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《高等数学B(经管类)》课程教学大纲(Advanced Mathematics B（Economics and Management）)课程编号：161990172学分：10学时：160 （其中：讲课学时：160 实验学时：0 上机学时：0 ）先修课程：无后续课程：线性代数、概率论与数理统计适用专业：经管类专业本科生开课部门：理学院一、课程的性质与目标本课程属于经管类公共基础必修课。
本课程的任务是使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，以及在经济管理中的一些简单应用，为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生思维能力、推理能力、自学能力、解决问题的能力。
二、课程的主要内容及基本要求第1章函数（4学时）[知识点]集合、函数的基本性质、复合函数与反函数、基本初等函数与初等函数、函数关系的建立、经济学中的常用函数[重点]函数概念，基本初等函数；经济学中的常用函数[难点]建立函数关系[基本要求]1、识记：函数的基本性质；复合函数、反函数的概念及其运算；2、领会：基本初等函数的类型，理解初等函数的概念；3、简单应用：简单问题中函数关系的建立；4、综合应用：经济学中的常用函数关系的建立[考核要求]回顾中学相关知识，介绍有关函数的新知识，为后续学习打下基础第2章极限与连续（18学时）[知识点]数列的极限、函数极限、无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则、两个重要极限、连续复利、无穷小的比较、函数的连续性、闭区间上连续函数的性质[重点]极限运算法则，求极限的方法，无穷小的比较、函数的连续性[难点]求极限的方法；函数的间断点的判定[基本要求]1、识记：数列极限的定义和性质；函数极限的定义和性质；无穷小的定义、性质及其与无穷大的关系；函数连续性、间断点的概念；闭区间上连续函数的性质2、领会：理解极限运算法则，掌握求极限的方法；理解极限存在准则，掌握两个重要极限，；掌握等价无穷小及其在求极限中的应用方法；3、简单应用：等价无穷小及其在求极限中的应用；4、综合应用：经济学中的连续复利问题[考核要求]要求学生能直观理解极限的含义，掌握求极限的方法，明确本章的重要地位。
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种常用于求解极限的方法，该方法是由法国数学家Guillaume de l'Hôpital在1696年提出的。
洛必达法则适用于形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
具体来说，如果对于函数$f(x)$和$g(x)$，当$x \to a$时，$f(x)$和$g(x)$分别趋于0或无穷大，且$f'(x)$和$g'(x)$都存在（其中$f'(x)$和$g'(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的导数），则有：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，等式右边的极限表示对$\frac{f'(x)}{g'(x)}$求导后再取$x \to a$的极限。
这个法则的推导基于泰勒展开的思想。
我们知道，对于充分光滑（即具有连续的导数）的函数，它在其中一点周围可以用泰勒级数展开。
假设$f(x)$和$g(x)$在$a$的邻域内都可展开，则有：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 +\cdots$$$$g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \frac{1}{2}g''(a)(x-a)^2 +\cdots$$根据极限的定义，我们希望求解的极限是$x \to a$时的极限，因此可以将$x-a$看作一个无穷小量。
我们忽略展开式中的高阶无穷小量，得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \approx \lim_{x \to a}\frac{f(a) + f'(a)(x-a)}{g(a) + g'(a)(x-a)}$$将$a$代入极限中，我们可以得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(a)}{g(a)}$$上述结果是前提条件$f(a)=g(a)=0$下的结果，而当$f(a) \neq 0$或$g(a) \neq 0$时，我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$做除法的等价变形，具体来说，我们可以将除法变化为乘法，然后再求极限。
第四章 微分中值定理与导数的应用数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。
——爱因斯坦本章首先介绍微分中值定理，然后，运用微分中值定理，我们介绍一种求极限的方法——洛必达法则。
最后，运用微分中值定理，通过导数来研究函数及其曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理4.1 (罗尔(Rolle )定理)如果函数()f x 满足： (1) 在[,]a b 上连续， (2) 在(,)a b 内可导， (3) ()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．证明 由闭区间上连续函数性质，)(x f 在] ,[b a 上必能取到最小值m 和最大值M 。
如果m = M ，那么C x f ≡)(，于是] ,[b a x ∈∀有，0)(='x f 。
否则，m M >，于是，)(a f M ≠或)(a f m ≠至少有一个成立。
根据罗尔中值定理的条件（3），在) ,(b a 内至少存在一个最值点ξ，不妨设M f =)(ξ，因为)(x f 在ξ可导，那么，由费马定理，0)(='ξf 。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条连续曲线)(x f y =，除曲线端点之外每一点都存在切线，并且曲线的两个端 点在同一水平线上，那么在该曲线上至少存在一点，使得过该点的切线为水平切线.如图4.1.1所示，由定理假设知，函数y =f (x )(a ≤x ≤b )的图形是一条连续曲线段 ACB ，且直线段AB 平行于x 轴。
