柯西中值定理与洛必达法则-课件(PPT·精选)

实际应用
随着科技的进步，这些定理的应用领域也在不断扩大。例如，在数据分 析、机器学习等领域，这些定理可以帮助我们更好地理解和处理数据。
03
教育价值
作为微分学中的核心内容，柯西中值定理和洛必达法则是数学教育的重
点。随着教育方法的改进，如何更有效地教授这些内容，让学生更好地
理解和掌握它们，也是值得探讨的问题。
04
实例分析
柯西中值定理实例
总结词
通过一个连续函数在闭区间上改变符号的性质，证明柯西中值定理的正确性。
详细描述
考虑一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上，若$f(a) cdot f(b) < 0$，则存在至少一 个$c in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。这个结论可以用来证明柯西中值定理。ຫໍສະໝຸດ 洛必达法则实例总结词
通过求极限的方法，验证洛必达法则的正确 性。
详细描述
考虑函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$的左右 极限，以及它们的导数$f'(x)$和$g'(x)$。如 果$f'(x_0) = g'(x_0)$且$g'(x) neq 0$，则
$lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
02
洛必达法则
定义与性质
定义
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于研究函数在某点的极限。如果函 数在某点的极限存在，则该点的导数存在。
性质
洛必达法则是求极限的常用方法之一，特别是处理分式函数的极限问题。当分 母的极限为零时，如果分子和分母的导数之商的极限存在，则洛必达法则成立。
法则的应用

3
例2-29 求 lim sin x
解
x0 x
(0) 0
lim
x0
sin x
x

lim
x0
(sin x) ( x)

lim
x0
cos 1
x

cos 0
1
注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用， 但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。
1 cos x
例2-30 求 lim x0

0
例2-31 求 lim x ln x (0)
解
x0
1
lim x ln x lim ln x lim x lim(x) 0
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
注意：此题若变形为
x 1
，则转化成 0 型 0
ln x
但
x ( 1 ) ln x

1 1 x(ln
解
3x2
lim1 cos x x0 3x2
lim sin x x0 6x
lim cos x x0 6

1 6
0 , , 00,1 , 0 型未定式解法
方法：把它们转化成 0 或 型后，再用洛必达法
则求极限。
0
0 型
方法 0 1 , 或 0 0 1 .
则中条件（1）、（2），且 f (x)=2e2x, g (x)=3 。
由于 lim f (x) lim 2e2x 2 x0 g(x) x0 3 3
所以，根据洛必达法则，
lim e2x 1 lim f (x) lim 2e2x 2
x0 3x

a bx cos ax lim 1. b x 0 ax cos bx
例6.求
解: 原式 lim
1 x n 1
型
x
nx
1 0 lim x n x n
21
xn 型 例7. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n1 n(n 1) x n2 lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e 例6、例7说明：当 x 对数函数 ln x， 时，
20

ln sin ax lim .(a＞0，b＞0) 型 例5 求x 0 ln sin bx a cosax ln sin ax si nax a lim sin bx cos ax li lim 解 x 0 ln sin bx x m b cosbx b x 0 sin ax cos bx 0 si nbx
4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷 小 的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.
5.x a，x 时的未定式

型也有相应的法则.
19
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) xa F ( x ) xa F ( x ) 说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
拉格朗日中值公式
说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.

