柯西中值定理与洛必达法则

洛必达和柯西中值定理的关系
洛必达和柯西中值定理都是微积分中的重要定理，它们在不同的情况下被用于求解函数的极限和积分。

两者的关系如下：洛必达定理是用于求解函数极限的定理，它指出当x趋近于某个数时，如果分子和分母的极限都存在且分母的极限不为0，那么函数的极限等于分子极限除以分母极限。

这个定理常常用于求解无穷小量的极限，如0/0或者无穷/无穷。

柯西中值定理则是用于求解函数积分的定理，它指出如果函数在某个区间上连续并且在这个区间上存在两个点，那么在这两个点之间至少存在一个点，使得这个点的导数等于函数在这个区间上的平均变化率。

这个定理常常用于证明一些积分的存在性和计算积分的值。

虽然洛必达定理和柯西中值定理是用于求解不同的问题，但是它们都涉及到了函数的极限和导数，因此在某些具体的情况下，两个定理可以联系起来使用。

比如，在求解一些特殊的极限时，可以通过柯西中值定理将其转化为洛必达极限，从而更容易求解。

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第14讲 柯西中值定理与洛必达法则授课题目柯西中值定理与洛必达法则教学内容 1. 柯西中值定理；2. 洛必达法则．教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限, 掌握洛必达法则00型定理的证明.教学重点及难点教学重点：洛必达法则求各种不定式极限；教学难点：洛必达法则定理的证明.教学方法及教材处理提示(1) 本讲的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限，特别强调洛必达法则在极限计算中的重要性，是计算极限的一种常用的有效方法.(2)采用讲练结合的授课方式，通过举例的形式，总结和归纳求各种不定式极限的方法，使每一位学生都能掌握此法则．(3) 本讲的难点是洛必达法则定理的证明，特别是∞∞型的证明，但要求学生掌握洛必达法则 00型定理的证明．(4) 了解柯西中值定理.作业布置作业内容：教材 :2，3，5（2，4，6，8，10，12），7（5，8）.133P 讲授内容一、柯西中值定理定理6.5(柯西（cauchy ）中值定理) 设函数和满足 (i)在上都连续；(ii)在()上都可导；(iii)f g ],[b a b a ,不同时为零；(iv) 则存在使得)()(x g x f ''和),()(b g a g ≠),,(b a ∈ξ .)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ证：作辅助函数易见在)上满足罗尔定理)).()(()()()()()()()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F -----=)(x F ],[b a 条件，故存在，使得),(b a ∈ξ.0)()()()()()()(='---'='ξξξg a g b g a f b f f F 因为 (否则由上式也为零)，所以得证.0)(≠'ξg )(ξf ' 例1 设函数在[a,b]上连续，在()内可导，则存在，使得f )0(>a b a ,),(b a ∈ξ .ln )()()(a b f a f b f ξξ'=- 证：设，显然它在上与x x g ln )(=],[b a 式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。

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课题：§4.1微分中值定理与洛必达法则教学目的：1.理解微分中值定理及其推论的内容2.理解未定式的概念及洛必达法则，能熟练运用法则求函数的极限教学重点：微分中值定理、洛必达法则及其应用教学难点：微分中值定理、洛必达法则及其应用课型：讲授课课时：2课时教学过程一、导入新课本章将介绍中值定理及导数的应用，其中中值定理在微分学中占有十分重要的地位，也称为微分中值定理，是导数应用的理论基础。

二、讲授新课（一）柯西中值定理定理1（柯西中值定理）如果函数满足下列条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导；（3）F'(x)在（a,b）内的每一点均不为零，那么，在（a,b）内至少存在一点, 使几何解释：若将x看成是参数，则可将X=F(X),Y=f(x)看作是一条曲线的参数方程表示式，f(b) f(a)f ( ).g(b) g(a)g ( )f(b) f(a)f'( )F(b) F(a)表示连接曲线两端点A(F(a),f(a)),B(F(b),f(b))的弦的斜率，而F'( )则表示该曲线上某一点的斜率。

因此，其几何意义是：在连续且除端点外处处有不垂直于轴的切线的曲线弧上，至少存1 在一点C，在该处的切线平行于两端点的连线。

（二）洛必达法则把两个无穷小之比或者两个无穷大之比的极限称为“0 ”型或者“”型不定式（或未0定型）的极限，洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限的方法。

定理2（洛必达法则）若（1）x x0limf(x) 0,limg(x) 0x x0（2）f(x)与g(x)在x x0x0的某个邻域（点x0除外）可导，且g'(x) 0；lim（3）f'(x)Ag'(x)（A为有限数，也可为或）则limf(x)f'(x)lim Ag(x)x x0g'(x)x0x x0证：由于要讨论的是函数在点与g(x)在在点的极限，故与函数在该点x0的值无关，所以可补充f(x)，则f(x)与g(x)在点连续，x0的定义，且对问题讨论没有影响。

内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。

（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。

令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。

解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。

又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。

★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

柯西中值定理与洛必达法则首先，让我们来介绍柯西中值定理。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式。

设$f(x)$和$g(x)$是一个在区间$[a, b]$上连续，在区间$(a, b)$上可导的函数，并且$g'(x)\neq 0$。

那么存在一个$\xi$，满足$a < \xi < b$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。

简单来说，柯西中值定理说明了如果两个函数在一个区间内在一些点上除法的导数存在，那么在这个区间内一定存在一个点，它们的导数之商等于这个区间内的平均导数之商。

柯西中值定理的一个常见应用是证明罗尔定理。

罗尔定理是柯西中值定理的特殊情况，即如果一个函数在一个区间的两个端点处取得相同的函数值，并且在这个区间上可导，那么在这个区间内一定至少存在一个点，它的导数为零。

接下来，让我们来介绍洛必达法则。

洛必达法则是用来解决一些形如$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限的方法。

设$f(x)$和$g(x)$是两个在一些点$a$附近可导的函数，且$g'(x)\neq 0$。

如果$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0$，或者$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = \infty$，且$\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为$\infty$，那么$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$也存在或为$\infty$，且有$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。

洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。