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沪科版数学八年级下册第19章四边形第2课时矩形的判定1．(2019·浙江宁波七中月考)在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得四边形ABCD为矩形，这个条件可以是( C )A．AC＝BD B．AB＝BCC．AC与BD互相平分D．AC⊥BD2．(2019·广西桂林期末)如图，在▱ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM.求证：(1)△ABM≌△DCM；(2)四边形ABCD是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.∵M为AD的中点，∴AM＝DM.又BM＝CM，∴△ABM≌△DCM(SSS)．(2)∵△ABM≌△DCM，∴∠A＝∠D.∵AB∥DC，∴∠A＋∠D＝180°.∴∠A＝90°.∴平行四边形ABCD是矩形．3．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( C )A．AB＝CD B．AD＝BCC．AC＝BD D．AB＝BC4．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是__对角线相等的平行四边形是矩形__．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AC＝2AO，BD＝2OD.∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．6．(2019·安徽亳州涡阳期末)如图，将▱ABCD的边DA延长到点F，使DA＝AF，CF交边AB于点E.(1)求证：BE＝AE；(2)若2∠D＝∠BEF，求证：四边形ACBF是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC.∵DA＝AF，∴AF綊BC.∴四边形ACBF是平行四边形．∴BE＝AE.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC綊AB.∴∠D＝∠F AB.∵2∠D＝∠BEF＝∠F AB＋∠AFC，∴∠D＝∠AFC.∴DC＝CF.∴CF＝AB.又四边形ACBF是平行四边形，∴四边形ACBF是矩形．7．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( D )A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形其中的三个角是否都为直角8．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__∠A＝90°(或∠B＝90°或AD＝BC或AB∥CD)__(写出一种情况即可)．9．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF.∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.求证：四边形EGFH是矩形．证明：∵EH平分∠BEF，GE平分∠AEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∠FEG＝12∠AEF.∵∠AEF＋∠BEF＝180°，∴∠FEG＋∠FEH＝12×180°＝90°.同理，∠GFH＝90°.∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°.∴∠GEF＋∠GFE＝12(∠AEF＋∠CFE)＝90°.∴∠G＝90°.∴四边形EGFH是矩形．易错点对矩形的判定方法理解错误导致出错10．(2019·山东烟台莱州期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠F AC，DE∥BA交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC，BD＝DC.∵AE平分∠F AC，∴∠F AE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠F AE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC.∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形．∴AE綊BD.∴AE綊DC.∴四边形ADCE是平行四边形．又∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．11．(2019·山东临沂中考)如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( A )A．OM＝12AC B．MB＝MOC．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND12．(2019·安徽阜阳颍泉区期中)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件( D )A．AB＝AD B．AB⊥ADC．AC＝BD D．AC⊥BD13．(2019·山东泰安岱岳区期中)如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快__5__s后，四边形ABPQ成为矩形．14．(2019·贵州安顺中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为12 5.15．(2019·北京海淀区期末)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF＝CE，连接AF.(1)求证：四边形ABEF是矩形；(2)连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC.∵DF＝EC，∴FE＝DC.∴AB綊FE.∴四边形ABEF是平行四边形．∵BE⊥EF，∴四边形ABEF是矩形．(2)由(1)知四边形ABEF是矩形，∴EF＝AB＝6，∠AFD＝90°.∵DE＝2，∴DF＝CE＝4.∴CF＝EF＋EC＝6＋4＝10.在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝4，由勾股定理，得AC＝AF2＋CF2＝42＋102＝229.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.∴OF＝12AC＝29.16．(2019·山东青岛中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至点G ，使EG ＝AE ，连接CG . (1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB 綊CD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴∠ABE ＝∠CDF . ∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE ＝12OB ，DF ＝12OD ，∴BE ＝DF . ∴△ABE ≌△CDF (SAS )．(2)当AC ＝2AB 时，四边形EGCF 是矩形．理由如下： ∵AC ＝2OA ，AC ＝2AB ，∴AB ＝OA .∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB .∴∠OEG ＝90°. 同理可得CF ⊥OD ，∴EG ∥CF .由(1)知AE ＝CF ， 又EG ＝AE ，∴EG ＝CF . ∴四边形EGCF 是平行四边形． ∵∠OEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形.。
