第2课时矩形的判定

第2课时矩形的判定置疑导入归纳导入类比导入激趣一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断此桌面是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程．如果允许换工具，你还有其他方法吗？[说明与建议] 说明：通过提出问题引发学生的思考，同时让学生感受判定矩形的必要性，体会数学在实际生活中的应用．建议：可以给学生充足的时间进行思考、交流，以便学生更好地思考矩形的判定方法．首先师生一起回顾矩形的定义，重点强调概念中的两个要素，并强调定义是最基本的判定方法，然后提出问题：还有没有其他的判定方法？是否可类比平行四边形的判定方法呢？一起来研究．[说明与建议] 说明：通过对矩形定义的复习进一步感受什么是矩形，进而明确定义是判定的重要依据，在此基础上通过问题“还有没有其他的判定方法”引导学生思考利用其他的条件证明矩形的方法．建议：问题提出后给学生一定的思考时间，可以给出适当的引导，比如：想想菱形有哪些特殊的性质？我们在判定菱形的时候都有什么方法？我们已经学过菱形的性质和判定，它们都是关于边和对角线的，并且互为逆命题，那么矩形的判定会不会也和其性质互为逆命题呢？先写出矩形的性质定理的逆命题，再尝试证明它们是不是真命题．[说明与建议] 说明：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，它们的知识构建有相通之处，在教学中渗透这一点能帮助学生更好地理解本章内容，并且通过类比，学生能较容易地发现矩形的判定方法．建议：如果写出逆命题有困难，可以组织小组合作交流，探索证明方法也可以先在小组交流，在证得四个角都是直角的四边形是矩形之后，应该追问：直角的个数可以减少一些吗？根据是什么？素材二教材母题挖掘——第14页定理的证明已知：如图1－2－23，在▱ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线，AC ＝DB.求证：▱ABCD 是矩形． 图1－2－23【模型建立】矩形的判定方法有两类：一类是以平行四边形为出发点判定矩形，第一步说明四边形是平行四边形，第二步说明有一角是直角或对角线相等；另一类是以四边形为出发点判定矩形，利用有三个角是直角的四边形是矩形或对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行说明．【变式变形】1．如图1－2－24，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 在▱ABCD 的外部，且∠AEC ＝∠BED ＝90°.求证：四边形ABCD 是矩形．图1－2－24证明：连接EO.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，BO ＝OD.又∵∠AEC ＝∠BED ＝90°，∴OE ＝12AC ＝12BD ， ∴AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形．2．[枣庄中考] 如图1－2－25，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．图1－2－25解：(1)证明：∵DF ∥BE ，∴∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO.∵O 为AC 的中点，∴OA ＝OC.又∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF. 在△BOE 和△DOF 中，∵∠EBO ＝∠FDO ，∠BEO ＝∠DFO ，OE ＝OF ，∴△BOE ≌△DOF.(2)四边形ABCD 是矩形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB ＝OD.又∵OD ＝12AC ，且OA ＝OC ＝12AC ， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴BD ＝AC ，∴四边形ABCD 为矩形．素材三 考情考向分析[命题角度1] 补充条件判定矩形如果给定平行四边形，那么补充的条件应是一个直角或对角线相等；如果给定直角或对角线相等，那么补充的条件应能得到平行四边形．例 如图1－2－26，在△ABC 中，AB ＝AC ，将△ABC 绕点C 旋转180°得到△FEC ，连接AE ，BF ，当∠ACB ＝__60__度时，四边形ABFE 是矩形． 图1－2－26[命题角度2] 直接证三个直角进而判定矩形矩形的判定思路1：直接证四个角是直角．因为四边形的内角和是360度，所以只要证明三个角是直角就可以说明四边形是矩形．例 如图1－2－27，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别平分∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC.求证：四边形EFGH 是矩形．图1－2－27证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.∵BH ，CH 分别平分∠ABC ，∠BCD ，∴∠HBC ＋∠HCB ＝90°，∴∠H ＝90°.同理可证∠F ＝∠AEB ＝90°，∴∠HEF ＝∠AEB ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．[命题角度3] 定义法判定矩形矩形的判定思路2：在平行四边形的基础上根据角的性质进行证明．如果有平行四边形作为基础，那么只要再有一个角是直角就可以得到矩形，这就是定义法判定矩形．例 [昭通中考] 如图1－2－28，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，E 是AD 边的中点，M 是AB 边上的一个动点(不与点A 重合)，延长ME 交CD 的延长线于点N ，连接MD ，AN.(1)求证：四边形AMDN 是平行四边形；(2)当AM 的长为何值时，四边形AMDN 是矩形？请说明理由．图1－2－28解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM ，∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE ，∴△NDE ≌△MAE ，∴ND ＝MA ，∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM ＝1时，四边形AMDN 是矩形．理由：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝2.若▱AMDN 是矩形，则DM ⊥AB ，即∠DMA ＝90°.又∵∠DAB ＝60°，∴∠ADM ＝30°，∴AM ＝12AD ＝1. [命题角度4] 根据对角线判定矩形矩形的判定思路3：先证平行四边形，再证对角线相等，根据判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”进行证明．如教材母题．素材四 教材习题答案P16随堂练习已知：如图，在▱ABCD 中，M 是AD 边的中点，且MB ＝MC .