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§1.2 中值定理 洛必达法则

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柯西中值定理与洛必达法则

柯西中值定理与洛必达法则
实际应用
随着科技的进步，这些定理的应用领域也在不断扩大。例如，在数据分 析、机器学习等领域，这些定理可以帮助我们更好地理解和处理数据。
03
教育价值
作为微分学中的核心内容，柯西中值定理和洛必达法则是数学教育的重
点。随着教育方法的改进，如何更有效地教授这些内容，让学生更好地
理解和掌握它们，也是值得探讨的问题。
04
实例分析
柯西中值定理实例
总结词
通过一个连续函数在闭区间上改变符号的性质，证明柯西中值定理的正确性。
详细描述
考虑一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上，若$f(a) cdot f(b) < 0$，则存在至少一 个$c in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。这个结论可以用来证明柯西中值定理。ຫໍສະໝຸດ 洛必达法则实例总结词
通过求极限的方法，验证洛必达法则的正确 性。
详细描述
考虑函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$的左右 极限，以及它们的导数$f'(x)$和$g'(x)$。如 果$f'(x_0) = g'(x_0)$且$g'(x) neq 0$，则
$lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
02
洛必达法则
定义与性质
定义
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于研究函数在某点的极限。如果函 数在某点的极限存在，则该点的导数存在。
性质
洛必达法则是求极限的常用方法之一，特别是处理分式函数的极限问题。当分 母的极限为零时，如果分子和分母的导数之商的极限存在，则洛必达法则成立。
法则的应用

药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片

药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片

3
例2-29 求 lim sin x
解
x0 x
(0) 0
lim
x0
sin x
x

lim
x0
(sin x) ( x)

lim
x0
cos 1
x

cos 0
1
注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用， 但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。
1 cos x
例2-30 求 lim x0

0
例2-31 求 lim x ln x (0)
解
x0
1
lim x ln x lim ln x lim x lim(x) 0
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
注意：此题若变形为
x 1
，则转化成 0 型 0
ln x
但
x ( 1 ) ln x

1 1 x(ln
解
3x2
lim1 cos x x0 3x2
lim sin x x0 6x
lim cos x x0 6

1 6
0 , , 00,1 , 0 型未定式解法
方法：把它们转化成 0 或 型后，再用洛必达法
则求极限。
0
0 型
方法 0 1 , 或 0 0 1 .
则中条件（1）、（2），且 f (x)=2e2x, g (x)=3 。
由于 lim f (x) lim 2e2x 2 x0 g(x) x0 3 3
所以，根据洛必达法则，
lim e2x 1 lim f (x) lim 2e2x 2
x0 3x

洛必达法则

洛必达法则

洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。

这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。

洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。

通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。

洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。

洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。

洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。

若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。

示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。

假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。

首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。

总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。

中值定理、洛必达、函数单调性、极值、最值,凹凸性的应用

中值定理、洛必达、函数单调性、极值、最值,凹凸性的应用

所以，由推论 1，
推论 2:若对于
，则
.
四．洛必达法则
我们在第一章曾注意到，考试时考察得最多的求极限问题要么是 型，要么是
。对付这种问题，我们根据具体情形曾给出了因式分解约零因子、根式有理 化约零因子、等价无穷小替换、凑重要极限等方法。现在有一个著名的法则— —洛必达法则，可用一招统一解决大部分的 或 的极限问题。 现在先回顾一下洛必大达法则的条件及结论：
定义：设函数
在区间 内有定义，如果对
，都有：
则称函数
在区间 内为下凸的.
函数凹、凸性的判定
定理：设函数
在区间 内存在二阶导数且
（或
则函数
在区间 内为下凸（或上凸）的.
例 13．确定
的上（下）凸性.
例 14．确定
的上（下）凸性.
拐点的定义：称曲线
上凸与下凸的分界点为其拐点，或变曲点.
拐点的必要条件：如果在 附近 具有连续的二阶导数且
的极值.
解一：（一）
.
（二）
.
（三）令 （四）列表判断：
。无不可导点.
（
解二：（一） （二）
1 0 极大 2 .
3
—
0
极小-2
.
（三）令
.无不可导点.
（四）
.因为，
，所以
为极大值；
又因为 七．最值
第一种情况：设
，所以 在闭区间
为极小值. 上连续，则 在
上必可取到最大
值与最小值.最值的达到只有两种情况：（1） 或 即为最值；
例 15．求曲线
上（下）凸区间及拐点.
解：（一）
；
（二）
，
；
（三）令 （四）列表判断： （

