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第2课时矩形的判定1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)一、情景导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！二、合作探究探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OM＝OP＝ON＝OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵OM＋ON＝OQ＋OP，∴MN＝PQ.∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形．解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．证明：∵GE∥HF，∴∠GAB＋∠ABH＝180°.∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，∴∠1＝12∠GAB，∠4＝12∠ABH，∴∠1＋∠4＝12(∠GAB＋∠ABH)＝12×180°＝90°，∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.同理可得∠ACB＝90°.又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，∠4＝12∠ABH，∠2＝12∠FBA，∴∠2＋∠4＝12(∠ABH＋∠FBA)＝12×180°＝90°，即∠DBC＝90°.∴四边形ADBC是矩形．方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE ＝∠DCE ，然后利用“AAS ”证明△AEF 和△DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF ＝CD ，再利用等量代换即可得BD ＝CD ；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB ＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC 满足的条件必须是AB ＝AC .解：(1)BD ＝CD .理由如下： ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE . ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE . 在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF ＝DC . ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ；(2)当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∴AB ＝AC ，BD ＝DC ， ∴∠ADB ＝90°.∴四边形AFBD 是矩形． 方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．三、板书设计矩形的判定错误!通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.。
18.2特殊的平行四边形18. 2.1矩形第2课时矩形的判定知识要点分类练夯实基础知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1-如图18-2-15，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A・Z/ + ZB=180° B. Z^+ZC= 180°C • ZA = ZB2•如图18-2-16是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则Zu也随Z变化，两条对角线的长度也在发生改变.当厶是 ___________ 度时，两条对角线的长度相等.3•如图18-2-17所示也是MBCD的边的中点，且EC=ED求证：四边形ABCD 是矩形.知识点2有三个角是直角的四边形是矩4・如图18-2-18 ‘在四边形ABCD中'ZC=ZD=90°，若再添加一个条件'就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__________ （写出一种情况即可）.图18-2-17图18-2-185.如图18-2-19 » ^ABCD 的四个内角的平分线分别交于点E ，F ，G ，H.求证：四边 形EFGH 是矩形.知识点3对角线相等的平行四边形是矩形6 • ^ABCD 中，/C ，BD 是对角线，如果添加一个条件，即可推出口4BCD 是矩形，那么 这个条件是（）A • AB=BC B. AC=BDC • /C 丄BD D. ABLBD7 •用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两 条对角线是否相等，这样做的依据是 _____________________ .8 •如图18-2-20，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O.E ，F ，G /分别是OA ，OB 、OC 、OD 的中点.求证:9・下列关于矩形的说法屮正确的是（）A•对角线相等的四边形是矩形B•矩形的对角线相等且互相平分C•对角线互相平分的四边形是矩形D-矩形的对角线互相垂直且平分10 •如图18-2-21，oABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件： ____________ （只添 一个即可），使n AB CD 是矩形. t 图18-2-21规律方法综合练提升能力图 18-2-19图 18-2-20OBp C 图 18-2-2211 ・如图 18-2-22，在厶ABC 中，AB=6 cm ，AC=S cm ，BC=10 cm ，P 为边 BC 上 一动点，PE 丄4B 于点、E ，PF 丄/C 于点F ，连接EF ，则EF 长的最小值为 __________ cm.12 • 2017-安顺如图 18-2-23，DB//AC ，且 DB=*AC ，E 是 MC 的中点.(1) 求证：BC=DE ；(2) 连接/D ，BE ，若要使四边形DBEA 是矩形‘则给ZUBC 添加什么条件'为什么？13 ・如图 18-2-24，在四边形 ABCD 中，AB=BC ，ZABC= ZCDA=90° ，BE 丄AD ， 垂足为E.求证：BE=DE.14 •如图18-2-25，在△/BC 中，点。
第 1 页第2课时矩形的判定
知识要点分类练夯实
基础
知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．如图18－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是() A．∠A ＋∠B＝180°B．∠B＋∠C＝180°
C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
图18－2－16图18－2－17
2．如图18－2－17是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α是______度时，两条对角线的长度相等．
3．如图18－2－18所示，E是?ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD 是矩形．
图18－2－18
知识点2有三个角是直角的四边形是矩形
4．如图18－2－19，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是________．．(写出一个条件即可)．
图18－2－19
5．如图18－2－20，?ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
图18－2－20
知识点3对角线相等的平行四边形是矩形
6．?ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出?ABCD是矩形，那么这个条件可以是()
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是
__________________________________________．．
8．如图18－2－21，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
图18－2－21
规律方法综合练提升能力
9．下列关于矩形的说法中正确的是() A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
10．[2019·上海]已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
11．如图18－2－22，?ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________(只添一个即可)，使?ABCD是矩形．
图18－2－22
12．[2019·宁波模拟]如图18－2－23，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.
求证：(1)△ABF≌△DCE；
第 2 页(2)四边形ABCD是矩形．
图18－2－23
13．[2019·通辽]如图18－2－24，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
图18－2－24
拓广探究创新练冲刺满分
14．如图18－2－25，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
图18－2－25．
第 3 页教师详解详析
1．C
2．90[解析] ∵平行四边形活动框架的两条对角线的长度相等，
∴该平行四边形是矩形．
∵矩形的每个内角都等于90°，
∴∠α＝90°.
3．[解析] 利用平行四边形的性质和已知条件证明△AED与△BEC全等，从而得到
∠A＝∠B＝90°.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵E是边AB的中点，∴AE＝BE. 又∵EC＝ED，∴△AED≌△BEC，
∴∠A＝∠B.
又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
4．∠A＝90°或∠B＝90°或AB∥CD(答案不唯一) 5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵?ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H，
∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠GBC＋∠GCB＝90°，
∴∠GFE＝∠AFB＝90°，∠G＝90°，
同理可证∠GHE＝∠DHC＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
6．B
7．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形
[解析] 先测量两组对边是否分别相等，若相等，则四边形为平行四边形，其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．然后测量两条对角线是否相等，若对角线相等，则该平行四边形是矩形，其根据是对角线相等的平行四边形是矩形．
8．证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
又∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，EG＝HF，
∴?EFGH是矩形．
9．B
10．B[解析] ∵∠A＝∠B，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，故A选项能判定平行四边形ABCD是矩形；∵∠A＝∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有这一性质，故B 选项不能判定平行四边形ABCD是矩形；∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判定平行四边形ABCD是矩形；∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，故D选项能判定平行四边形ABCD是矩形．
11．答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD等
第 4 页12．证明：(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，
∴BF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
在△ABF和△DCE中，???AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE，
∴△ABF≌△DCE(SSS)．
(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
13．解：(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE. 又∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，
∴△AEF≌△DEB.
(2)四边形ADCF是矩形．
证明：∵AF∥CD，且AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵△AEF≌△DEB，∴AF＝BD，
∴BD＝CD，即AD是△ABC的中线．
∵AB＝AC，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形．
14．解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC. 同理可证OC＝OE，∴OE＝OF.
(2)由(1)知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.
而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，
∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，
∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13，
∴OC＝12EF＝132.
(3)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：由(1)知OE＝OF，
当点O运动到AC的中点时，有OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．。