第2课时矩形的判定敦字目析【知识与技能】1 .理解并#握矩形的判定方法.2. 使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.【过程与方法】经历探索矩形判定的过程，开展学生实验探索的意识：形成儿何分析思路和方法.【情感态度】培养推理能力.会根据需要选择有关的结论证明.体会来自丁•实践的需要.【教学重点】矩形的判定方法.【教学难点】矩形的判定方法的运用.汉教丝程一、创设情境，导入新课L矩形是轴对称图形，它有________ 条对称轴.2. ft! •想：矩形有唳些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比【教学说明】通过回忆形的性质，掌握矩形的特征，为后面探究判定奠定根底.二、合作探究，探索新知1 .矩形是特殊的平行四边形，怎样判定•个平行四边形是矩形呢？矩形具有平行四边形不具有的性质有哪些？【教学说明】让学生回政矩形的特征，掌握矩形的特殊性.2.思考：小华想要做•个矩形相框送绐妈妈做生日礼物，于是找来两根检度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么方法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？（得到电形的一个判定）【教学说明】通过做•做，让学生动手操作，然后就进行讨论判定的方法，徂出矩形的判定方法，并让学生简述理由.3, 做一做：按照画“边一直角、边一直角、边一直角、边”这样四步画出一个四边形. 判断它是一个矩形吗?说明理由.(探索得到矩形的另一个判定)总结：通过讨论得到矩形的判定方法.矩形判定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形.矩形判定方法2：有三个角是宜的的四边形是矩形.(指出：判定一个四边形是矩形.知道三个角是直角，条件就够『・因为由四边形内角和可知，这时第四个的•定是直角.)【教学说明】学生小结担形的判定方法，并说明理由，教师及时进行总结，形成方法和思路.三、例如讲解，掌握新知例I勇BCD的对角线相交于点0, AA0B是等边三角形，AB-4 cm,求这个平行四边形的面积.【分析】首先根据△A0B是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是担形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值.解：..•四边形ABCD姑平行四边形.AA0=-AC, B0=-BD.2 2VAO=BO,.\AC=BD.AOABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).在RtAABC 中，VAB=4 cm, AC=2A0=8 cm,ABC=V82-42 =4X/3 (cm).・.・S OABCD^AB • BC=4 X 4 75 = 16 占(m2)【教学说明】让学生思考如何解决.简述思路.并说明这样想的理由.然后再让学生尝试完成.例2己知：如图(1) O1BCD的四个内角的平分线分别相交于点E, F. G. H.求证：四边形EFGH是矩形.【分析】要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形,如图(2).因此,可选用“三个角是直角的四边形是炬形”来证明.证明：I.四边形A1JCD是平行四边形，•••AD〃BC・.・・NDAB+/ABC=180°. 又AE平分ZDAB. BG平分匕ABC,..•屈+4阶捉"=虹/. ZAFB=90°・同理可证ZAEI)^ZB(X：=ZCH1^90& ..••四边形EFGH是平行四边形(有三个角是直角的四边形是矩形)・【教学说明】先让学生观察图形和相关的条件，确定解题思路，然后尝试完成，教师对解题思路和过程中出现的问题进行强调.四1. _______________________________________________________ 如陈要使平行四边形ABCD是矩形，那么应添加的条件是 __________________________________ ・2. _________________________________________________________ 用•刻度尺检脸•个四边形是否为矩形，以下方法可行的有___________________________________ .(只要填序号即①址出四边及两条对角线，比拟对边足否相等，对角线是否相等.②堂出对角线的交点到四个顶点的距离.看是否相等.③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c,计算是否有0)莹出两条对角线长，看是否相等.3.如图，在AABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE 的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1) 求证:BI>=CD；(2) 如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.第3题图第4题图4. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E,使CE-DC,连接AE,交BC 丁•点F.(1) 求证：AABF^AECF：(2) 连接AC、BE.那么当ZAFC与匕D满足什么条件时,四边形ABEC是矩形?请说明理【答案】I. ZABC=90° 2.®®3 .证明：(1) VAF/7BC, ・../AFENDCE,VE是AD的中点，・.・AI5,』AFE="DCEAE = DE ,ZAEF = /DEC.•.△AEF^ADEC(AAS),・・・AF=DC,VAF=BD,.\BD=CD：(2)四边形AFBD是矩形.理由:•.•AB=AC, D 是BC 的中点，Z.AD1BC.ZADB=90° .VAF=BD,..,过A点作BC的平行线交CE的筵长线于F,即AE〃BC, .••四边形AFED是平行四边形，又・.NADB二90。
19.3.1矩形的判定知识与技能：理解矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。
