中值定理、洛必达法则、函数的单调性和曲线的凹凸性练习题和测验题

一、填空题1．罗尔定理是：如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导； （3）在区间端点处函数值相等，即)()(b f a f =；则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ（ba<<ξ），使得0)(='ξf ．2．若4)(x x f =在区间[-1,1]上满足罗尔定理的条件，则定理中的=ξ0．【分析：由罗尔定理，有：0)(='ξf ，故043=ξ，得：=ξ0】3．拉格朗日中值定理是：如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ（ba <<ξ），使得ab a f b f f --=')()()(ξ．4．函数34)(x x f =在区间]1,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的=ξ31．【分析：由拉格朗日中值定理，有：ab a f b f f --=')()()(ξ，40104122=--=ξ，解得：=ξ31】5．当函数)(x f 在区间I 上的导数=')(x f 0时，)(x f 在区间I 上的常数．二、选择题若在区间I 上)()(x g x f '='，则一定有（ B ）．A ．)()(x g x f =B ．C x g x f +=)()(（C 为任意常数） C ．5)()(+=x g x fD ．0)()(C x g x f +=（0C 为常数）三、利用洛必达法则，求下列极限 解:1．是0""0不定式,，应用洛必达法则 ax ax ax --→sin sin limcos limcos 1x ax a →==．2．是0""0不定式， xeexxx sin lim-→-0lim2cos xxx e ex-→+==．3．是0""0不定式， xxx x --+→11limlim11x →==．4．是0""0不定式，)1ln(1sin limx x exx +-+→0cos lim211xx e xx→+==+．5．是0""0不定式，123lim2331+--+-→x x x x x x 22133lim321x x x x →-=--163lim 622x x x →==-．6．是"0"⋅∞xx xx ex ex 3232limlim +∞→-+∞→=32lim3xx x e→+∞=32lim09xx e→+∞==．7．是"0"⋅∞ x x x ln lim 0+→0ln lim1x x x+→=0021lim lim ()01x x x x x++→→==-=-．8．2120lim xx ex →2120lim1x x e x→⋅∞2211221()limlim 1()x x x x e xe x→→'∞==+∞∞'．9．)ln 11(lim 1xx x x --→xx x x x x ln )1(1ln lim1-+-∞-∞→xx x x x 1ln 11ln lim01-+-+→1ln ln lim1-+=→x x x x x x 2111ln 1ln lim1=+++→x x x ．10．)111(lim 0--→xx ex)1(1lim---∞-∞→xxx ex x exxxx xe ee +--→11lim21lim00=++→xxxxx xeeee ．。

洛必达法则思路引导“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。

法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=0及limx→ag(x)=0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=∞及limx→ag(x)=∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.例题讲解类型一：用洛必达法则处理00型函数【例1】已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.【方法总结】用洛必达法则处理00型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“0”型式子；3.运用洛必达法则求值2023届高考数学专项练习【针对训练】若∀x∈[1,+∞)，不等式ln x≤m x-1 x恒成立，求实数m的取值范围.类型二：用洛必达法则处理∞∞型函数【例2】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【方法总结】用洛必达法则处理∞∞型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“∞∞”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数f(x)=e x-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围模拟训练1.已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直.(1)求实数a,b的值；(2)若∀x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤(m-2)x-m x恒成立，求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2.(1)若f(x)在x=-1时有极值，求函数f(x)的解析式；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.3.已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。

1．讨论函数()sin f x x x =-在[0,2]π上的单调性。

【解法一】由于cos 1x ≤，得[0,2]π上恒成立'()1cos 0f x x =-≥，而等号仅在0x =和2x π=两个孤立点上成立，可知，函数()sin f x x x =-在[0,2]π上单调增加。

【解法二】因为'()1cos 0f x x =->在(0,2)π上恒成立，可知，函数()sin f x x x =-在(0,2)π上单调增加，亦即在[0,2]π上单调增加。

2．求下列函数的单调区间：⑴3229123y x x x =-+-；【解】函数3229123y x x x =-+-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'61812y x x =-+6(2)(1)x x =--，得函数有两个驻点2x =和1x =，无不可导点，作图表分析：1 22 1' x x y y ---+--++−−−−−−−−−→+-+g g Z ]Z可知，函数3229123y x x x =-+-分别在(,1)-∞和(2,)+∞内单调增加，在(1,2)内单调减少。

【课本答案漏了在(,1)-∞内单调增加】⑵y x =-；【解】函数y x =-的定义域为(,)-∞+∞，由于'1y ==1x =和一个不可导点1x =，作图表分析：0 11' y -++--+−−−−−−−−−→+-+g gy Z ]Z可知，函数y x =分别在(,0)-∞和(1,)+∞内单调增加，在(0,1)内单调减少。

【课本答案漏了在(,0)-∞内单调增加】⑶33y x x =-；【解】函数33y x x =-的定义域为(,)-∞+∞，由于2'33y x =-3(1)(1)x x =-+，得函数有两个驻点1x =和1x =-，无不可导点，作图表分析： -1 11 1' x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-+g g Z ]Z可知，函数33y x x =-分别在(,1)-∞-和(1,)+∞内单调增加，在(1,1)-内单调减少。