微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析

微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析

微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。

设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。

因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。

它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。

此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。

3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。

柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。

设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。

进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。

4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。

例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。

第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选

第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选
limf(x)(或limf(x)) xx0 g(x) x g(x)
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3

xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns

in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0

经典洛必达法则-PPT课件

经典洛必达法则-PPT课件

f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0

洛必达法则详解【一元分析学经典讲义】

洛必达法则详解【一元分析学经典讲义】

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练习题
一、 填空题： 填空题：
0 ∞ 1、洛必达法则除了可用于求“ ” 及“ ”两种类 洛必达法则除了可用于求“ ， 0 ∞ 型的未定式的极限外，也可通过变换解决 _____________， _____________， ____________， _____________，_____________，____________， _____________，_____________， _____________，_____________，等型的未定式 的求极限的问题. 的求极限的问题.
2 2
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如 等价替换、 极限先求等 等价替换、非0极限先求等. 例6 解
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例
求 lim
e x (1 − cos x 2 ) x ⋅ ( 1 + x 2 − 1)
x → 0 tan 2
.
0 ( ) 0
x4 2 = lim 1 = 1. ( 因 e x →1 ) 原式 = lim 解 式 2 x →0 x→0 2 x x ⋅ 2 0 e2 x − 1 − 2 x ( ) 例 求 lim 2 x . 0 x → 0 x ⋅ (e + 1 + 2 x )
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三、小结
洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，可多次 使用， 不是万能的. 使用，但不是万能的 它与其它求极限方法结合使 效果更好.比如等价替换 等价替换、 极限先求等 用，效果更好.比如等价替换、非0极限先求等

中值定理与洛必达法则教案

中值定理与洛必达法则教案

中值定理与洛必达法则教案中值定理和洛必达法则是微积分中重要的概念和工具，它们在解决函数的极限、连续性和导数等方面起到关键的作用。

本教案将介绍中值定理和洛必达法则的概念、原理以及应用，并讲解相应的解题方法和技巧。

一、中值定理的概念和原理1.1 中值定理的引出和意义中值定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

它在数学和物理等领域中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和解决实际问题。

1.2 齐次连续函数的中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于函数在区间[a,b]上的平均变化率。

1.3 一般函数的中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于函数在区间[a,b]上的瞬时变化率。

二、中值定理的应用2.1 判定函数在某一区间内的极值利用中值定理，我们可以判断函数在某一区间内的极值。

根据中值定理，当函数在某一点的导数为零时，该点是函数的极值点。

2.2 寻找函数在某一区间内满足特定条件的点通过应用中值定理，我们可以寻找函数在某一区间内满足特定条件的点。

例如，我们可以利用中值定理证明方程f(x)=0在某一区间内有根。

三、洛必达法则的概念和原理3.1 洛必达法则的引出和意义洛必达法则是解决函数极限问题的一种重要方法，它能够帮助我们求解一些不确定型的极限，特别是当分子与分母都趋于零或无穷大时。

3.2 洛必达法则的基本公式如果函数f(x)和g(x)在某一点a处连续，并且满足在该点的邻域内g'(x)不为零，那么当x趋于a时，如果f(x)和g(x)的极限存在或为无穷大，那么f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)或无穷大。

四、洛必达法则的应用4.1 解决不定型的极限洛必达法则可以帮助我们解决一些不定型的极限，例如0/0、∞/∞、0·∞等形式的极限。

中值定理与洛必达

中值定理与洛必达

05 中值定理与洛必达的扩展
CHAPTER
中值定理的推广形式
广义中值定理
在更广泛的函数空间中，如连续函数、可微 函数等，中值定理的适用范围得到了扩展。
边界中值定理
在函数的边界上，存在某些中值定理的形式，这些 定理描述了函数在边界上的性质。
高阶中值定理
对于高阶可导函数，存在高阶中值定理，这 些定理揭示了函数的高阶导数与零点的关系 。
柯西中值定理的证明
总结词
详细描述
通过构造辅助函数和运用拉格朗日中值定理， 证明柯西中值定理。
首先，我们构造一个辅助函数$F(x)$和 $G(x)$，满足在开区间$(a, b)$上可导，并 且满足一定的连续性条件。然后，我们利用 拉格朗日中值定理，知道存在至少一个点 $c$满足$frac{F'(c)}{G'(c)}=frac{F(b)F(a)}{G(b)-G(a)}$。这就证明了柯西中值定 理。
04
洛必达法则的求导方法
洛必达法则的求导方法包 括
2. 使用链式法则进行求导；
4. 使用商式法则进行求导；
1. 使用导数的定义和性质 进行求导；
3. 使用乘积法则进行求导；
5. 使用复合函数求导法则 进行求导。
03 中值定理与洛必达的应用
CHAPTER
在求解极限问ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的应用
01 02
极限的定义
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的一个重要定 理，它说明了如果两个函数在闭区间上 连续，开区间上可导，且在该区间内函 数$f(x)$的导数不等于零，则至少存在一 点，使得两个函数在该点的导数之比等 于它们在该区间两端点处的函数值之比 。
VS
详细描述