过程与方法：经历探索矩形的判定过程，培养实验探索能力．形成几何分析思路和方法。
情感态度与价值观：注重推理能力的培养，会根据需要选择有关的结论证明．体会理论来自于实际的需要。
重点：理解矩形的判定定理，培养分析思路。
难点：培养几何推理能力，形成分析思路。
关键：通过平行四边形的特殊图形切入本节课的问题，用平行四边形的概念迁移。
教学过程：学生活动：生活中我们如何判断一个门框是不是矩形的？教师活动：拿出教具进行操作，将平行四边形渐变为矩形，然后在渐变的过程中明确判定一个四边形是矩形的第一种方法是通过定义来判定。
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
教师解释：也就是说：证明一个四边形是矩形可先证这个四边形是平行四边形，然后再证这个平行四边形有一个角是直角。
学生活动：观察教具，回忆学过的矩形定义，深刻理解定义可作为矩形判定的方法之一，并归纳出通俗易记的构架：先证→再证一个Rt△→矩形。
教师活动：出示教具继续操作，探究，提问：当矩形一个角变成90°后，其余三个角同时都变成90°，两条对角线也成为相等的线段，那么这个变形中你们想到了什么呢？能从中得到怎样的启发？学生活动：观察、联想后，提出各自的见解：考虑到对角线，因为四边形的两条对角线在保持互相平分的前提条件下，无论怎么伸缩，它们的长度都是相等时，平行四边形将变为矩形。
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形。
教师解释：也就是说，要证明一个四边形是矩形，先证它是平行四边形，再证两条对角线相等。
学生归纳：先证→再证对角线相等→矩形。
学生活动：归纳后，口述证明思路：如上图a，可应用“SSS”证明由△ABC≌△DCB，得∠ABC=∠DCB=90°，由定义知，平行四边形ABCD是矩形．（教师也可以请学生上台“板演”）。
例1、见课件巩固对判定定理的理解，为应用判定来证明打好基础。
第2课时矩形的判定1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.3.经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.4.培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.【教学重点】矩形的判定方法.【教学难点】矩形的判定方法的运用.一、创设情境，导入新课1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴.2.想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.【教学说明】通过回顾矩形的性质，掌握矩形的特征，为后面探究判定奠定基础.二、合作探究，探索新知1.矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?矩形具有平行四边形不具有的性质有哪些？【教学说明】让学生回顾矩形的特征，掌握矩形的特殊性.2.思考：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？（得到矩形的一个判定）【教学说明】通过做一做，让学生动手操作，然后就进行讨论判定的方法，得出矩形的判定方法，并让学生简述理由.3.做一做：按照画“边―直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.判断它是一个矩形吗?说明理由. （探索得到矩形的另一个判定）总结：通过讨论得到矩形的判定方法.矩形判定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形.矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形.（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角.）【教学说明】学生小结矩形的判定方法，并说明理由，教师及时进行总结，形成方法和思路.三、示例讲解，掌握新知例1 已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积.【分析】首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=12AC，BO=12BD.∵AO=BO，∴AC=BD.∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.在Rt△ABC中，∵AB=4 cm，AC=2AO=8 cm，∴BC=228443－（cm）.∴S□ABCD=AB·BC=4×43=163 (m2)【教学说明】让学生思考如何解决，简述思路，并说明这样想的理由，然后再让学生尝试完成.例2 已知：如图（1）□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH 是矩形.【分析】要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC=180°.又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，∴∠EAB＋∠ABG=1×180°=90°.2∴∠AFB=90°.同理可证∠AED=∠BGC=∠CHD=90°.∴四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）.【教学说明】先让学生观察图形和相关的条件，确定解题思路，然后尝试完成，教师对解题思路和过程中出现的问题进行强调.四、练习反馈，巩固提高1.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_______.2.用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有_______.（只要填序号即可）①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等.②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等.③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2=c2.④量出两条对角线长，看是否相等.3.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF=BD ，连接BF.（1）求证：BD=CD ；（2）如果AB=AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论.第3题图 第4题图4.如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长至点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F.（1）求证：△ABF ≌△ECF ；（2）连接AC 、BE ，则当∠AFC 与∠D 满足什么条件时，四边形ABEC 是矩形？请说明理由.【答案】1.∠ABC=90° 2.①② 3.