18.2.1.2矩形的判定

§18.2.1.2矩形的判定一、知识导航矩形的判定：类别判定方法符号语言图形角有一个角是直角的平行四边形是矩形四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒∴四边形ABCD 是矩形有三个角是直角的四边形是矩形90ABC BCD ADC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是矩形对角线对角线相等的平行四边形是矩形 四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形二、重难点突破重点1利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定例1.如图，▱ABCD 中，点O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．请连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是矩形，并说明理由．重点点拨：在判定矩形时，一定要注意前提条件是四边形还是平行四边形，再考虑用哪条定理，用定义判定或用对角线判定时，前提条件必须是平行四边形，而不能是四边形.变式1已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．重点2利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定例2.如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，过点A 作//AE BC ，且AE BD =，连接BE ，交AD 于点F ，连接CE ．求证：四边形ADCE为矩形；变式2如图，在□ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．若AB ＝DB ，求证：四边形DFBE是矩形．重点3利用有三个角是直角的四边形是矩形进行判定例3.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD是矩形．重点点拨：要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再证明有一个角是直角或对角线相等.变式3如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．难点4矩形的性质与判定的综合例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．重点点拨：在一个四边形中如果能够比较容易地证得两个角是直角，可以考虑证明另外两个角中的一个是直角，从而证得该四边形为矩形.重点点拨：利用矩形的性质和判定解决问题，一般是先判定一个四边形是矩形，再根据矩形的性质解决其他问题.变式4在 ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB .三、提升训练1.▱ABCD 中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是（）A ．AB =CDB ．∠B +∠D =180°C ．AC =AD D ．对角线互相垂直2.已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A ．∠A =∠B B ．∠A =∠CC ．AC =BD D ．AB ⊥BC 3.下列命题是假命题的是（）A ．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合B ．同旁内角互补，两直线平行C ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形4.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BD 交AD 于点E ．已知AB ＝2，△DOE 的面积为54，则AE 的长为（）A B ．2C ．1.5D5.矩形ABCD 与矩形CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，,,C D G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ，若3BC EF ==，1CD CE ==，则GH =（）A BC ．2D ．436.如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（）A ．DE 平分AEC∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB =D ．AE BE EF=+7.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =，动点Р满足3PAB ABCD S S = 矩形，则点Р到A 、B 两点距离之和PA PB +的最小值为（）A 29B 34C ．52D 418.如图，矩形ABCD 中，已知AB=6，BC=8，BD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则△BOF 的面积为____．9.如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1_____S 2；（填“＞”或“＜”或“＝”）10.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为_______.11.如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，过矩形ABCD 的对角线交点O 作直线分别交AD 、BC 于点E F 、，连接AF ，若AEF 是等腰三角形，则AE =____.12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD ．求证：四边形ABCD 是矩形．13.如图，在▱ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC、BE．（1）求证：AB＝CE；（2）若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC是什么特殊四边形？请说明理由14.如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若OE⊥BD交BC于E，求证：BE＝2CE．。

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3．下列命题中，假命题是( ) A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 解析：有一组对角是直角且一组对边平行可得到两组对边平行或四个角均是直角，故四 边形是矩形；有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，四边形是矩 形；有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是矩形，也可能是直角梯形；有两 个内角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以该四边形是矩形． 答案：C
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[学以致用] 如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三 角形，AB＝4 cm. (1)判断▱ABCD是否为矩形，说明你的理由； (2)求▱ABCD的面积．
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解析：(1)▱ABCD是矩形．理由如下： ∵△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4 cm.∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形． (2)由(1)知OA＝AB＝4 cm，AC＝2OA＝8 cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝ 90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC2－AB2＝ 82－42＝4 3， ∴▱ABCD的面积是AB×BC＝4×4 3＝16 3 (cm2)．
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[核心素养] 1．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4 位同学拟订的方案，其中正确的是( ) A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你们认为矩形判定在建筑设计中有哪些应用？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
-通过典型例题，如判断某一四边形是否为矩形，引导学生运用判定方法，加深对判定方法的理解和运用。
2.教学难点
-矩形判定方法的应用：学生需要学会在实际问题中灵活运用判定方法，这是学生容易感到困难的地方。
-矩形性质的证明：对于矩形的性质，学生不仅要知其然，还要知其所以然，能够理解和掌握证明过程。
-空间观念的培养：对于一些空间想象能力较弱的学生，如何将矩形性质与实际图形相结合，形成直观的空间观念，是一大挑战。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直角尺和测量工具来验证一个图形是否为矩形。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-矩形的判定方法：掌握矩形的三种判定方法，即对边平行且相等的四边形、有三个直角的四边形、对角线互相平分且相等的四边形，这是本节课的核心知识。
举例解释：
-通过动态几何软件或实物模型，展示矩形在变形过程中保持对边平行且相等的特性，加深学生对矩形定义的理解。
-通过实际测量和计算，让学生验证矩形的性质，如对角线相等，强化学生对性质的记忆和应用。
b.有三个角是直角的四边形是矩形。
c.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

§18.2.1.2 特殊的平行四边形——矩形第课时总第课时主备人：目标：1、理解并掌握矩形的判定方法。

2、使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。

重点：矩形的判定。

【温故·习新】：1、矩形的定义：。

可以作为矩形的判定。

此命题可用几何语言表达为（如上图）：∵∴2、写出矩形的性质定理。

3、写出矩形性质定理的逆命题，判断其真假，并选择一个说明理由（若为假命题举反例说明，若为真命题证明其正确）。

【研讨·拓展】：例1、已知：在ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个类题突破一、已知平行四边形的面积．类题突破二、已知：在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，求证四边形ACBE为矩形．例2、已知：ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．类题突破三、如图，M 、N 分别是平行四边形ABCD 对边AD 、BC 的中点，且AD=2A ，求证，四边形PMQN 是矩形。

【反馈·提炼】：1、下列说法正确的是（ ）． A 、有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B 、有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C 、对角线互相平分的四边形是矩形 D 、对角互补的平行四边形是矩形2、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： ⑴、先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ； ⑵、摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶、将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是：；3、已知：ABC Rt ∆中090=∠ABC ，6=AB ，8=BC，O 为AC 中点，D O B 、、在同一直线上，且5OD =，求证：四边形ABCD 是矩形。