求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.∵AM＝DM，MB＝MC，∴△ABM≌△DCM.∴∠A＝∠D.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∴∠A＝90°.∴▱ABCD是矩形．P16习题1.51．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE.(1)试判断四边形ABEC的形状；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？[答案](1)平行四边形(2)∠BAC＝90°(答案不唯一)2．如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．证明：∵BC，BD分别是∠ABM，∠ABN的平分线，∴∠ABC＝∠MBC，∠ABD＝∠NBD.又∵∠ABC＋∠MBC＋∠ABD＋∠NBD＝180°，∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝90°，分别延长AC，AD，交MN于点E，F.∵CD平行于NM，且O为AB的中点，∴∠CDB＝∠NBD＝∠ABD, ∴OD＝OB，同理有OB＝OC, ∴OA＝OB＝OC＝OD.∴四边形ACBD是矩形．3．如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍．提示：过四个顶点分别作两条对角线的平行线，此四条直线围成的四边形即为所求作的矩形．。

第2课时 矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分； 2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究 探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD是BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交AE 于点E .求证：四边形ADCE 是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，进而得到AE ∥BC ，即可得出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE 是平行四边形，再根据AD 是高即可得出四边形ADCE 是矩形．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵AE 是△BAC 的外角平分线，∴∠F AE ＝∠EAC .∵∠B ＋∠ACB ＝∠F AE ＋∠EAC ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠F AE ＝∠EAC ，∴AE ∥BC .又∵DE ∥AB ，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE 平行且等于BD .又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴AE 平行且等于DC ，故四边形ADCE 是平行四边形．又∵∠ADC ＝90°，∴平行四边形ADCE 是矩形． 方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD 各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H .求证：四边形EFGH 是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH 是矩形． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.∵AH ，BH 分别平分∠DAB 与∠ABC ，∴∠HAB ＝12∠DAB ，∠HBA ＝12∠ABC ，∴∠HAB ＋∠HBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC )＝12×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理∠HEF ＝∠F＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】 矩形的性质和判定的运用如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH .(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2cm ，求矩形ABCD 的面积．解析：(1)证明四边形EFGH 对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD 和BC ，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AO －AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ，即OE ＝OF ＝OG ＝OH ，∴四边形EFGH 是矩形；(2)解：∵G 是OC 的中点，∴GO ＝GC .∵DG ⊥AC ，∴∠DGO ＝∠DGC ＝90°.又∵DG ＝DG ，∴△DGC ≌△DGO ，∴CD ＝OD .∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ，∴BO ＝4cm.∵四边形ABCD 是矩形，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴DC ＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB ＝DB 2－DC 2＝43cm ，∴S 矩形ABCD ＝4×43＝163(cm 2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分． 【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？解析：(1)设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP ＝CQ ，代入后求出即可；(2)设经过t ′s 时，四边形PQBA 是矩形，根据AP ＝BQ ，代入后求出即可． 解：(1)设经过t s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－t ＝3t ，解得t ＝6；(2)设经过t ′s ，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝BQ ，所以t ′＝26－3t ′，解得t ′＝132. 方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、板书设计 1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形． 2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．。