证明：（1）∵AF ∥BC, ∴∠AFE=∠DCE, ∵E 是AD 的中点， ∴AF=DE,AFE DCE AE DEAEF DEC ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩,∴△AEF ≌△DEC(AAS)， ∴AF=DC, ∵AF=BD, ∴BD=CD;（2）四边形AFBD 是矩形.理由： ∵AB=AC,D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∵AF=BD,∵过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，即AE ∥BC, ∴四边形AFED 是平行四边形， 又∵∠ADB=90°, ∴四边形AFBD 是矩形.4.（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD,AB=CD, ∴∠BAE=∠AEC, 又∵CE=CD,∴AB=CE,在△ABF 和△ECF 中，ABF ECF AFB EFC AB AB ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩, ∴△ABF ≌△ECF(AAS);（2）解：当∠AFC=2∠D 时，四边形ABEC 是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由题意易得AB∥EC,AB=EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四边形ABEC是矩形.【教学说明】第1、2两题是对矩形判定方法的应用，让学生根据矩形的判定方法进行解决，第3、4题综合应用三角形全等和矩形的判定，要先让学生观察思考，再进行解答.五、师生互动，课堂小结矩形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定.常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理．遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的方法.【教学说明】先让学生进行小结，教师对相关的解题思路进行总结.完成同步练习册中本课时的练习.在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在教学的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，也要懂得提出问题探究问题.教师在例题练习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性.在《矩形的判定》这一节的课堂教学中，尤其注意让学生在完成矩形练习题的同时，考虑图形的变式，类比平行四边形的情况再来思考，这样学生在学习平行四边形和矩形时，就能具有一以贯之的思维逻辑和更加宽广的视野，站在一个新的高度上来把握知识的整体脉络.。
D A C FO EB19.3 矩形、菱形、正方形1.矩形第2课时 矩形的判定1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD 是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E ，F ，G ，H ，试说明四边形EFGH是矩形．DAC F P E8．如图所示，△ABC 中，CE ，CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE 于E ，AF⊥CF 于F ，直线EF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？9．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P 为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架， 你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12．已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（）13．正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块， 再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图1 图214．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．参考答案1．C 2．B 3．D 4．8cm 5．矩；1：2 6．8cm；4cm 7．解：∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，所以四边形EFGH 是矩形．8．解：四边形AECF 是矩形．∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°．∠AEC=∠AFC=90°， 12点拨： 本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．9．解法一：能．如图1所示，过P 点作PH⊥DC，垂足为H ．四边形PHDE 是矩形．所以PE=DH ，PH∥BD．所以∠HPC=∠B． 图1又因为AB=AC ，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．又因为PC=CP ，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC 所以DH+HC=PE+PF ，即DC=PE+PF ．图2．解法二：能．延长EP ，过C 点作CH⊥EP，垂足为H ，如图2所示，四边形HEDC 是矩形．所以EH= PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．△PHC≌△PFC，所以PH=PF ，所以PE+PF=DC ．10．解：是矩形；理由：∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABDE 是平行四边形， 所以AE=BD ，所以AE=DC ．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE 是平行四边形．又因为∠ADC=90°，所以四边形ADCE 是矩形．11．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．12．D13．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：方法一：如图（1），方法二：如图（2）14．解：如图所示，过点G 作GE⊥BD 于点E ， 则AG=EG ，AD=ED ．在Rt△ABD 中，由勾股定理，得-1，BG= AB-AG=2-AG，设AG=EG=x ，则BG=2-x ．在Rt△BEG 中，由勾股定理，得BG 2=EG 2+BE 2，即（2-x ）2=）2+x 2，解得。