医学高数8(中值定理 洛必达法则)

医学高数8(中值定理 洛必达法则)
第四节 中值定理 洛必达法则 一、中值定理 二、洛必达法则
一、中值定理 定理2-1 （罗尔 ( Rolle ) 中值定理） 中值定理） 定理 上连续， 如果函数 f (x) 在闭区间 [a , b]上连续，在开区间 上连续 (a , b) 内可导，且 f (a)=f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少 内可导， 成立。 存在一点 ξ (a<ξ<b), 使得 f′(ξ )=0 成立。 证明 （1）若函数 f (x) 在 ） y C 闭区间 [a , b]上为常数， 上为常数， 上为常数 因而， 则 f′(x)=0 ，因而， (a , b) 内 任何一点都可取作 ξ。 （2）若函数 f (x) 在 [a , b] 上 ） 不是常数, 不是常数 必存在最大值 M 和 o a ξ ξ1 b x 最小值 m，且 M 与 m 至少有一个不等于 f (a) 。 ，
f ′(ξ ) f ( x) − f ( x0 ) f ( x) = = g ′(ξ ) g ( x) − g ( x0 ) g f (ξ ) f (ξ + ∆x) − f (ξ ) ∆x → 0 , ≥ 0 lim− ≥0 ∆x →0 ∆x ∆x 二者又相等， 成立。 二者又相等，所以 f′(ξ )=0 成立。
−
罗尔中值定理的几何意义： 罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线 y =f (x) 除 端点外， 轴的切线（即可导）， ），且 端点外，处处有不垂直于 x 轴的切线（即可导），且 在两个端点处的纵坐标相等（ ），则在该 在两个端点处的纵坐标相等（即 f (a)=f (b)），则在该 ）， 段曲线上至少有一点 (ξ, f (ξ )) 的切线与 x 轴平行。 轴平行。 不求导， 例2-26 已知 f (x)=(x-1)(x-2)(x-3) 。不求导，判断方 的实根个数和范围。 程 f′ (x)=0 的实根个数和范围。 的连续性和可导性是明显的， 解 f (x)的连续性和可导性是明显的，且 f (1) = f (2)= 的连续性和可导性是明显的 f (3) =0，故在区间 ，2]、[2，3]上均满足罗尔中值定 ，故在区间[1， 、 ， 上均满足罗尔中值定 理的条件，则在（ ， ）内至少存在一点ξ 理的条件，则在（1，2）内至少存在一点ξ1，使得 f′ (ξ 1)=0；在（2，3）内至少存在一点ξ2 ，使得 ； ， ）内至少存在一点ξ f′ (ξ 2)=0。而 f′ (x)=0 是一元二次方程，最多有两个实 是一元二次方程， 。 分别在开区间（ ， ）、（ ）、（2， ） 根，分别在开区间（1，2）、（ ，3）内。

经典洛必达法则ppt

经典洛必达法则ppt

例5. 求
解: 原式
例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式
例7. 求 (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
用夹逼准则
e x sin x 1 0 .( ) 例 求 lim 2 x 0 (arcsin 0 x)
解 arcsin x ~ x ( x 0) e x sin x 1 0 原 式 lim ( ) 2 x 0 0 x e x cos x 0 lim ( ) x 0 0 2x x e si n x 1 . lim x0 2 2
特别地 当 F ( x ) x ,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足: (1) 在闭区间 [a, b]上连续 ; (2) 在开区间 (a, b)内可导 , 且F ( x ) 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( ) 柯西定理的下述证法对吗 ?
0 1、 型未定式解法： 0
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点
则有
注意：
（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。
（3） 定理1中

洛必达法则课件

洛必达法则课件

0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x

2
.
(

)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0

2

lim

)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )

型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(

)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z

洛必达法则定义

洛必达法则定义

洛必达法则定义洛必达法则是微积分中的一条重要定理，它被广泛应用于求解极限的问题。

其名称来源于法国数学家、物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯和约瑟夫·路易·拉格朗日，他们独立地发现了这个定理。