你会有何感觉？
利用微分中值定理尤其是Cauchy定理证明 定理证明 利用微分中值定理尤其是 命题，往往需要我们善于根据已知条件， 命题，往往需要我们善于根据已知条件，对 所需证明的结果进行变化。做一些这类练习， 所需证明的结果进行变化。做一些这类练习， 对逻辑推理能力和想象能力的训练是有益的。 对逻辑推理能力和想象能力的训练是有益的。
罗尔定理、 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 之间的关系；
Rolle 定理
f (a) = f (b) Lagrange
F( x) = x
中值定理
Cauchy 中值定理
注意定理成立的条件——均为充分条件； 均为充分条件； 注意定理成立的条件 均为充分条件
练习题
内上连续， 内可导， 1． 设 f ( x ) 在 [ a, b ]内上连续，在(a, b )内可导，若 0 < a < b ,则在 ( a, b )内存在一点 ξ ， 使 af (b ) − bf (a ) = [ f (ξ ) − ξf (ξ )](a − b ) ] . 2．设函数 y = f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内且有 n 阶 导数， 导数 ， 且 f (0) = f ′(0) = K = f ( n−1) (0) 试用柯西 f ( x ) f ( n ) (θx ) 中值定理证明： 中值定理证明： n = ， 0 < θ < 1 ）. （ n! x
Cauchy 中值定理的条件中开区间内每一点处 均不为零， F ′( x) 均不为零，就是保证了 F (b) − F (a) ≠ 0
Q F (b ) − F (a ) = (b − a )F ′(ξ ) ≠ 0,(ξ ∈ (a , b )) 又：该定理能否这样证明：对分子、 分母分别用 Lagrange 微分中值定理, f (b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a )(a < ξ < b ) F (b ) − F (a ) = F ′(ξ )(b − a )(a < ξ < b ) f (b ) − f (a ) f ′(ξ ) (a < ξ < b) ? ∴ = F (b ) − F (a ) F ′(ξ )

练习
P.64 7(2,7,8)
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0

1. 0 型
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 0 ( ), ( ) 的类型: . 0
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 x 2e x . ( 0 ) 例7 求 xlim x x x ( e ) e e lim lim 解: 原式 lim 2 x ( x ) x 2 x x x 2 x

0 0
例12
解 原 式 lim 1 sin x lim (1 sin x).
x
x cos x 求 lim . x x
极限不存在
x

1
洛必达法则失效。
1 实际上 原 式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
例
证明 cos x cos y x y
设 f ( t ) cos t
当x y时 f ( x ) 在 以x与y为 端 点 的 区 间 上 满足拉格朗日中值定的 理条件
证:
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ), ( 在x与y之 间)
cos x cos y sin ( x y ),
第三章 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 函数之商 应用
0 及 0
型的极限
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
§3.1 中值定理与洛必达法则
(一)中值定理

f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0

0 0
（3）幂指形式的未定式，简记为 1 ,0 ,
所有这些类型的未定式都可通过适当变形，转化为
0 求解． 或 0
讨论分析
例12 求 lim x cot 2 x x0
解 这是 0 型未定式，将其变形为
x lim x cot 2 x lim x 0 x 0 tan 2 x
x 1 x
1 ln(ln x ) x
1 x
lim (ln x ) lim e
x
，

e
ln(ln x ) x x lim
二、讨论分析
1、拉格朗日中值定理 2、洛必达法则
案例引入
在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外 如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处 的切线水平的.
y P
A
B
x
O a

b
讨论分析
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1、 定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 如果函数 f (x)满足下列条件： （1）在闭区间[a, b]上连续;
ห้องสมุดไป่ตู้
在( a , b ) 内至少存在一点
应用说明： （1）证明方程 f (x)=0 根的唯一性。 （2）证明方程 f ( x ) 0 有根。
讨论分析
有且仅有一个小于1 的 例5. 证明方程 正实根 . 证: 1) 根的存在性 . 设 f ( x ) x 5 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0,1),
（2）在开区间(a, b)内可导， 那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得:
f (b) f (a ) f ( ), 或 f (b) f (a ) f ( )(b a ) ba