定理的结论表明，在曲线上至少存在一点C ，在该点曲线具有水平切线．图4.1.1例4.1.1 验证罗尔定理对函数2()23f x x x =-+在区间[1,3]-上的正确性． 解 显然函数2()23f x x x =-+在[1,3]-上满足罗尔定理的三个条件，由 ()222(1)f x x x '=-=-,可知(1)0f '=,因此存在1(1,3)ξ=∈-,使(1)0f '=． 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立．但也不能认为这些条件是必要的．例如，f (x )=sin x （0≤x ≤3π2）在区间［0, 3π2］上连续，在(0, 3π2)内可导，但f (0)≠f (3π2)=-1,而此时仍存在3(0,)22ππξ=∈，使()f ξ'=cos π2=0(图4.1.2 )．图4.1.2若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立。
第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 中值定理(2课时)要求:理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。
了解柯西中值定理。
重点：理解中值定理及简单的应用。
难点：中值定理证明的应用。
一、罗尔（Rolle)定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件（1)在闭区间],[b a 上连续；(2）在开区间),(b a 内可导； (３))()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使得函数)(x f 在该点的导数等于零,即0)(='ξf ．几何解释设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，AB 是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C,使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路,ξ应在函数取最值点处找.例１．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．)2(242)(-=-='xxxf且0)3()1(==ff函数)(xf在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得)2(2)(=-='ξξf,于是)3,1(2∈=ξ.故确实在区间)3,1(内至少存在一点2=ξ使得0)2(='f,结论成立．二、拉格朗日中值定理(微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数)(xf满足条件(１）在闭区间],[ba上连续;（２）在开区间),(ba内可导.则在区间),(ba内至少存在一点)(ba<<ξξ，使得等式))(()()(abfafbf-'=-ξ成立.推论1如果函数)(xf在区间I上的导数恒为零,那么函数)(xf在区间I 上是一个常数（它的逆命题也成立）．例２.试证2cotarctanπ=+xarcx)(+∞<<-∞x．证明构造函数xarcxxf cotarctan)(+=，因为函数)(xf在),(+∞-∞上可导,且1111)(22=+-+='xxxf(２）在开区间),(ba内可导，且0)(≠'xF,),(bax∈则在区间),(ba内至少有一点ξ，使等式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--成立．说明(１）公式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--中的ξ是同一值,即(ξξξ=''=''xxFxfFf))()(()()(）; (2）当xxF=)(时,1)(,)()(='-=-xFabaFbF,正是拉氏中值公式；三个定理联系，罗尔定理−−−−←−−→−=特例推广)()(bfaf拉氏定理−−−−←−−→−=特例（推广xXF)柯西定理. 作业129P习题4.1)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,（２)令0)(='x f ，得3,1=-=x x ,（3)列表如下x)1,(--∞1- )3,1(-3),3(+∞ )(x f '符号+ 0— 0+)(x f↗极大值 10↘极小值 22-↗应用定理2判别极值的步骤如下， (1)求出函数)(x f 的定义域，及导数)(x f '；（２)求出函数)(x f 的全部驻点(即求出方程0)(='x f 在所讨论的区间内的全部实根)；（3)用这些点将函数)(x f 的定义域分成若干小区间,考查在各点两侧导数的符号,根据定理２判别该点是否有极值点,是极大值点还是极小值点; （4)求出各极值点的函数值,就得)(x f 的全部极值. 例2．求函数32)1(x x y -=的极值.解 （1)函数的定义域为(,)-∞+∞，导数为31325xx y -=',(2)令0='y ,得52=x ， (3）列表如下x（0,∞-）0 (52,0) 52 ),52(+∞ y '+不存在 — 0 +已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为5:3,为使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问Ｄ点应选在何处?解 1)建立模型总费用与D 的选择有关,设x AD =,总费用y 与x 有关,因为 2220,100x CD x BD +=-=，由于铁路运费与公路运费之比为53,因此不妨设铁路运费为k 3，公路运费为k 5（k 为某整数）,则从点B 到点C 需总运费DB k CD k y ⋅+⋅=35＝)100(340052x k x k -++(1000≤≤x )， 2)现在问题归结为x 在闭区间]100,0[上取何值时目标函数y 的值最小，因为)34005(2-+='xx k y ,令0='y ，解方程得)(15km x =.又由于k y x 400|0==，k y x 380|15==，2100511500|+==k y x ． 经过比较可得，k y x 380|15==为最小值，因此当)(15km x AD ==时，总费用最省.说明在实际问题中，根据实际问题性质可以判定可导函数)(x f 确有最值,而且一定在区间内部取得,若0)(='x f 只有一个根,那么不必讨论)(0x f 是否为极值，就可判定)(0x f 为最值. 作业 129P 习题４.4第五节 曲线的凹凸性与拐点(1课时）要求:会用导数研究函数图形的凹凸性和拐点。