洛必达法则的定义如下：设函数f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内都可导，且g'(x)≠0，则lim[x->a] (f(x)/g(x)) = lim[x->a] (f'(x)/g'(x))换句话说，当一个函数的极限形式为“0/0”或“∞/∞”时，我们可以利用洛必达法则将其转化为一个等价的形式，即对函数的导数进行求解。

这条法则的关键在于对函数的导数运算。

假设f(x)和g(x)在某点a 的某个邻域内都可导，通过函数的导数我们可以得到以下推导：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/hg'(x) = lim[h->0] (g(x+h) - g(x))/h在使用洛必达法则时，我们计算这两个导数的极限，然后将结果代入到洛必达法则的等式中。

具体计算方法如下：1. 首先计算f(x)和g(x)在点a的函数值，即f(a)和g(a)。

2. 计算f'(x)和g'(x)。

3. 对f'(x)和g'(x)计算极限。

若极限存在且不为无穷大，记为L和M。

4. 若存在极限，则根据洛必达法则的等式 lim[x->a] (f(x)/g(x)) =L/M，将L和M代入。

5. 若L/M的极限存在，即lim[x->a] (f(x)/g(x))存在，则该极限即为原函数lim[x->a] (f(x)/g(x))的极限。

需要注意的是，洛必达法则只适用于形式为“0/0”或“∞/∞”的极限，且假设函数满足以上条件才能进行计算。

洛必达法则的应用范围非常广泛。

它可以用于解决各种求极限问题，特别是在处理不确定型的极限时非常有用。

中值定理和洛必达法则

中值定理和洛必达法则

(ln x)
x 1
lim
x 1
1 x
1，
故此极限属于 0 型 .由洛必达法则Ⅰ得 0
ln x
(ln x)
lim
x 1
x
1
lim
x 1
x
1
1.
中值定理和洛必达法则
例4
解
属于 0 型，用洛必达法则Ⅰ得 0
原式 lim (ex cos x) lim ex sin x .
x0
x2
x0 2x
x
x2
lim
x0
3x2
1. 3
注意:
计算极限时，也可以将洛必达法则 I 和等价无穷小结合起来使用，以便简化计算. 该题用了两次等价无穷小代换，用了一次洛必达法则Ⅰ.
中值定理和洛必达法则
例6
解
原式 lim 1 e x0 x
2e2x ex 3x 1
lim
x0
x2
2e2x ex 3x 1
注意:
根据洛必达法则Ⅰ，求导后的结果可以是有限数A，也可以是， 或 .
中值定理和洛必达法则
例5
解
属于 0 型，先将分母中的sin x用等价无穷小进行代换，原式变为lim x
0
x0
tan x x3
，然后
再使用洛必达法则Ⅰ进行求解，有
原式
1 sec2
lim
x0
3x2
x
lim
x0
tan2 3x2
经济数学
中值定理和洛必达法则
1.1 中值定理
引例
在区间 a ，b内可导函数y f (x)的图像如图3 1所示，它
是一条光滑的曲线.这条曲线的两个端点A、B的纵坐标相等，即

§1.2 中值定理 洛必达法则

§1.2 中值定理 洛必达法则
推论2 如果 在区间 I 上 f ( x) g( x), 那末 在区间 I 上 f (x) g(x) C
例5 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0
1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
例6 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1). 也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
推论1 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
f ( x) x ln( x 2) x2
但却不易找到使 f ( x) 0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用
例1 验证函数 f (x) 3 8x x2 在区间[0,8]上满足罗尔 定理的条件，并求出罗尔定理结论中的 x0值.
1 x2
1
1

1
x
2
x
2
1 x2 x2 1 x2
1 x2

1
1 x2
.
故
arctan
x


arcsin
x
0,

【精品】罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用

【精品】罗尔拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用

第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1。

下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?如满足,请求出满足定理的数值ξ.(1)]511[32)(2.,,x x x f ---=;(2）]30[3)(,,x x x f -=.知识点:罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ,得到的根ξ便为所求.解:（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续,在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。

(2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导,且0)3()0(==f f ，∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。

令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理.思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论,求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。

解:∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件.又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。