(a,b),使得 bf(bb) aaf(a)F g(()),
即 b(fb)a(fa)f()f().
ba
3.6.2 洛必达法则
定理3.11 ( 0 型的洛必达法则) 0
设 f(x),g(x)在 的某空心邻域内满足下列条件:
(1 )lim f(x )0 ,lig m (x )0
x
x
(2 )f(x )g ( ,x ) 可 ,并 导 g (x ) 且 0 ;
(3)limf(x)A(或) x g(x)
则
f (x)
lim
x g( x)
limf(x) A(或). x g(x)
如果 f(x)仍0属 型 ,且 f(x)g ,(x)满足 g(x) 0
定理的条件, 可继续使用洛必达法则. 即 lim f(x)lim f(x)lim f(x)
x g(x) x g(x) x g(x)
例4
求
tanx x
lim
x0
x2
tanx
.
(0) 0
解
原式 lx im 0taxnx3xlxim0se3c2xx21
lim2se2cxtanx 1limsec2xlimtanx
x0
6x
3x0
x0 x
1limtanx 1
3x0 x
3
例5
求
2e2x ex 3x1
lim
x0
ex(ex 1)2
.
(0 ) 0
定理3.12 ( 型的洛必达法则)
设 f(x),g(x)在的某空心邻域内满足下列条件：
(1 )lim f(x ) ,lig m (x )
x
x
(2 )f(x )g ( ,x ) 可 ,并 导 g (x ) 且 0 ;

() = 时的特例.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2

2
→0+

=
=
(
−
→0+ 2

1
)2
1
2
−
=
= .

2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类

上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同!
错!
注意：(1)在柯西定理中，f ( )、F ( )是在
同一点 处 f ( x )、F x）的导数值； （
(2)若F ( x) x，柯西定理即拉格朗日定理.
6
二、洛必达(L’Hospital) 法则
1.不定式的定义
定义 如果当 x x0 (或 x ) 时，两个函数
( )
7
0 2. 型不定式的洛必达法则 0
定理 设
(1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0;
x x0 x x0
(2) 在 x0 点的某空心邻域内, f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) (3) lim A ( A可为有限常数也可为无穷大); x x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim A. x x0 F ( x ) x x 0 F ( x )
第四节 柯西定理与洛必达法则
一、柯西(Cauchy) 定理 二、洛必达（L’Hospital）法则 三、小结
1
一、柯西(Cauchy) 定理
如果函数f ( x )及F ( x )满足:
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续; (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导;
则至少有一点 (a , b) , 使等式
4
证: 作辅助函数
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f (a ) F ( x ) F (a ) F (b) F (a )
则 ( x) 在[a, b] 上连续 , 在 (a, b)内可导, 且
(a ) (b) 0, 由罗尔定理知,

2
10
用洛必达法则应注意的事项 0 0 (1) 只有 或 的未定式 , 才可能用法则, 只要是 或 , 0 0 则可一直用下去; (2) 在用法则之前, 看式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则, 要将式子整理化简; (4) 为简化运算, 经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
x
1 x 1 x2
1 x2 lim x x
1 x2 其实: lim 1. x x
18
作业
习题3.6 (149页)
1.(单)
2.
4.(3)(做书上)
19
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
8
lnx ( ) 例 l im ( 0) x x 1 x lim 1 0 解 原式 lim x x 1 x x xn 例 lim x ( n : 正整数, 0) ( ) x e
n( n 1) x nx 解 原式 lim ) xlim x ( x e 2 e x n次 n! lim n x 0 x e
注: 定理中 x x0 换为 x , x , x , 结论仍成立.
5

例 求 lim
x 2
cos x x

2
.
0 ( ) 0
解 原式 lim
sin x sin 1. lim 2 x ( x ) x 2 1 2
2
(cos x )
例 求 解
2e 2 x e x 3 x 1 lim . x x 2 x 0 e (e 1)

例5. 求
解: 原式
例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式
例7. 求 (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
用夹逼准则
e x sin x 1 0 .( ) 例 求 lim 2 x 0 (arcsin 0 x)
解 arcsin x ~ x ( x 0) e x sin x 1 0 原 式 lim ( ) 2 x 0 0 x e x cos x 0 lim ( ) x 0 0 2x x e si n x 1 . lim x0 2 2
特别地 当 F ( x ) x ,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足: (1) 在闭区间 [a, b]上连续 ; (2) 在开区间 (a, b)内可导 , 且F ( x ) 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( ) 柯西定理的下述证法对吗 ?
0 1、 型未定式解法： 0
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点
则有
注意：
（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。
（3） 定理1中

limF(x)0,可补充定义 f(a)F(a)0.
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a