)n = amn。
4. 乘方与开方互为逆运算对于有理数a，m和n为任意整数，(am)n = amn。
5. 0的指数为1，1的任何指数为1任何有理数a的0次方都等于1，即 a^0 = 1；而1的任何指数都等于1，即 1^n = 1。
有理数指数幂的运算法则在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
应用一：科学计数法科学计数法是一种用于表示过大或过小数的方法。
它由两个因子组成，一个是大于等于1且小于10的实数，另一个是10的整数次方。
科学计数法可以简化大数或小数的书写和运算，并方便进行数字间的比较。
应用二：利息计算在金融领域，利息计算通常涉及有理数指数幂的运算。
例如，计算复利时，每年的利息是本金的一定比例，当利息再次投资时，利息也会得到增加。
这种增加的过程可以用有理数指数幂来表示和计算。
应用三：导数和微分在微积分中，导数和微分等运算都涉及到有理数指数幂的计算。
导数表示了函数在某一点处的变化率，微分则是对函数进行近似线性的变换。
这些运算常常会用到有理数指数幂的法则来简化计算过程。
总结：有理数指数幂运算是数学中一个重要的概念，它应用广泛，并且有着严格的运算法则。
通过熟悉和掌握这些运算法则，我们可以更加方便地处理数学问题，以及在实际生活中应用数学知识。
4.1有理数指数幂(1)——分数指数幂【教学目标】知识目标：1、复习整数指数幂的知识；2、 了解n 次根式的概念；3、理解分数指数幂的定义。
能力目标：1、掌握根式与分数指数幂之间的转化；2、会利用计算器求根式和分数指数幂的值；3、培养学生观察、分析问题的能力；培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。
【教学重点】分数指数幂的定义及运算性质，运用有理数指数幂性质 进行化简、求值。
【教学难点】对分数指数幂概念的理解，根式和分数指数幂的互化。
【教学设计】1、通过复习二次根式而拓展到n 次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；2、复习整数指数幂知识以做好衔接；3、利用课件介绍分数指数幂的概念，字母动感闪耀强化位置关系；4、加大学生动手计算的练习，巩固知识；5、小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能。
【课时安排】2课时。
(90分钟)【教学过程】一、根式1、在初中时，我们已经把指数幂推广到了零指数和负整数指数幂，大家来回忆一下： a 0= (a ≠0),a -n= (a ≠0,n ∈N) 并且满足如下运算法则：(1) ),,0(Z n Z m a a a a n m n m ∈∈≠=⋅+ (2) ()()Z n Z m a a a mn nm ∈∈≠=,,0(3) ()()Z n b a b a ab n n n∈≠≠=,0,0例如：（师生共同完成）（1） 10001.011.011.022===- （2） a 3a -2=a 3-2=a （3）（2a -2）-3=2-3a（-2）（-3）=681a2．我们学习了n 次根式，知道当n a 有意义时，有下列性质：（1）a a nn =)(（2）⎩⎨⎧=)(|,|)(,为偶数；为奇数n a n a a n n利用这个运算性质，引导学生得出下列各式： （1）362=332)2(=22=362， （2）5103=552)3(=32=5103，（3）32a =3332)(a =32a由此，可得出式子：362=362，5103=5103，32a =32a 。
高中数学知识点：有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
()Q b a ∈>>βα,00，，
(1);a a a αβαβ+⋅=
(2)();a a αβαβ=
(3)();ab a b ααα=
当a>0，p 为无理数时，a p 是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；
(3)幂指数不能随便约分.如2
142)4()4(-≠-.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.。
有理数指数幂的运算性质一、选择题（共19小题）1、下列结论中正确的个数是（）①当a＜0时，a2＞a3；②=|a|；③函数y=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0的定义域是（2，+∞）；④若100a=5，10b=2，则2a+b=1．A、0B、1C、2D、32、下列命题中，正确命题的个数为（）①=a ②若a∈R，则（a2﹣a+1）0=1 ③④．A、0B、1C、2D、．33、放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A、5太贝克B、75In2太贝克C、150In2太贝克D、150太贝克4、下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的是（）A、幂函数B、对数函数C、指数函数D、余弦函数5、某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码、公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A、2000B、4096C、5904D、83206、若x，y∈R，且2x=18y=6xy，则x+y为（）A、0B、1C、1或2D、0或27、已知点A n（n，a n）（n∈N*）都在函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，则a3+a7与2a5的大小关系是（）A、a3+a7＞2a5B、a3+a7＜2a5C、a3+a7=2a5D、a3+a7与2a5的大小与a有关8、若427+41000+4n为完全平方数，则正整数n满足（）A、n≥1972B、n≤1972C、n≥1973D、n≤19709、若102x=25，则10﹣x等于（）A、B、C、D、10、对于a，b＞0，r，s∈R，下列运算中正确的是（）A、a r•a s=a rsB、（a r）s=a r+sC、D、a r b s=（ab）r+s11、若a＞1，且a+a﹣1=2，则a﹣a﹣1的值等于（）A、B、2或﹣2C、﹣2D、212、已知函数f（x）=a x+a﹣x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（）A、14B、13C、12D、1113、设指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），则下列等式不正确的是（）A、f（x+y）=f（x）•f（y）B、f[（xy）n]=[f（x）]n•[f（y）]nC、f（x﹣y）=D、f（nx）=[f（x）]n14、下列等式一定成立的是（）A、=aB、=0C、（a3）2=a9*D、15、若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、B、a m•a n=a m•nC、（a m）n=a m+nD、1÷a n=a0﹣n16、下列运算正确的是（）A、a3+a4=a7B、a4•a2=a6C、D、17、下列各式正确的是（）A、B、C、D、18、若32x+9=10•3x，那么x2+1的值为（）A、1B、2C、5D、1或519、设a1，a2，a3，a4，a5构成等比数列，若a2a5＜0，则下列各式正确的是（）A、a1a3a4a5＞0B、a1a2a4a5＜0C、a1a2a3a5＞0D、a1a2a3a4＞0二、填空题（共5小题）20、方程的解是_________．21、已知函数f（x）满足：对任意实数x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），且f（x1﹣x2）=，写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为f（x）=_________．（注：只需写出一个满足条件的函数即可）22、若a+a﹣1=3，则的值为_________．23、计算：x10÷x5=_________．24、已知y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=4x则f（﹣）=_________．三、解答题（共6小题）25、计算：．26、解方程：27、（1）若，求的值；（2）化简（a＞0，b＞0）．28、计算：．29、已知，求：（1）a+a﹣1的值；（2）的值．30、解方程：6•（9x+9﹣x）﹣25（3x﹣3﹣x）+12=0．。