★3。

已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

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1 x2
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
例6 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意: 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( ).
ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
1. 设 f (x) xn (n为自然数),则 f (n1) (x) ?.
2.求下列函数的导数
(1) y
2
;
(2) y arcsin 1 ;
1
(3) y x x ;
(4) y
x2 1xBiblioteka 3. 设1 e2x
f
(
x)


x2
x0 x0
求 fx.
x 1 . x(x 3)
令
f (x0 ) 0,
即 8 2x0 33 (8x0 x02 )2
0,
得到x0 4,
即在 (0,8) 内存在一点 x0 4, 使得 f (x0 ) 0.
例2 不求导数，判断f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个 根，以及所在的区间.
例3 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1). 也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
增量y的精确表达式.
推论1 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
解：由于 f (x) 3 8x x2 是一初等函数，
所以区间 [ 0, 8 ] 包含在它的定义域内，
f (x)在区间 [0,8]上连续， (0，8) 内可导.
且 f (0) = f (8) = 0, 因此 f (x) 在 [0,8] 上 满足罗 尔定理的条件.由于
f (x) 8 2x , 33 (8x x2 )2
导；区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2 在 [-1,2] 上满足(1),(2)，不满足 (3) 却在 (-1,2)内有一点 x=0 使
y x0 2x x0 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可.
例如, y x , x [2,2];
1 x2
1
1

1
x
2
x
2
1 x2 x2 1 x2
1 x2

1
1 x2
.
故
arctan
x


arcsin
x
0,

1 x2
x (, ).
所以由拉氏定理的推论 2 知，应当有：
arctan
x



arcsin

x 1
x2

y f ( x0 x)x
——导数应用的理论基础
(一)、 罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数 f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a, b]上连续 （2）在开区间(a, b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等 f (a)= f (b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
C
y f (x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
物理解释:
变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.
作用： 常用来讨论f (x) 0根的存在性.
注意：
① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0, f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)

f (b) F (b)

f F
' () 成立. ' ()
第三章 中值定理和导数的应用
§1 中值定理 §2 洛必达法则 §3 函数的单调性与极值
解：由于 f (x) x3 6x2 11x 6 是一初等函数，
所以区间 [ 0, 3 ] 包含在它的定义域内，
f (x)在区间 [0,3]上连续， 在(0，3) 内可导.
因此 f (x) 在 [0, 3] 上 满足拉氏定理的条件.由于
f (3) f (0) 30

f (x0 ),
y
A
oa
C
y f (x)
M
B
N
D
b-a
f(b)-f(a)
1 x
2 b
x
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
例4 验证函数 f (x) x3 6x2 11x 6 在区间[0,3]上 满足拉格朗日定理的条件，并求出拉氏定理结论 中的 x0值.
1 ln a ln b 1 a ab b
为此我们引入函数 y ln x.
在区间 [ b, a ] 内应用拉氏定理，有：
ln a ln b ab

f
(x0 )

1 x0
,
其中
x0 (b, a)
对 x0 (b, a) ，有：
111 .
a x0 b
1 ln a ln b 1 a ab b
§2 洛必达法则
我们已经，当分子分母都是无穷小或都是无穷 大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在， 即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这 一运算法则.如何解决？ 0 ,
证：设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
4.求下列方程所确定的隐函数的导数.
(1) (x 2)2 ( y 3)2 25; (2) xy yx.
5. 若 x 2y cos y 0. 求 d 2 y . dx2
6.求下列各函数的微分
(1)
y

1 2x2
;
(2) y xex;
(3) y x5x.
7. 近似计算 cos1510
f ( x) x ln( x 2) x2
但却不易找到使 f ( x) 0的点
但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用
例1 验证函数 f (x) 3 8x x2 在区间[0,8]上满足罗尔 定理的条件，并求出罗尔定理结论中的 x0值.
第三章 中值定理和导数的应用 §1 中值定理 §2 洛必达法则 §3 函数的单调性与极值
§1 中值定理
(一) 、罗尔定理 (二) 、拉格朗日中值定理
第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、 法线及有关变化率问题.这一章我们来讨论导数的应 用问题.
我们知道，函数 y f ( x) 在区间 x0, x0 x 上的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 可用它的微分
即
0
(6) 3

3x02
12x0
11,
亦即 x02 4x0 3 0.
解之得到x0 1(舍去x0 3)即在区间(0,3)内存在一点x0 1,
使得
f (3) f (0) 30

f (x0 )成立.
设 f (x)在 (a,b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
dy f ( x0 )x 来近似计算 其误差是比 x
高阶的无穷小
即
y x

f ( x0 )
是近似关系
(| x | 充分小)
而 lim y x0 x
f ( x0 )
是极限关系,都不便应用
我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既 不是极限关系，也不是近似关系.对此，拉格朗日 （Lagrange）中值定理给出了圆满的解答：
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件 但也找不到使f ( x) 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点.有的函数这样的点可能不止一个；